Inhaltsverzeichnis

1  Vektorwertige Distributionen. Tr ager, Konvergenz, Strukturaus-  

sagen   1

1.1  Der Raum der Distributionen D (Ω, E)  

   1

1.2  Konvergenz in D (Ω, E)  

   5

1.3  Das Strukturtheorem f ur Distributionen aus D (Ω, E)  

   7

2  Vektorwertige Distributionen. Faltung, temperierte Distributio-  

nen  , Laplace-Transformation  21

2.1  Die Faltung vektorwertiger Distributionen  21

2.2  Schwartz-Funktionen und temperierte Distributionen  31

2.3  Laplace-Transformation  43

3  Faltung und translationsinvariante Operatoren  61

3.1  Eigenschaften von Translation und Faltung  61

3.2  Stetigkeit und Differentiation in Distributionenr aumen  63

3.3  Translationsinvariante Operatoren  66

4  Das Cauchy-Problem im Distributionensinn  75

4.1  Definition des Cauchy-Problems im Distributionensinn  75

4.2  Charakteristische Funktion und Resolvente vektorwertiger Distri-  

butionen   78

5  Abstrakt parabolische Distributionen  87

5.1  Charakterisierung abstrakt parabolischer Distributionen  87

5.2  Anwendung auf das klassische Cauchy-Problem  94

i

6  Beispiele und Anwendungen  101

6.1  Motivierendes Beispiel  101

6.2  Das mild wohlgestellte Cauchy-Problem  104

ii

Bezeichnungen

F¨ ur die Menge der nat¨ urlichen, ganzen, reellen oder komplexen Zahlen benutzen

ublichen Bezeichnungen N, Z, R und C. wir die ¨

E, X

id E

(E, X)

· · (E,X)

D(A)

L ¹ loc (R + , E)

L ² (R)

H ^p (R)

C

C p

C ∞

C c

D(Ω)

D p (K)

· · p

D

D (Ω, E)

D (E)

D (Ω)

D

D 0 (E)

D + (E)

0 ((E, X)) ⁻¹ D

E (E)

E 0 (E)

iii

S

· j,k

S j,k

S (E)

ω (E)

U, ϕ

(U ⊗ u)(ϕ)

D k

f ∗ g

U ∗ V

(supp U) d

(·) c

τ h f

τ h U

LU, Lf

abs(f )

F , F −1

P(λ, P )

p(P )

R(λ, P )

r(P )

R(λ, A)

ρ(A)

Λ(α, β)

+ Ω(α, β)

^∞

Klasse der abstrakt elliptischen Operatoren

iv

Einleitung

Die vorliegende Arbeit befaßt sich mit der Anwendung der Theorie vektorwertiger

Distributionen auf das Cauchy-Problem (Anfangswertproblem)

wobei A : D(A) ⊆ E → E ein abgeschlossener Operator auf einem Banachraum

E und u 0 ∈ E ein gegebener Anfangswert ist. Die gesuchte L¨ osung u(·) : R → E

ist somit eine vektorwertige Funktion.

Diese Problemstellung ist motiviert durch die Tatsache, daß eine partielle Diffe-rentialgleichung wie beispielsweise die W¨ armeleitungsgleichung

mit der Anfangsbedingung

u(x, y, 0) = u 0 (x, y) ( 4 )

als vektorwertige gew¨ ohnliche Differentialgleichung aufgefaßt werden kann, indem

man die Funktion u : R → E durch u(t) = u(x, y, t) und den Operator A : E → E

entsprechend durch Au = u xx + u yy = Δu definiert. Der Banachraum E ist in

diesem Fall der Raum L ² (R ² ).

Wir nennen u(·) eine klassische L¨ osung des Cauchy-Problems f¨ ur t ≥ 0, wenn

u(·) eine Funktion ist, die stetig differenzierbar in t ist und die Gleichungen (1),

(2) erf¨ ullt, und wenn außerdem u(t) ∈ D(A) f¨ ur t ≥ 0 erf¨ ullt ist. Unter diesen

Bedingungen ist die Funktion u(·, ·, ·) eine klassische L¨ osung von (3) und (4). Liegt

der Raum der Anfangswerte u 0 , zu denen klassische L¨ osungen existieren, dicht in

E, und h¨ angen die L¨ osungen stetig von den Anfangswerten ab, so nennt man

das Cauchy-Problem wohlgestellt (f¨ ur die exakte Definition vgl. S.94, Definition

5.2.1).

Man kann diese Problemstellung verallgemeinern, indem man die Funktion u(·)

als Distribution und die Ableitung in (1) als distributionelle Ableitung auffaßt.

