Inhaltsverzeichnis  2

  Einleitung  3

Vorwort.   3

  Kurze Biographie Einsteins  4

I.  Die Vorrelativistische Physik  6

1.1  Aristoteles und Galilei  6

1.2  Klassische Relativität und Galilei -Transformation.  7

1.2.1  Absoluter Raum und absolute Zeit  7

1.2.2.  Weg-Zeit-Diagramme auf die Klassische Physik angewandt  8

1.2.2  Die Galilei -Transformation  9

1.3  Das Licht und seine Sonderstellung  10

1.3.1.  Ein kleiner physikgeschichtlicher Überblick.  10

1.3.2.  Das Michelson-Experiment und das Ende der Äthertheorie  11

II.  Die Spezielle Relativitätstheorie.  13

2.1  Die Postulate.  13

2.2  Relativität der Gleichzeitigkeit  14

2.3  Der 4-dimensionale Minkowski-Raum und die verbesserten Raum-Zeit-Diagramme  15

2.3.1.  Der 4-dimensionale Raum.  15

2.3.2.  Raum -Zeit-Diagramme mit konstanter Lichtgeschwindigkeit  16

2.4  Einstein-Lorentzsche-Transformation.  17

2.5  Längenkontraktion und Zeitdilatation  19

2.6  Addition von Geschwindigkeiten.  21

2.7  Bewegte Masse.  22

2.8  Masse und Energie.  24

2.9  Andere physikalische Größen und ihre Transformation  25

2.9.1  Transformation von Energie und Impuls.  25

2.9.2  Die Transformation von el. Ladungsdichte und el. Strom.  26

2.10  Geometrie der Raum-Zeit  27

2.10.1  Die Lorentztransformation in Relativistischen-Koordinaten.  27

2.10.2  Betrachtungen im Diagramm und ihre mathematische Deutung.  27

2.10.3  Schlussfolgerungen aus den Betrachtungen  28

2.10.4.  Die Impulsenergie  29

2.10.5.  Die symmetrische Natur der Lorentztransformationen  29

2.10.6.  Vergangenheit und Zukunft  29

III.  Ein kleiner Ausblick in die Allgemeine Relativitätstheorie  31

3.1.  Einführung  31

3.2  Äquivalenz-Prinzip  31

3.2.2.  Folgerungen aus dem Äquivalenz-Prinzip  32

3.3  Der gekrümmte Raum.  34

3.3.1  Nicht euklidische Geometrien  34

3.3.2  Auswirkungen der Krümmung.  35

3.3.3  Beschreibung der Krümmung  35

  Danksagung und Schluss.  36

  Literaturverzeichnis.  37

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Einleitung

Vorwort

E = ² mc - kaum eine andere physikalische Beziehung kann sich einer so großen Bekanntheit erfreuen wie die Masse-Energie-Relation der Relativitätstheorie und kaum ein anderer Wissenschaftler ist heute, fast 50 Jahre nach seinem Tod noch so bekannt wie der „Vater“ eben dieser Gleichung, - Albert Einstein. Seine „Spinnereien“ haben das Gebäude der klassischen Newtonschen Mechanik komplett ersetzt, und teilweise konnte erst in den letzten Jahren also fast ein ¾- Jahrhundert nach der Veröffentlichung seiner beiden Relativitätstheorien, der Speziellen und der Allgemeinen, erkannt werden, wie vollkommen die Ergebnisse dieser Theorien sind. Zu diesen revolutionären Einsichten kam Einstein aber nicht durch teure, langwährende Versuchsreihen, sondern nur mit Bleistift und Papier. Zuerst von vielen Zeitgenossen verlacht und verhöhnt, blieb er immer gelassen und kümmerte sich wenig um die praxisnahen Beweise. Wieso eine Facharbeit zum Thema „Relativitätstheorie“? Ziel dieser Arbeit ist es nicht - ja kann es gar nicht sein- neue Erkenntnisse über die Relativitätstheorie zu präsentieren. Ziel meiner Arbeiten war es viel mehr, mich selbst mit den Ideen Einsteins so auseinander zu setzen, dass ich sie(wenigstens annähernd) zu begreifen beginne. Die Arbeit stellt somit meinen persönlichen Zugang zur Relativitätstheorie dar. Dabei habe ich versucht den vielen möglichen Wegen die Relativitätstheorie zu verstehen meine eigenen Ideen hinzugefügt. So erhebt die Arbeit keinerlei Anspruch auf absolute Korrektheit, vor allem was die didaktischen Schritte angeht. Selbstverständlich wurde die Arbeit von mir, unter zu Hilfenahme der im Anhang aufgeführten Literatur, alleine angefertigt.

Leutkirch, Oktober 1999

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Kurze Biographie Einsteins

Albert Einstein erblickte am 14. März als Sohn von Hermann und Pauline Einstein (geb. Koch) in Ulm das Licht der Welt. Doch bereits ein Jahr nach der Geburt übersiedelte die Familie nach München. Dort wurde dann 1881 seine Schwester Maria geboren. 1889 wurde Einstein in das Luitpold Gymnasium in München eingeschrieben. 1894 brach er dieses jedoch ohne Abschluß ab und reiste zu seiner Familie nach Mailand.

Diese hatten sich aus wirtschaftlichen Gründen in Norditalien niedergelassen, um dort ein Geschäft für Elektrowaren zu eröffnen. 1895 wurde Einstein Schüler der Aarauischen Kantonschule, welche er erfolgreich absolvierte. Danach begann er 1896 das Fachlehrstudium für Mathematik und Physik an der Eidgenössischen Polytechnischen Hochschule in Zürich. 1900 erfolgte sein Diplomabschuß an dieser Einrichtung. Da ihm aber keine Assistentenstelle angeboten wurde, war er 1901 zeitweilig Hilfslehrer in Winterthur und Schaffhausen. 1902 starb sein Vater Hermann. Im selben Jahr bekam er eine Anstellung als Beamter am Eidgenössischen Patentamt für geistiges Eigentum.1903 heiratete er Mileva Maric, seine wissenschaftliche Mitarbeiterin vom Polytechnikum. 1905 war für Einstein das Jahr des großen wissenschaftlichen Durchbruches. Er promovierte mit einer neuen Methode zu Bestimmung der Moleküldimensionen, entwickelte seine Lichtquantenhypothese ( wofür er 1921 den Nobelpreis erhielt), stellte seine Theorie zur Brownschen Bewegung auf und vollendete die Grundzüge der Speziellen Relativitätstheorie, die unter dem Titel „Zur Elektrodynamik bewegter Körper“ in den Annalen der Physik veröffentlicht wurden. Trotz dieser wissenschaftlichen Spitzenleistungen scheiterte 1907 sein erster Habilitationsversuch an der Universität Bern. Erst im folgenden Jahr gelang ihm dann im zweiten Anlauf dieser Schritt in seiner akademischen Laufbahn. Seine erste Vorlesung über die Theorie der Strahlung wurde allerdings nur von 3 Hörern besucht. Im Jahr 1911 wurde Einstein als Professor an die deutsche Karl - Ferdinands - Universität in Prag gerufen. Im selben Jahr machte er sich an seinen ersten Versuch einer verallgemeinerten Relativitätstheorie, in welchem er sich vor allem mit dem Einfluss der Gravitation auf die Ausbreitung des Lichtes befasste. 1912 verließ Einstein Prag wieder in Richtung Zürich, wo er als Professor an die Technische Hochschule gerufen worden war. Dort vollendete er zusammen mit Marcel Großmann 1913 den Entwurf zu einer verallgemeinerten Relativitätstheorie. Im Frühjahr 1914 siedelte Einstein nach Berlin, wo er auf Initiative von Planck zum Direktor des zu gründenden Institutes für Physik der Kaiser Willhelm Gesellschaft ernannt worden war. Dort vollendete er 1915 die Allgemeine Relativitätstheorie und die Gravitationstheorie. 1919 ließ sich Einstein

von seiner Frau Mileva scheiden und heiratete seine Cousine Elsa.1921 erhielt er den Nobelpreis für seine Lichtquantenhypothese. In den folgenden Jahren reiste Einstein mit seiner Frau durch die Welt und hielt Vorträge über seine Theorien, die mit der Zeit immer mehr Zustimmung fanden, weshalb er insgesamt 25 Ehrenpromotionen verliehen bekam.1933 emigrierte Einstein auf Grund der politischen Lage in Europa nach Princeton, USA. Diese Zeit machte aus dem sonst so unpolitischen Wissenschaftler( „Politik vergeht, eine Gleichung hat in Ewigkeit bestand“) einen politisch sehr engagierten. 1939 sandte er ein Brief an den amerikanischen Präsidenten Roosevelt, in welchem er die Möglichkeit des Baus einer Atombombe aufwies. Dieser Brief führte auch zu der oftmals gemachten -aber falschen-Verbindung der Relativitätstheorie als Mutter der A-Bomben, und zu Einstein als ihrem Vater. Nach dem Abwurf der ersten A-Bomben über Japan, übernahm Einstein den Vorsitz eines Komitees zur Verhütung eines globalen Atomkrieges, was ihn vor allem während der McCarthy-Ära häufig in Konflikt mit der amerikanischen Bürokratie brachte. Zu Einsteins Verhältnis zu Deutschland muss man leider anfügen, dass er, bedingt durch die Verbrechen des 2.Weltkrieges jegliche Bindungen zu seiner einstigen Heimat aufgab. Albert Einstein starb am 18.April morgens um1Uhr25 in Folge eines Aortadurchbruchs im Spital von Princeton. Da es Einsteins persönlicher Wunsch gewesen war, seinen Körper der Wissenschaft zur Verfügung zu stellen, wurde nach seinem Tod sein Gehirn obduziert, allerdings mit der Auflage die Ergebnisse nur für wissenschaftliche Zwecke zu verwenden. Sein Leichnam wurde noch am Nachmittag des Todestages in engstem Kreise und ohne große Trauerfeierlichkeiten eingeäschert, die Asche wurde von Freunden in alle Winde gestreut.

