Die graphische Integration

Inhaltsverzeichnis

1.  Historie zur Intergralrechnung  1

2.  Vorgehensweise  2

3.  Das Integral als Summengrenzwert  3

3.1.  Allgemeine Erklärung des Summengrenzwertes  3

3.2.  Einfaches Beispiel anhand einer linearen Funktion  3

   x

3.3.  Unter- und Obersummen Bildung anhand der Funktion 4 1 ) ( x f  

3.4.  Allgemeine Rechnung und Beschreibung des Vorgehens  5

4.  Bestimmen der Fläche mit Hilfe der zeichnerisch ermittelten  

  Stammfunktion  6

4.1.  Einführung und Bedingungen  6

4.2.  Konstruktionsschritte zur graphischen Ermittlung der Stammfunktion  7

5.  Beurteilung  9

6.  Nachwort  10

7.  Literaturverzeichnis  11

8.  Anhang  12

1

Historie der Intergralrechnung 1 1.

Mit den Problemen der Flächen- und Körperberechnung beschäftigte man sich schon vor Christi Geburt. So konnte bereits Archimedes (287 - 212 v. Chr.) Beweise zur Parabelquadratur ² liefern. Zur Berechnung von Flächeninhalten

und Körpervolumen dachte man sich diese in sehr dünne Segmente zerschnitten; d.h. man wandte bereits integrationsartige Verfahren an. Erst mit Beginn des 16. Jahrhunderts lassen sich Weiterentwicklungen in der Mathematik durch europäische Gelehrte erkennen. Die schwerfälliggeometrische Darstellungsweise der griechischen Mathematik wurde abgelöst durch eine analytische Form der Beschreibung. Die Probleme der Infinitesimal-

allem als Wissenschaft zur Lösung seiner physikalischen Probleme. So gelangte er dann auch durch physikalische Überlegungen zur Infinitesimalrechnung. Seine „Fluxionsrechnung“ diente der Beschreibung von Geschwindigkeitsproblemen. Noch heute erinnert die Ableitung nach der Zeit, die durch einen Punkt angedeutet wird, an die Forschungsergebnisse Newtons. Leibniz (1646 - 1716) fand nach umfangreichen Studien auf anderen Gebieten

malrechnung. Das Integrationssymbol wurde von ihm eingeführt. Im 18. Jahrhundert trieben so bekannte Mathematiker wie Taylor, Euler, Lagrange und Laplace die Entwicklung der Infinitesimalrechnung voran, deren Erkenntnisse allerdings im 19. Jahrhundert einer Überprüfung unterzogen wurden und teilweise Korrekturen erfuhren. Bernhard Riemann (1826 - 1866) schließlich gab nach ausführlichen Studien dem Begriff des Integrals eine Neufassung. Dieser Integralbegriff findet noch heute Anwendung. 4

¹ Integer: lat. ganz

² Quadratur: Umwandlung einer beliebigen Fläche in ein flächengleiches Quadrat

³ Zusammenfassung von Differential- und Integralrechnung

⁴ vgl. hierzu: W.Gellert, Mathematik-Kleine Enzyklopädie, Leipzig, VEB, S. 482

2

2. Vorgehensweise

Da das Thema dieser Facharbeit „graphische Integration“ lautet, möchte ich mich zum Thema „Allgemeine Integration“ kurzfassen. Das Problem, den Flächeninhalt eines von einer geschlossenen Kurve begrenzten Flächenstücks oder das Volumen eines durch eine Funktionskurve begrenzten Rotationskörpers zu erklären und zu berechnen, führt zur Definition der Integralrechnung. Der Grenzprozess ergibt sich dabei durch beliebig genaue Approximation ⁵ der Flächenstücken durch elementar bestimmbare Teilflächen.