Dies motiviert die Formulierung eines schw¨ acheren Begriffs der Wohlgestelltheit

mit Hilfe der Theorie vektorwertiger Distributionen. Eine Differentialgleichung

der Form

(D − A)U = F, (5)

wobei D die Ableitung im Distributionensinne und F , U vektorwertige Distribu-

tionen bezeichnen, und in der (D − A) ein translationsinvarianter Operator ist,

l¨ aßt sich ¨ aquivalent als Faltung

mit P = δ ⊗ id E − δ ⊗ A schreiben. Die Distribution P besitzt genau dann eine

Faltungsinverse S, wenn (6) eine sogenannte L¨ osung im Distributionensinne be-

sitzt und diese gegeben ist durch U = S ∗F. Existiert zu jeder rechten Seite F eine

solche L¨ osung U, und h¨ angt diese stetig von F ab, so nennt man das betrachtete

Cauchy-Problem wohlgestellt im Distributionensinne (vgl. S.75, Definition 4.1.1).

Die vorliegende Arbeit befaßt sich zun¨ achst eingehend mit den Eigenschaften

vektorwertiger Distributionen. Als Zugang zur Theorie vektorwertiger Distribu-

tionen wurde hier der Ansatz von Hector O. Fattorini gew¨ ahlt, den dieser in

Kapitel 8 von [FAT] darlegt. Die Besonderheit dieses Ansatzes besteht darin, daß

als Testfunktionen nur Funktionen auf R oder auf Teilmengen Ω ⊆ R betrachtet

werden. Dies erm¨ oglicht den Beweis des Strukturtheorems, welches besagt, daß

eine Distribution lokal stets als h¨ ohere Ableitung einer stetigen Funktion aufge-faßt werden kann. Dieses Resultat ist fundamental f¨ ur die folgende Theorie, da

es die R¨ uckf¨ uhrung von Aussagen ¨ uber Distributionen auf Aussagen ¨ uber stetige

Funktionen erm¨ oglicht.

Eine besondere Schwierigkeit bereitet der Begriff der Stetigkeit in Distributio-nenr¨ aumen. Da diese im allgemeinen nicht metrisierbar sind, ist Stetigkeit nicht

¨ aquivalent zu Folgenstetigkeit. Diese Vorbetrachtung motiviert die Definition von

Netzen, mit Hilfe derer eine ¨ aquivalente Charakterisierung topologischer Stetig-keit m¨ oglich ist (vgl. [WER], S.425, Satz B.2.3).

Das erste Kapitel dient der Definition von Grundbegriffen. Zun¨ achst wird der

Raum D(Ω) der Testfunktionen eingef¨ uhrt. Dann wird der Raum D (Ω, E) der

Distributionen auf D(Ω), die in einen Banachraum E abbilden, betrachtet. Zen-trales Ergebnis des ersten Kapitels ist das Strukturtheorem f¨ ur Distributionen

aus D (Ω, E).

Im zweiten Kapitel wird die Faltung vektorwertiger Distributionen mit Hilfe des

Strukturtheorems als h¨ ohere Ableitung der Faltung stetiger Funktionen definiert.

Es wird gezeigt, daß diese Definition der Faltung im skalarwertigen Fall mit der-jenigen von Wolfgang Walter in [WAL] ¨ ubereinstimmt. Als n¨ achstes werden der

Schwartz-Raum S der schnellfallenden Testfunktionen sowie der zugeh¨ orige Raum

der temperierten Distributionen S (E) eingef¨ uhrt. Der Raum S (E) ist ein dichter

Teilraum von D (E), f¨ ur dessen Elemente nun ein zweites und st¨ arkeres Struk-

turtheorem gilt: Eine Distribution aus S (E) ist sogar global eine h¨ ohere Ablei-

tung einer stetigen und zudem langsam wachsenden Funktion. Schließlich wird

die Laplace-Transformation f¨ ur Distributionen definiert. Auch hier k¨ onnen unter

Verwendung des Strukturtheorems die Eigenschaften der Laplace-Transformation

stetiger Funktionen ausgenutzt werden.

Im dritten Kapitel wird die Stetigkeit von Operatoren zwischen Distributio-

nenr¨ aumen, beispielsweise des Ableitungsoperators, untersucht. Es wird gezeigt,

daß ein translationsinvarianter Operator, der stetig bez¨ uglich der Topologie von

Distributionenr¨ aumen ist, in seiner Anwendung auf eine Distribution ¨ aquivalent

vi

ist zu deren Faltung mit einer operatorwertigen Distribution. Mit diesem Resultat

l¨ aßt sich eine zeitinvariante Differentialgleichung stets ¨ aquivalent als Faltungsglei-chung darstellen.

Im vierten Kapitel wird der Begriff des wohlgestellten Cauchy-Problems im Dis-tributionensinne f¨ ur die Gleichung P ∗U = F definiert. Hierbei wird der im dritten

Kapitel definierte Begiff der Stetigkeit auf Distributionenr¨ aumen verwendet, so

daß die Bedingung der stetigen Abh¨ angigkeit der L¨ osung U von der rechten Seite

F im Distributionensinne formuliert werden kann. Dieser neu eingef¨ uhrte Wohl-

gestelltheitsbegriff ist ¨ aquivalent zur Existenz einer Faltungsinversen S zu P .

