Inhaltsverzeichnis

1  Motivation  3

2  Ein wenig Geschichte.  4

3  Algebra und Geometrie des K orpers C  

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3.1  Jetzt geht’s los.  6

3.2  Die Standarddarstellung und erste geometrische Betrachtungen  9

3.3  Nichtanordbarkeit  11

3.4  Der Betrag komplexer Zahlen  11

3.5  Konvergenz und Vollst andigkeit  13

3.6  Algebraische Abgeschlossenheit  14

3.7  Polarkoordinaten  15

3.8  Die Geometrie der Multiplikation in C  17

3.9  Potenzen und Wurzeln im Komplexen  17

4  Eine alternative Konstruktion der komplexen Zahlen mittels Matrizen  20

5  So what?  23

6  Komplexe Zahlen auch in der Schule?  24

7  Literatur  25

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1 Motivation

Gegeben sei x ² +1 = 0, eine einfache quadratische Gleichung. Erinnern wir uns an unsere

Schulzeit zur¨ uck. Damals h¨ atten wir wahrscheinlich lapidar gesagt: ” Die Gleichung ist

nicht l¨ osbar.“ Der Mathematiker weiß, dass eine solche Aussage ¨ uberhaupt keinen Sinn

macht, solange man nicht angibt, in welchem Zahlenk¨ orper man nach L¨ osungen sucht. Die Gleichung besitzt keine L¨ osungen in R.“ Begr¨ unden l¨ asst sich das Richtig w¨ are: ”

damit, dass Quadrate reeller Zahlen nie negativ sind. F¨ ur Sch¨ uler ist das eine ” Selbstverst¨ andlichkeit“, die oft nicht weiter hinterfragt wird. Wer Analysis I geh¨ ort hat, weiß, dass diese ” Selbstverst¨ andlichkeit“ aus den Anordnungsaxiomen folgt.

Die Schulmathematik ist damit an ihre Grenzen gestoßen und bel¨ asst es bei der Unl¨ osbarkeit derartiger Gleichungen. F¨ ur Mathematiker hingegen sind ungel¨ oste Probleme schon seit jeher unbefriedigend und schon vor mehreren hundert Jahren wurden Versuche unternommen, ¨ uber die reellen Zahlen hinauszugehen.

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2 Ein wenig Geschichte...

Die Anf¨ ange des Rechnens mit nicht reellen Gr¨ oßen reichen zur¨ uck bis in die Renaissance. Girolamo Cardano (1501-1576) stellt 1545 in seinem Werk ” Ars magna“ die Aufgabe

Zerlege die Zahl 10 so in zwei Summanden, dass ihr Produkt 40 ergibt“. Mit anderen

”

Worten: Suche die L¨ osungen der Gleichung x(10 − x) = 40. Unter Zuhilfenahme der L¨ osungsformel f¨ ur quadratische Gleichungen berechnet Cardano:

In den berechneten L¨ osungen sieht Cardano jedoch keinen Sinn und nennt quantitas sophistica“, zu Deutsch etwa ”

”

Leonhard Euler (1707-1783) rechnet bereits intuitiv richtig mit komplexen Zahlen √ −1 die Abk¨ urzung i ein. Er kann jedoch noch keine formale Definition und f¨ uhrt f¨ ur von komplexen Zahlen geben. Der Begriff ” komplexe Zahl“ taucht auch erst nach Eulers Tod auf. Daf¨ ur geht ein anderer wichtiger Begriff auf Euler zur¨ uck: imagin¨ ar. In seinem Lehrbuch ” Vollst¨ andige Anleitung zur Algebra“ von 1768 ist zu lesen, ” daß die

Quadrat-Wurzeln von Negativ-Zahlen nicht einmahl unter die m¨ oglichen Zahlen k¨ onnen gerechnet werden: folglich m¨ ussen wir sagen, daß dieselben ohnm¨ ogliche Zahlen sind. Und dieser Umstand leitet uns auf den Begriff von solchen Zahlen, welche ihrer Natur nach ohnm¨ oglich sind, und gemeiniglich imagin¨ are Zahlen, oder eingebildete Zahlen genennt werden, weil sie bloss allein in der Einbildung statt finden.“ Heute wissen wir, dass komplexe Zahlen keineswegs ein Hirngespinst sind, sondern sich einwandfrei konstruieren und sogar geometrisch veranschaulichen lassen. Zu Eulers Lebzeiten ist jedoch selbst der algebraische K¨ orperbegriff noch nicht eingef¨ uhrt (dies geschieht erst im 19. Jahrhundert durch Richard Dedekind) und so verwundert es nicht, dass Eulers naives Zahlenverst¨ andnis ihn zu folgendem Rechenfehler verleitet: √ √ −4 = √ −1 (−1)(−4) = 4 = 2 √ √ √ a

Das erste Gleichheitszeichen ist falsch, denn die Rechenregel b = ab ist nur f¨ ur

a, b ∈ R ≥0 definiert. W¨ are dem nicht so, k¨ onnte man viel Unsinn ” beweisen“, etwa: √ √ −1 √ −1 = ( √ −1) ² = −1 1 = 1 = (−1)(−1) =

Hier liegt der Fehler beim dritten Gleichheitszeichen.

