Berechnung des Volumens von Rotationskörpern

2

Inhaltsverzeichnis:

1.  Einleitung  3

2.  Hauptteil  

1.  Geschichte und Entwicklung der Integralrechnung  4

2.  Rotationskörper im Alltag  5

3.  Was ist ein Rotationskörper  6

4.  Herleitung der allgemeinen Formel zur Berechnung des Volumens von  

  Rotationskörpern  9

5.  Anwendung der Formel an ausgesuchten Beispielen  12

3.  Schlussbetrachtung  13

4.  Literatur- und Quellenverzeichnis  14

5.  Anhang  I

3

1. Einleitung

In meiner Facharbeit versuche ich eine Formel für die Berechnung des Volumens von Rotationskörpern zu finden. Als grobe Beschreibung soll zunächst ausreichen, dass dies Körper sind, die durch Rotation einer beliebigen Funktion um eine Achse des Ko-ordinatensystems ¹ entstehen (genauer gehe ich darauf in Abschnitt 2.3. ein). Mit dem Wissen, dass wir bisher im Unterricht erlangt haben, können wir die Flächen von Vielecken und Kreisen berechnen; außerdem noch das Volumen von bestimmten Körpern (zum Beispiel von Würfeln, Zylindern, Kegeln). Seit der Einführung des Integrals ist es uns zudem noch möglich, Flächeninhalte von Flächen zu berechnen, die durch Funktionsgraphen begrenzt sind. Aber wie funktioniert die Volumenberechnung von Körpern, die durch Funktionen beschrieben werden? Entsteht dabei, wie in einigen Beispielen in 2.3., ein Körper, von denen uns die Formel zur Berechnung des Volumens bekannt ist, können wir es ohne weiteres ausrechnen. Bei komplizierteren (z.B. durch krummlinige Graphen entstehende) Formen kommen wir damit jedoch nicht weiter. Am Ende von Abschnitt 2.4. werde ich eine Formel hergeleitet haben mit der man die Volumina von sämtlichen Rotationskörpern ausrechnen kann. Damit werde ich anschließend ein paar ausgewählte Aufgaben berechnen.

Als äußerst hilfreich bei der Arbeit erwies sich der Umgang mit speziellen Computerprogrammen um die Funktionen und ihre Rotationskörper zu visualisieren. Diese Funktionsplotter bekommt man teilweise gratis zum Download im Internet oder zumindest als Testversion für einen bestimmten Zeitraum. Nach einer gewissen Einarbeitungszeit in diese Programme erleichterten sie mir die Arbeit enorm; vor allem Derive erwies sich bei der Berechnung der Aufgaben in 2.5. als nützlich. Eine detaillierte Liste der benutzten Programme inkl. Downloadmöglichkeit befindet sich im Literatur- und Quellenverzeichnis.

Erweitert wird die Arbeit durch Exkurse in die Geschichte der Integralrechnung (Abschnitt 2.1.) und die Suche nach Beispielen für Rotationskörper im Alltag (2.2.).

1 Ich widme mich später ausschließlich der Rotation um die x-Achse; die Rotation um die y-Achse ist den- noch auch möglich

4

2. Hauptteil

In diesem Abschnitt geht es zunächst darum, die historische Entwicklung der Integralrechnung aufzuzeigen, um zu verdeutlichen, auf welche Weise man sich bereits in der Antike mit diesem Thema beschäftigte und mit welchen Problemen die Mathematiker konfrontiert wurden. Ihre Ergebnisse und unsere Vorkenntnisse nutzen wir anschließend zur Herleitung der allgemeinen Formel zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern. Diese findet dann in einigen Beispielen ihre Anwendung. Um den Zugang zu Rotationskörpern zu erleichtern, werden wir uns ein paar Beispiele aus dem täglichen Leben anschauen.

2.1. Geschichte und Entwicklung der Integralrechnung

Das Grundproblem der Integralrechnung ist die Berechnung des Flächeninhalts einer krummlinig berandeten Fläche, zum Beispiel unter der Funktion f im Intervall [a; b]. Entstanden ist die Infinitesimalrechnung ² aus der antiken griechischen Geometrie, denn vermutlich berechnete schon der 400 Jahre v.Chr. lebende Philosoph Demokrit die Volumina von Kegeln und Pyramiden aufgrund der Einteilung der Körper in unendlich viele Abschnitte, die unendlich dünn sind, so wie wir uns im Unterricht auch der Integralrechnung genähert haben. Weiter ist von den Griechen (sowie Archimedes) bekannt, dass sie bei der Berechnung des Flächeninhalts von Kreisen mithilfe von Zirkel und Lineal ein Quadrat erstellt haben, das den gleichen Flächeninhalt hat. Erst im

19. Jahrhundert bewies Lindemann, dass dieses Verfahren zu keiner Lösung führen kann, da man die Zahl π nicht durch Addition von einzelnen ‚Teilflächeninhalten’ des Kreises erreichen kann. Man legte vorerst einen Näherungswert von π fest, und zwar 1

3 .

7

Im 17. Jahrhundert näherte man sich schließlich auf verschiedenen Wegen einer systematischen Theorie zur Berechnung des Flächeninhalts von krummlinig berandeten Flächen: So erweiterten Francesco B. Cavalieri und Evangelista Torricelli die Verwendung infinitesimaler Größen, während René Descartes und Pierre de Fermat bestimmte Elemente der Algebra benutzten, um Flächeninhalte und Tangenten zu berechnen; sie entwickelten somit schon erste Verfahren zur Integral- und Differentialrechnung. Man wusste bereits, dass diese beiden Vorgänge miteinander in Verbindung stehen,

2 früher verwendeter Oberbegriff für die Differential- und Integralrechnung, die sich auf das Rechnen mit unendlich kleinen Größen konzentrierte (infinitesimal = unendlich). Heute stützt man sich eher auf den Grenzwertbegriff

5

und Isaac Newton und Gottfried W. von Leibniz bewiesen den Fundamentalsatz der

Differential- und Integralrechnung, wonach diese Berechnungen invers zueinander

sind; sie sind also die Umkehrung des jeweils anderen Verfahrens:

In anderen Worten:

“Ist die Funktion f stetig (d.h. hat f einen durchgehenden Graphen), so ist die Ableitung

x

der Integralfunktion

Die allgemeine Integralformel lautet demnach:

Im 18. Jahrhundert wurde die Infinitesimalrechnung häufig angewendet, aber auch

aufgrund ihrer Grundlage (der Rechnung mit unendlich kleinen Größen) kritisiert. Im

19. Jahrhundert wurden genaue Definitionen von Grenzwerten, Ableitungen, Integralen

und reellen Zahlen gegeben um feste Grundlagen zu haben. Der deutsche Mathemati-

ker Bernhard Riemann legte als Erster eine einwandfreie Definition des Integrals fest,

die zu Beginn des 20. Jahrhunderts von Henry Lebesgue erweitert wurde.

Die Einführung der Integralrechnung bedeutete vor allem in ihren ersten Jahren eine

gewaltige Erleichterung (nicht nur) für die Mathematiker ⁴ .

2.2. Rotationskörper im Alltag

3 Prof. Dr. Heinz Griesel/ Prof. Helmut Postel: Elemente der Mathematik 12/13 - Grundkurs/ Nordrhein-

Westfalen. Hannover. 2000. S. 80

4 Vgl. Microsoft Encarta: Differential- und Integralrechnung.

http://de.encarta.msn.com/encyclopedia_761568582/Differential-_und_Integralrechnung.html. 05.03.04 sowie: Prof. Dr. Heinz Griesel/ Prof. Helmut Postel: Elemente der Mathematik 12/13 - Grundkurs/ Nordrhein-Westfalen. Hannover. 2000. S. 108f

5 http://hem.passagen.se/rage82/b/grafik/glas.jpg. 24.03.04

6 http://www.anitarosenberg.com/images/orangemagnolialarge%20vase.jpg. 24.03.04

7 http://www.mmap.de/images/glocke.gif. 24.03.04

8 http://www.aestheticdesign.com/images/vase.jpg. 24.03.04

9 http://www2.crosstalk.or.jp/sobido/dalian/img/bf/egg.jpg. 24.03.04

6

Diese Gegenstände sind nur wenige Beispiele für Rotationskörper, mit denen man im täglichen Leben zu tun hat (Flaschen, bestimmte Töpfe und Kunstobjekte sind beispielsweise ebenfalls Rotationskörper). Alle haben eins gemeinsam: Man erhält solche Objekte durch das Rotieren einer entsprechenden Funktion um die x-Achse des Ko-ordinatensystems. Dies macht man sich beispielsweise bei der Herstellung von Glocken zunutze: Für die äußere Form erstellt man eine abschnittsweise definierte Funktion, die die ‚Funktionsschablone’ bildet. 10

Für die Glocke im oberen Bild (abzüglich der Halterung) hätte die Funktion zum Beispiel so aussehen können:

2.3. Was ist ein Rotationskörper?

Ein Rotationskörper entsteht, wenn man eine beliebige Funktion f(x)= y in einem bestimmten Intervall um die x-Achse rotieren lässt (vorrausgesetzt sie ist in diesem Intervall stetig). Den Vorgang der Rotation kann man sich so vorstellen wie die Benutzung eines Schleifaufsatzes an einer Bohrmaschine:

Betrachten wir zur Veranschaulichung zunächst als einfaches Beispiel die Funktion f(x)=x im Intervall [0; 10]:

10 Vgl. Rotationskörper. http://www.mued.de/html/aufsatz/arra/an1_4.htm. 05.03.04

11 Prof. Dr. Heinz Griesel/ Prof. Helmut Postel: Elemente der Mathematik 12/13 - Grundkurs/ Nordrhein- Westfalen. Hannover. 2000. S. 89

7

Durch Rotation dieser Funktion um die x-Achse erhalten wir folgenden Kegel, den wir, der Übersichtlichkeit halber, dreidimensional visualisieren ¹² :

Da wir nun wissen, wie Rotationskörper entstehen, schauen wir uns noch eine Übersicht von weiteren Möglichkeiten der Rotation eines Geradenstücks um die x-Achse an:

In (1) ließ man den Graph einer konstanten Funktion x a c rotieren; das Ergebnis ist ein Zylinder. Im zweiten Beispiel hat man, ähnlich wie in unserem vorherigen Beispiel, eine Funktion x a mx im Intervall [a; b] um die x-Achse rotieren lassen. Aufgrund dieser Einschränkung entsteht kein vollständiger Kegel, sondern nur ein Kegelstumpf. Beispiel (3) bildet einen Sonderfall, da der ursprüngliche Graph die x-Achse schneidet. Der entstandene Rotationskörper nennt sich in diesem Fall Doppelkegel, weil praktisch zwei einzelne Kegel vorhanden sind.

Schauen wir uns nun das erste Beispiel noch einmal genauer an und versehen es mit Parametern, um einige Eigenschaften von Rotationskörpern zu erkennen, die für die anschließende Volumenberechnung von Bedeutung sind.

12 es versteht sich, dass der entstandene Rotationskörper geschlossen ist. Bei der Darstellung wurde zur Veranschaulichung darauf verzichtet

13 Prof. Dr. rer. Nat. Albert Fetzer/ Prof. Dr. rer. Nat. Heiner Fränkel: Mathematik: Lehrbuch für Fachhoch- schulen; Band 2. Düsseldorf. 1985. S. 217

8

Wir stellen die Funktion x a c im Intervall [a; b] auf:

Durch Rotation um die x-Achse entsteht also ein Zylinder:

Man erkennt, dass seine Höhe h= b - a ist und sein Radius c. Wir kennen bereits die π = V Formel zur Berechnung des Volumens V von Zylindern: r² h; wir könnten es also

schon berechnen. Ähnliche Formeln kennen wir auch für das Volumen von Kegeln und anderen geometrischen Figuren, doch gibt es nicht vielleicht auch eine allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens von beliebigen Rotationskörpern? Diese he- rauszufinden ist das Ziel des nächsten Abschnitts.

9

2.4. Herleitung der allgemeinen Formel zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern

Zur Herleitung der Formel zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern machen wir uns die Erkenntnisse aus Abschnitt 2.3. und aus der analytischen Definition des Integrals ¹⁴ zunutze.

Wir stellen uns also eine beliebige monotone, stetige Funktion f(x) = y vor:

prinzipiell sehr ähneln, wenn wir in Betracht ziehen, dass wir bei Rotationskörpern nicht auf der Grundlage von (eindimensionalen) Rechtecken, sondern (dreidimensionalen) Zylindern rechnen. Wir übertragen diese Ergebnisse dann auf unseren Fall und können schließlich eine eigene Formel aufstellen. Schauen wir und also noch einmal an, wie die Grundidee zur Berechnung des Flächeninhalts zwischen einer bestimmten Funktion f und der x-Achse aussah:

Es bietet sich zunächst die Aufteilung des Graphen in dem gegebenen Intervall in gleich lange Teilintervalle an. Von der x-Achse ausgehend bilden wir dann in diesen Teilintervallen Rechtecke, die allesamt unter dem Graphen liegen. Außerdem stellen wir noch Rechtecke auf, die ihn überragen. Zum näheren Verständnis schauen wir uns dazu eine Grafik an:

Man erkennt, dass der grüne Teil der Rechtecke durch den Graph, den sie umschrei- S ben, in zwei gleich große Teile geteilt wird. Rechnet man nun die Untersumme n

14 vgl. Prof. Dr. Heinz Griesel/ Prof. Helmut Postel: Elemente der Mathematik 12/13 - Grundkurs/ Nordrhein-Westfalen. Hannover. 2000. S. 55

15 Prof. Dr. Heinz Griesel/ Prof. Helmut Postel: Elemente der Mathematik 12/13 - Grundkurs/ Nordrhein- Westfalen. Hannover. 2000. S. 45

10

S ¹⁶ aus, und bildet ihr arithmetisches Mittel, so erhält man einen und die Obersumme n

Näherungswert des gesamten Flächeninhaltes, dessen Genauigkeit mit wachsender Anzahl an Rechtecken zunimmt.

⇒ Idee: Einteilung des Rotationskörpers in unendlich viele Zylinder, die eine unendlich kleine Höhe haben. Durch Addition der einzelnen Volumina erhält man einen Näherungswert für das Volumen des gesamten Körpers; durch Bildung des Grenzwerts die allgemeine Formel

1. Schritt:

Wir teilen das Intervall [0; b] des Graphen in n gleich lange Teilintervalle ein, für die gilt: b x = ∆ 0= x 0 < x 1 < … < x n = b. Die Breite jedes Teilintervalls ist . Weiterhin bietet n

sich wieder (wie bei der Herleitung des Integrals) die Einteilung in Rechtecke an, die unter und über dem Graphen liegen. Wir betrachten die einbeschriebenen und umbeschriebenen ¹⁷ Rechtecke, die wir nun, zusammen mit dem Graphen, um die x-Achse rotieren lassen. Es entsteht ein Rotationskörper mit Treppenfiguren aus einbeschriebenen und umbeschriebenen zylindrischen Scheiben:

Die Funktionswerte in den einzelnen Teilpunkten lauten demnach: f (x 0 ), f (x 1 ), f (x 2 ), …, f (x 1 n ), f (x n ) . In 2.3. haben wir bereits festgestellt, dass die −

Funktionswerte zugleich auch die Radien der Zylinder sind; die Breite der Teilintervalle

16 die Summe der Flächeninhalte der über bzw. unter den Graphen liegenden Rechtecken

17 unter bzw. über dem Graphen liegend

18 Prof. Dr. Heinz Griesel/ Prof. Helmut Postel: Elemente der Mathematik - Leistungskurs Analysis. Han- nover. 2001. S. 186

11

∆ bezeichnet also die Höhe h. Wir können nun also die Volumina jedes einzelnen x

π ∆ ⋅ ⋅ ))² ( ( x x f n Zylinders berechnen:

2. Schritt:

Wir berechnen die Volumina der einbeschriebenen Zylinder, addieren sie miteinander

S (die Untersumme) des gesamten einbeschriebenen und erhalten das Volumen n

Treppenkörpers:

−

S ; also die Summe der Volumina der Des Weiteren benötigen wir noch das Volumen n

umbeschriebenen Zylinder. Es errechnet sich wie folgt:

− 1 n = ∑ π π π π ∆ ⋅ ⋅ ∆ ⋅ ⋅ + + ∆ ⋅ ⋅ + ∆ ⋅ ⋅ = 1 ))² ( ( x x f ) ))² ( ( ... ))² ( ( ))² ( ( x x f x x f x x f S n + 2 1 n i = 0 i

π ∆ ⋅ ⋅ x x f i + ))² ( ( [wobei das Volumen der äußersten Scheibe ist].

1

3. Schritt:

Wir bilden die Grenzwerte von Ober- und Untersumme indem wir n über alle Grenzen

wachsen lassen. Wir wissen bereits, dass sie nach der analytischen Definition des In-tegrals gleich sind. Wir erhalten demzufolge für das Volumen V des Rotationskörpers

Ν ∈ < < n S V S für alle : n n

b − − 1 1 n n ∑ ∫ π π π lim lim ∆ ⋅ ⋅ = ∆ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = x x f x x f ))² ( ( ))² ( ( dx x f ))² ( ( = V [sofern f in + 1 i i ∞ → ∞ → = = n n 0 0 i i 0

dem Intervall [0; b] integrierbar ist. ¹⁹ ]

Wir können also als Ergebnis festhalten:

19 vgl.: Prof. Dr. Heinz Griesel/ Prof. Helmut Postel: Elemente der Mathematik - Leistungskurs Analysis.

Hannover. 2001. S. 186

12

2.5. Anwendung der Formel an ausgesuchten Beispielen

1. Beispiel ²⁰ :

Sein Volumen errechnet sich durch:

10

∫ π ⋅ = ³)² ( x V

⁻ 10

2. Beispiel ²¹ :

3. Beispiel ²² :

+ = 40 10 ) ( x x f „Durch Rotation der Graphen der Funktionen f mit und g mit

Gesucht: Volumen des rotierenden Bereichs zwischen f und g

20 aus: Oberstudiendirektor Dr. Hermann Athen/ Prof. Dr. Heinz Griesel: Mathematik heute - Materialen für

den Sekundarbereich II (Einführung in die Analysis). Hannover. 1991. S.37 Aufgabe 5c)

21 aus: Siehe 12 . S.37 Aufgabe 5f)

22 aus: Prof. Dr. Heinz Griesel/ Prof. Helmut Postel: Elemente der Mathematik 12/13 - Grundkurs/ Nord-

rhein-Westfalen. Hannover. 2000. S. 92. Aufgabe 5

13

Lösungsansatz:

- Wir berechnen die Volumina der Körper, die durch Rotation der Funktionen f und g um die x-Achse entstehen V - Wir subtrahieren V g von V f und erhalten das Volumen der Schale Schale − = V V V Lösung: g f Schale

²⁰ [ ] ∫ π π π ²⁰ ≈ ⋅ = + ⋅ = + ⋅ = 46 , 8796 2800 40 ² 5 )² 40 10 ( x x dx x V f [V.E.]

0

0

²⁰ ∫ π ⋅ = ( V g

⁵ ≈ − g 02 , 3495 V V [V.E.] f

Der schalenartige Körper hat ein Volumen von ca. 3495,02 [V.E.]. Das Fassungsvermögen der Schale ist durch das Volumen des Rotationskörpers von g(x) gegeben; es entspricht demnach ca. 5301,44 [V.E.].

3. Schlussbetrachtung

Wir haben in dieser Facharbeit erfolgreich eine Integralformel herleiten können, um das Volumen von Rotationskörpern berechnen zu können, sie lautet: = π ⋅ dx x f V ))² ( (

Mit dieser Formel können wir nun die Volumina von Flaschen, Vasen und anderen Körpern ausrechnen, die auf der Rotation einer Funktion um eine Achse basieren. Wie sich in den berechneten Aufgaben gezeigt hat, lassen sich damit bestimmte Sachverhalte auf einfache Weise lösen. Ohne die Formel wäre uns diese Berechnung so gut wie gar nicht möglich gewesen; in dieser Hinsicht bedeutet sie eine enorme Entlastung. Dadurch, dass sie auch tatsächlich Anwendung in alltäglichen Situationen findet (beispielsweise bei der Herstellung von Glocken), zeigt sich, dass die Berechnung des Volumens von Rotationskörpern nicht nur ein mathematisches Thema, sondern auch realitätsbezogen ist.

14

4. Literatur- und Quellenverzeichnis

Literatur:

• Oberstudiendirektor Dr. Hermann Athen/ Prof. Dr. Heinz Griesel: Mathematik heute - Materialen für den Sekundarbereich II (Einführung in die Analysis). Hannover. 1991

• Prof. Dr. rer. Nat. Albert Fetzer/ Prof. Dr. rer. Nat. Heiner Fränkel: Mathematik: Lehrbuch für Fachhochschulen; Band 2. Düsseldorf. 1985

• Prof. Dr. Heinz Griesel/ Prof. Helmut Postel: Elemente der Mathematik 12/13 -Grundkurs/ Nordrhein-Westfalen. Hannover. 2000

• Prof. Dr. Heinz Griesel/ Prof. Helmut Postel: Elemente der Mathematik - Leistungskurs Analysis. Hannover. 2001 Internet:

• Bild eines Eis: http://www2.crosstalk.or.jp/sobido/dalian/img/bf/egg.jpg 24.03.04

• Bild eines Glases: http://hem.passagen.se/rage82/b/grafik/glas.jpg 24.03.04

• Bild einer Glocke: http://www.mmap.de/images/glocke.gif 24.03.04

• Bild einer Vase:

http://www.anitarosenberg.com/images/orangemagnolialarge%20vase.jpg 24.03.04

• Bild einer weiteren Vase: http://www.aestheticdesign.com/images/vase.jpg 24.03.04

• Microsoft Encarta: Differential- und Integralrechnung. http://de.encarta.msn.com/encyclopedia_761568582/Differential-_und_Integralrechnung.html. 05.03.04 [liegt als Anlage bei]

• Die Glocke als Rotationskörper.

http://www.mued.de/html/aufsatz/arra/an1_4.htm 12.03.04 [liegt als Anlage bei] Benutzte Programme :

• Derive 6 Trial Edition (als Download erhältlich unter ftp://ftp.ti.com/pub/graphti/sw-apps/derive/setup.exe 24.03.04)

• Kurvenprofi Version 4.0.1 (http://people.freenet.de/strautz/kurve.exe 24.03.04)

• MuPAD Pro Version 2.5.3 Demo ( über http://www.mupad.de zu erhalten)

• TurboPlot Version 3.0 Demo (http://www.turboplot.de/zip/tplotwin.exe 24.03.04)