Elementar deshalb, da sich diese Teilflächen mit „einfachen“ mathematischen Mitteln genau bestimmen lassen. Es kommt vor, dass der Graph einer Funktion f bekannt ist, die Funktionsgleichung f(x) aber nicht bekannt ist. So eine Situation ist häufig in der Physik finden, z.B. bei der Streckenberechnung. Bei einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm einer beschleunigten Bewegung ist die gefahrene Strecke nach einer bestimmten Zeit anzugeben. Die

⁵ Annäherung

3

3. Das Integral als Summengrenzwert

3.1. Allgemeine Erklärung des Summengrenzwertes

Die Flächenermittlung mit Hilfe von Summengrenzwerten, ist in einem ganzen

cken (gestricheltes Vieleck), nähert man sich immer mehr dem genauen Flächenwert des Kreises.

3.2. Einfaches Beispiel anhand einer linearen Funktion

Das selbe Prinzip gilt und funktioniert auch bei der Flächenberechnung von Funktionen. Hierbei unterteilt man die Fläche der Funktion in mehrere kleine oder große Abschnitte (Teilintervalle). Als Beispiel: ( = Gegeben sei die Funktion: x x f 2 )

vorliegt, lässt sich einfach die Zahl der Rechtecke abzählen und dann mit der Fläche eines einzelnen multiplizieren.

4

Also gilt:

= + = ⋅ + ⋅ =

≤ ≤ Für die Fläche A gilt damit: S A s

3 3

Die Maßzahlen s 3 und S 3 geben dabei je nach Aufwand mehr oder weniger den genauen Wert der Fläche wieder.

+ = x 3.3. Ober- und Untersummen Bildung anhand der Funktion 1 ² ) ( x f

Um die Fläche auszurechnen wird wie beim ersten Beispiel vorgegangen. Für die Maßzahl der Flächen von „Untersumme“ und „Obersumme“ werden aber diesmal die beiden Variablen s 4 bzw. S 4 vergeben, aufgrund der Anzahl der Teilintervalle.

5

Rechnung:

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = 5 , 0 ) 5 , 2 ( 5 , 0 ) 2 ( 5 , 0 ) 5 , 1 ( 5 , 0 ) 1 ( f f f f s

4

= ⋅ = + + + + + + + ⋅ = 75 , 8 5 , 17 5 , 0 )] 1 ² 5 , 2 ( ) 1 ² 2 ( ) 1 ² 5 , 1 ( ) 1 ² 1 [( 5 , 0

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = 5 , 0 ) 3 ( 5 , 0 ) 5 , 2 ( 5 , 0 ) 2 ( 5 , 0 ) 5 , 1 ( 5 , 0 ) 1 ( f f f f f S

4

= ⋅ = + + + + + + + + + ⋅ = 75 , 13 5 , 27 5 , 0 )] 1 ² 3 ( ) 1 ² 5 , 2 ( ) 1 ² 2 ( ) 1 ² 5 , 1 ( ) 1 ² 1 [( 5 , 0

An dieser Funktion lässt sich erkennen, dass die beiden Näherungswerte, bei

einer höheren Anzahl von Teilintervallen, nicht mehr so weit auseinanderlie-

gen, wie beim vorherigen Beispiel. Um noch bessere Näherungswerte zu erhal-

ten müsste das Intervall in eine noch größere Anzahl von Teilintervallen zer-legt werden.

3.4. Allgemeine Rechnung und Beschreibung des Vorgehens

Allgemein lässt sich eine Fläche wie folgt ermitteln:

„Gegeben sei eine positive Normalfläche über einem Intervall [a;b] zu einer

über diesem Intervall stetigen und monotonen Funktion f. Wir zerlegen das In-

tervall in n gleichgroße Teilintervalle A k mit dem Teilungspunkten:“ 6

+ = + = =

Jedes Teilintervall hat dann die Längenmaßzahl:

−

Nun bildet man eine untere Treppenfläche t und eine obere Treppenfläche T;

deren Maßzahl erfasst man durch die Untersumme s n und die Obersumme S n .

