II

Grundlagen  der modernen Portfoliotheorie  

Inhaltsverzeichnis   

1.  Einleitung  1

2.  Das Portfolio Selection-Modell von Markowitz  

2.1.  Grundsätzliches  1

2.2.  Das Modell  2

2.2.1.  Die erwartete Rendite  2

2.2.2.  Das Risiko  4

2.2.3.  Risikoreduktion durch Streuen  6

2.2.4.  Der Zusammenhang zwischen Risiko und Rendite  7

2.2.5.  Unzulässige, zulässige und effiziente Portefeuilles  9

3.  Fazit  10

Literaturverzeichnis   11

Abbildungsverzeichnis

Abb. 1: Mögliche Risikoreduktion durch Streuen ………………………..…………. 6

Abb. 2: Zusammenhang zwischen Risiko und Rendite im Zwei-Anlagen-Fall …….. 7

Abb. 3: Unzulässige, zulässige und effiziente Portefeuilles ………………………… 9

1. Einleitung

Am Ende des letzten Jahrhunderts gelang dem in den USA schon seit vielen Jahren sehr populären Anlageinstrument, der Aktie, endlich auch der Durchbruch in Deutschland. Spektakuläre Börsengänge mit der Unterstützung von bekannten Filmschauspielern, hohe Emissionsgewinne und rasante Kurssteigerungen am Neuen Markt lösten fast euphorieartige Zustände bei den Anlegern aus.

Etwas, was den Wertpapierexperten eigentlich klar war, geriet in Vergessenheit: Die Börse ist keine Einbahnstraße nach oben. Wer bei seinen Anlageentscheidungen alles auf eine Karte gesetzt hatte, ist heute unter Umständen in der misslichen Lage, dass er durch Spekulation einen erheblichen Teil seines Vermögens eingebüßt hat. Ein Umstand, auf den heute nach diesen Erfahrungen jeder seriöse Anlageberater hinweist und den sich auch die Fondsanlagegesellschaften zu Nutze machen, ist, dass die Aufteilung des Vermögens auf mehrere Aktienwerte risikoreduzierend wirken kann. Nun liegt es offenbar in der menschlichen Natur, diese empirisch gewonnene Erkenntnis in ein Modell fassen zu wollen, welches bestenfalls auch noch Handlungsempfehlungen geben kann. Bereits in den 50er Jahren des letzten Jahrhunderts hat Harry M. Markowitz ein Modell zur optimalen Depotzusammenstellung entwickelt, welches sicherlich

mit den Anstoß zur Entwicklung der modernen Portfoliotheorie gegeben hat. 1

2. Das Portfolio Selection-Modell von Markowitz

2.1. Grundsätzliches

Abgehend von der in der traditionellen fundamentalen Aktienanalyse vorherrschenden isolierten Betrachtungsweise einzelner Aktienwerte und der Kombination dieser Aktien zu Portefeuilles auf Grundlage von Fingerspitzengefühl und persönlichen Erfahrungen des Depotverwalters, entwickelte Harry M. Markowitz im Jahr 1952 sein Portfolio Se-

lection-Modell zur optimalen Depotzusammenstellung. 2

¹ Vgl. Hielscher, Udo, Investmentanalyse, 1999, S. 52

² Vgl. Hielscher, Udo, Investmentanalyse, 1999, S. 50-51

Es ging ihm dabei darum, das in der Praxis bei Anlegern vielfach beobachtete Verhalten der Risikominderung durch Diversifikation zu erklären und eine Antwort auf die Frage-

stellung zu erhalten, wie ein solches Portefeuille optimal gestaltet werden könne. 3

Markowitz betrachtet dabei in seinem Modell vorrangig Aktienportefeuilles, da es ihm im Besonderen auf den Zusammenhang von Risiko und Rendite ankommt. Der Anleger investiere, so seine Annahme, in Effekten, da er hiermit eine erhöhte Renditeerwartung verbinde. Den Chancen dieser Anlageform stehen, wie man weiß, gewisse Verlustge-

fahren (Risiken) gegenüber, die der Anleger mit in sein Kalkül aufnehmen muss. ⁴ Weiterhin wird unterstellt, dass der Anleger ein im vorhinein festgelegtes Budget investieren möchte und, dass er zur Erreichung einer guten Rendite bereit ist, Risiken einzuge-

hen, grundsätzlich jedoch eher als risikoscheu einzustufen ist. 5

2.2. Das Modell

Wie bereits vorangehend angedeutet, spielen in den Theorien von Harry M. Markowitz die Größen Risiko und Rendite eine zentrale Rolle. Um diese in ein mathematisches Modell einbetten zu können, ist es zunächst notwendig, Kennzahlen für den möglichen Ertrag und das Risiko von einzelnen Aktien zu berechnen. Darauf aufbauend kann dann ein Vergleich dieser Einzelwerte stattfinden und Maßstäbe für die Beurteilung von Kombinationen verschiedener Anlagemöglichkeiten festgelegt werden.

