Gliederung

1.  EINLEITUNG.  3

2.  GLEICHGEWICHTSKONZEPTE FÜR DEN LEIBRENTENMARKT.  6

2.1  DAS TRENNUNGSGLEICHGEWICHT  7

2.2  DAS POOLINGGLEICHGEWICHT  8

3.  ADVERSE SELEKTION AUF DEM LEIBRENTENMARKT.  11

3.1  EMPIRISCHE ERGEBNISSE ZUR ADVERSEN SELEKTION  12

3.2  EIN ZWEI-PERIODEN MODELL DES LEIBRENTENMARKTS.  13

3.3  ERWEITERUNG ZU EINEM 75-PERIODEN MODELL  16

4.  EINKOMMEN UND STERBLICHKEIT IN DEUTSCHLAND.  21

4.1  DIE DATENGRUNDLAGE: MORTALITÄT IM SOEP  22

4.2  DAS EINKOMMENSKONZEPT.  22

4.3  DIE ÜBERLEBENSFUNKTION.  23

5.  INTERNE RENDITEN IN DER GESETZLICHEN RENTENVERSICHERUNG (GRV)  25

5.1  DIE BEDEUTUNG EINZELNER RENTENARTEN IN DER GRV.  30

5.2  INTERNE RENDITEN FÜR LEDIGE FRAUEN UND MÄNNER.  31

5.3  INTERNE RENDITEN BEI RENTE IM ALTER VON 60 JAHREN UND 40 EP  35

5.4  INTERNE RENDITEN FÜR EHEPAARE.  36

5.5  INTERNE RENDITEN FÜR ARME UND REICHE.  42

5.6  FAZIT.  44

6.  DER LEIBRENTENMARKT IN DEUTSCHLAND  44

6.1  DER LEIBRENTENMARKT FÜR LEDIGE.  46

6.2  DER LEIBRENTENMARKT FÜR VERHEIRATETE.  49

6.3  INTERNE RENDITEN FÜR ARME UND REICHE.  50

6.4  FAZIT.  52

7.  DIE RIESTER-RENTE.  52

7.1  DIE BERECHNUNG DER FÖRDER- UND BELASTUNGSQUOTEN.  56

7.1.1  Förder- und Belastungsquoten nach aktuellem Recht.  58

7.1.2  Förder- und Belastungsquoten bei nachgelagerter Besteuerung  61

7.2  INTERNE RENDITEN DER RIESTER-RENTE.  65

7.2.1  Interne Renditen nach aktuellem Recht.  66

7.2.2  Interne Renditen bei nachgelagerter Besteuerung.  67

7.3  INTERNE RENDITEN FÜR ARME UND REICHE.  67

7.3.1  Interne Renditen für Arme und Reiche nach aktuellem Recht.  68

7.3.2  Interne Renditen für Arme und Reiche bei nachgelagerter Besteuerung.  68

7.4  FAZIT  69

2

8. SCHLUßBEMERKUNGEN.......................................................................................................................................... 70

LITERATURVERZEICHNIS .......................................................................................................................................... 72

TABELLENVERZEICHNIS ............................................................................................................................................ 74

ANHANG: ANGEBOTE VON LEBENSVERSICHERUNGS GESELLSCHAFTEN

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1. Einleitung

Die Altersvorsorge basiert in Deutschland auf drei Säulen (BfA (2001), S.14).

• Die erste Säule umfaßt die öffentlich-rechtlichen Pflichtsysteme und ist im wesentlichen

umlagefinanziert. Die gesetzliche Rentenversicherung (GRV) ist das Pflichtsystem für die größte Gruppe von Erwerbstätigen, die Arbeiter und Angestellten, sowie einige weitere Personengruppen.

• Die zweite Säule der Altersvorsorge ist die betriebliche Altersvorsorge. Sie ist kein

Pflichtsystem wird aber vom Staat gefördert, da es vielen Menschen leichter fällt, über Tarifverträge oder Betriebsvereinbarungen für das Alter vorzusorgen, als sich p rivat darum zu kümmern. Die zweite Säule ist im wesentlichen durch Kapitaldeckung finanziert.

• Die dritte Säule ist die private Altersvorsorge. Zu ihr zählen alle Formen der privaten

Vermögensbildung, d.h. sie ist durch Kapitaldeckung finanziert. Allerdings kann man von Altersvorsorge im eigentlichen Sinne nur dann sprechen, wenn das Vermögen die sogenannten „biometrischen Risiken“ abdeckt, d.h. Invalidität (Berufsunfähigkeitsrente), vorzeitiger Tod (Hinterbliebenenversorgung) und individuelle Langlebigkeit (beziehen einer lebenslangen Rente).

Die Bedeutung der einzelnen Säulen ist in Tabelle 1.1 anhand des Ausgabevolumens im Jahr 1998 exemplarisch dargestellt.

Tabelle 1.1: Die Einzelsysteme der Alterssicherung

Quelle: BfA (2001), S.16

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Man sieht, dass die GRV mit rund 400 Mrd. DM etwa für 2/3 aller Zahlungen zuständig ist und die erste Säule insgesamt für etwa 79 Prozent.