Für die Berechnung setzt man zusätzlich voraus, dass die Funktion f über [a;b]

monoton steigt.

⁶ Mathematik Sekundarstufe II Analysis Grundkurse Neu, Düsseldorf: Pädagogischer Verlag Schwann-Bagel GmbH 1982, S. 202

6

Dann gilt:

Bemerkungen:

„n“ steht für einen unendlichen positiven Wert ^- f k ⋅ Das Summenzeichen bedeutet, dass im Term h x ) ( nacheinander ^- k=0,k=1, k=2, ..., k=n-1 eingesetzt wird und die so entstehenden Produkte addiert werden. Die untere Summe addiert die Terme von k=1 bis k=n auf.

Es sind auch Zerlegungen des Intervalls [a;b] zugelassen, bei denen die ^- einzelnenTeilintervalle h nicht gleich groß sind. ∞ → → n 0 h Wenn die Grenzwerte von s n und S n für bzw. für über ^- einstimmenist dieser gemeinsame Grenzwert der Funktion f im Intervall [a;b] die Maßzahl der Fläche.

Diesen gemeinsamen Grenzwert nennt man das „bestimmte Intgral der ^- Funktion f über[a;b]“ und schreibt:

Dieses so definierte Integral nennt man nach dem deutschen Mathema- ^- tikerBernhard Riemann (1828-1866) „Riemann-Integral“, das in der geschriebenen Form wie ein langgezogene S wirkende Integralzeichen ∫ wird vom griechischen S für Summe ( ∑ ) abgeleitet. 7

4. Bestimmen der Fläche mit Hilfe der zeichnerisch ermittelten Stammfunktion

4.1. Einführung und Bedingungen

Die Maßzahl einer Fläche lässt sich auch, mit Hilfe eines Verfahrens lösen, welches aus dem vorrangegangenen hervorgeht.

⁷ in Anlenung an: Dr. Josef Lauter (u.a.) ,Schwann-Bagel 1982, S.199-203

7

Um ein Integral auf graphischen Wege ermitteln zu können, muss die zu integrierende Funktion f als Kurve vorliegen. Die Funktionsgleichung braucht nicht bekannt zu sein. Falls der Integrand als eine Gleichung vorliegt, muss erst die zugehörige Kurve gezeichnet werden. Man stelle sich vor, dass man die Fläche zwischen der Kurve und der X-Achse ersetzen kann, durch eine inhaltsgleiche Fläche zwischen einer geeigneten Treppenkurve und der x-Achse (wie schon bei dem vorherigem Verfahren besprochen). Man braucht nur darauf zu achten, dass die Flächenstücke zwischen der gegebenen Kurve und der Treppenkurve paarweise vom Inhalt gleich sind.

4.2. Konstruktionsschritte zur graphischen Ermittlung der Stammfunktion

1. Es sind auf der Kurve beliebige Punkte (P’ 1 ,P’ 2 ,P’ 3 ,...,P’ n ) auszuwählen. Hierbei sollten vorhandene Extrempunkte, Wendepunkte und Nullstellen berücksichtigt werden.

2. Durch jeden dieser Punkte konstruiert man Parallelen zu beiden Koordinatenachsen. So ergibt sich auf der y-Achse jeweils ein Schnittpunkt B n .

8

3. Die gegebene Kurve ist durch eine Treppenkurve ] 3 ; 1 [ ; 1 ² ) ( x x x f

zu ersetzen. Nach Augenmaß werden nun geeignete Zwischenpunkte (S’ 1 ,S’ 2 ,S’ 3 ,...S’ n-1 ) gewählt, sodass die grau unterlegten Flächen beiderseits der gegebenen Kurve paarweise inhaltsgleich sind.