Um diejenigen Distributionen zu charakterisieren, die eine solche Faltungsinverse

besitzen, werden unter Verwendung der Laplace-Transformation die charakteri-

stische Funktion sowie die Resolvente einer Distribution definiert. Die gesuchte

Faltungsinverse S zu P ist gerade die inverse Laplace-Transformierte der Resol-

vente von P und existiert genau dann, wenn die Resolvente in einer sogenannten

logarithmischen Region der komplexen Halbebene existiert und dort polynomi-

ell beschr¨ ankt ist. Weiterhin stimmt f¨ ur einen abgeschlossenen Operator die hier

definierte Resolvente im Distributionensinne mit der Resolvente im klassischen

Sinne ¨ uberein.

Das f¨ unfte Kapitel befaßt sich mit einer speziellen Klasse von Distributionen, den

sogenannten abstrakt parabolischen Distributionen. Deren Besonderheit besteht

darin, daß ihre Faltungsinverse zugleich eine C ^∞ -Funktion ist. Es wird gezeigt,

daß das klassisch wohlgestellte Cauchy-Problem ein Spezialfall des wohlgestellten

Cauchy-Problems im Distributionensinne ist, und daß sich Regularit¨ atsaussagen

f¨ ur letzteres Problem auf den klassischen Fall ¨ ubertragen.

Das sechste Kapitel stellt ein Anwendungsbeispiel f¨ ur den Begriff der Wohlge-stelltheit im Distributionensinne dar. Es wird ein System partieller Differenti-algleichungen, das nicht im klassischen Sinne wohlgestellt ist, mittels Fourier-Transformation analysiert. Dieses motiviert in nat¨ urlicher Weise die Formulierung

eines anderen schwachen Wohlgestelltheitsbegriffs, des Begriffs des mild wohlge-

stellten Cauchy-Problems. Es kann nun gezeigt werden, daß dieser Begriff und

der des wohlgestellten Cauchy-Problems im Distributionensinne ¨ aquivalent zuein-ander sind. Die Wohlgestelltheit im Distributionensinne stimmt also mit einem

weiteren, bereits bekannten Wohlgestelltheitsbegriff ¨ uberein.

vii

Kapitel 1

Vektorwertige Distributionen.

Tr ¨ ager, Konvergenz,

Strukturaussagen

1.1 Der Raum der Distributionen D (Ω, E)

Definition 1.1.1 Konvergenz in D

Im folgenden sei stets Ω offenes Intervall in R und (E, · ) ein Banachraum.

Der Raum D(Ω) := C ^∞ c (Ω) der C ^∞ -Funktionen mit kompaktem Tr¨ ager auf Ω

mit Werten in C heißt Raum der Testfunktionen. Eine Folge (ϕ n ) n heißt

konvergent gegen Null in D(Ω) genau dann, wenn

(a) eine kompakte Menge K ⊂ Ω existiert, so daß supp ϕ n ⊆ K f¨ ur alle n ∈ N,

^(m) n ) n auf R f¨ ur alle m ≥ 0 gleichm¨ aßig gegen 0 konvergiert. (b) die Folge (ϕ

Eine Folge (ϕ n ) n heißt konvergent gegen ϕ ∈ D(Ω), wenn die Folge (ϕ n − ϕ) n

gegen 0 konvergiert.

Definition 1.1.2 Der Raum D (Ω, E)

Sei E ein Banachraum. Der Raum D (Ω, E) der E-wertigen Distributionen

auf Ω besteht aus allen linearen Operatoren U : D(Ω) → E, f¨ ur die gilt:

U(ϕ n ) → 0 in E, falls ϕ n → 0 in D(Ω)

f¨ ur alle Folgen (ϕ n ) n in D(Ω).

Es gelten die folgenden Notationen:

D := D(R),

1

D (E) := D (R, E),

D (Ω) := D (Ω, C),

D := D (R, C).

Proposition 1.1.3 Identifizierung von Funktionen mit Distributionen

Jede lokal integrierbare Funktion f : Ω → E kann mit einer Distribution U f ∈

D (Ω, E) identifiziert werden durch die Formel

f¨ ur alle ϕ ∈ D(Ω).

Beweis: U f ist linear, da das Integral linear ist.

U f ist stetig: Sei (ϕ n ) n Folge in D(Ω) mit ϕ n → 0. Dann gilt mit Definition 1.1.1

(b) auch ϕ n → 0 gleichm¨ aßig auf R, und es existiert ein kompaktes K ⊂ Ω mit

supp ϕ n ⊆ K. Dann gilt:

Somit folgt U f (ϕ n ) → 0 in E. 2

Bemerkung 1.1.4 Ist f eine lokal integrierbare Funktion, so ist f durch die

Distribution U f eindeutig bestimmt bis auf Punkte aus einer Menge von Maß

Null. Zwei Funktionen f, g geh¨ oren also zur selben Distribution, wenn sie fast

¨ uberall ¨ ubereinstimmen.

Beweis: Der Beweis geht f¨ ur vektorwertige Funktionen f analog wie f¨ ur skalar-

wertige in [WAL], S. 18-19.