Aufgrund der prognostizierten demographischen Entwicklung, welche in umlagefinanzierten Verfahren entscheidend für die Rentabilität ist, stellt sich nun das Problem, dass die Menschen ihre Beiträge zur Rentenversicherung immer als Steuer ohne Gegenleistung betrachten und dadurch entweder Zusatzlasten entstehen (die Menschen arbeiten weniger) oder die Menschen flüchten in die Schattenwirtschaft, d.h. sie arbeiten nur offiziell weniger, tatsächlich aber nicht. Laut einer Prognose des Instituts für Angewandte Wirtschaftsforschung (IAW) wird in Deutschland der Bereich der Schattenwirtschaft im Jahr 2003 um 5,6 % auf 370 Mrd. Euro (ca. 17 % des BIP) wachsen (Main Post vom 04.02.2003, S.5). Um diese Entwicklung zu verhindern, versucht die Rentenreform die Bedeutung der ersten Säule zu reduzieren und im Gegenzug die private Altersvorsorge auszubauen. Konkret bedeutet das, dass der Beitragssatz auf maximal 22 % steigen soll und das Nettorentenniveau soll (inklusive der staatlich geförderten Riester-Rente) mindestens 67 % betragen. Diese Reform stellt also einen Versuch dar, einen Teil der umlagefinanzierten ersten Säule durch den Ausbau der kapitalgedeckten dritten Säule zu ersetzen.

Dieser Übergang hat eine Reihe von weitreichenden Konsequenzen, so z.B. die Doppelbelastung der gegenwärtigen Erwerbstätigen, da sie sowohl für die jetzigen Rentner die Rente finanzieren als auch einen Teil ihrer eigenen Rente ansparen müssen, falls sie das erwähnte Niveau von 67 % behalten wollen. Eine weitere Folge der Teilprivatisierung ist, dass intragenerative Umverteilungen, die in der GRV vorhanden sind, vermutlich verschwinden werden. Dabei lassen sich zwei Arten von Umverteilung unterscheiden. • Erstens die Art, wie man Entgeltpunkte erwirbt. Im Normalfall wird das

Jahresbruttogehalt eines Versicherten durch das Durchschnittsgehalt aller Versicherten geteilt und dieser Wert entspricht den erworbenen Entgeltpunkten in diesem Jahr, sofern das Gehalt unterhalb der Beitragsbemessungsgrenze lag. Nun gibt es im System der GRV auch andere Möglichkeiten Entgeltpunkte zu bekommen, wie z.B. für Ausbildungszeiten, Erziehungszeiten und Wehr- bzw. Zivildienstzeiten. Laut einer Studie von Axel Börsch-Supan und Anette Reil-Held (2001, S.515) erwerben Männer etwa 86 % ihrer Entgeltpunkte auf dem normalen Weg und Frauen etwa 70 %, d.h. Männer erhalten etwa 14 % ihrer Entgeltpunkte ohne dafür Beiträge zu bezahlen und Frauen etwa 30 %. Finanziert werden diese versicherungsfremden Leistungen in etwa durch den Bundes- zuschuß zur GRV.

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• Die zweite Art von Umverteilung in der GRV, welche in dieser Arbeit untersucht wird, ist

die Gleichbehandlung (Pooling) von Männern und Frauen und von Ledigen und Verheirateten, welche auf dem privaten Leibrentenmarkt unterschiedlich behandelt werden. Diese Art von Umverteilung wird es in dem Bereich der Riester-Rente nicht mehr geben, da das dort angesparte Kapital bei Rentenbeginn zu den Konditionen des Leibrentenmarktes annuisiert wird. Dort muß eine Frau wegen ihrer höheren Lebenserwartung für die gleiche Rente eine höhere Prämie bezahlen als ein Mann und ein Lediger muß weniger bezahlen als ein verheirateter Mann, falls dieser eine Hinterbliebenenversorgung (Witwenrente) wünscht. Auf dem Leibrentenmarkt geht es hauptsächlich um das Risiko der Langlebigkeit, d.h. die Versicherungsgesellschaften versuchen bei einem Vertragsangebot die Lebenserwartung des zu Versichernden abzuschätzen und benutzten dazu nur zwei leicht kontrollierbare Merkmale, nämlich das Alter und das Geschlecht.

In einer Studie von Anette Reil- Held zeigt sich aber, dass ein weiteres wichtiges, aber von einer Versicherungsgesellschaft nur schwer kontrollierbares Merkmal das Einkommen ist. Die Beziehung ist derart, dass die Lebenserwartung mit dem Einkommen steigt. Eine folge davon ist, dass Menschen mit einem höheren Einkommen (der kürze wegen mit „Reiche“ bezeichnet) sowohl in der GRV als auch auf dem Leibrentenmarkt eine längere Rentenbezugsdauer haben und damit höhere Renditen erzielen als Menschen mit geringerem Einkommen (der kürze wegen mit „Arme“ bezeichnet). Es kommt in der GRV also auch zu einer Umverteilung von Armen zu Reichen. Allerdings gibt es diese auch auf dem privaten Leibrentenmarkt, da dort nicht nach Einkommen differenziert wird. Ziel dieser Arbeit ist das Aufzeigen intragenerativer Umverteilung in der GRV durch die Gleichbehandlung von prinzipiell unterscheidbaren Merkmalen wie Geschlecht, Familienstand und Einkommen und ob insbesondere die Umverteilung von Arm zu Reich durch die Ausgestaltung der Riester-Rente verringert wird.