2.2.1 Die erwartete Rendite

Markowitz geht davon aus, dass es sich bei der erwarteten Rendite bzw. dem erwarteten Ertrag einer Aktie um eine Zufallsgröße handelt, die innerhalb bestimmter Grenzen zufällig schwankt. Jedoch ist es möglich, Ertragsvorausschätzungen abzugeben sowie diesen subjektive Eintrittswahrscheinlichkeiten zuzuordnen.

³ Vgl. Perridon, Louis / Steiner, Manfred, Finanzwirtschaft der Unternehmung , 1999, S. 252

⁴ Vgl. Hielscher, Udo, Investmentanalyse, 1999, S. 54

⁵ Vgl. Schmidt, R.H. / Terberger, E., Grundzüge der Investitions- u. Finanzierungstheorie, 1999, S. 325

Ferner geht Markowitz vereinfachend davon aus, dass die zukünftigen Erträge normalverteilt sind. Der Erwartungswert für den Ertrag einer Aktie lässt sich so mathematisch berechnen. Er ist gleich dem arithmetischen Mittel der möglichen Erträge gewichtet mit deren Eintrittswahrscheinlichkeiten.

Als Formel lässt sich das wie folgt darstellen:

wobei mit i die jeweilige Aktie, mit r ij die Ertragsvorausschätzungen und mit p ij die ihnen zugeordneten Eintrittswahrscheinlichkeiten symbolisiert werden. Ferner ist die

Summe aller p ij gleich eins. 6

Darauf aufbauend lässt sich zeigen, dass für ein Portefeuille, also eine Zusammenstellung mehrerer Aktienwerte in einem Depot gilt, dass der erwartete Ertrag des Depots gleich der Summe der wahrscheinlichsten Erträge der Einzelwerte, gewichtet mit ihren relativen Anteilen am Depot, ist.

Mathematisch lässt sich dies darstellen als:

wobei N die Anzahl der einzelnen Aktien im Depot und x i die jeweiligen relativen An-

teile der Aktie am Gesamtvolumen des Depots symbolisiert. 7

⁶ Vgl. Hielscher, Udo, Investmentanalyse, 1999, S. 54-55

⁷ Vgl. Hielscher, Udo, Investmentanalyse, 1999, S. 57

2.2.2 Das Risiko

Im Falle der Aktienanlage geht jeder Anleger, wie man weiß, die Gefahr ein, die von ihm vorherberechnete oder gewünschte Rendite nicht zu erzielen. Der Fall, dass der Anleger das erhoffte, angestrebte Ertragsziel nicht erreicht, soll hier als sein individuelles Risiko definiert sein. Als Maßzahl für dieses Risiko benutzt Markowitz die in der Statistik vielfach angewandten Streuungsmaße Standardabweichung bzw. Varianz. Die Standardabweichung gibt an, wie groß bzw. stark das Schwankungsverhalten um den als den wahrscheinlichst angenommenen erwarteten Ertrag ist. Je größer der errechnete Wert für die Standardabweichung ist, also je höher das Schwankungsverhalten, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit, dass das angestrebte Ertragsziel nicht erreicht werden wird oder anders ausgedrückt, desto ungünstiger wird

diese Anlagemöglichkeit beurteilt werden. 8

Mathematisch lässt sich der Wert für die Standardabweichung einer Aktie nach der folgenden Formel ermitteln:

² ist. wobei das Quadrat der Standardabweichung gleich der Varianz, also   i

Da es sich, wie bei der Ermittlung der erwarteten Rendite beschrieben, als relativ einfach erwiesen hat, aus den Ertragsvorausschätzungen für eine einzelne Aktie auf den voraussichtlichen Ertrag des Gesamtdepots zu schließen, stellt sich nun die Frage, ob sich äquivalent das Risiko eines Portefeuilles als gewogenes Mittel der Risiken der ein-

zelnen Aktien bestimmen lässt. 9

⁸ Vgl. Hielscher, Udo, Investmentanalyse, 1999, S. 55

⁹ Vgl. Schmidt, R.H. / Terberger, E., Grundzüge der Investitions- u. Finanzierungstheorie, 1999, S. 316

