1  Einleitung1 Einleitung  

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Inhaltsverzeichnis   

1  Einleitung  3

2  Skizze der historischen Entwicklung der Begriffe Ableitung und Integral  5

2.1  Historische Entwicklung des Begriffes Ableitung  5

2.2  Historische Entwicklung des Begriffes Integral  6

3  Schülervorstellungen zum Differenzenquotienten und Ableitungsbegriff  7

4  Mathematische Zugänge und Ausbildung inhaltlicher Vorstellungen analytischer  

Schwerpunkte   12

4.1  Mathematische Zugänge und inhaltliche Vorstellungen zum Ableitungsbegriff  12

4.1.1  Grafisches Ab- und Aufleiten  18

4.2  Möglichkeiten zur Ausbildung inhaltlicher Vorstellungen zum Integralbegriff  20

4.3  Möglichkeiten der Visualisierung des Ableitungsbegriffes mit IVT  22

5  Schlussbemerkung  26

6  Literatur  27

1. EInleitung1 3

1 Einleitung

Ein Begriff ist eine komplexe Gesamtheit von Gedanken über Unterscheidungsmerkmale einer Klasse von Objekten, die die wesentlichen Eigenschaften der Objekte angeben. „Die wichtigste Aufgabe der Differentialrechnung ist es, den Begriff der Ableitung einzuführen und den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung klarzumachen.“(Klika, 1981, S.7).

Ein zentrales Anliegen des Mathematikunterrichts ist es, den Schülern adäquate Grundverständnisse und Grundvorstellungen zu vermitteln, wodurch die Schüler in der Lage sein sollten mit den wesentlichen Begriffen, Methoden und Regeln der Analysis umgehen zu können (Klika, 1981). Gleichzeitig besteht die Forderung, dass die Anwendbarkeit der Analysis im außermathematischen Bereich, wie beispielsweise im natur-, wirtschafts- und sozialwissenschaftlichen Bereich, deutlich wird. Eine der wesentlichsten Aufgaben der Analysis besteht darin Grenzprozesse zu untersuchen. Dabei stellt die Approximation eine grundlegende Idee dar. In der vorliegenden Arbeit werden Methoden vorgestellt, die einen Vorschlag vor allem zur Ausbildung inhaltlicher Vorstellungen zu den Grundbegriffen der Analysis geben. Zur zeitlichen Einordnung der wesentlichen Begriffe Ableitung und Integral erfolgt ein Abriss über deren historische Entwicklung. In Bezug auf die Behandlung der Begriffe im Unterricht wird der Einsatz des CAS-Systems diskutiert um dargestellte Verständnisprobleme der Schüler zu vermeiden.

2 Skizze der historischen Entwicklung der Begriffe Ableitung und Integral 4

2 Skizze der historischen Entwicklung der Begriffe Ableitung und Integral

2.1 Historische Entwicklung des Begriffes Ableitung

Pierre Simon Laplace (1749-1827) bezeichnete damals Fermat als den Entdecker der Differentialrechnung. Im 17. Jahrhundert verfasste Fermat seine Schrift Methodus ad disquirendam maximam et minimam, in der erstmals infinitesimale Methoden angewendet wurden. Bereits in der Antike führte man Tangentenberechnungen durch, jedoch ohne den Gebrauch von infinitesimalen Methoden. Obwohl Fermat den Grenzwertbegriff noch nicht zur Verfügung hatte, geht die erstmalige Idee einer „kleinen Änderung“ einer Größe auf ihn zurück. 1629 führte Fermat Extremwertaufgaben durch und ersetze dabei A durch A+E. Das folgende Beispiel soll diese Methode näher erläutern: Eine gegebene Strecke B soll in zwei Teile A und B-A geteilt werden, so dass das Produkt der Teilstrecken maximal wird (entspricht dem maximalen Flächeninhalt eines Rechtecks bei gegebenem Umfang). Fermat ersetzte A durch A+E und betrachtete beide Produkte als näherungsweise gleich: A·(B-A) ≈ (A+E)·(B-(A+E)). Nach dem Ausmultiplizieren und dem Dividieren durch E, erhält man B ≈ 2A+E. Fermat setzte E=0 und erhielt die Lösung B=2A. B ist also zu halbieren. In seiner Schrift verwendete Fermat ebenfalls diese Methode zur Berechnung von Tangentensteigungen (Hischer/Scheid, 1995). Folgendes Zitat lässt sich hierzu finden:

Die Methode versagt nie; sie kann sogar auf eine große Anzahl sehr schöner Aufgaben ausgedehnt

werden; mit ihrer Hilfe finden wir die Schwerpunkte von Figuren, die von Kurven und Geraden

begrenzt sind, sowie auch von Körpern und noch vieles anderes, worüber wir vielleicht noch ein

andermal berichten werden, wenn wir dazu Muße finden (Hischer/Scheid, 1995, S.189).