Dazu werden zunächst unter Punkt 2 für den Leibrentenmarkt zwei Gleichgewichtskonzepte vorgestellt. Unter Punkt 3 wird in einem Modellrahmen von Jan Walliser gezeigt, dass die positive Korrelation zwischen Einkommen und Lebenserwartung einen Großteil der durch adverse Selektion entstehenden Prämien für Leibrenten erklärt. Unter Punkt 4 wird die bereits erwähnte Studie von Anette Reil-Held vorgestellt, in welcher die positive Korrelation zwischen Einkommen und Lebenserwartung für Deutschland untersucht wird. Die sich dabei ergebenden Überlebensfunktione n für Arme und Reiche werden in allen folgenden Abschnitten zur Berechnung von internen Renditen benutzt. Unter Punkt 5 werden alle oben

6

beschriebenen Umverteilungen innerhalb der GRV anhand von internen Renditen quantifiziert. Unter Punkt 6 werden mit emp irischen Daten von Versicherungsgesellschaften interne Renditen von Ledigen, Verheirateten und von Armen und Reichen auf dem deutschen Leibrentenmarkt berechnet. Da es auf dem Leibrentenmarkt nur noch die Umverteilung von Armen zu Reichen gibt, wird unter Punkt 7 untersucht, inwieweit die Förderung der Riester-Rente diese Umverteilung reduziert. Unter Punkt 8 folgt eine abschließende Betrachtung.

2. Gleichgewichtskonzepte für den Leibrentenmarkt

In diesem Abschnitt werden zwei Gleichgewichtskonzepte vorgestellt, wobei einige Besonderheiten des Leibrentenmarktes zu beachten sind. Der Kauf einer Leibrente sichert dem Käufer eine lebenslange Rente zu und schützt ihn dadurch gegen Altersarmut, falls er sehr lange lebt. Wenn man genau wüßte, wie lange man lebt, könnte man sein gespartes Kapital zu einer Bank bringen und einen Auszahlungsplan bis zum Lebensende vereinbaren. Da aber niemand weiß, wie lange er lebt, schützt man sich vor dieser Unsicherheit, länger zu leben, als der Auszahlungsplan läuft, durch den Kauf einer Leibrente. Aus Sicht der Versicherungsgesellschaft besteht das Risiko darin, dass der Leibrentenkäufer länger lebt als erwartet („Schadensfall“). Somit sind für die Versicherungsgesellschaft langlebige Menschen „schlechte Risiken“ und kurzlebige Menschen „gute Risiken“. Dieser Punkt ist ein wichtiger Unterschied des Leibrentenmarktes zu anderen Versicherungsmärkten, da z.B. auf einem Markt zur Versicherung gegen Feuer, Überschwemmung, Krankheit etc. der Versicherungsnehmer, wenn er wählen könnte, es immer vorziehen würde, ein „gutes Risiko“ zu sein, d.h. dass er prinzipiell ein Interesse daran hat, den Schadensfall zu verhindern. Auf dem Leibrentenmarkt ist der Versicherte aber gerade daran interessiert, den Schadensfall herbeizuführen, da ein langes Leben im allgemeinen als etwas wünschenswertes angesehen wird. Eine Konsequenz daraus ist, dass ein Poolinggleichgewicht die Langlebigen besser stellt als ein Trenngleichgewicht bei vollkommener symmetrischer Information und demzufolge findet im Poolinggleichgewicht eine Umverteilung von Kurz- zu Langlebigen statt. Im folgenden wird angenommen, dass Erbschaften keinen Nutzen stiften und dass die Leibrentenkäufer wissen, ob sie eher kurz- oder langlebig sind, während die Versicherungsgesellschaft nur die durchschnittliche Lebenserwartung kennt, d.h. es geht um ein Gleichgewicht bei asymmetrischer Information. Allerdings ist zu beachten, dass bezüglich Alter und Geschlecht symmetrische Information vorliegt, so dass hier mit asymmetrischer Information nur gemeint ist, dass eine Versicherungsgesellschaft z.B. allen 60-jährigen Frauen dieselbe

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Lebenserwartung unterstellt, während diese Frauen selbst ihrer Lebenserwartung unterschiedlich einschätzen.

Die Modellstruktur (Nutzenfunktion etc.) ist unter Punkt 3.2 ausführlich dargestellt, wobei es in den folgenden graphischen Darstellungen der Gleichgewichtskonzepte nur zwei unterschiedliche Typen gibt. Zum einen den kurzlebigen Typ, welcher mit der π g Wahrscheinlichkeit (gutes Risiko) die zweite Periode erlebt. Der Anteil an der λ ε = g Gesamtbevölkerung beträgt . Zum anderen den langlebigen Typ, welcher mit der π π > π g s s Wahrscheinlichkeit (schlechtes Risiko) überlebt ) ( und dessen Anteil ( λ ε − = s ) 1 beträgt.