Definition 1.1.5 Tensorprodukt

F¨ ur U ∈ D (Ω) und u ∈ E bezeichnet U ⊗ u die durch

(U ⊗ u)(ϕ) := U(ϕ)u f¨ ur alle ϕ ∈ D(Ω) (1.1)

definierte Distribution aus D (Ω, E).

Definition 1.1.6 Multiplikation von Distributionen mit C ^∞ -Funktionen

F¨ ur U ∈ D (Ω, E), h ∈ C ^∞ (R) wird das Produkt hU = Uh durch

hU(ϕ) := U(hϕ)

f¨ ur alle ϕ ∈ D(Ω) definiert.

1.1 Der Raum der Distributionen D (Ω, E) 3

Proposition 1.1.7 Sei U ∈ D (Ω, E), h ∈ C ^∞ (R). Dann ist das Produkt hU

eine Distribution aus D (Ω, E).

Beweis: Der Beweis folgt genau wie in [WAL], S.29-30, aus der Tatsache, daß

die Abbildung von ϕ ∈ D(Ω) auf hϕ ∈ D stetig ist. 2

Definition 1.1.8 Ableitung in D (Ω, E)

Die Ableitung von U ∈ D (Ω, E) ist gegeben durch

U (ϕ) := −U(ϕ ) f¨ ur alle ϕ ∈ D(Ω).

f (ϕ) := U f (ϕ) f¨ ur f ∈ C ¹ (Ω), denn

U f (ϕ) =

Lemma 1.1.9 Sei U ∈ D (Ω, E) mit U ^(m) = 0 f¨ ur ein m ≥ 0. Dann stimmt U

¨ uberein mit einem Polynom

mit u 0 , ..., u m−1 ∈ E, t ∈ Ω.

Beweis:

Betrachte zuerst den Fall m = 1. Da U = 0 ist, folgt, daß U(ϕ ) = 0 ist f¨ ur alle

ϕ ∈ D(Ω). Wir zeigen zuerst, daß aus

U(ϕ ) = 0 f¨ ur alle ϕ ∈ D(Ω) (1.3)

folgt

Es gelte U(ϕ ) = 0 f¨ ur alle ϕ ∈ D(Ω). Sei ˜ ϕ ∈ D(Ω) mit ˜ ϕ(t)dt = 0. Setze

ϕ. Es bleibt noch zu zeigen, daß ϕ ∈ D(Ω) ist, daß also ϕ ∈ C ^∞ (Ω)

und supp ϕ kompakt ist. Ersteres ist klar, da nach Voraussetzung ˜

C ^∞ (Ω) ist. Per Definition ist supp ϕ auch abgeschlossen. Außerdem ist supp ϕ

beschr¨ ankt, da

ist f¨ ur alle x < supp ˜ ϕ und alle x < supp ˜ ϕ. Also ist supp ϕ kompakt und damit

ϕ ∈ D(Ω). Nach Voraussetzung ist dann

ϕ) = U(ϕ ) = 0. U( ˜

Also folgt (1.4) aus (1.3).

Sei nun ϕ 0 ∈ D(Ω) mit

Sei ψ ∈ D(Ω). Definiere ϕ := ψ − λϕ 0 mit

Dann ist

und mit der Implikation von (1.4) durch (1.3) folgt

0 = U(ϕ) = U(ψ − λϕ 0 ) = U(ψ) − λU(ϕ 0 ).

Also ist

und somit kann U mit der konstanten Funktion

identifiziert werden.

Die Behauptung sei nun f¨ ur m erf¨ ullt. Sei U ^(m+1) = 0, also V ^(m) = 0 f¨ ur V := U .

Also existieren nach Induktionsvoraussetzung v 0 , . . . , v m−1 , so daß

^{v j−1} , j ∈ 1 . . . m. Dann ist Setze u j :=

^j

Wie im Fall m = 1 gezeigt wurde, existiert dann ein u 0 ∈ E mit

und somit existieren u 0 , . . . , u m mit

1.2 Konvergenz in D (Ω, E) 5

1.2 Konvergenz in D (Ω, E)

Definition 1.2.1 Beschr¨ anktheit in D(Ω)

Eine Menge K ⊆ D(Ω) heißt beschr¨ ankt, wenn f¨ ur jede Folge (ϕ n ) n ⊆ K und

jede Folge reeller Zahlen ( n ) n mit n → 0 gilt

n ϕ n → 0

in D(Ω).

Proposition 1.2.2 Eine Menge K ⊆ D(Ω) ist beschr¨ ankt genau dann, wenn

(a) eine kompakte Menge K ⊂ Ω existiert, so daß

supp ϕ ⊆ K f¨ ur alle ϕ ∈ K,

(b) f¨ ur alle m ≥ 0 eine Konstante C m < ∞ existiert mit

≤ C m f¨ ur alle ϕ ∈ K und alle t ∈ K. ϕ ^(m) (t)

Beweis:

=⇒: Sei K ⊆ D(Ω) beschr¨ ankt. Angenommen, (a) sei nicht erf¨ ullt. Sei etwa

, b − ¹ ], n ∈ N, ein ϕ n ∈ D(Ω) so Ω = (a, b). Dann existiert zu jedem K n := [a + 1

n n

daß supp ϕ n nicht in K n enthalten ist. (Falls a = −∞ oder b = ∞, ersetze a + 1

durch −n bzw. b − 1

existiert ein kompaktes K mit supp ϕ n = supp 1

K ⊆ K N f¨ ur N hinreichend groß.