Isaac Barrow griff die Tangentenmethode von Fermat auf und entwickelte diese weiter, indem er das später von Leibniz so genannte charakteristische Dreieck benutzte. Er veränderte bei seiner Methode bereits zwei Größen und setzte das Verhältnis der unendlich kleinen Größen a/e dem Verhältnis der endlichen Größen MP/TP=m/t gleich. Hier fanden Anfänge des Differentialkalküls statt und wurden durch Newton und Leibniz fortentwickelt. 1673 entdeckte Leibniz, dass die Tangentensteigung vom Verhältnis von Ordinaten- und Abszissendifferenz abhängt und entdeckte damit das charakteristische Dreieck. Die Seiten des Dreiecks bezeichnete er später mit dx und dy und nannte sie differentia. Daraus folgt, dass die Tangentensteigung der „Differentialquotient“ dy/dx ist. 1684 veröffentlichte Leibniz

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erstmals etwas zur Differentialrechnung, nämlich Nova methodus pro maximis et minimis itemque tangentibus. Er gab hierbei seinen „Differentialkalkül“ in Form eines Formelsatzes an, nämlich

Diese Entwicklung des „Differentialkalküls“ setzte sich schnell durch, und Bernoulli erstellte ein Vorlesungsmanusript mit dem Titel „Differentialrechnung“(1691/1692). 1699 erschien das erste Lehrbuch der Differentialrechnung von Guillaume François Marquis de l’Hospital. In den folgenden Jahrzehnten wurde das Thema der Differentialrechnung weiter ausgebaut. Von großem Einfluss war dabei das Werk von Euler 1755: Vollständige Anleitung zur Differentialrechnung. In seinem Werk verwendete Euler die infinitesimalen oder die unendlich kleinen Größen der heutigen Analysis, indem er die Null als positive, aber kleiner als jede positive reelle Zahl bezeichnete (Hischer/Scheid, 1995). 1760 nahm D’Alembert erstmals eine Definition des Begriffes Grenzwert vor. Der Begriff derivierte Funktion trat erst bei Lagrange im Jahr 1797 in seiner Théorie des fonctions analytiques auf. Dieser Begriff geht auf unsere heutige Bezeichnung der „Ableitung“ zurück. Ebenfalls führte Lagrange die Bezeichnungen y’, y’’,…ein, welche er neben den von Euler eingeführten Zeichen f’(x), f’’(x),…benutzte. 1823 erschien die endgültige Fassung des Differenzierbarkeitsbegriffs von Cauchy (Hischer/Scheid, 1995). Beim Betrachten des historischen Ablaufs zur Entwicklung des Begriffes Ableitung ist zu vermerken, dass Extremal- und Tangentenprobleme Auslöser dieser Entwicklung waren. Der Differentialkalkül und zugehörige Begriffe haben sich mit innermathematischem Bezug problemorientiert entwickelt. Bei der Konzeption des Unterrichts sollte dies berücksichtigt und darauf eingegangen werden, wenn man ihn problemorientiert gestalten möchte.

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2.2 Historische Entwicklung des Begriffes Integral

Bei der Betrachtung des Begriffes Integral muss man die beiden Begriffe des unbestimmten und des bestimmten Integrals unterscheiden. Das unbestimmte Integral ist eng an die Differenzierbarkeit gekoppelt. Dieser Begriff begann sich, wie bereits in Abschnitt 2.1 aufgeführt, erst im 17. Jahrhundert zu entwickeln. Der Begriff des bestimmten Integrals entwickelte sich bereits in der Antike und hängt ursprünglich mit Fragen der Flächenmessung zusammen. In der Antike versuchte man bereits krummlinig begrenzte Flächen durch entsprechende Verfahren in ein flächeninhaltsgleiches Quadrat umzuwandeln. Dadurch entstand der Name Quadratur. Dabei interessierte man sich besonders für den Kreis. Man zerlegte dazu den Kreis in dreiecksähnliche Sektoren. Eine der ersten Aussagen über krummlinig begrenzte Flächen ist die Aussage Möndchen des Hippokrates. Dabei wusste Hippokrates bereits, dass sich die Kreisflächen wie die Quadrate der Radien verhalten. Es gelang ihm mit Hilfe seiner Methode entscheidende Fortschritte beim Lösen von Quadraturproblemen zu erzielen (Hischer/Scheid, 1995).