Bei beiden Gleichgewichtskonzepten dürfen die Leibrentenverträge im Gleichgewicht keine Gewinne und keine Verluste verursachen (vollkommener Wettbewerb) und es dürfen keine weiteren Verträge möglich sein, welche zu Gewinnen führen würden. Es wird davon ausgegangen, dass die Leibrentenkäufer ihren erwarteten Nutzen und die Versicherungsgesellschaft ihren erwarteten Gewinn maximieren.

2.1 Das Trennungsgleichgewicht

In einem Trennungsgleichgewicht werden guten und schlechten Risiken Verträge mit unterschiedlichen Preisen und Mengen angeboten. Da die Versicherungsgesellschaft die Risiken nicht unterscheiden kann, müssen die Verträge anreizkompatibel gestaltet werden, da sonst immer die Gefahr besteht, dass die schlechten Risiken die Verträge wählen, welche für die guten Risiken gedacht waren. In Abbildung 2.1 (S. 8) erkennt man, dass man den guten g Risiken deshalb nur einen Teilversicherungsvertrag V anbieten kann, welchen diese auch wählen. Den schlechten Risiken wird die Vollversicherung s B angeboten und sie werden diese auch wählen, da der Vertrag g V gerade so konzipiert wurde, dass die schlechten Risiken zwischen diesem und der Vollversicherung indifferent sind. Die S tabilität bzw. Existenz dieses Trennungsgleichgewichts hängt von mehreren Bedingungen ab, wobei hier von der Erfüllung der typischen (nur ein Vertrag pro Käufer, hinreichend hoher Anteil der schlechten Risiken) ausgegangen wird. Hier interessiert v.a. die auf dem Leibrentenmarkt schwierige Frage, wie man die Schadenshöhe bestimmt bzw. wie die Versicherungsgesellschaft feststellen kann, ob ein Leibrentenvertrag für den Käufer eine Teil- oder eine Vollversicherung ist. Dazu ein Beispiel. Ein 65-jähriger Mann möchte für 100.000 € eine Leibrente kaufen. Wenn das sein gesamtes Vermögen darstellt, ist der Vertrag eine Vollversicherung. Falls er aber 1 Mio. € besitzt, ist es ein Teilversicherungsvertrag. Die Versicherungsgesellschaft kann also ohne detaillierte Kenntnisse über das Gesamtvermögen

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des Leibrentenkäufers keinen Teil- bzw. Vollversicherungsvertrag gestalten. In Abbildung 2.1 bedeutet das, dass der Abstand zwischen der Sicherheitslinie (S) und der Abszisse bzw. dem Punkt A unbekannt ist.

ABBILDUNG 2.1: TRENNGLEICHGEWICHT BEI ASYMMETRISCHER INFORMATION

Dies dürfte der Hauptgrund dafür sein, dass auf realen Leibrentenmärkten keine

Trennungsgleichgewichte existieren. Dort gibt es nur ein Pollinggleichgewicht für jede Gruppe von gleichaltrigen und gleichgeschlechtlichen Personen.

2.2 Das Poolinggleichgewicht

In einem Poolinggleichgewicht, in dem die Versicherungsgesellschaft nur den „Preis“, d.h. die Steigung der Versicherungsgeraden, aber nicht die Menge, also Voll- oder Teilversicherung, kontrollieren kann, gibt es nur einen Preis bzw. nur eine Prämie, und damit nur eine Versicherungsgerade für alle Typen. Der Preis oder die Prämie Z setzt sich in diesem

Zwei-Perioden-Modell aus dem Zins r und der Überlebenswahrscheinlichkeit π , mit welcher

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die Versicherungsgesellschaft rechnet, zusammen. Da der Zins gegeben ist, resultieren hier unterschiedliche Preise nur aus unterschiedlichen Überlebenswahrscheinlichkeiten. Die Nachgefragte Menge j a hängt vom Preis Z und der individuellen Überlebenswahrscheinlich- π ab. keit j

In Abbildung 2.2 ist das Nachfrageverhalten für zwei Preise dargestellt, bei welchen der hohe π ) der Versicherungsgesellschaft Gewinne generiert während der niedrigere Preis (π ) Preis ( s zu Verlusten führt.

ABBILDUNG 2.2: POOLINGGLEICHGEWICHT BEI ASYMMETRISCHER INFORMATION

Dies soll kurz gezeigt werden.

