Inhaltsverzeichnis

Einleitung   3

Beispiel  1: Exponentielles Wachstum  5

Beispiel  2: Beschränktes Wachstum.  7

Beispiel  3: Logistisches Wachstum.  9

Fazit   11

Literaturverzeichnis   11

Erkl  ärung  11

Einleitung

In der heutigen Zeit hat man sehr viel mit verschiedenen Arten von Statistiken zu tun. Jedoch ist es sehr schwer aus den vorhandenen Zahlenreihen ein Modell für den weiteren Verlauf zu finden. Um eine zuverlässige Prognose stellen zu können oder eine Zusammenhang zu erkennen, ist das Verfahren der Linearen Regression bekannt. In dieser Facharbeit soll anhand von verschiedenen praktischen Beispielen gezeigt werden wie man eine möglichst exakte Funktion anhand vorhandener Daten aufstellen kann. Hierzu wird ein Verfahren namens Funktionsanpassung genutzt, dass die Regression erweitert.

Hierzu erstmal ein einfaches Beispiel ¹ (Tabelle, Diagramm 1) der Linearen Regression. Ein Fahrzeug wird angestoßen und seine zurückgelegte Strecke wird gemessen:

Jetzt stellt sich die Frage in welcher Beziehung die Strecke und die Zeit zueinander stehen. In diesem Beispiel ist es offensichtlich eine Lineare Funktion. Es wird also eine Gerade gesucht, die diese Punkte (bezeichnet als (x i |y i ), die Anzahl

+ = b mx y der Punkte ist n) am besten beschreibt. Die allgemeine Gerade ist: . Da die

Gerade in diesem Beispiel durch den Nullpunkt geht, wird zur Vereinfachung b = 0 gesetzt. Zu bestimmen ist als nur noch m, die Steigung der Geraden. Ziel ist es m nun so zu bestimmen, dass die Summe der Fehler, also der Abstand zwischen Gerade und Punkt, möglichst klein ist. Um die Aufhebung von negativen und positiven Abständen zu verhindern, wird die Quadratfunktion benutzt. Dieses Prinzip nennt sich auch: „least square fit“.

¹ Quelle: Physikunterricht Stufe 11, Experiment zur Untersuchung konstanter Geschwindigkeit

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m − ⋅ x y Es gilt: Der vertikale Abstand des Punktes zur Regressionsgeraden ist: i i

∑ − = ⇒ Diese Funktion bestimmt die Summe der Fehlerquadrate. )² ( ) ( x my m v i i ) (m v Umformen und ableiten der Funktion ergibt:

∑ ∑ ∑

= m

∑ ∑ Wir müssen also unsere Tabelle erweitern um die Wert für ∑ i , ∑ ²

x , x und y x , iy i i i

( ∑ i

x zu erhalten: )²

Nun werden die Werte eingesetzt (n = 10):

= m

= x y 21 , 47 Unsere endgültige Regressionsgerade ist also (Diagramm 2).

Beispiel 1: Exponentielles Wachstum

Die nachfolgende Tabelle zeigt den Wasserverbrauch der Erdbevölkerung pro Jahr.

Ziel ist es nun, den Wasserverbrauch für das Jahr 2000 möglichst genau zu schätzen. Nach der Regressionsgerade in Diagramm 3 beträgt der Wasserverbrauch im Jahr 2000

Steigung sich mit zunehmendem X-Wert vergrößert. Das legt nahe, dass es sich um eine Exponentialfunktion handelt. Die allgemeine Form der Exponentialfunktion lautet: ⋅ = kx e c y , c ist der Anfangswert (Beim Zeitpunkt x = 0), k die Wachstumskonstante. Es fehlt nun noch eine Möglichkeit das in der Einleitung vorgestellte Schema der Linearen Regression auf diese Art der Funktion anzuwenden. Dazu müsste ein Linearer Zusam- + = b mx y menhang der Form bestehen. Also wird die Exponentialfunktion in eine Lineare Funktion umgeformt, das geschieht durch Logarithmieren: ⋅ = kx ln() | e c y

+ ⋅ = ⇔ ) ln( ) ln( c x k y c = k = ⇒ b e und m

+ = ) ln( y ersetzt wurde, müssen nun auch Das entspricht der Form b mx y . Da y durch

die Punkte auf die gleiche Weise angepasst werden, aus (x i |y i ) wird (x i |ln(y i )). Dieser Schritt nennt sich Funktionsanpassung. Statt der (x i |y i )-Werte werden nun (x i |ln(y i )) in ein Koordinatensystem eingetragen. Nun sollten die Punkte näherungsweise auf einer Geraden liegen (Diagramm 4).

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Durch Lineare Regression der angepassten Funktionswerte ergibt sich die Funkti- − = 813 , 36 0212 , 0 ) ( x x g on: (Diagramm 4).