4. Durch die Zwischenpunkte konstruiert man Parallelen zur y-Achse. − =

1 x 5. Auf der x-Achse legt man nun an der Stelle (oder an anderer

Stelle) einen so genannten Polpunkt A fest. Der Polabstand p zum Ko-ordinatenursprung hat dann den Wert 1 (oder einen anderen konstanten Wert)

6. Die Punkte B n verbindet man mit dem Polpunkt durch Geraden. Diese Geraden geben die Tangentenrichtung für die gesuchte Kurve der + = Stammfunktion mit der Gleichung an. C x F y ) (

7. Da die Tangentensteigung für die gesuchte Kurve bereits bekannt ist, braucht man nur noch einen Anfangspunkt. Deshalb wählt man auf der durch P’ 1 parallel zur y-Achse verlaufenden Graden an einer beliebigen Stelle einen Punkt P 1 . Durch die Wahl dieses Punktes wird die Konstante der Stammfunktion C festgelegt. AB gegebene Tangentenrichtung parallel 8. Jetzt muss man die durch n AB verschieben. Bis sie durch den Punkt P 1 verläuft. Die Parallele

1

lässt man solange weiterlaufen, bis sie auf die Senkrechte zum Punkt S’ 1 trifft (S 1 ). In diesem Punkt setzt man die Parallele zu AB an, wo- 2

durch sich die Schnittpunkte P 2 und S 2 ergeben. P 2 ist der nächste Kurvenpunkt der gesuchten Stammfunktion, S 2 ist der Ansatzpunkt für die nächste Tangente parallel zu AB . Genauso wie gerade beschrieben,

3

verfährt man bei den übrigen Tangenten. Es ergibt sich ein Tangentenzug.

9. Durch die Punkte P 1 ,P 2 ,P 3 ,...,P n zeichnet man die Kurve der gesuchten Stammfunktion. Wobei der Tangentenzug die Konstruktion der Kurve erleichtert. Ist der Polabstand ungleich 1, so ergeben sich für F und f unterschiedliche Maßstäbe auf der y-Achse.

Um in der Praxis das Papierformat nicht zu überschreiten, wählt man häu-

≠ fig den Polabstand . Je größer dabei p ist, desto flacher verläuft die 1 p Lösungskurve.

9

Bei der zeichnerischen Ermittlung der Stammfunktion kommt es nicht, darauf an (ganz im Gegensatz zum vorher besprochenen Verfahren), die Anzahl der Teilintervalle möglichst groß zu wählen. Denn das führt zu einer höheren Ungenauigkeit und damit auch zur Verschlechterung des Ergebnisses.

Aus der gegebenen y-Skala geht dann die bestimmte Maßzahl durch Multiplikation mit p hervor, was auch zu dimensionsmäßig richtigen Werten führt. Man überzeugt sich nachträglich, ob die Maßzahl von F(x) dem zugehörigen Flächeninhalt der f(x)-Funktion ungefähr entspricht. Dies kann man zum Beispiel durch „Kästchenzählen“ tun. + = x Konkret am Beispiel der Funktion heißt das: 1 ² ) ( x f

Man liest ein Flächenmaßzahl von ungefähr 11,6 FE (tatsächliche Flächengröße 11,65 FE) ab. Jetzt vergleicht man diese Zahl zum Beispiel mit der Maßzahl, die durch das Verfahren „Ingegral als Summengrenzwert“ ermittelt wurde. Die Maßzahl der Untersumme beträgt 8,75, die der Obersumme 13,75. Sieht man sich diese Zahlen genauer an, kann man feststellen, dass die hier ermittelte Maßzahl einen sehr viel genaueren Wert der Fläche wiedergibt.

5. Beurteilung

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das zuletzt angesprochene Verfahren zwar sehr genau, aber dafür auch recht umständlich ist. Dieses Verfahren ist jedoch unerlässlich bei der Ermittlung von Flächen, wenn nur der Graph einer Funktion gegeben und gleichzeitig die Funktionsgleichung unbekannt ist. Falls man dieses Verfahren, trotz bekannter Funktionsgleichung anwenden möchte, muss die Funktion zuerst gezeichnet werden.