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π “ angeboten wird, dann werden sich die schlechten Wenn die Versicherungsgerade „ s Risiken zur (für sie) fairen Prämie vollversichern ( s B ), so dass der Versicherungsgesellschaft

aus diesen Verträgen im Erwartungswert keine Gewinne und keine Verluste entstehen. Allerdings entstehen aus den Verträgen mit den guten Risiken Gewinne, da bei ihren π unterstellt wird, sie aber nur mit der s Verträgen die Überlebenswahrscheinlichkeit π überleben. Da aus Wettbewerbsgründen keine Gewinne entstehen Wahrscheinlichkeit g

dürfen, muß der Preis sinken. Wenn man bei der Versicherungsgeraden die durchschnittliche Lebenserwartung π π λ π λ π ⋅ − + ⋅ = s g (2.1) ) 1 (

zugrundelegt, entstehen Verluste. Denn die Versicherungsgesellschaft erhält in t = 1 Prämien gemäß ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ( λ λ s F g F (2.2) a Z a Z ) 1 wobei F Z die faire Prämie für eine Rente von einer Geldeinheit in t = 2 ist, welche nur bei Erleben gezahlt wird (Notation wie in Abschnitt 3.2).

(2.3)

In t = 2 entstehen erwartete Auszahlungen gemäß

⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ π λ π λ s s g g (2.4) a a ) 1 (

Um nun die erwarteten Gewinne in t = 2 zu berechnen, muß man die Einnahmen aus t = 1 Z durch π ersetzt (siehe Gleichung F aufzinsen, was bedeutet, das man in Gleichung (2.1) (2.3)). Damit folgt für den erwarteten Gewinn in t = 2:

(2.5)

F Diese Verluste bei „fairer“ Prämie Z entstehen durch adverse Selektion. Denn die a > ) und erleben auch g s schlecht en Risiken fragen mehr Leibrenten nach als die guten ( a π π > g s häufiger die Auszahlung ( ). Da die Versicherungsgesellschaft im Gleichgewicht keine Verluste machen darf, muß der Preis steigen. π “ Gewinne und auf der In der Abbildung 2.2 werden also auf der Versicherungsgeraden „ s Versicherungsgeraden „ π “ Verluste erzielt. Folglich muß zwischen diesen beiden eine Versicherungsgerade existieren, auf der die Mischkalkulation aus Gewinnen mit den guten und Verlusten mit den schlechten Risiken zu einem erwarteten Gewinn von Null führt. Dieser π zugrundeliegen, welche Versicherungsgeraden wird die Überlebenswahrscheinlichkeit *

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höher als π ist (adverse Selektion). Da hier die Versicherungsgesellschaft nur den Preis

π , aber nicht die Menge kontrollieren kann, gibt es keine weiteren Verträge, welche *

= ^* Z

+ r 1

von den Leibrentenkäufern bevorzugt werden und gleichzeitig keine Verluste verursachen, d.h. es ist kein „Rosinenpicken“ möglich.

Tatsächlich entsprechen Verträge auf dem Leibrentenmarkt diesem Konzept, d.h. es gibt nur einen Preis und keine Mengenbeschränkung für jede Gruppe von gleichaltrigen und gleichgeschlechtlichen Personen.

Interessant ist in diesem Zusammenhang auch, dass die Versicherungsgesellschaften nicht versuchen, den Risikotyp des Leibrentenkäufers festzustellen, obwohl dies auf dem „inversen“ Markt für Risikolebensversicherungen (Leistung nur im Todesfall, bei Leibrenten Leistungen bis zum Todesfall) üblich ist. Dort müssen (siehe Anhang) bei gefährlicher Lebensweise (z.B. Motorrad fahren, Rauchen, Übergewicht, Fallschirm springen, Bergarbeiten unter Tage) deutlich höhere Beiträge gezahlt werden. Ein Grund für diesen Unterschied zwischen Leibrenten und Risikolebensversicherungen könnte in den „unmoralisch“ erscheinenden Konsequenzen auf dem Leibrentenmarkt liegen. Denn dort bekäme man eine um so höhere Rente, je gefährlicher und ungesünder man lebt. Selbst wenn man das akzeptieren würde, bliebe das Problem des moralischen Risikos, d.h. alle Leibrentenkäufer würden angeben, gefährlich und ungesund zu leben, solange die Versicherungsgesellschaft dies nicht bzw. kaum kontrollieren kann. Auf dem Markt für Risikolebensversicherungen ist dies wesentlich einfacher, da man anhand der Todesursache Falschangaben aufdecken kann. Wenn ein Versicherter z.B. bei einem Motorradunfall stirbt und er diese Freizeitaktivität, um Beiträge zu sparen, nicht angegeben hat, dann muß die Versicherungsgesellschaft die Versicherungssumme nicht bezahlen. Bei Leibrenten müßte die Versicherungsgesellschaft dagegen die Lebensweise vom Versicherungsbeginn bis zum Tod des Versicherten kontrollieren, was sehr aufwendig wäre. Die unmoralischen Konsequenzen und die hohen Kontrollkosten dürften die wichtigsten Gründe dafür sein, dass auf dem Leibrentenmarkt die Risikotypen nicht getrennt werden. Im folgenden wird daher immer das hier vorgestellte Poolinggleichgewicht unterstellt.

3. Adverse Selektion auf dem Leibrentenmarkt

In dem Aufsatz „Adverse Selection in the Annuities Market and the Impact of Privatizing Social Security“ generiert Jan Walliser in einem 75-Perioden Modell mit empirischen Daten (v.a. Sterbewahrscheinlichkeiten und Einkommen) von 1458 Personen die Preisbildung von

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Leibrenten. Dabei maximieren die Haushalte ihren Nutzen und auf dem Versicherungsmarkt wird das unter Punkt 2.2 beschriebene Gleichgewichtskonzept angewendet. Zur Messung der Preiserhöhung durch adverse Selektion wird der „Load-Faktor“ verwendet, welcher in Prozent angibt, um wieviel der Preis im Gleichgewicht höher ist als der versicherungsmathematisch faire Preis.

Außerdem wird untersucht, inwieweit das Sozialversicherungssystem und die positive Korrelation zw ischen Einkommen und Lebenserwartung für die Höhe des Load-Faktors verantwortlich ist.

In Abschnitt 3.1 geht es um empirische Ergebnisse zur adversen Selektion, unter 3.2 wird ein Zwei-Perioden Modell der Nachfrage nach Leibrenten vorgestellt, welches unt er Punkt 3.3 auf 75 Perioden erweitert wird und mit den Daten der 1458 Personen solange durchgerechnet wird, bis ein Gleichgewicht entsteht. Abschließend werden kurz die Konsequenzen der Ergebnisse beschrieben.

3.1 Empirische Ergebnisse zur adversen Selektion

Eine Studie von Mitchell, Poterba, Warshawsky und Brown (1999, S.86) untersucht die adverse Selektion auf dem Leibrentenmarkt der USA im Jahr 1995. Sie berechnen dabei den fairen Wert pro Dollar Prämie, welcher der Kehrwert des Load-Faktors ist, d.h. wenn dort ein fairer Wert von 0,814 berechnet wurde, entspricht das einem Load-Faktor von 1 = − % 8 , 22 1 . Als Diskontierungssatz wird der Zins von Staatsanleihen bzw. von

814 , 0

Unternehmensanleihen verwendet. Um nun die adverse Selektion zu messen, wird zunächst der faire Wert, welcher im folgenden in den Load-Faktor umgerechnet wird, mit den Überlebenswahrscheinlichkeiten der Gesamtbevölkerung berechnet. Dabei ergibt sich für einen 65-jährigen Mann ein Load-Faktor von 22,8 % (Zins der Staatsanleihen) bzw. 32,3 % (Zins der Unternehmensanleihen). Für eine 65-jährige Frau beträgt der Load-Faktor 17,1 % bzw. 27,4 %. Nun wird der faire Wert bzw. der Load-Faktor mit den Überlebenswahrscheinlichkeiten der Leibrentenkäufer berechnet. Der Rückgang des Load-Faktors, bei Männern etwa 15 % und bei Frauen etwa 9 %, ist der Teil des zuvor berechneten Load-Faktors, für den die adverse Selektion verantwortlich ist. Die Auswirkung der adversen Selektion ist bei Männern deutlich größer als bei Frauen. Das hier vorgestellte Modell generiert für Männer auch einen höheren Load-Faktor als für Frauen, so dass die empirischen Verhältnisse in etwa nachgebildet werden.

13

3.2 Ein Zwei-Perioden Modell des Leibrentenmarkts

{ } ∈ N j , 1 In dem Modell gibt es N Typen von Konsumenten, , welche maximal zwei Perioden

leben. Jeder lebt sicher eine Periode, aber die zweite Periode erreicht man nur, abhängig vom π , 0< j π <1. Das Arbeitsangebot ist exogen und beträgt j Typ, mit der Wahrscheinlichkeit j eine Einheit in der ersten Periode, wobei der Lohn w erzielt wird. In der zweiten Periode

wird nicht gearbeitet, d.h. der Konsum wird aus Ersparnissen der ersten Periode finanziert.

Jeder Typ j ist durch { }

π j j w , vo llkommen charakterisiert, wobei Einkommen und ε an Überlebenswahrscheinlichkeit korreliert sein können. Jeder Typ steht für einen Anteil j N . Die Haushalte wählen { } der Gesamtbevölkerung, so dass ∑ = ε j 1 ,c c 1 so, dass der

2

= j ¹ ) , ( 1 c c U erwartete Nutzen aus einer zeitlich separierbaren Nutzenfunktion maximiert wird.

2

' < 0 '> U 0 ' U ) , ( 1 c c U Es wird angenommen, dass für gilt: und . Der Nutzen der zweiten

2

Periode wird mit der Zeitpräferenzrate δ abdiskontiert.

(3.1)

Die Haushalte können ihre Ersparnisse aus der ersten Periode in Bonds zu dem Zinssatz r anlegen. Der Preis eines Bonds, welcher in der zweiten Periode eine Geldeinheit bringt, ist in

der ersten Periode

kaufen, welche ebenfalls in der zweiten Periode eine Geldeinheit bringt, allerdings nur, falls man noch lebt. Bonds werden dagegen immer ausgezahlt, d.h. es können Erbschaften entstehen. j Der Preis in der ersten Periode für eine Leibrente j a ist Z , wobei zu beachten ist, dass

manche Leibrentenkäufer die zweite Periode nicht erleben, wodurch der Preis für eine Einheit

Zukunftskonsum j

Bedingung für die Versicherungsgesellschaften wäre

Bonds und alle Haushalte werden als Anlageform Leibrenten wählen.