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I. Die Vorrelativistische Physik

1.1 Aristoteles und Galilei

Schon die Menschen der Antike beschäftigten sich mit den Vorgängen in ihrer Umwelt. Obwohl ihnen viele Möglichkeiten der Beobachtung, wie sie uns erst seit der Mitte dieses Jahrtausends(Teleskop etc.) zur Verfügung stehen, fehlten, gelangen ihnen schon beachtliche Erfolge. Dabei gab es aber keine strikte Grenze zwischen der Philosophie und der Physik. So ist es nicht verwunderlich, wenn man den griechischen Philosophen Aristoteles(384-322 v. Chr.) als ersten Physiker nennen kann. Aristoteles lehrte in seiner „Metaphysik“, daß in jedem Ding der Welt die vier Ursachen nämlich: die „stoffliche Ursache“, die „formale Ursache“, die „hervorbringende Ursache“ und schließlich die „Endursache“ enthalten seien. Die physikalischen Lehren faßte er dann in seinem Werk „Fragen der Mechanik zusammen“: Darin werden alle Stoffe in vier Elemente unterteilt: Wasser, Feuer, Luft und Erde. Mechanisch unterscheidet er dann zwischen absolut schweren Körpern (Erde), welchen er einen Trieb zum Erdmittelpunkt zuschreibt und absolut leichten Körpern (Feuer) mit einem Trieb zur Weltsphäre. Wasser und Luft sind als „media“ dazwischen einzuordnen. Alle Stoffe bewegen sich bei Aristoteles, wie es ihrer proportionalen Zusammensetzung aus den vier Elementen entspricht. Des weiteren schreibt er: „Im luftleeren Raum fallen alle Körper unendlich schnell“ und „ die Geschwindigkeit eines fallenden Körpers ist proportional zu seinem Gewicht“. Heute kann man für solche Äußerungen vielleicht nur noch ein Schmunzeln übrig haben, doch man muss bedenken, dass Aristoteles einer der ersten, heute noch bekannten, Menschen war, die sich Gedanken zu Bewegungsabläufen gemacht haben. Die Ergebnisse seiner Überlegungen sind aber sicherlich das Resultat von voreiligen Schlüssen, zu denen man bei zu ungenauer Beobachtung kommen kann, denn dass eigentlich eine Feder genau so schnell auf die Erde fällt( zu mindestens wenn kein Luftwiderstand vorhanden ist), wie ein PKW, lehnen heute bestimmt auch noch viele Menschen ab. So ist es nicht verwunderlich, dass die Lehre Aristoteles noch bis ins Mittelalter bestand hatte.

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1.2 Klassische Relativität und Galilei -Transformation

1.2.1 Absoluter Raum und absolute Zeit

Einer der grundlegenden Sätze der Newtonschen Mechanik ist der sogen. Trägheitssatz. Dieser besagt, daß ein Körper seinen geradlinigen und gleichförmigen Bewegungszustand beibehält, so lange keine äußere Kraft auf ihn einwirkt. Das macht aber nur Sinn, wenn der Raum, - das Bezugssystem, in welchem diese Geradlinigkeit gelten soll, genau fixiert wird. Wir alle wissen, daß sich unser Planet, die Erde, einerseits um die eigene Achse, so wie auch um unsere Sonne dreht. Ähnlich verhält es sich auch mit unserem Sonnensystem, welches letztlich auch wieder in Bewegung ist. So kam Newton zu der Überzeugung, daß solche durch materielle Körper festgelegten Bezugssysteme niemals vollends als Grundlage des Trägheitsgesetzes gelten konnten. Newton führte deshalb die Idee vom „absoluten Raum“ ein, über den er in seinem Werk „Principia Mathematica Naturalis“ schrieb: „Der absolute Raum bleibt vermöge seiner Natur und ohne Beziehung auf einen äußeren Gegenstand stets gleich und unbeweglich.“ weiter schreibt er:

„Der relative Raum ist ein Maß oder ein beweglicher Teil des ersteren, welcher von unseren Sinnen durch seine Lage gegen andere Körper bezeichnet und gewöhnlich für den unbeweglichen Raum genommen wird.“

Newton erkannte aber auch, daß ebenfalls eine absolute Zeit existieren müßte, denn unsere herkömmlichen Zeiteinheiten basieren auf periodischen Vorgängen, deren Dauer auch einigen Unregelmäßigkeiten unterworfen ist. Nimmt man zum Beispiel die Bewegung der Erde um ihre Achse als Grundeinheit, so ist diese Zeit immer wieder den (wenn auch kleinen) Unregelmäßigkeiten in der Bewegung der Erde unterworfen. Newton prägte also den Begriff der absoluten Zeit, über die er schreibt:

„Die absolute, wahre und mathematische Zeit verfließt an sich und vermöge ihrer Natur gleichförmig und ohne Beziehung auf irgend einen äußeren Gegenstand. Sie wird auch mit dem Begriff „Dauer“ belegt.“ weiter schreibt er:

„Die relative scheinbare und gewöhnliche Zeit ist ein fühlbares und äußerliches, entweder genaues oder ungleiches Maß der Dauer, dessen man sich gewöhnlich statt der wahren Zeit bedient, wie Stunde, Tag Monat und Jahr“ er schreibt aber auch weiter: „ Es ist möglich, dass keine gleichförmige Bewegung existiert, durch welche die Zeit genau gemessen werden kann, alle Bewegungen können beschleunigt oder verzögert werden; allein der Verlauf der absoluten Zeit kann nicht geändert werden. Dieselbe Dauer und dasselbe

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Verharren findet für die Existenz aller Dinge statt; möge die Bewegung geschwind, langsam oder Null sein“ Die Newtonsche Mechanik basiert also auf der Annahme eines, in absoluter Ruhe befindlichen, „Ur“-Inertialsystems zu welchem alle Bewegungen relativ zu sehen sind. Analog zu diesem absoluten Raum existiert auch eine absolute Zeit, welche überall Gültigkeit besitzt. Diese Arbeit wird aber zeigen, dass dies nicht der Fall ist.

1.2.2. Weg-Zeit-Diagramme auf die Klassische Physik angewandt

Überall, sowohl in Physik, wie auch Mathematik werden Diagramm als Mittel verwendet, Situationen und Sachverhalte übersichtlich darzustellen. In dieser Arbeit werden Diagramme benutzt, die es möglich machen, den Zusammenhang verschiedener Bezugssysteme anschaulich auf zu zeigen. Es sind die von Hermann Minkowski 1908 entwickelten sogen. „Raum-Zeit-Diagramme ¹ “mit schiefwinkligen Koordinatensystemen. Der Vorteil dieser Diagramme ist es, dass es möglich ist mehrere Inertialsysteme in einem Diagramm zu vereinen. Zuerst sollen sie für die klassische Kinematik betrachtet werden. Dem abgebildete Diagramm liegt folgende Situation zu Grund:

Abbildung 1: Weg-Zeit-Diagramm mit schiefwinkligen Koordinaten

Ein Beobachter sitzt am Bahndamm. Er „benutzt“ das schwarz eingezeichnete rechtwinklige Koordinatensystem um Ereignisse in seinem Inertialsystem zu beschreiben. Zum Zeitpunkt 0 t

¹ Die Minkowski-Diagramm entstanden zwar erst nachdem Einstein seine Spezielle Relativität veröffentlicht

hatte, doch sind sie sehr nützlich, um die Aussagen der selbigen plausibel zu vermitteln