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Erst Carl Friedrich Gauß (1777-1855) f¨ uhrt 1831 den Begriff komplexe Zahl ein. Die vollst¨ andige geometrische Theorie dahinter kennt er bereits seit ca. 1815. Gauß verdanken wir die Entmystifizierung und die Aufnahme komplexer Zahlen in den mathematischen Alltag. Er schreibt, imagin¨ are Gr¨ oßen seien, ” so lange ihre Grundlage immer

nur in einer Fiktion bestand, in der Mathematik nicht sowohl wie eingeb¨ urgert, als viel mehr nur wie geduldet betrachtet, und weit davon entfernt geblieben, mit den reellen Gr¨ ossen auf gleiche Linie gestellt zu werden. Zu einer solchen Zur¨ ucksetzung ist aber jetzt kein Grund mehr, nachdem die Metaphysik der imagin¨ aren Gr¨ oßen in ihr wahres Licht gesetzt, und nachgewiesen ist, daß diese, eben so gut wie die negativen, ihre reale gegenstandliche Bedeutung haben.“

Augustin Louis Cauchy (1789-1857) gelingt 1821 eine rein algebraische Deutung √ −1 mit a, b ∈ R schreibt. Die formale komplexer Zahlen, indem er sie in der Form a + b

Definition der komplexen Zahlen als geordnete Paare reeller Zahlen wird jedoch Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) zugeschrieben und auf das Jahr 1835 datiert.

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3 Algebra und Geometrie des K¨ orpers C

Es gibt mehrere M¨ oglichkeiten, den K¨ orper der komplexen Zahlen zu konstruieren. Ich m¨ ochte in Ankn¨ upfung an Hamilton zun¨ achst den Weg ¨ uber geordnete reelle Zahlenpaa-

re gehen und dann auf der formalen Definition komplexer Zahlen und dem Nachweis der K¨ orperaxiome aufbauend einige grundlegende algebraische und geometrische Eigenschaften unseres neuen K¨ orpers besprechen. In Kapitel 4 meiner Ausarbeitung soll schließlich eine alternative Konstruktion der komplexen Zahlen mittels Matrizen vorgenommen werden.

3.1 Jetzt geht’s los...

Definition 3.1.1 (komplexe Zahl). Eine komplexe Zahl ist ein Element aus der Menge

C := R ² := {(a, b) | a, b ∈ R}.

Man beachte, dass es sich bei (a, b) um ein geordnetes Paar handelt, also

(a, b) = (b, a) ⇔ a = b.

Satz 3.1.2 (wir basteln einen K¨ orper). (C, +, ·) ist ein K¨ orper, wenn f¨ ur (a, b) ∈ C und (c, d) ∈ C Addition und Multiplikation folgendermaßen definiert werden:

Das Nullelement (neutrales Element bzgl. der Addition) ist (0, 0) und das Einselement (neutrales Element bzgl. der Multiplikation) ist (1, 0).

Das Negative von (a, b) ist (−a, −b) und das Inverse von (a, b) = (0, 0) ist (a, b) −1 = a ² +b 2 , −b ( a a ² +b 2 ).

Beweis. Der Beweis ist nicht schwierig, zieht sich aber in die L¨ ange. Wir m¨ ussen zeigen, dass die folgenden K¨ orperaxiome gelten:

(K1) Kommutativit¨ at und Assoziativit¨ at von Addition und Multiplikation (K2) Distributivit¨ at (K3) Existenz von Nullelement und Einselement (K4) Existenz des Negativen f¨ ur jedes (a, b) ∈ C (K5) Existenz des Inversen f¨ ur jedes (a, b) ∈ C \ {(0, 0)}

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Seien (a, b), (c, d), (e, f ) ∈ C. Bei den folgenden Umformungen wird ausgenutzt, dass (R, +, ·) ein K¨ orper ist (a, b, c, d, e, f ∈ R).

(K1) Kommutativit¨ at und Assoziativit¨ at von Addition und Multiplikation

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc)

= (ca − db, cb + da)

= (c, d)(a, b)

(a, b) + ((c, d) + (e, f )) = (a, b) + (c + e, d + f )

(a, b) · ((c, d)(e, f )) = (a, b) · (ce − df, cf + de)

(K2) Links-Distributivit¨ at

(a, b) · ((c, d) + (e, f )) = (a, b) · (c + e, d + f )

Die Rechts-Distributivit¨ at, also ((a, b) + (c, d)) · (e, f ) = (a, b)(e, f ) + (c, d)(e, f ), folgt aus der bereits gezeigten Kommutativit¨ at der Multiplikation.

(K3) Existenz von Nullelement und Einselement

(a, b) + (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)

(a, b)(1, 0) = (a · 1 − b · 0, a · 0 + b · 1) = (a, b)

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