Außerdem gibt es in dem Modell eine Sozialversicherung, welche als Umlageverfahren konzipiert ist, d.h. von den Löhnen wird der Anteil s als Beitrag abgeführt um damit die ( j j w Renten ) SS zu finanzieren. Die Rentenhöhe hängt vom Lohn in der ersten Periode ab ' ≤ 0 '≥ SS 0 ' SS und steigt maximal proportional mit diesem, d.h. und .

14

Die Gleichungen (3.2) und (3.3) geben die Budgetrestriktion für den Haushalt in beiden Perioden an und Gleichung (3.4) stellt sicher, dass die Haushalte keine Leibrenten verkaufen. Denn durch die Sozialversicherung könnten manche (kurzlebige) Haushalte „überannuisiert“ sein, so dass sie es vorziehen würden, Leibrenten zu verkaufen, was durch die Aufnahme eines Kredits, welcher durch eine Risikolebensversicherung gesichert wird, erreicht werden kann, wie Yaari (1965, S. 140) gezeigt hat. Dieses Vorgehen soll durch Gleichung (3.4) verhindert werden. ⋅ − − = j j j j (3.2) Z a s w c ) 1 (

1

+ = j j j (3.3) SS a c

2

> j (3.4) 0 a

Aus den Gleichungen (3.2) und (3.3) folgt die intertemporale Budgetrestriktion: ⋅ + = ⋅ + − j j j j j j Z c c Z SS s w ) 1 (

2 1

Wenn man die Lagrangefunktion π

= j ) ( c U L

¹ nach j c 1 und j c 2 ableitet und gleichsetzt, folgt

(3.5)

Die Ungleichheit gilt nur für den Fall, dass der Haushalt durch die Sozialversicherung überannuisiert ist und Leibrenten verkaufen will, was durch Gleichung (3.4) ausgeschlossen π und j ist. Für den Fall der Gleichheit folgt, dass die Leibrentennachfrage mit j w steigt und j falls c.p. SS steigt, wird die Nachfrage nach Leibrenten sinken. Allgemein kann man die Nachfrage nach Leibrenten wie folgt schreiben: − = π j j j j j j )) ( , ) 1 ( , , ( w SS w s Z a a

Um nun ein Gleichgewicht auf dem Leibrentenmarkt zu erhalten, wird folgende Annahme getroffen:

Die Versicherungsgesellschaft hat keine Information über den Typ des Leibrentenkäufers. Außerdem weiß sie nicht, wieviel Leibrentenverträge der Käufer insgesamt hat, d.h. sie kann nicht die gekaufte Menge kontrollieren. Die Versicherungsgesellschaft kann Alter (erst im 75-Perioden Modell von Bedeutung) und Geschlecht beobachten, aber nicht das Einkommen.

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Diese Annahme führt zu adverser Selektion, da das first-best Ergebnis, bei welchem jeder Leibrenten auf der Grundlage der eigenen Überlebenswahrscheinlichkeit kaufen kann, j verhindert wird. Da die Versicherungsgesellschaft nur den Preis Z kontrollieren kann, den

Typ aber nicht kennt, gibt es nur einen Preis Z für alle Typen. Wenn eine Versicherungsgesellschaft nun eine Leibrente j a an den Typ j verkauft, erzielt sie damit einen erwarteten Gewinn in Höhe der eingenommenen Prämie abzüglich der abdiskontierten erwarteten künftigen Auszahlung, also:

G E ] [

Bei vollkommener Information wäre

Gewinn Bedingung erfüllt. Hier ist aber der Preis Z für alle Verträge gleich und damit ist im Gleichgewicht die Null-Gewinn Bedingung nur in der Summe über alle Verträge erfüllt, d.h. der Gleichgewichtspreis ^* Z ergibt sich aus

(3.6)

Diese Gleichung hat eine eindeutige Lösung * j Z , falls SS nicht so hoch ist, dass alle

Haushalte überannuisiert sind. In diesem sehr unwahrscheinlichen Fall wäre das einzige = j Gleichgewicht der Grenzfall, in dem niemand Leibrenten kauft, d.h. für alle j. 0 a ^* Der Preis Z wird, falls Einkommen und Überlebenswahrscheinlichkeit nicht negativ korreliert sind, aufgrund adverser Selektion höher sein als der „faire“ Preis F Z , welcher mit

der durchschnittlichen Überlebenswahrscheinlichkeit

Z F π

= . Tatsächlich scheint es sogar eine positive Korrelation zwischen Einkommen und

Lebenserwartung zu geben, was das Problem der adversen Selektion noch vergrößert. Nun stellt sich die Frage, wie man adverse Selektion messen kann. Der traditionelle Ansatz berechnet einen „Load-Faktor“, welcher mißt, um wieviel Prozent der Gleichgewichtspreis ^* Z den fairen Preis F Z übersteigt. Damit ergibt sich für das Zwei-Perioden Modell

(3.7)