Archimedes zeigte anschließend, dass der Inhalt jedes Parabelsegments um ein Drittel größer ist als das Dreieck, das mit ihm gleiche Grundlinie und Höhe hat und bediente sich dabei seines Hilfssatzes, dem Archimedes-Axiom. Bei der Quadratur der Parabel nahm Archimedes eine Approximation vor. Es wurde dafür ein Dreieck einbeschrieben. Durch weitere kleinere Dreiecke wurde die Approximation sukzessive verbessert und damit der gesuchte Flächeninhalt ausgeschöpft. Er zeigte, dass jedes Dreieck den vierfachen Inhalt der beiden ihm zugeordneten kleineren Dreiecke besitzt. Später wurde die Quadratur von Archimedes von Toricelli ausgebaut. Erst im 17. Jahrhundert wurde über Archimedes hinaus ein Schritt in Richtung des heutigen Integrationskalküls getan. Gegen 1626 entwickelte Cavalieri das folgende Prinzip: Wenn zwei Körper mit selber Höhe auf selber Ebene stehend von jeder dazu parallelen Ebene so geschnitten werden, dass die Inhalte der Schnittflächen stets dasselbe Verhältnis haben, dann stehen die Rauminhalte der Körper in demselben Verhältnis. Das Prinzip von Cavalieri ist der Vorläufer des bekannten Satzes, dass man das Integral der konstanten Funktion 1 über einem n-dimensionalen Gebiet als ein n-faches Integral auffassen

kann. Dieses Prinzip tritt in Form von Flächenberechnung und in Form von Volumenberechnungen auf. Die Berechnung des Volumens von Rotationskörpern ist in der Schule die wichtigste Anwendung der Volumenformel(Hischer, Scheid, 1995).

3 Schülervorstellungen zum Differenzenquotienten und Ableitungsbegriff 7

3 Schülervorstellungen zum Differenzenquotienten und Ableitungsbegriff Bei der Erarbeitung des Begriffes Differenzenquotient mit den Schülern ist es für den Unterrichtenden erforderlich sich im Vorfeld damit zu beschäftigen, was die Schüler am Ende der Behandlung über den entsprechenden Begriff wissen und welche Vorstellungen sie damit verbinden sollen. Dabei muss der Lehrer auf psychologische Grundlagen zur Behandlung von Begriffen zurückgreifen. Das Lernen eines Begriffes steht mit dem Ausbilden geistiger Handlungen im Zusammenhang. Die dabei ausgeführten Grundhandlungen sind das Identifizieren und das Realisieren eines Begriffes. Bei Einführung eines neuen Objektes wird dieses mit einem Begriffswort bezeichnet. Im Anschluss sollen zu diesem Begriff Repräsentanten der Menge der Objekte bei Nennen des Begriffswortes hergestellt werden. Eine Studie hat sich mit dem Wissenstand der Schüler über den Begriff Differenzenquotient befasst und untersucht in wiefern Grundvorstellungen vorhanden sind. Dazu wurde an der Universität Wien im Jahr 2000 ein Fragebogen, welcher acht Fragen beinhaltete, erstellt. Die Antworten wurden in folgende Kategorien eingeteilt: Kategorie 1=Richtige Antwort, Kategorie 2=Teilweise richtige Antwort, Kategorie 3=Richtig, aber keine Antwort auf die Frage, Kategorie 4=Falsche Antwort, Kategorie 5=Keine Antwort. Innerhalb dieser Untersuchung kam heraus, dass von 220 befragten Schülern 115 Schüler keine Antwort auf die Frage Was versteht man unter dem Differenzenquotienten einer Funktion hatten. Nur 16 Schüler konnten diese Frage richtig beantworten, während der Rest der Probanden Kategorie 2,3 und 4 zuzuordnen ist (Malle). In der folgenden Tabelle sind die Ergebnisse der 8 gestellten Fragen dargestellt.