Sowohl mathematisch als auch empirisch lässt sich jedoch zeigen, dass die Gesamtvarianz eines Portefeuilles nicht nur von der Varianz der einzelnen Papiere abhängig ist. Bei Kurssteigerungen oder Kurseinbrüchen an den jeweiligen Aktienmärkten ist z. B vielfach beobachtbar, dass neben zufälligen und durch unternehmensspezifische Faktoren ausgelösten Schwankungen auch gesamtwirtschaftlich ökonomisch oder außerökonomische Einflüsse eine Rolle spielen. Diese Schwankungen erfassen dann meist den Gesamtmarkt. Für die Ermittlung des Gesamtrisikos ist daher weiterhin von Bedeutung,

inwieweit alle Papiere gleichzeitig fallen oder steigen. 10

Man kann also bereits zusammenfassend sagen, dass sowohl die Einzelrisiken der jeweiligen Aktien, deren Gewichtung im Gesamtdepot sowie das Maß des Zusammen-hangs zwischen den Renditen das Portefeuillerisiko bestimmen. 11

Als Maß für den Zusammenhang der Renditen, die Korrelation, benutzt Markowitz die Kovarianz bzw. den Korrelationskoeffizienten. Für den Korrelationskoeffizienten (c ik ) gilt gemäß Definition:

−

1 1 c

ik

Wobei +1 den Fall vollkommenen positiv korrelierter und -1 den Fall vollkommen negativ korrelierter Renditen darstellt.

Es lässt sich daher errechnen, dass nur im Ausnahmefall der vollkommenen positiven Korrelation das mit den Portefeuilleanteilen gewogene Mittel der Standardabweichungen gleich dem Risiko des Gesamtdepots ist. Für alle Fälle in denen c ik +1 ist das Ri-  

siko kleiner als das Durchschnittsrisiko der Aktien im Depot. Für den nur theoretisch

denkbaren Fall c ik =-1 ließe sich das Gesamtrisiko sogar ausschalten. 12

¹⁰ Vgl. Hielscher, Udo, Investmentanalyse, 1999, S. 57-58

¹¹ Vgl. Schmidt, R.H. / Terberger, E., Grundzüge der Investitions- u. Finanzierungstheorie, 1999, S. 320

¹² Vgl. Schmidt, R.H. / Terberger, E., Grundzüge der Investitions- u. Finanzierungstheorie, 1999, S. 323

2.2.3 Risikoreduktion durch Streuen

Da bei realen Aktiendepots der Korrelationskoeffizient in der Regel zwischen 0 und +0,99 liegt, können wir als erstes Ergebnis aus dem Portfolio Selection-Modell von Markowitz festhalten, dass wir durch Streuung unserer Aktienanlagen das Risiko ge-genüber der Anlage in nur einem Papier verringern können. 13

Wie sich im nachfolgenden Schaubild erkennen lässt und auch schon weiter oben angesprochen wurde, kann das gesamte Risiko eines Portefeuilles in zwei Komponenten zerlegt werden.

Abb. 1: Mögliche Risikoreduktion durch Streuen

Quelle: Hielscher, Udo, Investmentanalyse, 1999, S. 60

Und zwar zum einen in das unsystematische Risiko, welches sich aus Zufallsschwankungen und unternehmensspezifischen Faktoren ergibt. Dieses Risiko kann durch Diversifikation verringert werden. Und zum anderen in das Marktrisiko, das alle Aktien gleichermaßen trifft. Es kann durch Diversifikation nicht verringert oder ausgeschaltet werden.

¹³ Vgl. Hielscher, Udo, Investmentanalyse, 1999, S. 58-60

Zur Erläuterung des Modells von Markowitz ist es an dieser Stelle notwendig, mindestens zwei Nebenbedingungen einzuführen:

1. In einem Portefeuille muss die Summe der in den einzelnen Anlageobjekten angelegten Teilbeträge gleich dem verfügbaren Gesamtbetrag sein. 2. Es sollen keine spekulativen Leerverkäufe zulässig sein, d.h. der Anteil der Ak-

tie am Gesamtwert des Portefeuilles muss positiv sein. 14

2.2.4 Der Zusammenhang zwischen Risiko und Rendite

Betrachten wir nun vereinfachend den unten grafisch dargestellten Fall, in dem wir annehmen, dass unser Portefeuille lediglich eine Mischung aus den zwei Aktien (A und B) enthält. Die Ertrags- und Risikostruktur der beiden Einzelwerte können wir in der Grafik ablesen. Aktie A hat einen deutlich geringere Ertragserwartung (E 1 ) als die Aktie B (E 2 ), jedoch müsste der Anleger für diese höhere Ertragserwartung bei Aktie B auch ein deutlich höheres Risiko (R 2 ) gegenüber Aktie A (R 1 ) eingehen.

Abb. 2: Zusammenhang zwischen Risiko und Rendite im Zwei-Anlagen-Fall (Wertpapiere Typ A und Typ B)

Quelle: in Anlehnung an Perridon, L. / Steiner, M., Finanzwirtschaft der Unternehmung , 1999, S. 255

¹⁴ Vgl. Hielscher, Udo, Investmentanalyse, 1999, S. 60-61

Die direkte Verbindungslinie der Wertpapiere A und B zeigt für den Fall vollkommen positiv korrelierter Renditen (c 12 =1), dass jede denkbare Depotmischung aus den beiden Papieren A und B gleichzeitig eine lineare Veränderung des Risikos zur Folge hat. Das bedeutet, dass bei einer Erhöhung der Renditeerwartung durch Veränderung der Depotgewichtung hin zu dem renditestärkeren Papier B das Risiko in gleichem Maße zunimmt. Die gilt natürlich auch umgekehrt für den Ertrag im Falle der Risikosenkung.

Die Tatsache, dass es in der Realität wohl kaum den Fall vollkommen positiv oder negativ korrelierter Renditen gibt, wurde weiter oben bereits angesprochen. Wir können daher unterstellen, dass der Korrelationskoeffizient (c 12 ) wie unter realen Bedingungen zwischen 0 und +0,99 liegt. Daher schließen wir auch den natürlich theoretisch denkbaren Fall negativ korrelierter Renditen hier einmal aus.

Die Menge der realisierbaren Portefeuilles aus den Aktienwerten A und B bzw. deren Ertrags- und Risikostruktur finden wir deshalb auf der oder rechts der gekrümmten Verbindungslinie zwischen Q und B. Hier gilt, dass kein linearer Zusammenhang zwischen Ertrag und Rendite besteht. Das bedeutet, dass die Steigerung der Renditeerwartung nicht zwangsläufig mit einem in gleichem Maße steigenden Risiko „erkauft“ wer- den muss.

2.2.5 Unzulässige, zulässige und effiziente Portefeuilles

Das Portfolio Selection-Modell von Markowitz beruht darauf, dass der Anleger aus der Vielzahl von realisierbaren und im Sinne der Nebenbedingungen auch zulässigen Aktienkombinationen in seinem Depot diejenige auswählt, für die gilt:

• Es gibt kein anderes Depot, dass bei gleichem Ertrag ein geringeres Risiko oder

• bei gleich hohem Risiko einen höheren Ertrag

aufweist. Ein solches Depot nennt Markowitz effizient. 15

Aus der Anzahl der effizienten Portefeuilles wird der Anleger nun aufgrund seiner persönlichen Risiko- u. Ertragspräferenz das für ihn Optimale auswählen.

Der Zusammenhang zwischen unzulässigen, zulässigen und effizienten Portefeuilles wird in der nachstehenden Grafik noch einmal anschaulich dargestellt.

Abb. 3: Unzulässige, zulässige und effiziente Portefeuilles

Quelle: Hielscher, Udo, Investmentanalyse, 1999, S. 62

¹⁵ Vgl. Schmidt, R.H. / Terberger, E., Grundzüge der Investitions- u. Finanzierungstheorie, 1999, S. 326

3. Fazit

Dem erfahrenen Wertpapier Anleger sind Teile der von Harry M. Markowitz in seinem Portfolio Selection-Modell entwickelten Ideen sicher bereits bekannt. Daran lässt sich unschwer erkennen, dass die Erkenntnisse seiner Portfoliotheorie weite Verbreitung in der Kapitalanlagepraxis gefunden haben. Sie sind eine wertvolle theoretische Grundlage

der Portfoliostrukturierung. 16

Es bleibt aber anzumerken, dass die Vielzahl der benötigten Informationen sowie die erheblichen Zweifel an der Zuverlässigkeit zukünftiger Risiko- und Renditeschätzungen zur Entwicklung weiterer und besserer Modelle der Portfolio- und Kapitalmarkttheorie geführt haben.

¹⁶ Vgl. Steiner, M. / Bruns, C., Wertpapiermanagement, 1996, S. 20

Literaturverzeichnis

Hielscher, Udo, Investmentanalyse, 3. Aufl., München 1999

Perridon, L. / Steiner, M., Finanzwirtschaft der Unternehmung , 10. Aufl., München 1999

Schmidt, R.H. / Terberger, E., Grundzüge der Investitions- u. Finanzierungstheorie, 4. Aufl., Wiesbaden 1999

Steiner, M. / Bruns, C., Wertpapiermanagement, 5. Aufl., Stuttgart 1996