Ein Teil des Load-Faktors aus dieser Gleichung ist der Korrelation zwischen Einkommen und Lebenserwartung zuzuschreiben und nicht unterschiedlichen Verhaltensweisen in dem Sinne, dass Langlebige einen größeren Teil ihres Lohns sparen als Kurzlebige. Zur Korrektur

16

unterstellt man, dass die Nachfrage nach Leibrenten direkt proportional zum Einkommen ist β = j j ). Um für diesen Fall den Gleichgewichtspreis S ( w a Z zu berechnen, muß man die

Überlebenswahrscheinlichkeit mit dem Einkommen gewichten:

π

Dies ist aus Sicht der Versicherungsgesellschaft die Wahrscheinlichkeit, mit der es im Durchschnitt zu einer Auszahlung kommt, falls die Nachfrage nach Leibrenten direkt

proportional zum Einkommen ist. Damit ist der Gleichgewichtspreis

kann der „korrigierte“ Load-Faktor wie folgt berechnet werden

(3.8)

Der Load-Faktor, der mit Gleichung (3.8) ermittelt wird, hat seine Ursache darin, dass Langlebige einen größeren Anteil ihres Einkommens sparen als Kurzlebige. Eine weitere Überlegung (nicht im Aufsatz von Jan Walliser) ist die Aufspaltung des Load-Faktors aus Gleichung (3.7) in einen Teil, welcher der positiven Korrelation zwischen Einkommen und Lebenserwartung zuzuschreiben ist und den Rest, welcher in Gleichung (3.8) gemessen wird. Allerdings wird in Gleichung (3.8) eine andere Basis als in Gleichung (3.7) benutzt ( S Z > F Z ). Wenn man wissen will, wieviel Prozentpunkte des Load-Faktors aus Gleichung (3.7) der positiven Korrelation zwischen Einkommen und Lebenserwartung zuzuschreiben sind, ist es hilfreich, Gleichung (3.7) durch Gleichung (3.8) zu dividieren.

(3.9)

Der Wert aus Gleichung (3.9) beantwortet also oben gestellte Frage. Wenn z.B. der Load-Faktor aus Gleichung (3.7) 30 % beträgt und Gleichung (3.9) einen Load-Faktor von 20 % angibt, dann ist die positive Korrelation zwischen Einkommen und Lebenserwartung für 20

Prozentpunkte bzw. für

3.3 Erweiterung zu einem 75-Perioden Modell

Das Modell aus Punkt 3.2 wird nun zu einem Modell über 75 Jahre (vom Alter 25 bis 100) erweitert. Der einzelne Haushalt maximiert folgende Nutzenfunktion:

(3.10)

π angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Haushalt vom Typ j von t bis t+1 lebt. wobei j

t

Die Maximierung muß dabei eine Sequenz von Budgetrestriktionen beachten, die sich wie folgt entwickelt: + ⋅ − + − = j j j j j (3.11) SS Z a a s w c ) 1 (

+1 t t t t t t

wobei die Sozialversicherungsrente vor dem Ruhestand und die Löhne nach dem Ruhestand auf Null gesetzt werden. Es ist exogen vorgegeben, dass die Haushalte ab einem Alter von 65 in den Ruhestand gehen. In der letzten Periode (t=75) ist die Nachfrage nach Leibrenten Null. Die Anteile der einzelnen Typen entwickeln sich nach

(3.12)

Das Gleichgewicht auf dem Leibrentenmarkt für mehrperiodige Verträge läßt sich aus dem Gleichgewicht für einperiodige Verträge herleiten. Denn der Preis einer Leibrente, die von t bis ans Lebensende jährlich einen Dollar zahlt, läßt sich durch Hintereinanderschaltung einperiodiger Verträge berechnen: + ⋅ ⋅ + ⋅ + = ^{* * * * * *} (3.13) ... Z Z Z Z Z Z PR

+ + + 2 1 1 t t t t t t t F Dementsprechend läßt sich auch der faire Preis PR nach

t

+ ⋅ ⋅ + ⋅ + = F F F F F F F (3.14) ... Z Z Z Z Z Z PR

+ + + 2 1 1 t t t t t t t

berechnen und der Load-Faktor nach Gleichung (3.7) ergibt sich aus dem Verhältnis von PR

t F zu PR . Ganz analog kann man den korrigierten Load-Faktor nach Gleichung (3.8)

t

S berechnen. Man muß dann nur mit dem Leibrentenpreis Z rechnen, d.h. mit den

einkommensgewichteten Überlebenswahrscheinlichkeiten. Soviel zu dem Modell und der Berechnung des Load-Faktors.

Nun werden die Typen anhand empirischer Daten spezifiziert. Dabei wurden die Überlebensfunktionen von 721 Männern und 737 Frauen anhand von Merkmalen wie Einkommen, Geschlecht, Alter, Ausbildung und Rasse geschätzt. Außerdem wurde eine stilisierte Entwicklung des Einkommens über den Lebenszyklus unterstellt sowie das US Sozialversicherungssystem in einer Berechnung berücksichtigt und in einer alternativen nicht.