Beispiel 2: Beschränktes Wachstum

Folgende Daten (Tabelle, Diagramm 6) sind der Jahresumsatz eines mittelständischen Unternehmens. Gesucht wird wieder das Ergebnis für das Jahr 2000:

⁻ ⋅ − = kx . S ist die Schranke oder auch Sättigungsgrenze. Im Grunde ist sie nur e c S y

der y-Achenabschnitt der e-Funktion, den es auch zu bestimmen gilt. Diese Funktion wird nun wieder in eine lineare Funktion umgeformt: ⁻ − ⋅ − ⋅ − = kx ) 1 ( | | S e c S y

⁻ ⋅ = − ⇔ kx ln() | e c y S

+ ⋅ − = − ⇔ ) ln( ) ln( c x k y s c = k = ⇒ b und e m

Jetzt müssen also die Parameter c, k und S bestimmt werden. S lässt sich nicht ohne weitere Angaben bestimmen oder es ergibt sich aus der Aufgabenstellung, die Sättigungsgrenze lässt sich in diesem Beispiel jedoch nur näherungsweise schätzen. Es wird eine Sättigungsgrenze von 400 Mio. angenommen. Die Werte müssen nach nun nach

− )) ln( | ( transformiert werden (Zur einfachen Berechnung wird der das Jahr 1985 y S x i i als x = 0 betrachtet):

− Die Lineare Regression der Werte )) ln( | ( ergibt eine Gerade: y S x i i

+ − = 3116 , 5 1965 , 0 ) ( (s. Diagramm 7) x x g

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Diese Gerade muss wieder in eine

Exponentialfunktion werden: = − = m k 0

= = b e c 202

= ⇒ x f ) (

Jetzt wird die Funktion auf der X-Achse verschoben, um wieder direkt mit Jahreszahlen rechnen zu können. Die gesuchte Funktion lautet also: ^{− ⋅ −} ⋅ − = ) 1985 ( 1965 , 0 x 68 , 202 400 ) ( e x f (s. Diagramm 8)

Hier zum Vergleich die Originalwerte und die Werte der Funktion:

Die Funktionswerte kommen den gegeben Werten also sehr nahe. Zum Schluss wird der gesuchte Wert ) 2000 ( f in die die Funktion ) (x f einsetzt: ^{− ⋅ −} ≈ ⋅ − = ^{) 1985 2000 ( 1965 , 0} 36 , 389 68 , 202 400 ) ( e x f

Das Unternehmen wird also bei einer auf 400 Mio. geschätzten Sättigungsgrenze im Jahr 2000 einen Umsatz von 389,3 Mio. machen. Mit nur 0,4% Umsatzsteigerung kein zufrieden stellendes Ergebnis.

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Beispiel 3: Logistisches Wachstum

Die folgenden Daten beschreiben die potenzielle Ausbreitungsgeschwindigkeit des SQL Slammer Virus am 24. Januar 2003, x ist die Zeit in Sekunden nach Ausbruch des Virus, y die Anzahl der von infizierten Rechnern verschickten Pakete pro Sekunde in Tausend. Das Maximum der pro Sekunde verschickten Pakete wurde auf 785 Tausend pro geschätzt, das ist Sättigungsgrenze S. Es soll berechnet werden, wann diese Grenze erreicht wird.

Das Wachstum der Anzahl verschickter Pakete richtet sich nach der Anzahl der infizieren Rechner und verläuft anfangs annähernd exponentiell, stagniert jedoch mit zunehmender Zeitdauer und kommt schließlich wenn alle potenziellen Opfer infiziert sind, zum erliegen. Daraus ergibt sich die Form des logistischen Wachs-

x f ) ( tums:

Zu bestimmen ist also a (Anfangswert), k (Wachstumskonstante) und S (Sättigungs- ) (x f grenze). S ist durch das Beispiel bereits gegeben. Hierzu muss wieder auf einen Linearen Term gebracht werden:

⋅ = ) (

x f ⇔ ln(

k − = ⇒

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Es wird wieder zur Vereinfachung mit x = 0 begonnen. Die Tabelle wird um den neuen

y-Wert ln(

Eine Lineare Regression (Diagramm 10) ergibt folgende Funktion:

− = y 0

Als nächstes werden die Werte transformiert:

= k

= a

Einsetzen:

Nun muss die Funktion wieder an der X-Achse entlang verschoben werden, und es er-

gibt sich die gesuchte Funktion (Diagramm 11):

( = 785 ) x f Der letzte Schritt zur Lösung der Aufgabe ist den X-Wert für berechnen:

= 785

Nach 1830,17 s (30 min) hatte der Virus alle angreifbaren Rechner infiziert.

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Fazit

Die Ergebnisse der Beispiele sind gut. Die Güte der Funktionsanpassung lässt sich gut beurteilen indem man die Abweichungen der angepassten Punkte zur Regressionsgeraden betrachtet. Sind diese zu groß, ist die vermutet Funktion nicht oder weniger geeignet. Das ist auch das Hauptprobleme bei Funktionsanpassungen: Das entwickeln oder herleiten der vermuteten Funktion ist nicht einfach und meistens mit großen Aufwand verbunden, denn diese Funktion muss dafür geeignet sein, in eine Lineare Funktion um-gewandelt zu werden. Bei Ganzrationalen Funktionen mit mehreren Polynomen, ist dies z.B. nicht möglich. Dennoch ist die Funktionsanpassung ein wichtiges statistisches Mittel.

Literaturverzeichnis

¹ 2002 Lambacher Schweitzer Analysis, Stuttgart

URL: ^{http://www.caida.org/outreach/papers/2003/sapphire/sapphire.html} (Letzte Änderung unbekannt)

URL: http://www.uni-ulm.de/~cschmid/oldstat/se1_2.htm (Letzte Änderung: 2002-04-17 22:37)

Erklärung

Ich erkläre, dass ich die Facharbeit ohne Fremde Hilfe angefertigt und

nur die im Literaturverzeichnis angeführten Quellen und Hilfsmittel

verwendet habe. Alle Zitate und Übernahmen sind im Text der Facharbeit

kenntlich gemacht.

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