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passiert ihn ein Expresszug mit der Geschwindigkeit v an der Stelle 1 x . Zum nächsten Zeitpunkt 1 t ist der Zug schon weiter entfernt. Trägt der Beobachter zu jedem Zeitpunkt i t

die momentane Position des Zuges auf, ergibt sich eine Linie. Diese wird als Weltlinie bezeichnet. Da sich der Beobachter bezüglich seines Systems ja nicht bewegt, ist seine Weltlinie eine Parallele zu seiner Zeitachse, d.h. er hat bezüglich ∑ immer die selbe Position. Ein weiterer Beobachter soll nun im Zug an einem Fenster sitzen. Für diesen zweiten Beobachter sieht die Situation etwas anders aus. Er befindet sich im Bezugsystem „Eisenbahnwagon“ in Ruhe. Zum Zeitpunkt 0 t sieht er den

am Bahndamm befindlichen Beobachter an sich vorbei rauschen. Da der Zug in seinem System ∑‘ ja ruht, bewegt sich der Bahndammbeobachter von ihm weg. ( mit der selben Geschwindigkeit v, die auch vorher der Bahndammbeobachter für den Zug ermittelt hat). Wie erklärt sich diese Situation aus dem Diagramm? Parallel zur Weltlinie des Zuges verläuft die blau eingezeichnete Achse ' t . Auf Grund der absoluten Zeit fallen die x -und ' x -Achse

zusammen. Zwei Ereignisse sind also in allen Systemen gleichzeitig, wenn ihre Verbindungslinie parallel zu der x -Achse verläuft. Liest man die Position des Zuges mit Hilfe dieser neuen Koordinaten Achse ab, so ergibt sich, dass zu jedem Zeitpunkt i t die

Position des Zuges auf der ' x -Achse konstant ist. Überträgt man aber mit Hilfe dieser neuen

t‘ Achse die Position des Bahndammbeobachters, so ergibt sich, dass dieser sich immer weiter weg bewegt, also nicht mehr ruht. Diese Beispiel zeigt, dass Bewegungen immer relativ zueinander zusehen sind. Von zwei zueinander bewegten Bobachtern kann keiner die genaue Geschwindigkeit des anderen relativ zum absoluten Raum messen.

1.2.2 Die Galilei -Transformation

Das Diagramm liefert aber nur qualitative Beziehungen. Um mathematische Beziehungen herzuleiten, muss ein Transformationsgesetz für den Übergang von einem System in das andere ermittelt werden. Die Transformationsgesetze der klassischen Mechanik beruhen auf der Annahme einer absoluten Zeit. Von einer Herleitung dieser Formeln soll aber abgesehen werden, denn sie entsprechen unseren täglichen Erfahrungen und sind somit logisch leicht einzusehen:

Für zwei Inertialsysteme ² die sich relativ zueinander mit der Geschwindigkeit v entlang der x-Achse bewegen gilt:

² Inertialsysteme sind nicht beschleunigte Systeme. Nur in ihnen gilt das galileische Relativitätsprinzip.

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1.3 Das Licht und seine Sonderstellung

1.3.1. Ein kleiner physikgeschichtlicher Überblick

Prinzipiell gibt es in der Geschichte der Optik zwei verschiedene Modelle, welche die Eigenschaften des Lichtes beschreiben sollten. Als erstes entstand die von Christian Huygens(1629-1695) begründete Wellenlehre. Diese fasste das Licht als eine Wellenerscheinung auf. Die zweite Modellvorstellung stammte von Isaac Newton(1643-1727). Newton stellte sich das Licht als einen Teilchenstrom vor. Der wichtigste qualitativ und quantitativ messbare Unterschied beider Modelle bestand in der Erklärung der Brechung am Übergang zweier Medien mit unterschiedlicher optischer Dichte. Die Erklärung der Wellentheorie ergab, dass sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit vom optisch dünneren ins optisch dichtere Medium verringert. In Newtons Modell sollte sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit in der selben Situation vergrößern. Aber genau diese Ausbreitungsgeschwindigkeit war lange Zeit nicht messbar. Die erste annähernd zufriedenstellende Messung gelang Olaus Rǿmer 1676 bei seinen Beobachtungen der Verfinsterungen des Jupitermondes Jo. 1822 gelang es Jean August Fresnel die Wellennatur des Lichtes zu zeigen. Er überlagerte mit Hilfe von zwei fast parallelen Spielen einen Lichtstrahl mit sich selbst und brachte ihn zur Interferenz. Schließlich waren es dann noch die Messungen der Lichtgeschwindigkeit von Fizau (1849) und Foucault(1850), die auch in verschiedenen Medien durchgeführt wurden und die dann ergaben, dass die Lichtgeschwindigkeit im optisch dichteren Medium geringer ist. 1868 stellte James Clerk Maxwell seine Theorie des Elektromagnetismus vor. Ausgehend von der Tatsache, dass ein sich ändernder elektrischer Strom von einem Magnetfeld umgeben war, während ein sich änderndes Magnetfeld einen Strom hervorruft, sagte er voraus, dass auch ein sich änderndes elektrisches Feld ein sich änderndes Magnetfeld erzeugen müsse, welches dann wieder ein sich änderndes elektrische Feld zur Folge hätte. Als Ausbreitungsgeschwindigkeit für diese

10

1

elektro-magnetische Welle ergab sich der Wert

dann noch gelang zu zeigen, dass Licht eine elektro-magnetische Welle ist, hatte man somit einen sehr genauen Wert für die Geschwindigkeit des Lichtes im Vakuum. Nun brauchte das Licht aber, da es ja eine Wellenerscheinung war, ein Medium. Der Stoff, der dem Licht als Medium dienen sollte, müsste aber das gestammte Weltall erfassen (auch das Vakuum), eine geringe Masse haben und unsichtbar sein. Diesen Stoff nannte man in Anlehnung an Aristoteles den „Äther“

1.3.2. Das Michelson-Experiment und das Ende der Äthertheorie

Wie war aber nun dieser Äther nachweisbar? Maxwell selber schlug vor, dass es möglich sein müsse, die Bewegung der Erde gegen den Äther zu messen. Um diese Bewegung der Erde gegen den Äther zu messen, ersann der polnisch-amerikanische Physiker Albert Michelson folgendes Experiment:

Er schickte zwei Lichtsignale aus, den einen in Richtung der Erdbewegung, den anderen senkrecht zu ihr. Man kann dieses Experiment auch mit zwei Schwimmern vergleichen, die, der eine entgegen die Strömung und der andere mit ihr, die selbe Strecke in einem Fluss schwimmen.Was im einen Fall die Strömung ist, entsteht im Experiment durch die Bewegung der Erde gegen den Äther, sozusagen dem „Äthergegenwind“.

Wenn eine „Äthergegenwindgeschwindigkeit“ v existent wäre, so müsste sie anhand der Laufzeiten der beiden Lichtsignale messbar sein. Die Laufzeit quer zum „Äthergegenwind“ 1

müsste um den Faktor geringer sein.

Abbildung 2: Schematischer Aufbau des Michelson Experimentes

11

Michelson benutzte ein von ihm selbst entwickeltes Infernometer, um so den Laufzeitunterschied beider Signale zu ermitteln.

Obwohl Michelson sein Infernometer und den gesamten Versuchsaufbau immer wieder verbesserte, konnte solch eine Bewegung der Erde gegen den Äther niemals nachgewiesen werden. Dafür konnte es natürlich innerhalb der Äthertheorie verschiedene Möglichkeiten geben. So könnte es ja zum Beispiel sein, dass die Erde den Äther gleichsam mitreißt und es so keine Geschwindigkeit der beiden gegeneinander geben kann. Eine viel verworrenere Hypothese äußerte der irische Physiker Fitzgerald.

Es wäre ja auch möglich, dass die Messstrecken, welche in Richtung des Ätherwindes verläuft 1

genau um den Faktor gestaucht erschein. Somit wäre leicht einsehbar, dass das

Licht in beide Richtungen die gleiche Zeit benötigt. Der niederländische Physiker Hendrik Antoon Lorentz griff diese „Kontraktionshypothese“ auf und entwickelte daraus die sogen. Lorentztransformationen, um bewegte Systeme mit dem Äthersystem zu vergleichen. Dabei stellte er auch fest, dass man „in gleichförmig bewegten Systemen ein anderes Zeitmaß verwenden muss“ Dieses andere Zeitmaß nannte er „Ortszeit“ So sonderbar diese Hypothese auch klingen mag, Lorentz lieferte mit seinen Transformationsformeln für Einstein ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel.

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II. Die Spezielle Relativitätstheorie

2.1 Die Postulate

Trotz aller noch folgenden Versuche die Äthertheorie zu retten, mußte diese aufgegeben werden. Es konnte keinen stationären Äther geben. 1905 veröffentlichte aber der, bis dahin unbekannte Angestellte am Berner Patentamt, Albert Einstein, in den sogen. Analen der Physik eine neue Theorie, die all diese Probleme beseitigen konnte, selbst wenn sie auf den ersten Blick unverständlich und konfus erschien, weil sie alles in Frage stellte, was bis dahin als gesicherte Physik galt. Grundlage dieser Theorie war natürlich die Aufgabe der Äthertheorie und somit des Äthers als Träger für elektromagnetische Wellen. Des weiteren wird die Grundlage der Theorie durch zwei Postulate aufgebaut:

Diese beiden Postulate bilden die Grundlage der speziellen Relativitästheorie. So einfach und zwingend wie auch erscheinen mögen, haben sie das gesammte Physikverständnis auf den Kopf gestellt. Diese Auswirkungen sollen nun im Folgenden beschrieben werden.