Die Bestimmung der Fläche mit Hilfe von Summengrenzwerten, ist zwar sehr schnell, aber dafür auch sehr ungenau. Möchte man hier eine höhere Genauigkeit erzielen, ist dies nur möglich durch die Erhöhung der Teilintervalle. Doch das führt dazu, dass dieses Verfahren im Endeffekt aufwendiger ist als das ein- fache Ablesen an der graphisch konstruierten Stammfunktion.

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6. Nachwort

Nachträglich möchte ich noch darauf hinweisen, dass es auch maschinelle Hilfsmittel zur graphischen Integration gibt, so zum Beispiel das Polarplanimeter. Die Abbildung und Funktionsweise dieses Gerätes ist im Anhang zu fin- den.

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7. Literaturverzeichnis

Dipl.-Math. Gerhard Große: Integrationsverfahren (1972).

Dr. Josef Lauter, In: Oberstudiendirektor Wilhelm Kuypers (u.a.): Gabriele Bölts, Mathematik Sekundarstufe II Analysis Wilhelm Kuypers und Grundkurse (8. Aufl.) Pädagogischer Verlag Hans Wuttke Schwann-Bagel GmbH, Düsseldorf 1982

W. Gellert (u.a.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. (10. Aufl.) VEB Verlag Enzyklopädie, Leipzig

1977

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8. Anhang

Polarplanimeter:

aus F.A. Willers, Mathematische Maschinen und Instrumente, Akademie-Verlag, Ber-

„DasPolarplanimeter [...], wurde 1854 von dem Schweizer Amsler entwickelt. [...] Es besteht im wesentlichen aus drei teilen, dem Polarm mit dem Pol, dem Fahrarm und dem Zählwerk, das am Fahrarm verstellbar befestigt ist. Am Ende des Fahrarmes befindet sich ein Stift, mit dem die Beradungskurve einer Fläche umfahren wird. Die Bewegung des Fahrarmes wird durch eine Gleitrolle des Zählwerkes in eine Drehbewegung umgesetzt, die mit verschiedener Geschwindigkeit teils vorwärts, teils rückwärts abläuft. Das Gelenk zwischen Fahrarm und Polarm bewegt sich dabei auf einem Kreis, dessen Mittelpunkt de Pol ist. Dadurch wird der Stillstand der Gleitrolle verhindert, wenn sich der Fahrstift entlang einer Geraden bewegt. Die auf der Gleitrolle befindliche und mit einem Nonius versehene Skale ermöglicht in Verbindung mit der Zählscheibe die Ablesung des Resultats. Der abgelesene Wert kann mit 4 Dezimalstellen angegeben werden. Bei einem Grundplanimeter erhält man entweder unmittelbar den Inhalt der umfahrenen Fläche oder einen Wert, der diesem Flächeninhalt proportional ist. Durch Verschiebung des Zählwerks auf dem Fahrarm ändert sich der Proportionalitätsfaktor. Sind n 1 der in der Anfangsstellung und n 2 der in der Endstellung der Messrolle abgelesene Wert, so ist der Inhalt der umfahrenen Fläche A= k(n 2 - n 1 ).

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Die sog. Planimeterkonstante k kann entweder aus einer dem Planimeter

beigegebenen Tabelle oder durch mehrmaliges Umfahren einer bekannten Fläche (für eine bestimmte Fahrarmlänge) ermittelt werden.“ 8

⁸ Dipl.-Math. Gerhard Große: Integrationsverfahren. H. Birnbaum (u.a.)(Hrsg): Analysis für Ingenieure (9. Aufl.) VEB Fachbuchverlag, Leipzig 1973

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Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Facharbeit selbstständig angefertigt, keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel benutzt und die Stellen der Facharbeit, die im Wortlaut oder im wesentlichen Inhalt aus anderen Werken entnommen wurden, mit genauer Quellenangabe kenntlich gemacht habe.

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