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Inhaltsverzeichnis   

1  Einleitung.  2

2  Mathematik und Sprache.  3

2.1  Der didaktische Ort der Sprache im Mathematikunterricht  3

2.2  Die Verbalisierungskompetenz im Mathematikunterricht  4

2.2.1  Definition und Abgrenzung  4

2.2.2  Förderung.  6

2.3  Das Konzept des dialogischen Lernens in Grundzügen  7

2.3.1  Die Kernidee.  7

2.3.2  Der Auftrag  8

2.3.3  Das Lerntagebuch  8

2.3.4  Rückmeldung und Beurteilung durch die Lehrperson  9

2.4  Folgerungen für das Unterrichtsvorhaben.  10

3  Planung der Unterrichtsreihe.  12

3.1  Die Lerngruppe  12

3.1.1  Allgemeine Voraussetzungen.  12

3.1.2  Spezielle Voraussetzungen.  13

3.2  Sachstrukturanalyse.  14

3.2.1  Das Laplace-Modell im Unterricht  15

3.3  Angestrebter Kompetenzzuwachs  17

3.3.1  Fachkompetenz.  17

3.3.2  Aspekte der Verbalisierungskompetenz.  17

3.3.3  Erfassung von Aspekten der Verbalisierungskompetenz.  19

3.4  Aufbau der Unterrichtsreihe  19

3.4.1  Erläuterung der Planung  19

3.4.2  Die Kernidee.  20

3.4.3  Der erste Auftrag  21

3.4.4  Der zweite Auftrag.  21

3.4.5  Erarbeitung von Summenregel und Laplace-Modell  22

3.4.6  Die Nutzung des Laplace-Modells.  23

4  Durchführung und Analyse ausgewählter Unterrichtsabschnitte  24

4.1  Der erste Auftrag.  24

4.1.1  Analyse und Reflexion inhaltlicher Aspekte der Bearbeitung.  24

4.1.2  Analyse und Reflexion weiterer Aspekte der Bearbeitung  26

4.1.3  Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses (3. Stunde)  27

4.1.4  Die Formulierung der Summenregel (6. Stunde)  31

4.2  Der zweite Auftrag.  36

4.2.1  Analyse und Reflexion inhaltlicher Aspekte der Bearbeitung.  36

4.2.2  Analyse und Reflexion weiterer Aspekte der Bearbeitung  38

4.2.3  Die Erarbeitung des Laplace-Modells (8. Stunde)  39

5  Auswertung  42

5.1  Kompetenzorientierte Auswertung  42

5.2  Erwartungshorizont und Auswertung der Klassenarbeit  46

5.3  Auswertung des Fragebogens  47

6  Gesamtreflexion  48

7  Literaturverzeichnis  49

8  Anhang  50

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1 Einleitung

„Je mehr wir sprechen können, desto mehr sehen wir, und je mehr wir sehen können, desto mehr verstehen wir.“ (Hußmann 2003, S. 61 - Saint-Exupéry 2001) Ein Test zu den Kongruenzsätzen, den ich im vergangenen September in einer 8. Klasse schrieb, war der Auslöser folgender Überlegungen: Wie kann es sein, dass fast alle SchülerInnen der Klasse ein über die 3 Seitenlängen definiertes Dreieck einwandfrei konstruierten, während nur etwa die Hälfte aller SchülerInnen die Aussage des Kongruenzsatzes „Seite-Seite-Seite“, der dieser Konstruktion zugrunde liegt, erklären konnte? Anscheinend war einigen SchülerInnen die wesentliche Aussage des Kongruenzsatzes - nämlich die Eindeutigkeit der Konstruktion unter der Voraussetzung bestimmter Angaben - schlicht entgangen. Eine weitere Ursache für diesen Missstand sehe ich in einem Mangel an Ausdrucksvermögen.

Ein geeignetes Mittel, um einerseits dem gedankenlosen Hantieren mit Formeln und Verfahren zu begegnen und andererseits die Sprachkompetenz der SchülerInnen zu fördern, ist das Schreiben von Lerntagebüchern.

Die Schweizer Gymnasiallehrer Peter Gallin (Mathematik) und Urs Ruf (Deutsch) haben auf dem Gebiet der Lerntagebücher „Pionierarbeit“ geleistet (Hußmann 2003, S. 79). Gallin und Ruf entwickelten ihr Konzept des dialogischen Lernens für den Mathematik-und Deutschunterricht mit dem Ziel, den als defizitär empfundenen schulischen Rahmenbedingungen eine praxisorientierte Alternative entgegenzusetzen (Gallin/Ruf I, S. 7ff.). ¹ Das dialogische Lernen ist, wie die beiden Schweizer Didaktiker wiederholt betonen, keine Methode unter vielen, die man nach Bedarf und Zielvorstellung auswählt, sondern eine Grundhaltung, die den ganzen Unterricht prägt. Ein zentrales Merkmal dieser Grundhaltung ist das Verhältnis der Lehrperson zu den SchülerInnen: Es ist nicht das eines Belehrenden gegenüber Weniger-Wissenden, sondern das eines interessierten Zuhörers, der jeden Einzelnen ermuntert zu erzählen, ² „wie er es macht“, und Hilfe zur Selbsthilfe leistet, statt die standardisierte Lösung vorzugeben. Die Bereitschaft der SchülerInnen, ihre Überlegungen offenzulegen, setzt Vertrauen in ein wohlwollendes und fachkundiges Gegenüber voraus. Aus diesem Lehrer-Schüler-Verhältnis ergeben sich Konsequenzen für alle Bereiche des Unterrichts, die sich auch in den 4 Instrumenten des dialogischen Lernens widerspiegeln: 1. Orientierung des Unterrichts an Kernideen, 2. Stellen von Aufträgen, die zum Forschen anregen, 3.

¹ Gallin/Ruf (II) betonen, dass sich das dialogische Prinzip auch auf andere Fächer übertragen lässt, wobei

den Nachweis für diese Behauptung die Lehrkräfte der betreffenden Fächer bringen müssten (vgl. ebd.,

S.7). Die Grundannahmen zu Lernprozessen, auf die Gallin/Ruf ihre „interaktive Didaktik“ aufbauen,

stimmen mit den jüngsten Entwicklungen der fachdidaktischen, psychologischen und pädagogischen

Forschung überein und werden durch Forschungsergebnisse abgesichert (vgl. Gallin/Hußmann, S. 1).

² Gallin/Ruf erläutern, wieso dem Erzählen gegenüber dem Erklären grundsätzlich der Vorzug zu geben ist

(Gallin/Ruf I, S. 152-185): Erklärungen üben letztlich einen Zwang auf den Rezipienten aus - er wird unter

Druck gesetzt, das Erklärte einzusehen und zu verstehen, während Erzählungen den Zuhörer frei lassen.

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Führen eines Lerntagebuchs, ³ in dem die SchülerInnen Spuren ihres Lernprozesses hinterlassen und 4. Nutzbarmachen der individuellen Entdeckungen für den Fortgang des Unterrichts (Rückmeldung).

In der vorliegenden Arbeit geht es um die Umsetzung des dialogischen Lernens in der Klasse 8b des Carl-Friedrich-von-Siemens-Gymnasiums. Das dafür zugrunde liegende Stoffgebiet ist das Laplace-Modell und - auf dem Weg zu dessen Erarbeitung - die Summenregel. Die zentrale Fragestellung dabei ist: „Inwieweit sind die zentralen Elemente des dialogischen Lernens zur Förderung der Verbalisierungskompetenz geeignet?“ ⁴ Vor diesem Hintergrund ergeben sich folgende Leitfragen: 1. Inwieweit sind die SchülerInnen der Klasse 8b dazu zu bewegen, sich schriftlich mit mathematischen Fragestellungen auseinanderzusetzen? 2. Welche Aspekte des dialogischen Lernens fördern dabei die intrinsische bzw. extrinsische Motivation? 3. Spricht das Konzept des dialogischen Lernens gleichermaßen leistungsschwache wie leistungsstarke SchülerInnen an?

2 Mathematik und Sprache

2.1 Der didaktische Ort der Sprache im Mathematikunterricht

Die falsche Dichotomie zwischen Sprache und Mathematik, die sich bis in die Wissenschaft hineinziehe, sei aus vielfältigen Gründen unhaltbar, so Leuders in der Einleitung zum Kapitel Mathematik kommunizieren seines Standardwerks „Mathematikdidaktik“. Denn: Sprachliche Aushandlungsprozesse bedingen erst das Entstehen von Mathematik - Mathematik ohne Sprache sei „sinnentleerte Mathematik“ (vgl. Leuders, S. 59). Nicht nur beim sinnvollen Lernen von Mathematik, sondern als grundlegende Fähigkeit zur Erschließung der Welt rückt die Sprachkompetenz des Menschen in eine Schlüsselposition und gehört zu den fachübergreifenden Zielen des Mathematikunterrichts (vgl. Zech 2002, S. 55).

Bruner konstatiert drei Darstellungsebenen (Repräsentationsmodi), auf denen sich dem Menschen die Umwelt erschließt: die enaktive, die ikonische und die symbolische Darstellung, wobei sich letztere aufgliedert in die verbale Darstellung und die Darstellung mittels des mathematischen Zeichensystems. ⁵ Während nach Bruner zu Beginn des Lernprozesses die enaktive Darstellung dominieren soll, ergeben sich in den folgenden Stadien des Lernens Akzentverschiebungen über die ikonische zur symbolischen Darstellung. Die sprachliche Darstellung ist dabei zugleich Endstufe und Ziel in einem nach Abstraktionsstufen gegliederten Lernprozess (vgl. Zech 2002, S. 104ff.).

³ Gallin/Ruf sprechen vom Reisetagebuch; ich verwende im Folgenden die Bezeichnung Lerntagebuch.

⁴ Zur Definition der Verbalisierungskompetenz im Rahmen dieser Arbeit vgl. Kapitel 2.2.1.

⁵ Auf der enaktiven Ebene wird der Sachverhalt durch eigene Handlungen mit konkretem Material erfasst,

auf ikonischer Ebene durch Bilder, Zeichnungen oder Graphiken. Auf symbolischer Ebene wird ein

Sachverhalt über das gesprochene oder geschriebene Wort bzw. über die mathematische Symbolsprache

vermittelt (vgl. Bruner 1974).

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In Bezug auf Bruners Theorie der Darstellungsebenen wurde jedoch festgestellt, dass SchülerInnen vielfach den als Grundlage des Wissensaufbaus geltenden Zusammenhang zwischen den Stufen des Abstraktionsprozesses nicht erkennen, sondern die Arbeit auf den verschiedenen Stufen als getrennte, voneinander isoliert bleibende Wissensinhalte wahrnehmen (vgl. Maier/Schweiger, S. 87). Dieses Untersuchungsergebnis nehmen Maier/Schweiger zum Anlass, eine „Neubestimmung des didaktischen Ortes der Sprache“ zu unternehmen:

„Die sprachliche Darstellung in ihrer verbalen wie schriftlichen Form darf nicht als isolierte Stufe

gesehen und behandelt werden, sondern muss sich von Beginn des Lernprozesses an mit den

Darstellungen in konkreten und zeichnerischen Modellen verbinden.“ (ebd.)

Auch nach Bruner kommt der „wechselseitigen Beziehung und damit letztlich der wechselseitigen Stützung der Darstellungsweisen“ entscheidende Bedeutung zu, wobei er der Sprache eine Leitfunktion innerhalb der intellektuellen Entwicklung für Handlung, Wahrnehmung und Denken zuweist: „Die Denkentwicklung ist nach Bruner als eine immer bessere Koordination zwischen den verschiedenen Darstellungsebenen (unter wesentlicher Beteiligung der Sprache) zu verstehen“ (vgl. Zech 2002, S. 105). Die sprachliche Darstellung mathematischer Sachverhalte ist also nicht nur die Endstufe im Lern- und Abstraktionsprozess, sondern sie wird zum Medium des Lernens. Auch Ausubel u.a. (1980) weisen der Sprache im Mathematikunterricht eine tragende Rolle zu: Nicht nur aufgrund ihrer kommunikativen Funktion, sondern insbesondere aufgrund ihrer integrierenden, das Denken fördernde aktiven Funktion erleichtere Sprache das „sinnvolle Lernen“ ganz erheblich. Dabei betonen Ausubel u.a. die Vorrangstellung der Umgangssprache bei der Formulierung von Vorerfahrungen und Lernergebnissen gegenüber der Fachsprache, weil jene besser in der kognitiven Struktur der SchülerInnen verankert ist (vgl. Zech 2002, S. 128ff.). 6

2.2 Die Verbalisierungskompetenz im Mathematikunterricht

2.2.1 Definition und Abgrenzung

Maier/Schweiger konstatieren, dass SchülerInnen über die Anforderungen an die mündliche Sprachproduktion im Rahmen eines gemeinsam erarbeitenden Unterrichts hinaus auch „ausführlich über die in einer häuslichen oder schulischen Alleinarbeit oder in unterrichtlicher Partner- und Gruppenarbeit unternommenen Aktivitäten, über dabei

⁶ Unter der kognitiven Struktur verstehen Ausubel u.a. Inhalt und Anordnung der kognitiven

Repräsentationen einer Person. Die wichtigste Bedingung sinnvollen Lernens auf Seiten der Lernenden sei

die Qualität deren kognitiver Struktur, welche durch die Vielfalt der „subsuming concepts“ sowie deren

Klarheit und Struktur bestimmt ist. Der Versuch, neu zu lernende Bedeutungen in der schon bestehenden

kognitiven Struktur an möglichst klaren und stabilen allgemeinen Vorstellungen zu verankern, sei als

„entscheidende Lehrermaßnahme“ zu kennzeichnen: Dies umfasst zum einen die Anknüpfung an

Vorerfahrungen der SchülerInnen, auch an (außerschulische) Alltagserfahrungen. Zum anderen soll an das

Sprachrepertoire der Lernenden, in dem sich ihr Alltagswissen repräsentiert, angeschlossen werden. Im

Vergleich zu Bruner tritt bei Ausubel u.a. also nicht so sehr eine bestimmte Darstellungsebene, sondern

„eine möglichst vertraute Sprach- und Erfahrungsebene in den Vordergrund“ (vgl. Zech 2002, S. 130).

Diesen Erkenntnissen trägt das Konzept des dialogischen Lernens Rechnung (vgl. Kapitel 2.3).

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_____________________________________________________________________ gewonnene Erkenntnisse, angewendeten Lösungsverfahren oder gefundenen Lösungen“ in schriftlicher Form berichten können müssen. Und weiter: „Ihr ‚schriftlicher Ausdruck’ im Fach Mathematik darf nicht auf das Niederschreiben normierter Verfahrensprotokolle beschränkt bleiben“, sondern er müsse eigenständig formulierte Texte einschließen (vgl. Maier/Schweiger, S. 166). Die SchülerInnen sollen nicht nur fachsprachliche Termini in mathematikhaltigen Texten verstehen, sondern sich auch ihrem Alter und ihrem kognitiven Entwicklungsstand angemessen in eigenen Sprachprodukten des fachsprachlichen Registers bedienen können (vgl. ebd., S. 168). ⁷ Durch die in den Bildungsstandards für den mittleren Schulabschluss im Fach Mathematik verankerte Kompetenzorientierung (vgl. KMK, S. 6ff.) wird der Bedeutung der Sprachkompetenz als fachlich verankertes und fachübergreifendes Bildungsziel Rechnung getragen. Die in der Unterrichtsreihe zu fördernde Verbalisierungskompetenz kann in Anlehnung an Maier/Schweiger demnach als Teilkompetenz der prozessbezogenen Kompetenz des mathematischen Kommunizierens aufgefasst werden. Diese wird im RLP folgendermaßen umschrieben:

„Die Kommunikation über mathematische Zusammenhänge bzw. mit mathematischen Mitteln

umfasst zunächst das verständige Lesen mathematischer Texte sowie das verstehende Zuhören.

Auf der Seite des Sprechers gilt es, mathematische Zusammenhänge sowohl in natürlicher

Sprache als auch unter Verwendung einer angemessenen Fachsprache adressatengerecht zu

verbalisieren. Ebenso gehört zum mathematischen Kommunizieren das Dokumentieren und

Präsentieren von Überlegungen und Lösungswegen unter Nutzung geeigneter Medien. Die

Sprache ist das zentrale Verständigungsmittel beim kooperativen Arbeiten an mathematischen

Problemen und bei der Aushandlung mathematischer Begriffe.“ (RLP, S. 11)

In Anlehnung an die (mathematische) Kommunikationskompetenz wird die Verbalisierungskompetenz im Rahmen dieser Arbeit definiert als Fähigkeit, Überlegungen, Lösungswege und Ergebnisse - in natürlicher Sprache und auch fachsprachenadäquat - zu dokumentieren und verständlich darzustellen. Wie aus dieser Definition hervorgeht, beziehe ich mich auf die „aktive Komponente“ (vgl. Blum u.a., S. 20) der Kompetenz des mathematischen Kommunizierens, wobei der Schwerpunkt auf der schriftlichen Verbalisierungskompetenz liegt (zur Begründung vgl. Kapitel 2.2.2). Gegenüber der Kompetenz des mathematischen Kommunizierens umfasst die Verbalisierungskompetenz also ausschließlich die Produktion (mit eigenen Worten, fachsprachenadäquat) verständlicher mathematikhaltiger Texte, wohingegen Rezeption und (mündliche) Präsentation in den Hintergrund treten. Dass die Förderung der Verbalisierungskompetenz auch positive Auswirkungen auf die Fähigkeit zur

⁷ Zu den Charakteristika mathematischer Fachsprache vgl. Hußmann 2003, S. 60ff. Zu den Zielen der

Förderung fachsprachlicher Kompetenz sowie zur Diskussion, inwieweit die Fachsprache zu einem

eigenständigen Lehrinhalt des Mathematikunterrichts werden soll, vgl. Maier/Schweiger, S. 170ff.

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_____________________________________________________________________ Rezeption mathematikhaltiger Texte und Äußerungen bzw. die Präsentation von Überlegungen und Lösungswegen hat (und umgekehrt), versteht sich von selbst. ⁸ Hinsichtlich des Anforderungsniveaus werden folgende Dimensionen (D) unterschieden:

- Umfang der selbstständigen Dokumentation (D1)

- Verständlichkeit der Darstellung (D2)

- Umfang der Verwendung von Fachbegriffen (D3) Leiß/Blum folgend unterscheide ich 3 Anforderungsbereiche (AB): AB I: Die SchülerInnen können einfache mathematische Sachverhalte darlegen. AB II: Die SchülerInnen können Lösungswege, Überlegungen und Ergebnisse verständlich und i.d.R. in mehreren Schritten darlegen.

AB III: Die SchülerInnen können eine kohärente und vollständige Darstellung eines komplexen Lösungs- und Argumentationsprozesses entwickeln.

2.2.2 Förderung

Die so definierte Verbalisierungskompetenz kann zugleich gefördert und diagnostiziert werden, indem die SchülerInnen zur Sprachproduktion angeregt werden. ⁹ Von SchülerInnen verfasste, mathematikhaltige Texte nennen Maier/Schweiger „textliche Eigenproduktionen“. Diese sind dadurch charakterisiert, dass sie über das Notieren von Lösungsschritten und Ergebnissen mathematischer Aufgaben hinausgehen, indem die SchülerInnen „etwa unter Einbeziehung alltagssprachlicher Formulierungen die Problemstellung bzw. das Lösungsziel, die Lösungsschritte - evtl. auch der erfolgreichen Bearbeitung vorausgegangene Umwege und Irrwege - sowie das Ergebnis ausführlich beschreiben sowie Lösungsschritte erläutern und begründen“. Die „persönlichen Beziehungen“ der SchülerInnen zum mathematischen Inhalt und der Umgang mit ihnen können ebenfalls angesprochen werden (vgl. Maier/Schweiger, S. 183ff.). 10

Gegenüber dem Sprechen bietet das selbstständige schriftliche Formulieren den Vorteil, dass es den Prozess der sprachlichen Äußerung verlangsamt und somit dem Lernenden Zeit lässt, „seine Beobachtungen zu strukturieren, seine Gedanken zu sammeln und zu ordnen sowie sorgfältig und überlegt darzustellen“: Sprachmittel können bewusst ausgewählt werden und auch der Gebrauch von fachsprachlichen Termini, die noch nicht in den aktiven Wortschatz des Lernenden übergegangen sind, kann erprobt werden. Mehr noch als die mündliche Sprachproduktion gibt die textliche Eigenproduktion dem Lernenden die Gelegenheit, „sein Wissen, sein Verstehen und seine Argumente der Bewährung auszusetzen, um sie gegebenenfalls zu überprüfen

⁸ Von der Kompetenz des Argumentierens ist die des mathematischen Kommunizierens insofern

abzugrenzen, als dass bei letzterer ein externer Adressat entscheidend ist (vgl. Leiß/Blum, S. 48f.).

⁹ Nach Kaufhold (2006) ist die Bestimmung von Kompetenz „nur in Situationen möglich, in denen sie

tatsächlich gefordert ist und zur Anwendung kommen kann“ (Kaufhold, S. 24).

¹⁰ Maier/Schweiger stellen eine Liste von Textsorten bereit, die SchülerInnen produzieren können (vgl.

ebd., S. 184f.). Diese und weitere Textsorten finden sich auch bei Gallin/Ruf (vgl. Gallin/Ruf II, S. 94).

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und zu modifizieren“. Mathematische Sachverhalte müssen in besonderer Weise analysiert und verstehend durchdrungen werden, wenn sie schriftlich dargestellt werden (vgl. ebd., S. 187).

Auch Gallin und Ruf messen in ihren Ausführungen zum dialogischen Unterrichtskonzept der Schriftlichkeit eine besondere Bedeutung bei:

„Der Gebrauch der schriftlichen Sprache hat im Projekt eine zentrale Rolle gespielt. Beim

Schreiben verlangsamen und klären sich Gefühle und Gedanken, nehmen Gestalt an und fordern

zur Stellungnahme heraus. Wer schreibt, übernimmt in besonderer Weise Verantwortung für

seine Position und öffnet sich der Kritik.“ (Gallin/Ruf I, S. 55)

Über die Verlangsamung der Denkbewegung und die Positionierung gegenüber dem Thema hinaus sei die Aufforderung zum Gebrauch der schriftlichen Sprache ein wirksames Mittel, um - insbesondere im Fach Mathematik - dem „Übel des verständnislosen Hantierens mit Algorithmen“ zu begegnen (vgl. Gallin/Ruf I, S. 63). ¹¹ Ein geeignetes Medium, um textliche Eigenproduktionen zu fördern, ist nach einhelliger Meinung das Schreiben von Lerntagebüchern, das als regelmäßige Aktivität im Unterricht etabliert wird. 12

2.3 Das Konzept des dialogischen Lernens in Grundzügen

2.3.1 Die Kernidee

Ausgangspunkt des Lernprozesses ist die Kernidee. Eine Kernidee umfasst „all das, was unserem Tun Antrieb und Richtung gibt“, d.h. die meist unbewussten Vorstellungen, welche die Triebfeder menschlichen Handelns sind. Eine Kernidee gibt dem Schulstoff ein Gesicht, macht ihn zu einem „attraktiven und herausfordernden Gegenüber für die Lernenden“; sie gibt den Blick frei auf die Gesamtheit eines Stoffgebiets, weckt die Neugier der Lernenden, bietet Raum für authentische Begegnungen und fordert zur singulären Standortbestimmung auf (vgl. Gallin/Ruf I, S. 45 und S. 59). Bei der Entwicklung einer Kernidee gilt es zunächst, mein persönliches Interesse an dem zu vermittelnden Stoff, die Bedeutung, die er für mich hat, aufzuspüren (biographischer Aspekt), denn:

„Spüren die Schülerinnen und Schüler bei ihrer Begegnung mit einem neuen Thema nicht in

erster Linie die unerreichbare Überlegenheit ihrer Lehrkraft, sondern die singuläre Betroffenheit

einer Person, sind auch sie zu einer persönlichen Antwort eingeladen.“ (ebd., S. 60)

Durch die „singuläre Betroffenheit“ der Lehrperson fühlen sich die SchülerInnen herausgefordert, ihr eigenes Verhältnis zum Stoff zu klären, sich gegenüber dem Stoffgebiet zu positionieren, d.h. ihre eigenen Kernideen zu entwickeln (Wirkungsaspekt). Dies ist insofern von Bedeutung, als dass der Schulstoff die Person

¹¹ Zu den positiven Folgen in Bezug auf die Persönlichkeitsentwicklung der Lernenden, die die

Aufforderung zur ausführlichen Darlegung der Gedanken mit sich bringt, vgl. Gallin/Ruf II, S. 56.

¹² Maier/Schweiger verweisen in Bezug auf textliche Eigenproduktionen auf Kasper/Lipowsky (1997),

Wittmann (1996), Waywood (1992), Miller (1992), Skypek (1981) und Gallin/Ruf (1993) (vgl. S. 184ff.).

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nur dann „berühren, sie durchdringen und verändern“ kann, wenn sie zunächst ihre Position gegenüber dem Stoff und der Lehrperson bewusst einnimmt und von hieraus den Dialog sucht. Hat die Kernidee im Lernenden Fuß gefasst, hat der Stoff also eine persönliche Bedeutung für ihn gewonnen, erachtet er die Beschäftigung mit ihm als sinnvoll und braucht sich bei der Frage nach dem Wozu? nicht auf die ferne Zukunft vertrösten zu lassen. (vgl. ebd., S. 61ff.). ¹³ Außerdem sind Kernideen charakterisiert durch den Sachaspekt: Sie stellen ein Stoffgebiet in vagen Umrissen vor, rücken eine provozierende Eigenheit in den Vordergrund und laden zu einem partnerschaftlichen Dialog ein (vgl. Gallin/Ruf II, S. 29). 14

2.3.2 Der Auftrag

Nachdem die Aufmerksamkeit der SchülerInnen auf die Sache gelenkt worden ist, soll der Auftrag sie in eine „fruchtbare und anhaltende Auseinandersetzung mit dem Stoff“ führen. Ein Auftrag im Sinne des dialogischen Lernens sollte 3 Merkmale aufweisen, um SchülerInnen mit sehr unterschiedlichen Voraussetzungen zu eigenständigem Lernen zu führen (vgl. ebd., S. 49): Der 1. Teil des Auftrags muss einen Einstieg in die Arbeit anbieten, der für alle erfüllbar ist und auf unterschiedlichen Niveaus zu interessanten Lösungen führen kann (Ermutigung zur singulären Produktion). Der zweite Teil „zielt ins Herz der Sache“: Er ist die so genannte „Rampe“, die die leistungsstärksten SchülerInnen zu Höchstleistungen herausfordert (Herausforderung durch ein anspruchsvolles Gegenüber). Das 3. Merkmal eines guten Auftrags ist seine Offenheit: „Nur offene Aufträge, Aufträge also, zu denen viele Lösungen denkbar sind, ermöglichen kreative

Eigentätigkeit und fordern Stärkere und Schwächere gleichermaßen heraus.“ (Spannung für die

anwesenden Lernpartner) (ebd.)

2.3.3 Das Lerntagebuch

Das Lerntagebuch ist der Ort, an dem sich die Lernenden schriftlich mit dem Auftrag auseinandersetzen. Es gilt, das in einer ihnen (noch) fremd anmutenden Sprache formulierte Problem in ihre eigene Sprechweise umzuwandeln und mit persönlichen Erlebnissen und Erfahrungen in Verbindung zu bringen. Die SchülerInnen dokumentieren im Lerntagebuch chronologisch, wie sich die Auseinandersetzung mit dem Stoff und den Lernpartnern abgespielt hat; die Einträge müssen so ausformuliert werden, dass sowohl Lernpartner wie auch die Lehrperson

¹³ Die Didaktik der Kernideen unterscheidet sich in diesem Punkt maßgeblich von der „segmentierenden

Didaktik“, welche das Stoffgebiet „in Einzelteile zerlegt […], die dann nach dem Prinzip Vom Einfachen

zum Schwierigen additiv aneinander gereiht und häppchenweise verabreicht werden“. Wie diese Einzelteile

zusammenhängen, sich zu einem Ganzen fügen, das faszinieren kann, erkennt der Lernende (bestenfalls)

erst, wenn ihm das letzte Segment vermittelt worden ist (vgl. Gallin/Ruf I, S. 62).

¹⁴ Kernideen werden so zur Schnittstelle zwischen der Welt des Regulären und der des Singulären, wobei

die Autoren unter der Welt des Regulären die des standardisierten, normierten Wissens verstehen, während

die Welt des Singulären die persönlichen, individuellen Gedanken und Gefühle umfasst (vgl. Gallin/Ruf I,

S. 24). Der Schritt vom Singulären zum Regulären vollzieht sich beim dialogischen Lernen zwar langsamer

und umständlicher als in einem vermittelnden Unterricht, in dem das Reguläre meist sofort präsent ist, aber

so, dass das Reguläre nie als etwas Fremdes, Beängstigendes erlebt wird, sondern immer in enger

Verbindung zur eigenen singulären Welt steht.

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darin zurechtfinden können - „Stichwörter und zusammenhanglose Kritzeleien genügen nicht“. Außerdem sollen sich die Lernenden unzensiert über ihre Gedanken und Ideen auslassen, denn im Lerntagebuch gelten „die lokalen Normen des internen Sprachgebrauchs“ (vgl. Gallin/Ruf II, S. 90). 15

Der letztgenannte Aspekt ist im Hinblick auf die Förderung der Verbalisierungskompetenz wie auch im Hinblick auf sinnvolles Lernen im Allgemeinen sehr bedeutsam: Verstehen ist an Sprache gebunden. Wenn die SchülerInnen etwas selbst verstehen können sollen, setzt dies voraus, dass sie ihre eigene Sprache benutzen dürfen. Möchte man verstehensorientiert unterrichten, so dürfen die textlichen Eigenproduktionen der SchülerInnen nicht an globalen, externen Normen gemessen werden, sondern an den lokalen Normen des internen Sprachgebrauchs (vgl. Gallin/Ruf I, S. 63ff.). ¹⁶ Die Nutzung des internen Sprachgebrauchs wird beim dialogischen Lernen jedoch nicht nur zugelassen, sondern als Medium der Produktivität und Kreativität bewusst gefördert, indem die SchülerInnen zum Festhalten flüchtiger Gedanken, Empfindungen, unfertiger Ideen und vagen Vermutungen aufgefordert werden (vgl. Merkblatt: Anhang, S. 50). Schriftlichkeit steht hier im Dienst einer übergeordneten Problemstellung und Intention: Man schreibt, um etwas festzuhalten, zu bearbeiten, zu klären oder mitzuteilen, nicht um zu beweisen, dass man fehlerfrei schreiben kann (vgl. Gallin/Ruf II, S. 93ff.). ¹⁷ Während SchülerInnen die geeigneten Normen des internen Sprachgebrauchs „intuitiv sehr schnell“ erfassen, muss die Lehrperson diese für jeden Lernenden neu konstituieren. Dabei ist jeweils der variierende Gebrauchszusammenhang maßgebend.

2.3.4 Rückmeldung und Beurteilung durch die Lehrperson

Das dialogische Lernen sieht als nächsten Schritt des Lernens auf eigenen Wegen die Rückmeldung vor. Da die SchülerInnen bei der Bearbeitung des Auftrags noch nicht über reguläre Begriffe und Verfahren verfügen, dürfen ihre Leistungen nicht an einer externen Norm, sondern müssen an dem individuellen Leistungsvermögen des einzelnen Schülers gemessen werden. Eine Rückmeldung, die den Lernenden „mit einem angemessenen singulären Maßstab“ konfrontiert, und ihm zeigt, „wo er steht und in welche Richtung er sich entwickeln könnte“, wird sowohl der Sache als auch dem Lernenden gerecht (vgl. Gallin/Ruf I, S. 58).

Als wohlwollender und sachkundiger Gesprächspartner reagiert die Lehrperson in einer persönlichen, nicht neutralen Weise auf den Lerntagebuchtext, indem sie Ich-Botschaften formuliert und ihre Meinung als eine von vielen möglichen zu erkennen gibt.

¹⁵ Darüber hinaus soll eine klare Struktur der Einträge (Datum, Auftrag, persönliche Auseinandersetzung

mit dem Thema, Rückmeldung) eingehalten werden (vgl. Gallin/Ruf I, S. 64).

¹⁶ Auch Maier/Schweiger (vgl. S. 185) betonen, dass die sprachliche Formulierung textlicher Eigen-

produktionen nicht durch das Befolgen vorgegebener Darstellungsnormen geprägt sein darf, sondern dass

die SchülerInnen sich eigenständig der ihnen aktiv verfügbaren Sprachmitteln bedienen müssen.

¹⁷ Dem internen Sprachgebrauch wird in der Schule normalerweise kaum ein Wert beigemessen: Notizen,

Entwürfe, „Gekritzel“, die dem fertigen Endprodukt vorausgehen, finden im Kontext Schule keine

Beachtung, sondern werden „bloß geduldet, oft verpönt, manchmal sogar verboten“ (Gallin/Ruf II, S. 93).

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Eine Rückmeldung soll Gelungenes verstärken, indem sie das Potential von interessanten Versuchen und fruchtbaren Irrtümern freilegt, indem sie bewusst macht, was gelungen ist, und somit den produktiven Kräften des Lernenden Richtung und Ziel gibt. Schließlich sollen Rückmeldungen konkret sein, d.h. sie stellen Brauchbares, das sich im kreativen Prozess undeutlich ankündigt, heraus und lassen anderes unkommentiert stehen (vgl. Gallin/Ruf II, S. 147ff.). Neben dieser persönlichen, verstärkenden und konkreten Rückmeldung sieht das dialogische Unterrichtskonzept eine Beurteilung durch „Häklein“ vor, die grob andeutet, wie die Lehrperson die erbrachte Leistung einschätzt. Die Vergabe der Häkchen orientiert sich nicht nur an den singulären Spuren im Lerntagebuch, sondern auch an den altersgemäßen Lernzielen: Ein Häkchen wird gesetzt, wenn der Lerntagebucheintrag darauf schließen lässt, dass sich der Lernende intensiv genug mit dem Thema befasst hat und eine „genügende Leistung“ erbracht hat, bzw. wenn er auf einem guten Weg ist, die vorgegebenen Lernziele zu erreichen. Ein durchgestrichenes Häkchen signalisiert dem Lernenden, dass er diese Minimalanforderungen nicht erfüllt hat und sich intensiver mit der Thematik auseinandersetzen muss. 2 Häkchen vergibt die Lehrperson, wenn sie z.B. einen interessanten Einfall, eine eigenständige Einschätzung oder einen mutigen Versuch würdigen möchte. Fließend ist der Übergang zu 3 Häkchen, die bei einem so genannten „Wurf“ vergeben werden: Dies kann z.B. eine originelle Idee, ein unerwarteter Durchblick oder ein ungewöhnliches Problembewusstsein sein (vgl. Gallin/Ruf II, S. 150ff.).

2.4 Folgerungen für das Unterrichtsvorhaben

Aus den bisherigen Ausführungen geht hervor, dass das dialogische Lernen mindestens in zweifacher Hinsicht zur Förderung der Verbalisierungskompetenz beiträgt: (1) In Bezug auf das Schreiben von Lerntagebüchern wurde der Beitrag zur Kompetenzförderung bereits in den vorangegangenen Kapiteln erläutert. Die zu bearbeitenden Aufträge müssen dabei so gestaltet sein, dass sich leistungsstarke wie leistungsschwache SchülerInnen zu sachbezogener Tätigkeit herausgefordert fühlen. (2) Der erste und wichtigste Schritt zur Herausforderung textlicher Eigenproduktionen ist jedoch die Motivation und das Angesprochen-Sein der SchülerInnen. So hebt z.B. Zech hervor: Die „überragende Bedeutung der Motivation für das Lernen liegt bekanntlich darin, dass [sie] einesteils wesentliche Voraussetzung für fast alles Lernen, insbesondere für kognitives Verstehen ist (ich verstehe nur, wenn ich verstehen will).“ (Zech 2005, S. 40). ¹⁸ Während im herkömmlichen Unterricht die Bereitschaft zu lernen

¹⁸ Die Bedeutung der Motivation für den Kompetenzerwerb wird auch bei Weinert (2001) deutlich: Er

definiert Kompetenzen als „die bei Individuen verfügbaren oder durch sie erlernbaren kognitiven

Fähigkeiten, um bestimmte Probleme zu lösen sowie die damit verbundenen […] Bereitschaften und

Fähigkeiten, um die Problemlösungen in variablen Situationen erfolgreich und verantwortungsvoll nutzen

zu können“. Nicht nur die Fähigkeit, sondern auch die Bereitschaft, diese Fähigkeit entsprechend zu

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oft mit der Ankündigung der nächsten Klassenarbeit erzeugt wird, zielt das dialogische Lernen auf die intrinsische Motivation der SchülerInnen: Ziel des Unterrichtens mit

Kernideen ist es, die SchülerInnen über die singuläre Betroffenheit der Lehrperson zu einer eigenen Standortbestimmung aufzufordern: Nicht das Abrufen eingeübter Schemata, sondern die authentische Begegnung zwischen dem Lernenden und dem Schulstoff steht im Vordergrund. Bevor die Lösung in den Fokus genommen wird, sind die SchülerInnen dazu eingeladen, sich ohne Erwartungsdruck auf die Sache einzulassen, Denkblockaden und Widerstände zu benennen, ihre innere Bewegung zu dokumentieren und somit eine persönliche Beziehung zum Stoff aufzubauen. Diese singuläre Standortbestimmung motiviert - insbesondere bei leistungsschwachen SchülerInnen - auch die fachliche Auseinandersetzung mit dem Schulstoff. Die Motivation der SchülerInnen zur schriftlichen Auseinandersetzung mit Mathematik wird darüber hinaus durch folgende Unterrichtsarrangements begünstigt:

- Die Lehrperson orientiert sich an den Fragen und Interessen der Lernenden.

- Unterrichtssituationen, in denen die SchülerInnen miteinander über die Sache ins Gespräch kommen, werden zugelassen und gezielt gefördert.

- Im Unterricht wird auf Begriffe und Sachverhalte zurückgegriffen, die den SchülerInnen aus dem Alltag oder dem vorangegangenen Unterricht vertraut sind (vgl. Zech 2002, S. 132f.).

- Die Schülerbeiträge werden nicht an normierten Erwartungen gemessen.

- Die Lehrperson begegnet den SchülerInnen und ihren Texten als wohlwollendes und sachkundiges Gegenüber.

- Ausgewählte textliche Eigenproduktionen werden für alle zugänglich gemacht, so dass die SchülerInnen nicht nur für sich selbst, sondern auch für andere schreiben (vgl. Kapitel 3.4.5).

- Die Lehrperson korrigiert nicht produkt-, sondern prozessorientiert - die Individualnorm ist von größerer Bedeutung als die Fachnorm.

- Die Lehrperson verstärkt in ihrer Rückmeldung Gelungenes und legt das Potential von fruchtbaren Irrtümern frei.

- Die Lehrperson würdigt besonders mutige, originelle oder ungewöhnlich gute Einfälle durch die Vergabe von 2 bzw. 3 Häkchen.

Auf einen weiteren wichtigen Aspekt sei an dieser Stelle hingewiesen: „Die Sprache des Verstehen-Wollens sei lange Zeit die Umgangssprache als Weg zur Erfindung

der Fachsprache aus sachlicher Notwendigkeit. […] Auf Verlust der Umgangssprache […] kann

kein ernsthaftes Lernen aufbauen.“ (Wagenschein, S. 15f.)

Die Bedeutung einer verständlichen Unterrichtssprache für die Sprachförderung und auch für einen „verständnisorientierten Mathematikunterricht“ im Allgemeinen wird von

nutzen, ist also Bestandteil der Kompetenz. Diese Bereitschaft zur Nutzung einer Kompetenz kann im

schulischen Rahmen am besten über die Motivation der SchülerInnen erzeugt werden.