Angenommen, (b) sei nicht erf¨ ullt. Dann existiert ein m ≥ 0, so daß f¨ ur alle

^(m) n ∈ N ein ϕ n ∈ K und ein t n ∈ K existieren mit |ϕ n (t n )| > n. Dann gilt

^(m) | ¹ n (t n )| > 1 f¨ ur alle n ∈ N, im Widerspruch zur Beschr¨ anktheit von K. ϕ

n

⇐=: Seien (a) und (b) erf¨ ullt, und sei n Nullfolge reeller Zahlen. Sei (ϕ n ) n eine

Folge in K. Dann existiert nach (a) ein kompaktes K ⊂ Ω mit supp ( n ϕ n ) ⊆ K

f¨ ur alle n ∈ N. Wegen (b) gilt f¨ ur m ≥ 0:

n ϕ ^(m) ϕ ^(m) = | n | ≤ | n | C m → 0.

∞ ∞ n n

^(m) → 0 gleichm¨ aßig auf R f¨ ur n → ∞ f¨ ur alle m ≥ 0. 2 Also folgt, daß n ϕ n

Definition 1.2.3 Folgenkonvergenz in D (Ω, E)

Eine Folge U n von Distributionen in D (Ω, E) heißt konvergent gegen ein U ∈

D (Ω, E) genau dann, wenn U n (ϕ) → U(ϕ) gleichm¨ aßig auf beschr¨ ankten Teil-mengen von D(Ω), wenn also gilt: F¨ ur alle beschr¨ ankten K ⊂ D(Ω) und f¨ ur

alle > 0 existiert ein n 0 ∈ N, so daß f¨ ur alle n ≥ n 0 und f¨ ur alle ϕ ∈ K

U n (ϕ) − U(ϕ) < < ist.

Proposition 1.2.4 Ist f n : Ω → E eine Folge lokal integrierbarer Funktionen

mit f n → f punktweise und f n (t) ≤ g(t), wobei g : Ω → R lokal integrierbar

ist, dann konvergiert f n gegen f in D (Ω, E).

Beweis: Sei K ⊂ D(Ω) beschr¨ ankt. Also existieren eine kompakte Menge K ⊂ Ω

mit supp ϕ ⊆ K f¨ ur alle ϕ ∈ K und eine Konstante C > 0, so daß |ϕ(t)| ≤ C

ist f¨ ur alle ϕ ∈ K und alle t ∈ K. Sei > 0. Nach dem Satz von Lebesgue ¨ uber

dominierte Konvergenz f¨ ur vektorwertige Funktionen ([ABHN], Theorem 1.1.8,

S.11) existiert n 0 , so daß

f¨ ur alle n ≥ n 0 .

Sei nun ϕ ∈ K. Dann ist

f¨ ur alle n ≥ n 0 . 2

Definition 1.2.5 Tr¨ ager einer Distribution

Eine Distribution U ∈ D (Ω, E) verschwindet auf einer offenen Teilmenge

gilt: U(ϕ) = 0.

Sei Ω(U) die Vereinigung aller offenen Teilmengen von Ω, auf denen U verschwin-det. Der Tr¨ ager von U wird definiert durch

supp U := Ω\Ω(U).

Offensichtlich ist supp U abgeschlossen in Ω.

Lemma 1.2.6 Es gilt U = 0 in Ω\supp U = Ω(U).

Beweis:

Sei ϕ ∈ D(Ω) mit supp ϕ ⊂ Ω(U). Da supp ϕ kompakt ist, gen¨ ugen bereits end-

uberdecken. Also ist supp ϕ ⊂ lich viele Mengen Ω(U) j , um supp ϕ zu ¨

1.3 Das Strukturtheorem f¨ ur Distributionen aus D (Ω, E) 7

Nach dem Satz von der Zerlegung der Eins ([WAL], S. 10) existieren p Testfunk-

tionen w 1 , . . . , w p mit

w 1 (x) + . . . + w p (x) ≡ 1

in supp ϕ und

supp w 1 ⊂ Ω(U) 1 , . . . , supp w p ⊂ Ω(U) p .

Also ist

ϕ = w 1 ϕ + . . . + w p ϕ

und somit gilt wegen der Linearit¨ at von U

U(ϕ) = U(w 1 ϕ) + . . . + U(w p ϕ) = 0,

da jeweils supp w j ϕ ⊂ Ω(U) j ist und U auf den Ω(U) j verschwindet. 2

F¨ ur Distributionenr¨ aume gelten die folgenden Notationen:

E (E) := {U ∈ D (E)| supp U kompakt},

0 (E) := {U ∈ D (E)| supp U ⊆ [0, ∞)},

0 (E),

+ (E) := {U ∈ D (E)| ∃ t 0 ∈ R : supp U ⊆ [t 0 , ∞)}.