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2.2 Relativität der Gleichzeitigkeit

Finden zwei Ereignisse an einem selben Punkt im Raum statt, ist es ganz einfach zu bestimmen, ob die Ereignisse gleichzeitig statt finden. Anders sieht dies aber aus, wenn zwischen den Ereignissen eine räumlich Distanz liegt. Hierzu hatte Einstein einen genialen, wie auch simplen Einfall. Die Lichtgeschwindigkeit ist ja auf Grund des 2. Postulates immer konstant und somit unabhängig von der Geschwindigkeit der Körper, die beide Ereignisse auslösen. Deshalb sind 2 Ereignisse dann gleichzeitig, wenn die durch sie ausgesandten Lichtsignale in der geometrischen Mitte zwischen beiden Ereignissen aufeinander treffen. Die Beurteilung des Aufeinadertreffens der Lichtsignale ist aber von der Bewegung der Beobachter bezüglich der Ereignisse abhängig. Das diese Aussage stimmt, soll an folgendem Beispiel verdeutlicht werden:

Ein schneller Zug fährt auf einer geraden Linie mit der Geschwindigkeit v. Wieder befindet sich ein Beobachter A außerhalb des Zuges am Bahndamm und ein Beobachter B im Zug. Auf den Schienen befinden sich im Abstand einer Zuglänge zwei Kontaktschleifen, K1 und K2.

An jedem Ende des Zuges, in dem sich B befindet, sind Lampen L1 und L2 angebracht, diese sollen dann aufleuchten, wenn die beiden Kontaktschleifen passiert werden. A postiert sich mit gleichem Abstand zu den Kontaktschleifen, B in der Mitte des Zuges so, dass er zu beiden Lampen den gleichen Abstand hat.

Als der Zug an A vorüber fährt, zündet L1 beim Überfahren von K1. L2 zündet beim Überfahren von K2. Wie stellt sich die Situation für unsere beiden Beobachter dar? Da sich A in der Mitte von K1 und K2 befindet, erreichen ihn beide Lichtsignale gleichzeitig, woraus er folgert, dass beide Ereignisse gleichzeitig stattgefunden haben. B bewegt sich aber auf das Licht von L2 zu und bewegt sich vom Licht der Lichtquelle L1 weg. Da die Lichtgeschwindigkeit konstant ist, kommt somit das Licht von L2 für B vor dem Licht von L1 an, und B schließt, dass die Ereignisse nicht gleichzeitig stattgefunden haben. Diese Relativität der Gleichzeitigkeit zeigt, dass die Idee einer absoluten Zeit keine Gültigkeit besitzen kann, wenn man von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit für alle Beobachter ausgeht.

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Abbildung 3: Ein scheinbar gleichzeitig ausgesandtes Signal wird unterschiedlich bewertet

2.3 Der 4-dimensionale Minkowski-Raum und die verbesserten Raum-Zeit-Diagramme

2.3.1. Der 4-dimensionale Raum

Wir haben festgestellt, dass die Beurteilung zeitlicher Abstände nicht für alle Beobachter gleich ist. Da ja aber auf Grund des Relativitätsprinzips alle Inertialsysteme gleichberechtigt sind, können wir unmöglich entscheiden, welcher Beobachter den „richtigen“ Zeitabstand misst. Die Zeit ist also, anders als in der klassischen Mechanik, keine invariante Größe mehr. Um uns in die Wesensart des 4-dimensionalen Minkowski-Raumes einzuarbeiten, stellen wir uns eine von einer punktförmigen Lichtquelle ausgesandte Lichtkugel vor. Diese Wellenfront r = breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit aus und hat somit nach der Zeit i t den Radius ct ) (

i

= + ² Als Gleichung der Lichtkugel können wir also angeben: ) (ct x . Diese

3 2 1

Gleichung ist nun neben den räumlichen Dimensionen , x auch abhängig von der

3 2 1

zeitlichen Dimension t . Dies wird durch eine weitere Subtraktion weiter sichtbar, man schreibt: = − + = + ( ² ( ² 0 ) ct x oder auch wie folgt geschrieben: 0 ) ict x

3 2 1 3 2 1

Die Komponente ) (ict ist variabel, - sie hängt von der Zeit t ab-, durch die Multiplikation mit c hat sie die selbe Einheit wie die übrigen Komponenten erhalten (nämlich Meter) und die − = Multiplikation mit 1 i gibt allen Komponenten das selbe Vorzeichen (dieser Schritt ist

zwar nicht zwingend notwendig, doch wird sich später noch zeigen, dass dies sehr nützlich ist). Wir haben somit die 4 Komponenten des 4-dimensionalen Minkowski-Raumes ermittelt.

15

(wird anstatt ict nur ct als Zeitkoordinate verwendet, spricht man von relativistischen- oder Galilei-Koordinaten.) Minkowski selber äußerte sich wie folgt über die 4-Dimensionalität: „Raum und Zeit werden fortan zu Schatten ihrer selbst herabsinken und nur eine Art Union der beiden wird Bestand haben“ Wie diese Union der beiden aussehen kann wird später behandelt.

2.3.2. Raum -Zeit-Diagramme mit konstanter Lichtgeschwindigkeit

In der klassischen Mechanik hatte die Geschwindigkeit irgendeiner Bewegung für zwei relativ zueinander bewegte Beobachter einen anderen Wert (vgl. Galilei -Transformation). Die Erfahrungen aus dem Michelson -Versuch lehren aber, dass die Lichtgeschwindigkeit unabhängig von dem Bewegungszustand des Beobachters ist. Wenn sich also nicht die Geschwindigkeit ändert, so muss der Unterschied zwischen zwei Beobachtern im Raum des jeweils zu Grunde liegenden Bezugssystems liegen. Wir wollen die zuvor eingeführten Minkowski-Diagramme nun dahingehen verändern, dass sowohl in dem System ∑ als auch in dem sich relativ zu ∑ bewegten System ∑’ die Lichtgeschwindigkeit konstant ist. Wir zeichnen ∑ nun so, dass ein bei x=0 zur Zeit ct=0 emittierter Lichtstrahl als Winkelhalbierende zu den Koordinatenachsen verläuft. Anstatt eines Zuges wollen wir nun 1

eine schnelle Rakete, die sich zu ∑ mit der Geschwindigkeit v 2 bewegt, als

Inertialsystem ∑’ benutzen. Die Weltlinie der Rakete, und somit die ct’ Achse von ∑’ ist v

somit bezüglich ∑ gegeben als: = ct vt x . In den zuvor verwendeten Raum-Zeit-

c

Diagrammen waren die x - und die ' x - Achse aufgrund der Newtonschen Annahme der

absoluten Zeit zusammen gefallen. In den verbesserten Raum-Zeit-Diagrammen soll aber nicht mehr die Zeit absolut sein, sondern die Geschwindigkeit des Lichtes muss in allen Systemen gleich sein. Damit die Weltlinie des Lichtstrahl auch in ∑’ die Steigung 1 hat muss die x’- Achse bezüglich der ct - Achse die Steigung c/v haben. Für die x’- Achse gilt also v

x = bezüglich der x-Achse ct . Anhand dieser „verbesserten“ Raum-Zeit-Diagramme sollen

c

nun die Transformationsgesetze zwischen zwei bewegten Inertialsystemen hergeleitet werden.

16

Abbildung 4: Ein Raum-Zeit-Diagramm, das auf die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit hin ausgerichtet ist

2.4 Einstein-Lorentzsche-Transformation

Um rechnerische Beziehungen zwischen den beiden Systemen ∑ und ∑’ herzuleiten, muss geklärt werden, welche mathematische Beziehung von den Einheiten der ct - und x - Achse von ∑ zu den Einheiten der ' x - Achse von ∑’ besteht. ct - und '

Stellen wir uns dazu ein in ∑’ ruhendes Objekt C vor. In ∑’ liegt C also auf der Weltlinie mit x = . Da sich das System ∑’ bezüglich ∑ mit der Geschwindigkeit v bewegt, der Gleichung ' C

hat die Weltlinie von C in ∑ aber die Gleichung = − C vt x . Diese Gleichungen stellen die − C vt x

selbe Weltlinie dar. Werden die beiden dividiert, so erhalten wir

' C x

C wird nun als ℵ bezeichnet. Da ℵ der Proportionalitätsfaktor beider

Der Faktor '

C

Gleichungen ist, gilt also: − = ℵ ' vt x (α)

Da beide Systeme völlig äquivalent sind, muss diese Proportionalität auch für ein in ∑ ruhendes Objekt gelten, mit dem einzigen Unterschied, dass die Relativgeschwindigkeit das x + ∼ x . Da beide Systeme gleichwertig sind, ist umgekehrte Vorzeichen hat. Es gilt also: vt '

ℵ auch hier der Proportionalitätsfaktor. Daher ergibt sich die folgende Beziehung: + = ℵ ' vt x (β)

17

Mit diesen beiden Beziehungen kann dann t’ durch x und t ausgedrückt werden. Es ergibt sich: − 1 vt x

− ℵ = − ℵ = ' x vt

ℵ ℵ Also − ℵ ² 1

+ = ℵ t x t ' (δ)

v

Um nun aber Aussagen über das Verhältnis von t zu t’ machen zu können, muss der Proportionalitätsfaktor ℵ bestimmt werden. Nach der Newtonschen Idee der absoluten Zeit t = fordern. Somit würde sich ℵ=1 ergeben und es würden wieder die könnte man ja einfach ' t

Galilei -Transformationsgesetze entstehen. Die Idee der absolute Zeit lässt sich aber, wie wir wissen, nicht halten, so dass eine andere invariante Größe gefunden werden muss. Diese ist auf Grund des Prinzips der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, durch die Geschwindigkeit eines Lichtimpulses gegeben. Da die Geschwindigkeit des Lichtimpulses in beiden Systemen gleich sein muss, hat die Weltlinie des Lichtimpulses in beiden Systemen die Gleichung:

x = bzw. x = ct ' ct

Dies dann wieder in die Beziehungen α und β eingesetzt ergibt: − = − = ℵ t v c vt ct ct ) ( ' + = + = ℵ ' ) ( ' t v c vt ct ct

Werden α und β multipliziert so ergibt sich: + − = ℵ ² t v c v c t c ' )( ' oder nach ℵ aufgelöst: −

= ℵ ² 1 c

Setzt man nun diesen Proportionalitätsfaktor ℵ in die Beziehungen α und δ so erhält man die Lorentztransformationsformeln:

18

2.5 Längenkontraktion und Zeitdilatation

Damit die Lichtgeschwindigkeit in beiden System den selben Wert hat, müssen sich die räumlichen bzw. zeitlichen Maßstäbe ändern. Schon bereits Fitzgerald und Lorentz hatten ja zur Erklärung des missglückten Michelson-Versuches eine Kontraktionshypothese eingeführt.(vgl.Kap.1).

Ein in ∑’ ruhender Maßstab sei durch die Punkte ' x und ' x gegeben.

1 2

− = Die Ruhelänge des Stabes ist demnach ' 1 x l

2 0

Wird der Maßstab nun aus ∑ beobachtet gilt für die Punkte 1 x und 2 x auf Grund der Lorentztransformation:

− − vt x vt x = '

x ¹ t = . Da zur Längenmessung die Bestimmung der Koordinaten in ∑ gleichzeitig erfolgt, ist t

2 1

Die beiden Gleichungen können so ganz leicht subtrahiert werden und man erhält: − x

= − ' x

^{1 2} x − bezeichnet die in ∑ gemessene Länge des Maßstabes. Dieser wird als l x

1 2

bezeichnet. Es folgt also:

Ein bewegter Maßstab erscheint also um den Faktor

Ein analoges Phänomen muss auch für die Zeitspanne zwischen zwei Ereignissen gelten. t in ∑’ gegeben, das durch eine Ein Zeitintervall sei durch zwei Ereignisse mit ' t und '

1 2

in ∑’ ruhende Uhr gemessen wird. Nach den Lorentztransformationsformeln folgt sofort:

19

v v

= ' t

1

Da die Uhr in ∑’ ruht folgt, dass x = ist. Bezüglich ∑ hat sich die Uhr jedoch auf der ' 2 x

1

− = − Strecke ) ( ) ( t v x bewegt. Für das Intervall 0 T folgt:

1 2 1 2

= − = ' t T

1 2 0

Für das Zeitintervall T , welches den zeitlichen Abstand der beiden Ereignisse, mit einer in ∑ ruhenden Uhr gemessen, angibt, gilt:

Wie zu erwarten war ist die Zeitdilatation zur Längenkontraktion reziprok. Natürlich scheinen umgekehrt auch Maßstäbe und Zeitintervalle in ∑ verkürzt bzw. gedehnt wenn sie aus ∑’ betrachtet werden. Allgemein kann man also sagen, dass wenn ein System von irgend einem relativ bewegten System aus beurteilt wird, die räumlichen Abstände verkürzt und die zeitlichen Abläufe verlangsamt erscheinen.

Die Zeitangabe einer Uhr in einem Bezugssystem bezeichnet man als Eigenzeit des Systems. Diese ist identisch mit der „Ortszeit“ von Lorentz. Der Fortschritt in Einsteins Theorie besteht also nicht in der Findung von formalen Gesetzen, sondern in ihrer prinzipiellen Auffassung. Lorentz benutze die „Ortszeit“ nur als mathematische Hilfsgröße im Gegensatz zur wahren und absoluten Zeit. Einstein erkannte jedoch, dass es keine Möglichkeit gibt, die absolute Zeit aus diesen verschiedenen Ortszeiten herauszufinden. Somit entzog er der absoluten Zeit ihre physikalische Realität. Folglich haben Zeitangaben nur Sinn, wenn sie relativ zu einem Bezugssystem gemessen werden. Damit ist die Relativierung des Zeitbegriffes eingeführt.

20

2.6 Addition von Geschwindigkeiten

Sieht man sich die gewonnenen Gleichungen der Längenkontraktion und der Zeitdilatation etwas näher an und lässt die Geschwindigkeit v gegen c gehen, sieht man, dass in diesem Fall die Länge des bewegten Objektes unendlich klein, seine Eigenzeit unendlich groß wäre. Es v > geben. Auch würde dieser Fall die ganze kann also eigentlich keine Geschwindigkeit c

Relativistische Kinematik schwer erschüttern, denn diese geht ja davon aus, dass es keinen Informationsaustausch mit einer Geschwindigkeit größer der des Lichtes geben kann. Stellen 1

wir uns aber vor, ∑ und ∑’ bewegen sich mit einer Geschwindigkeit von = c v 2

gegeneinander. In ∑’ bewege sich des weitern eine schnelle Rakete mit der Geschwindigkeit 3

' = . Für den in ∑ ruhenden Beobachter müsste, zu mindestens nach unseren alltäglichen c u 4

3 1

( + = Erfahrungen, die Geschwindigkeit der Rakete c u ) betragen, also schneller als ein

4 2

Lichtstrahl sein. Da dies aber nicht sein kann, muss hierbei ein Denkfehler vorliegen. − Der Einfachheit halber beschränken wir die Geschwindigkeit der Rakete in der ' y x Ebene des Systems ∑’ ³ .

Die Geschwindigkeitskomponenten der Rakete sind in ∑’ definier als: δ ' x

= ' t u x

δ ' δ ' y

= ' t u y

δ '

Differenzieren man nun die Lorentztransformationsformeln so erhält man: + ' v u δ = x y δ = ' '

t u y ' vu

δ = t daraus ergibt sich dann:

³ dieser Schritt ist ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit möglich, da ja in den Lorentztransformationsformeln nur Längen der

− − ' z y ' x Achse verändern, während sich die ' / Achse gleichverhalten - sich nicht ändern

21

Betrachtet man zum Beispiel anstatt der Rakete einen in ∑’ in x -Richtung ausgesandten Lichtstrahl, so gilt für dessen Bewegung bezüglich ∑ allgemein: + c v

u x = c ' u x

c

Dies drückt die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit aus.

2.7 Bewegte Masse

Stellen wir uns vor, wir haben zwei kleine Wachskügelchen. Das eine möge ruhen, während das andere mit der Geschwindigkeit v mit ihm kollidiert. Hierbei handelt es sich dann um einen unelastischen Stoß, bei dem der Impuls erhalten wird, beide Kugeln haften nach dem Stoß aneinander und bewegen sich mit einer kleineren Geschwindigkeit weiter. Der Gesamtimpuls bleibt aber der gleiche, daher gilt: + = (vor dem Stoß) 0 * m v m p ges

2 1

1 + = (nach dem Stoß) u m p ges * ) (

2

1

= 2 = Ist jetzt m so folgt, dass v u 2 ist.

1

Die vorher gehenden Kapitel haben aber gezeigt, dass eine Bewegung selbst sonst für konstant angesehene Größen, wie z.B. die Länge eines Objektes, verändert. Dies könnte ja auch für die Masse der Fall sein. Wir betrachten also nun die Masse als eine von der Geschwindigkeit abhängende Funktion und schreiben ) (v m . Für die Impulserhaltung gilt somit: = + u M m v m * ) ( 0 * ) 0 ( * ) ( (α)

22

Betrachtet man den Versuch auch aus einem System ∑’, welches sich auch mit der Geschwindigkeit v in die selbe Richtung wie die Masse 1 m bewegt, sieht die Situation etwas anders aus. Von ∑’ betrachtet ist die Masse 1 m in Ruhe, während sich die in ∑ ruhende − bewegt ⁴ . Somit ist die Geschwindigkeit nach dem Masse 2 m mit der Geschwindigkeit v

Stoß von ∑’ aus betrachtet -u. Da v die Relativgeschwindigkeit beider Systeme ist, kann man v und u mit Hilfe der Geschwindigkeitstransformation in Relation bringen. Man erhält: + − v u

⁵ = u

² u

− 1 c

² oder umgeformt: u 2

= v

c Insgesamt muss alle Masse erhalten bleiben , es gilt daher: = + ) ( ) 0 ( ) ( u M m v m

Diesen Massenerhaltungssatz können wir in α einsetzten und erhalten somit: + = + u m v m v m * )} 0 ( ) ( { 0 * ) 0 ( * ) (

hieraus folgt: u

= m v m ) 0 ( ) (

− u v u 1

kann unter zu Hilfenahme von β als geschrieben werden. Hieraus folgt, dass

für die Masse eines bewegten Körpers gilt:

Wobei 0 m als Ruhemasse des Körpers bezeichnet wird.

⁴ Das folgt ganz einfach, wenn man die Transformationsformeln für Geschwindigkeiten zur Hand nimmt

u x = und u x − = u u ' ⁵ v ist die Relativgeschwindigkeit beider Systeme,

23

Aus dieser Formel wir auch gut ersichtlich, warum es unmöglich ist, einen Körper auf Lichtgeschwindigkeit zu beschleunigen, denn sobald sich seine Geschwindigkeit v der des Lichts nähert, würde er unendlich träge erscheinen und man würde unendlich viel Energie brauchen um ihn weiter zu beschleunigen.

2.8 Masse und Energie

Im vorhergehenden Kapitel wurde bei dem Beispiel des unelastischen Stoßes nicht berechnet, welche Masse nach dem Stoß vorhanden ist.(Intuitiv sollte das ja eigentlich m 2 sein)

Hierzu wenden wir noch einmal die Gleichung der Massenerhaltung an: = + u M m v m ) ( ) 0 ( ) (

Zuerst interessiert hier nun die Ruhemasse 0 M . Diese können wir bestimmen wenn wir uns in

einem System ∑’’ befinden, das sich wie die beiden Kugeln nach dem Stoß mit der Geschwindigkeit u bewegt. Die in ∑’’ gemessene Masse für beide Kugeln nach dem Stoß M . Die beiden einzelnen Kugeln bewegen sich in ∑’’ vor entspricht somit der Ruhemasse ⁰ − ⁶ In ∑’’ hat der Massenerhaltungssatz also dem Stoß mit der Geschwindigkeit u bzw. u folgende Form: = − + ) 0 ( ) ( 2 ) ( ) ( M u m u m u m

für die Ruhemasse gilt somit: 2 m

= M

^{0 2} u

− 1

² c

Ist u sehr viel kleiner als c kann dies durch :

² 1 u

+ = + = ² * 2 ) 1 ( 2 u m M (α)

^{0 2} 2 2 c angenähert werden.

Betrachtet man diesen Ausdruck, so sieht man, dass dieser zum einen zwei Mal die Ruhemasse 0 m (wie erwartet) enthält. Zuzüglich kommt allerdings noch die kinetische

c hinzu. Da die beiden Kugeln in ∑’’ Energie der beiden Kugeln vor dem Stoß geteilt durch ² 1 u

W kin = ² nach dem Stoß ja ruhen, ist ihre Kinetischenergie( m ) in

⁰ 2 = Wärmeenergie( W 2 ) übergegangen. Es gilt also:

kin wärme

⁶ Dies folgt einerseits aus der Symmetrie, andererseits auch aus den Transformationsformeln für

Geschwindigkeiten

24

W

+ = 2 m M

^{0 2} c Multipliziert man α mit ² c und setzt die Gleichung mit der von β gleich erhält man: + = + ² 2 W c m c M W c m

wärme kin 0

Betrachtet man diese Gleichung genau, erkennt man, dass sie die Energieerhaltung ausdrückt.

² Der Ausdruck 0 c M entspricht somit der Gesamtheit der in diesem Vorgang beteiligten Energie. Daher kann man sagen, dass die Energie eines Körpers proportional zu seiner Masse ist, dass nämlich gilt:

² ) ( c v m

Die reine kinetische Energie eines Körpers ist somit als Differenz der Energie des bewegten zur Energie des ruhenden Körpers definiert:

² ) ( ) ( c m v m W v W kin

0

2.9 Andere physikalische Größen und ihre Transformation

So wie durch die Betrachtung eines Vorganges von verschieden bewegten Bezugssystemen aus für die Länge, die Zeit, die Geschwindigkeit, die Masse und die Energie eine allgemeine Transformation für beliebig bewegte Bezugssysteme gefunden wurde, können auch für andere physikalische Größen solche Transformationsvorschriften hergeleitet werden. Diese sollen nun im Folgenden angegeben werden. Von einer mathematisch vollständigen Herleitung wird aber abgesehen, da die Transformationsformeln sehr stark auf den Transformationsgesetzen aufbauen, die in den vorhergehenden Kapiteln ausführlich hergeleitet wurden

2.9.1 Transformation von Energie und Impuls

Die Energie und der Impuls eines Körpers hängen mit seiner Geschwindigkeit zusammen. Diese wird aber in jedem anders bewegten Bezugssystem anders ermittelt, deshalb müssen auch für Energie und Impuls verschiedene Ergebnisse auftreten, wenn sie von unterschiedlich bewegten Systemen aus gemessen werden:

25

2.9.2 Die Transformation von el. Ladungsdichte und el. Strom

Auch die Beurteilung eines Stromflusses ist abhängig von der Bewegung der jeweiligen Beobachter. Bewegt sich ein Beobachter nämlich mit der selben Geschwindigkeit und in die selbe Richtung wie die Elektronen in einem Draht, so wird er keinen Stromfluss registrieren. Da über die Länge des Drahtes auch das Volumen festgelegt ist und dieses somit auch von verschieden bewegten Beobachtern unterschiedlich ermittelt wird, ist auch die Ladungsdichte von der Bewegung des Beobachters abhängig. Es gilt:

26

2.10 Geometrie der Raum-Zeit

2.10.1 Die Lorentztransformation in Relativistischen-Koordinaten

Die Transformationsgleichungen der Lorentztransformation sind bisher noch mit den z y x , klassischen Koordinaten der Mechanik, nämlich , und t gegeben. Dies soll nun geändert

werden, so dass bessere Aussagen über die Geometrie der Raum-Zeit gemacht werden können. Im ersten Schritt soll hierzu statt t die schon für die Minkowski-Diagramme verwendete Einheit ct verwendet werden. Dadurch ändern sich die Transformationsgleichungen wie folgt:

2.10.2 Betrachtungen im Diagramm und ihre mathematische Deutung x - zur − Betrachtet man die Lage der ' x Achse und die der ' ct - zur ct - Achse, erkennt man

leicht, dass beides mal eine Drehung um den selben Winkel φ , mathematisch positiv bzw.

mathematisch negativ, um den Koordinaten Ursprung stattgefunden hat. Wie lässt sich dieser Sachverhalt mathematisch auffassen?

Die Transformationsgesetze einer Drehung um den Koordinatenursprung mit dem Winkel ψ lauten allgemein: ψ + = ) (sin( ' ) cos( ' y x

ψ + − = ) cos( ' ) sin( ' y x y

ct -Achse ist die Parallele der Weltlinie von ∑’, daher gilt für den Winkel φ zwischen Die ' v

= ct und ' ct : ) tan(φ . Um jetzt eine Relation der Lorentztransformation zur Transformation

c v

φ φ =

der Drehung zu bekommen wird, -da gilt ) tan( 1

φ = ) cos( gesetzt. So lassen sich die Transformationsgesetze neu schreiben als:

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φ + = ) sin( ' ) cos( ' ct x

φ = ) sin( ' x ct

Diese Fassung ähnelt nun schon sehr der Drehungstransformation entspricht dieser allerdings noch nicht vollständig. Hier kommen nun die schon vorher besprochenen Minkowski-Koordinaten, welche ict als Zeitachse benutzen zum Zuge. Durch die Verwendung dieser imaginären Zeitachse ändern sich die Transformationsformel noch einmal wie folgt:

Die kann nun natürlich auch wieder unter zu Hilfenahme von ) sin(φ und ) cos(φ geschreieben werden:

φ + = ict x ) sin( ' ) cos( '

φ + − = ict x ict ) cos( ' ) sin( '

In Minkowski-Koordinaten entspricht die Lorentztransformation also einer Drehung um den Koordinatenursprung.

2.10.3 Schlussfolgerungen aus den Betrachtungen

Wird in der Euklidischen Geometrie ein Vektor gedreht, ändert sich zwar seine Richtung nicht aber seine betragsmäßige Länge. Der Abstand zwischen Anfang und Ende des Vektors

+ = ² ist nach Pythagoras: x . Dieser Abstand ist also invariant

3 2 1

Analog muss das dann auch für die Lorentztransformation im Minkowski-Raum gelten. Man δ . Es gilt nennt die Entsprechung zum Abstand in der Geometrie das Raum-Zeit-Intervall s δ + = ² ) (ict also: z y x s oder wieder in relativistischen Koordinaten: δ δ ist eine invariante Größe. Das Raum-Zeit- − + = ² ) (ct z y x s . Man beachte: s

Intervall stellt somit die bereits besprochene „Union“ von Raum und Zeit dar.

28

2.10.4. Die Impulsenergie

Wenn man die Transformation von Energie und Impuls näher betrachtet fällt sofort die Ähnlichkeit zu den Transformationen von Länge und Zeit auf. Daher liegt es auf der Hand, dass auch bei Energie und Impuls ein invarianter Vierervektor existieren muss. Man bezeichnet diesen als Impulsenergie.

2.10.5. Die symmetrische Natur der Lorentztransformationen

Das Raum- Zeit- Intervall kann auch als Eichkurve in die Minkowski-Diagramme δ = ² eingezeichnet werden. Setzt man zum Beispiel 1 s und zeichnet die Kurve der

entstehenden Funktion dann ein, so kann man direkt für jedes einzuzeichnende Bezugssystem die Einheiten einzeichnen. Dadurch wird die symmetrische Natur der Loretztransformation deutlich.

Abbildung 5: Raum-Zeit-Diagramm mit Eichkurve

2.10.6. Vergangenheit und Zukunft

Da es in der Relativitätstheorie ja keine linear verlaufende absolute Zeit mehr gibt, müssen auch zeitliche begriffe wie Vergangenheit und Zukunft neu definiert werden. Die absolute Vergangenheit für ein Ereignis bezeichnet die Menge aller Ereignisse, die durch aussenden eines Signals (max. mit der Geschwindigkeit c) auf das Ereignis einwirken können. Die absolute Zukunft des Ereignisses ist somit durch die Menge aller Ereignisse gegeben, auf die

29

das Ereignis durch senden eines Signals einwirken kann. Graphisch wird dieser Sachverhalt durch den sogen. Lichtkegel verdeutlicht. Die Begrenzungslinien des Kegels entsprechen den beim Ereignis eintreffenden bzw. vom Ereignis ausgesandten Lichtstrahlen. Alle Punkte innerhalb dieser Begrenzungslinien stehen für Ereignisse, die auf das Ereignis O einwirken oder auf die das Ereignis einwirken kann.

30

III. Ein kleiner Ausblick in die Allgemeine Relativitätstheorie

3.1. Einführung

Nachdem Einstein im Jahr 1905 seine spezielle Relativitätstheorie vollendet hatte, vergingen noch einmal 10 Jahr bis hin zur allgemeinen Relativitätstheorie. Alleine dieser zeitliche Abstand macht deutlich, um wie viel komplexer diese allgemeine Relativitätstheorie ist. Einstein selber schrieb 1912 an einen Freund, dass er niemals zuvor in seinem Leben so hart gearbeitet hätte und das die Spezielle Relativitätstheorie im vergleich zur Allgemeinen ein Kinderspiel gewesen sei. Um nun den Rahmen dieser Facharbeit nicht vollends zu sprengen soll nur ein kleiner Ausblick in die Allgemeine Relativitätstheorie gegeben werden, ohne dabei zu stark ins Detail - vor allem der mathematischen Theorien - zu gehen. In der Speziellen Relativitätstheorie wurden gleichförmige Bewegungen als relativ angesehen. Ziel der Allgemeinen Relativitätstheorie ist es, auch beschleunigte Bewegungen, also folglich alle Bewegungen, als etwas relatives darzustellen. „Die Gesetze der Physik müssen so beschaffen sein, dass sie in bezug auf beliebig bewegte Bezugssysteme gelten“, schrieb Einstein 1916 in seinem Artikel „Die Grundlagen der Allgemeinen Relativitätstheorie“

3.2 Äquivalenz-Prinzip

Zunächst hatte Einstein versucht, die Gravitation mit Hilfe seiner Speziellen Relativitätstheorie zu erklären. Dabei kam er auf ein Prinzip das als sogenanntes Äquivalenz Prinzip bezeichnet wird. Er erkannte nämlich, dass die Gravitation und die Beschleunigung äquivalente Vorgänge sind. Um dies verstehen zu können, stellt man sich folgende Situation vor: Zwei völlig identische Laboratorien stehen, das eine auf der Erde, das andere im Himmel( Himmel hat in diesem Fall keinerlei Theologische Bedeutung, sondern soll einen fiktiven Bereich beschreiben, in dem keine Gravitation herrscht.) Am „Himmelslabor“ zieht m

g = alsdann ein „Engel“ und beschleunigt es mit der konstanten Beschleunigung 81 , 9 s .

2

Lässt nun der im „Himmelslabor“ stehende Beobachter zwei Kugeln gleichzeitig los, so werden diese auf Grund ihrer Trägheit mit der selben Beschleunigung g zum Boden hin beschleunigt. Auch der Beobachter im „Erdlabor“ lässt zwei Kugeln fallen, diese werden dann auch, auf Grund der Erdanziehung, mit der Beschleunigung g zum Boden beschleunigt.

31

Keiner der Beobachter kann nun mit Sicherheit sagen, dass sein Labor das „Erd- bzw. Himmelslabor“ ist. Man sieht also, dass die Einflüsse von Gravitation bzw. Beschleunigung nicht voneinander zu unterscheiden sind.

Abbildung 6: Beschleunigtes „Himmelslabor" Abbildung 7: Ruhendes „Erdlabor“

3.2.2. Folgerungen aus dem Äquivalenz-Prinzip

Im „Himmelslabor“ werden nun synchrone Uhren, eine an der Decke und eine am Boden, angebracht. Der Beobachter klettert nun, um beide Uhren vergleichen zu können nach oben, so dass er beide Uhren in seinem Sichtfeld hat. Beide Uhren sollen nun bei jedem „tick“ einen Lichtimpuls aussenden. Wenn der Beobachter nun die Frequenzen der „Tickabfolgen“ miteinander vergleicht wird er feststellen, dass die Impulse der unteren Uhr in größeren Abständen bei ihm ankommen, weil ja das ganze System beschleunigt ist, und somit die Decke quasi vor den Lichtimpulsen „wegrennt“. Befindet sich der Beobachter allerdings auf dem Boden des Laboratoriums und schaut zur Decke, erreichen ihn die Impulse nun mit einer höheren Frequenz, da der Boden ja auf Grund der Beschleunigung den Lichtimpulsen „entgegenrennt“. Auf Grund des Äquivalenz-Prinzips gilt dies dann aber auch für den Beobachter im „Erdlabor“. Einstein zog daraus folgenden Schluss: Eine Uhr, die der Erde näher ist als eine andere, schein nachzugehen. Einstein stellte sich nun anstatt der Uhren Atome vor, die analog zu dem „Tickimpuls“ der Uhr , Licht mit einer charakteristischen Frequenz aussenden. Diese Vorstellung zog er dann heran und sagte die Frequenzänderung von Sonnenlicht auf Grund der Gravitation der Sonne voraus. Das von den auf der Sonne befindlichen Atomen emittierte Licht sollte somit eine niedrigere Frequenz als das von den selben Atomen auf der Erde emittierte Licht besitzen. Dieser Effekt wird als Gravitations-

32

Rotverschiebung bezeichnet. In den sechziger Jahren führte der amerikanische Physiker Pound mit zwei seiner Studenten einen Versuch zur Messung der Rotverschiebung im Erdgravitationsfeld durch. Er ermittelte den Frequenzunterschied zwischen Licht von der Spitze und dem Sockel des 22,5 m hohen Turms der Harvard Universität. Als Resultat erhielt er einen Unterschied von 1/40.000.000.000.000.000 !

Abbildung 8: Rotverschiebung in beiden Laboratorien

Die Gravitations-Rotverschiebung beruht aber nicht wie die Zeitdilatation darauf, dass Uhren langsamer gehen, sondern es werden die Lichtsignale auf ihrem Weg durch Raum und Zeit von der Gravitation verändert. Dies wird auch sehr gut durch folgendes Gedankenexperiment Einsteins verdeutlicht:

Der Beobachter im „Himmelslabor“ sendet mit Hilfe einer Taschenlampe ein Lichtsignal in horizontaler Richtung aus. Weil das „Himmelslabor“ ja nach oben beschleunigt wird, erscheint für ihn der Lichtstrahl nach unten gekrümmt, weil ja die gegenüberliegende Wand gleichsam „nach oben wegrennt“ Eine solche Krümmung eines Lichtstahls wirft aber ein neues Problem auf. Führt nämlich der Lichtstrahl eine Kurvenbewegung durch, müssen ja die oberen Lichtstrahlen schneller laufen als die unteren. Dies widerspricht aber der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Es muss also die Raum-Zeit für das System, in dem die Gravitation wirkt verändern. Der Raum wird gekrümmt.