1.3 Das Strukturtheorem f¨ ur Distributionen aus

D (Ω, E)

N¨ achstes Ziel ist es, zu zeigen, daß eine E-wertige Distribution U stets die h¨ ohere

Ableitung im Distributionensinn einer stetigen Funktion ist. Mit diesem Resultat

k¨ onnen viele Eigenschaften von Distributionen auf Eigenschaften stetiger Funk-tionen zur¨ uckgef¨ uhrt werden.

Lemma 1.3.1 Sei U ∈ D (Ω, E), K ⊂ Ω kompakt. Dann existieren eine ganze

Zahl p ≥ 0 und eine Konstante C > 0, so daß

U(ϕ) ≤ C ϕ p (1.5)

f¨ ur jedes ϕ ∈ D mit Tr¨ ager in K, wobei

ϕ ^(j) (t) . ϕ p := sup (1.6) sup

^{−∞ 0≤j≤p}

Beweis: Angenommen, die Behauptung sei nicht erf¨ ullt. Dann existiert zu jedem

p ≥ 0 und jedem n > 0 ein ϕ ∈ D mit supp ϕ ⊆ K, so daß U(ϕ) > n ϕ p . Also

existiert eine Folge (ϕ n ) n ⊆ D mit supp (ϕ n ) n ⊆ K und U(ϕ n ) > n ϕ n n f¨ ur

. Offensichtlich gilt ψ n n = n ⁻¹ → 0 f¨ ur n → ∞. alle n ≥ 1. Setze ψ n := ϕn

^nϕn n

^(m) n ) n gegen 0 auf R f¨ ur alle m ≥ 0, Daraus folgt gleichm¨ aßige Konvergenz von (ψ

da f¨ ur jedes m ≥ 0 ein n ≥ m existiert, so daß

Daraus und aus supp (ϕ n ) n ⊆ K folgt dann, daß ψ n → 0 in D. Andererseits ist

aber

f¨ ur alle n ∈ N im Widerspruch zur Stetigkeit von U. 2

Definition 1.3.2 Der Raum D p (K)

Sei K eine kompakte Menge. D p (K) bezeichnet den Raum aller Funktionen aus

C ^p (R) mit Tr¨ ager in K, versehen mit der Norm (1.6).

Bemerkung 1.3.3 D p (K) ist ein Banachraum.

Beweis:

Sei (ϕ n ) n eine Cauchy-Folge in D p (K). W¨ ahle [a, b] so, daß K ⊆ [a + , b − ].

Dann ist die Einschr¨ ankung (ϕ n ) n | [a,b] von (ϕ n ) n auf [a, b] eine Cauchy-Folge in

C ^p ([a, b]). Da C ^p ([a, b]) vollst¨ andig ist bez¨ uglich · · p (vgl. [HEU], Beispiel 9.8,

S.87), existiert ein ϕ ∈ C([a, b]) mit ϕ n → ϕ in C ^p ([a, b]). Insbesondere ist ϕ

punktweiser Limes, und damit ist supp ϕ ⊆ K, da supp ϕ n ⊆ K ist f¨ ur alle

n ∈ N, und ϕ l¨ aßt sich durch 0 fortsetzen zu einer C ^p -Funktion auf ganz R. 2

Lemma 1.3.4 Sei K ⊂ Ω kompakt, ϕ ∈ D p (K) und δ > 0. Dann existiert ein

ψ ∈ D(Ω) mit supp ψ ⊂ K δ := {t | dist(t, K) ≤ δ}, so daß

ϕ − ψ p ≤ δ,

wobei ·· p die Norm in D p (K δ ) ist.

Beweis: Die Funktion h : R → R,

hat kompakten Tr¨ ager und ist unendlich oft differenzierbar. Es ist h (x) ≥ 0 f¨ ur

alle x ∈ R und somit auch I := ∈ D

und

1.3 Das Strukturtheorem f¨ ur Distributionen aus D (Ω, E) 9

Sei nun ϕ ∈ D p (K) und δ > 0. Es ist ϕ ^(j) gleichm¨ aßig stetig, d.h. f¨ ur alle j ∈

ϕ ^(j) (x) − ϕ ^(j) (y) < δ. {0, . . . , p} existiert ein j , so daß aus |x − y| < < j folgt:

Setze nun

ψ(x) := (ϕ ∗ ρ )(x) =

mit := min{min j , δ}. Dann ist ψ ∈ C ^∞ (R), und es gilt:

Daraus folgt:

ϕ ^(j) (x) − ψ ^(j) (x)

= ϕ ^(j) (t) − ψ ^(j) (t) ≤ δ. f¨ ur alle j ∈ {0 . . . p}. Also ist ϕ − ψ p = sup sup

^{−∞ 0≤j≤p}

∈ K δ . Dann ist ϕ(z) = 0 f¨ ur alle z ∈ B δ (x), da supp ϕ ⊆ K ist. Also ist Sei x /

∈ K δ . Somit ist supp ψ ⊆ K δ . Also ist insbesondere auch ψ(x) = 0 f¨ ur alle x /

ψ ∈ D(Ω). 2

Theorem 1.3.5 Strukturtheorem

Sei U ∈ D (Ω, E), Ω ⊂ Ω offen und beschr¨ ankt, Ω ⊆ Ω. Dann existieren eine

stetige Funktion f : R → E und eine ganze Zahl m ≥ 0, so daß

U = f ^(m) (1.7)

in Ω .

Beweis:

Schritt 1 : Sei K = Ω und > 0, so daß K 2 = {t| dist(t, K) ≤ 2} in Ω enthalten

ist. Wir zeigen zuerst, daß U auf D p (K ) stetig fortgesetzt werden kann, und daß

die Fortsetzung (1.5) erf¨ ullt.

Nach Lemma 1.3.1 existieren ein p ≥ 0 und eine Konstante C > 0, so daß

U(ϕ) ≤ C ϕ p (1.8)

f¨ ur jedes ϕ ∈ D mit Tr¨ ager in K 2 . Also ist U stetig auf D(Ω) ∩ D p (K 2 ).

Sei ϕ ∈ D p (K ). Nach Lemma 1.3.4 existiert eine Folge (ψ n ) n ⊆ D(Ω) mit

supp ψ n ⊆ K 2 und ψ n → ϕ in D p (K 2 ). Definiere ˜ U : D p (K ) → E durch

˜ U(ϕ) ist wohldefiniert, denn f¨ ur jede andere Folge (μ n ) n ⊂ D(Ω) mit supp μ n ⊆

K 2 und μ n → ϕ folgt (μ n − ψ n ) → 0. Wegen (1.8) gilt auch U(μ n − ψ n ) → 0.

Wir zeigen nun: ˜ U ist stetig auf D p (K ), also

˜ U(ϕ) ≤ C ϕ p (1.9)

f¨ ur alle ϕ ∈ D p (K ).

Sei ϕ ∈ D p (K ) und (ψ n ) n ⊆ D p (K 2 ). Dann gilt ψ n − ϕ → 0 in D p (K 2 ). Dann

folgt

Schritt 2 : Im folgenden bezeichnet f ( ˆ t) die Funktion f im Unterschied zu f (t),

dem Wert der Funktion f an der Stelle t.

Definiere nun

Offensichtlich ist η ∈ C ^p (R) und χ(ˆ s)η(t − ˆ s) ∈ D p (K ) f¨ ur alle χ ∈ D p (K ) und

alle t. Wir zeigen: Die Abbildung t → χ(ˆ s)η(t − ˆ

Sei > 0 und t 0 ∈ R. Zu 0 ≤ l ≤ p gibt es ein δ l , so daß f¨ ur alle t ∈ R mit

|t − t 0 | < δ l gilt

η ^(l) (t − s) − η ^(l) (t 0 − s) <

f¨ ur alle s ∈ K , wobei C :=

Setze nun δ := min {δ l }. Dann gilt f¨ ur alle t mit |t − t 0 | < δ

1.3 Das Strukturtheorem f¨ ur Distributionen aus D (Ω, E) 1 1

f¨ ur alle s ∈ K , 0 ≤ j ≤ p. Daraus folgt

χ(ˆ s)η(t − ˆ s) − χ(ˆ s)η(t 0 − ˆ s) p < <.

Also ist χ(ˆ s)η(t − ˆ s) stetig in der Norm · p . Somit ist auch die Funktion

f (t) := ˜ U(χ(ˆ s)η(t − ˆ s)) (1.11)

von R nach E stetig, da ˜ U stetig auf D p (K ) ist.

Schritt 3: Sei ϕ ∈ D und χ ∈ D(K ). Definiere

Offensichtlich ist ψ ∈ D. Wir zeigen:

mit f wie in (1.11).

Definiere eine Funktion g : R → D p (K ) mit

g : t → g t , g t : ˆ s → ϕ(t)χ(ˆ s)η(t − ˆ s).

s) ∈ D p (K ) und Offensichtlich ist g t ∈ D p (K ) f¨ ur alle t ∈ R, da χ(ˆ s)η(t − ˆ

ϕ(t) ∈ R ist. Wir zeigen nun: g ist meßbar, und g p ist integrierbar, also: g ist

Bochner-integrierbar (vgl. [ABHN], Theorem 1.1.4).

Beweis der Meßbarkeit: Es ist g = g 2 ◦ g 1 mit

g 1 und g 2 sind offensichtlich stetig. Also ist auch g stetig und somit meßbar.