33

Abbildung 9: Ablenkung eines Lichtstrahls

3.3 Der gekrümmte Raum

3.3.1 Nicht euklidische Geometrien

Um die Krümmung des Raumes herzuleiten, muss zuerst ein kleiner Einstieg in die Geometrie von gekrümmten Flächen und gekrümmten Räumen gegeben werden.

Die normale Geometrie auf geraden Flächen wird als Euklidische Geometrie bezeichnet. Sie geht auf die Postulate und Axiome von Euklid zurück Vor allem das 5. Axiom, das sogenannte Parallelaxiom ⁷ , beschäftigte Mathematiker über Jahrhunderte hinweg, weil es sich nicht beweisen lies. Um das Jahr 1823 gelang es aber zwei Mathematikern zu zeigen, dass es auch möglich war mit einem anderen Parallelaxiom eine widerspruchsfreie Geometrie aufzubauen. In dieser Geometrie konnte es unendlich viele Parallelen zu einer Geraden durch einen Punkt geben. Dieser nichteuklidischen Geometrie folgten dann weitere. In der Geometrie des deutschen Mathematikers Bernd Riemann gab es beispielsweise gar keine Parallelen mehr. Um dies zu verstehen kann man sich eine Kugel vorstellen. Schneidet man diese Kugel nun so, dass immer der Kugelmittelpunkt in der Schnittebene liegt entsprechen die Schnittlinien der Schnittebenen mit der Kugeloberfläche den Geraden in der Geometrie Riemanns.(als Beispiel kann man hierzu die Erde als Kugel nehmen. Die Längenkreise und der Äquator liegen in Schnittebenen welche auch den Erdmittelpunkt enthalten.) Auch in dieser Geometrie kann man Figuren, wie z.B. ein Dreieck konstruieren. Man kann zum Beispiel zwei Punkte auf der Erdäquator und den Nordpol zu einen Dreieck verbinden. Wie leicht ersichtlich ist, ist die Winkelsumme in diesem Dreieck, anders als in der Euklidischen Geometrie, größer als 180°.(Da sich ja die Längenkreise mit dem Äquator in

⁷ „Zu jeder Geraden gibt es genau eine Parallele, welche durch einen bestimmten Punkt geht“

34

einem 90° Winkel schneiden) Aus der Summe der Winkel und dem Radius der Kugel lässt sich die Fläche berechnen. Man kann also aber auch den Kugelradius und somit die Krümmung der Oberfläche aus Winkelsumme und Fläche berechnen. Die Krümmung der Fläche ist somit schon alleine durch ihre zweidimensionale Struktur gegeben. Man kann also auf einen dritte Dimension verzichten. Riemann dachte nun soweit, dass er eine Krümmung des dreidimensionalen Raumes vorschlug, die ohne eine vierte Dimension beschrieben werden konnte. Die Raumkrümmung, welche von Ort zu Ort variieren konnte, sollte in den Längenmessungen impliziert sein. Riemann verallgemeinerte diesen Raumbegriff dann noch für Räume mit beliebiger Dimension. Solche Räume werden dann allgemein als Riemannsche Räume bezeichnet

3.3.2 Auswirkungen der Krümmung

Wie kann man sich die Auswirkungen eines gekrümmten Raumes vorstellen? Stellen wir uns vor, ein Beobachter, der in seiner Wohnung im 6. Stock eines Hochhauses sitzt, schaut durch ein Fenster Kindern beim Spiel mit Murmeln zu. Wenn er genau von oben auf die Spielfläche der Kinder schaut, sieht er aber nur eine 2-dimensionale Projektion der selben. Eines der Kinder bringt nun die Murmel geradlinig zum Rollen. Plötzlich ändert die Murmel, für den Beobachter völlig grundlos ihre Bewegungsrichtung. Den Kindern ist aber klar, wieso die Kugel so ihre Bahn geändert hat. Kleine Unebenheiten, die für den Beobachter nicht sichtbar waren (er sieht ja nur eine 2 dimensionale Projektion) waren dafür verantwortlich. Die Kugel folgte nun also nicht dem direkten Weg, sondern dem günstigsten. Ähnlich verhält es sich auch im gekrümmten 4-dimensionalen Raum. Nach Newton sollen alle nicht beschleunigten Körper geraden Linien folgen. Die Allgemeine Relativität verändert diese Aussage nun dahingehend, dass sich alle nicht beschleunigten Körper und Lichtsignale auf den „günstigsten“ Linien den sog. Geodäten bewegen.

3.3.3 Beschreibung der Krümmung

Als Einstein 1912 ans Züricher Polytechnikum gerufen wurde, entwickelte sich eine sehr gute Zusammenarbeit mit seinem früheren Kommilitonen Marcel Grossmann. Dieser hatte sich auf dem Gebiet der nichteuklidischen Geometrie spezialisiert und konnte so Einsteins Arbeiten ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel, die Tensorrechnung, beisteuern. In dieser Arbeit wurde bereits das Raum-Zeit-Intervall angesprochen. Dieses wird nun in einem allgemein

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³ ∑ δ = ² gekrümmten Raum als ik x g s geschrieben. Die Faktoren ik g sind die

k i

= 0 , k i

Komponenten des sogen. metrischen Tensors. Mit Hilfe dieses metrischen Tensors gelang es Riemann und Ewlin Christoffel einen Tensor zu entwickeln, der hauptsächlich aus dem metrischen Tensor und dessen Ableitungen aufgebaut war und der die Krümmung von Räumen mit beliebiger Dimension beschrieb. Mit diesem Krümmungstensor konnte Einstein dann die Gravitation als Krümmung des Raumes darstellen. Ihr erste Feuertaufe bestand seine Gravitationsgleichung dann gleich, als Einstein sie auf die Planetenbewegung unseres Sonnensystems anwandte.

So ergab sich zum Beispiel durch sie die bisher nicht erklärbare Perihelverschiebung des Merkur von ganz alleine auf Grund der Raumkrümmung.

Danksagung und Schluss

Am Ende dieser Arbeit möchte ich Danke sagen. Zu aller erst natürlich an Albert Einstein, denn ohne sein grandioses Lebenswerk hätte ich diese Arbeit natürlich nie schreiben können. Dank auch an die betreuenden Lehrer Herr Schall und Herr Guter, die immer für alle meine Fragen ein offenes Ohr hatten. Einen speziellen Dank auch an alle Autoren der im

Literaturverzeichnis aufgeführten Werke, die mir durch ihre Werke Einblicke in die Geheimnisse der Relativitätstheorie gegeben haben, ohne die ich wohl niemals in der Lage gewesen wäre diese Arbeit anzufertigen. Hierbei sei auch ein Dank an Jürgen und Stephan Hengge ausgesprochen, die mir einige Bücher aus der Universitätsbibliothek Tübingen zukommen ließen. Dank an Herrn Rammelsberg, der mir Bücher der Bücherei des Hans Multscher Gymnasiums Leutkirch überlassen hat. Danke auch an Michael Graf , mit dessen Scanner ich einige der Abbildungen einscannen konnte und all den vielen, die mir in irgendeiner Weise bei Problemen geholfen haben. Leider kann die Arbeit nur einen kleinen Teil der faszinierenden Welt der Relativitätstheorie wieder geben, ist also besten Falls ein Einstieg. Persönlich kann ich aber sagen, dass die Arbeit zwar manchmal nervenaufreibend (wer kann sich schon so einfach einen 4 dimensionalen Raum vorstellen), wenn man aber die erste Scheu überwunden hat, zeigen sich viele Dinge in einem anderen Licht. Ohne zu weit ins Philosophische abschweifen zu wollen, kann ich sagen, dass ich begonnen habe die Welt und was wir als „Wirklichkeit“ zu betrachten anders zu sehen.

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Literaturverzeichnis

Ray d’Inverno: „Einführung in die Relativitätstheorie“ , VHC Verlagsgesellschaft Weinheim Max Born: „Die Relativitätstheorie Einsteins“, 5. Auflage Heidelberger Taschenbücher A.P. French: „Die spezielle Relativitätstheorie“, Vieweg, Braunschweig E. Schmutzer: „Relativitätstheorie aktuell“, Teubner Studienbücher, Stuttgart Edwin F. Taylor/John Archibald Wheeler: „Physik der Raumzeit“, Spektrum, Heidelberg-Berlin-Oxford

Albert Einstein und Leopold Infeld: „Die Evolution der Physik“, Paul Zsolnay Verlag Gesmbh. Wien-Hamburg

Torsten Fließbach: „Allgemeine Relativitätstheorie“, Spektrum, Heidelberg-Berlin-Oxford Physikthemenheft „Relativitätstheorie“ ,Ernst Klett Verlag, Stuttgart Wittmann: „Relativitätstheorie“, Bayrischer- Schulbuch-Verlag, München Carl Seelig: „Albert Einstein“ , Europa Verlag, Zürich

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