Die Integrierbarkeit von g p ist klar, da g t kompakten Tr¨ ager hat. Somit ist

g Bochner-integrierbar. Da ˜ U ein beschr¨ ankter linearer Operator zwischen den

Banachr¨ aumen D p (K ) und E ist, folgt mit Proposition 1.1.6 aus [ABHN]:

˜ U

Wir zeigen nun noch:

und verwenden dazu den Evaluationsoperator Ev ξ : D p (K ) → C mit Ev ξ (F ) :=

F (ξ) f¨ ur alle F ∈ D p (K ), ξ ∈ R. Offensichtlich ist Ev ξ stetig linear. Wir wenden

nochmals [ABHN], Proposition 1.1.6, auf Ev ξ und g an und erhalten:

Also gilt mit (1.12) und (1.13):

Schritt 4: W¨ ahle nun χ mit supp χ ⊆ K und χ(t) = 1 f¨ ur t ∈ K = Ω und ϕ ∈ D

mit Tr¨ ager in Ω . Sei m = p + 2. Wir zeigen nun:

und schließlich

f ^(m) (ϕ) = U((−1) ^m ψ m ) = U(ϕ).

Es ist

Weitere p-malige partielle Integration ergibt:

1.3 Das Strukturtheorem f¨ ur Distributionen aus D (Ω, E) 1 3

da ϕ(s) = 0 ist außerhalb von K. Somit gilt f¨ ur alle ϕ ∈ D mit supp ϕ ⊆ Ω :

f ^(m) (ϕ) = (−1) m

Bemerkung 1.3.6 Sei a ∈ R und U ∈ D (Ω, E) mit U(ϕ) = 0 f¨ ur alle ϕ ∈ D(Ω)

mit supp ϕ ⊆ (−∞, a). Dann gilt f¨ ur die in (1.11) definierte Funktion f

f (t) = 0 f¨ ur alle t < a, t ∈ Ω .

Beweis: Sei t < a beliebig, dann ist supp η(t − ˆ

η(t − ˆ s ≥ t. Damit folgt auch supp χ(ˆ s)η(t − ˆ s) = 0 ist f¨ ur ˆ

Betrachte nun χ(ˆ s)η(t − ˆ

Lemma 1.3.4. Es gilt

χ(ˆ s)η(t − ˆ s) ∗ ρ ) − χ(ˆ s)η(t − ˆ s) p → 0.

Außerdem ist supp χ(ˆ s)η(t − ˆ s) ∗ ρ ⊆ (−∞, a) f¨ ur hinreichend kleines > 0. Da

U stetig ist, folgt:

U(χ(ˆ s)η(t−ˆ s)∗ρ ) = ˜ = ˜ (χ(ˆ s)η(t − ˆ s) ∗ ρ ) 0 = lim U lim U (χ(ˆ s)η(t−ˆ s)) = f (t).

→0 →0

2

Bemerkung 1.3.7 F¨ ur Distributionen U ∈ E (E) gilt Theorem 1.3.5 global, d.h.

es existieren eine stetige Funktion f : R → E und eine ganze Zahl m ≥ 0 mit

U = f (m)

auf ganz Ω.

Beweis: Sei supp U ⊆ [a, b]. Verwende Theorem 1.3.5 mit Ω = (a − 1, b + 1).

Nach Bemerkung 1.3.6 gilt f¨ ur das in (1.11) definierte f , daß f (t) = 0 ist f¨ ur

a − 1 < t < a, da U = 0 ist in (−∞, a). Also kann f durch 0 fortgesetzt werden,

und somit ist U = f ^(m) in (−∞, a).

Weiterhin ist U = 0 in (b, b + 1). Also stimmt f nach Lemma 1.1.9 f¨ ur alle

b + 1 > t > b mit einem Polynom von Grad m − 1 ¨ uberein. Setze f fort durch

dieses Polynom f¨ ur alle t > b. Dann ist f ^(m) = 0 in (b, ∞), und somit auch

U = f ^(m) = 0 in (b, ∞). 2

Korollar 1.3.8 Sei U ∈ D (Ω, E) und supp U = {0}. Dann existieren ein m ∈

N 0 und u 0 , u 1 , ..., u m−1 ∈ E, so daß

U = δ ⊗ u 0 + δ ⊗ u 1 + ... + δ ^(m−1) ⊗ u m−1 . (1.15)

Hierbei bezeichnet δ die skalarwertige Delta-Distribution δ : D(Ω) → C, ϕ → ϕ(0)

f¨ ur alle ϕ ∈ D(Ω).

Beweis: Nach Bemerkung 1.3.7 existieren ein stetiges f : R → E und eine

ganze Zahl m ≥ 0 mit U = f ^(m) auf Ω. Da U(ϕ) = 0 ist f¨ ur alle ϕ ∈ D mit

supp ϕ ⊆ (−∞, 0), folgt nach Bemerkung 1.3.6, daß f (t) = 0 ist f¨ ur t < 0.

Außerdem f¨ allt f in (0, ∞) nach Lemma 1.1.9 mit einem Polynom vom Grad m−1

≤ m − 1 zusammen, etwa f (t) = j=1 t ^j u j , u j ∈ E, da U = f ^(m) = 0 ist in

(0, ∞). Damit gilt f¨ ur ϕ ∈ D(Ω):

Weiterhin gilt f¨ ur alle j ∈ N mit 1 ≤ j ≤ m − 1:

∞

Mit den letzten beiden Gleichungen folgt: