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Verfasser: Otto Praxl

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Letztes Bearbeitungsdatum: 06.09.2010. Bearbeitungskennzeichen: KrF 145163-56

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Vorwort

Die Formeln für den Kreis und seine Teilfiguren nehmen in den meisten Formelsammlungen nur wenig Raum ein. In der Regel fehlen dort die Grundlagen der Formeln.

In der täglichen Praxis brauchen die Anwender, vom Schüler bis zum Wissenschaftler, nicht nur die Kreisformeln allein, sondern auch die mathematischen Grundlagen dazu, die sie meist außerhalb der Formelsammlung in Lehrbüchern nachschlagen müssen. Leider hat der Verfasser bisher nicht die für den praktischen Gebrauch passende Zusammenstellung der Formeln gefunden, die alle Angaben enthalten hätte.

Hier in dieser Formelsammlung werden nicht nur die Kreisformeln angegeben, sondern auch die Begriffe, Definitionen und die praktischen Anwendungen ausführlich erläutert. Um die Übersicht zu wahren, wurde bei bekannten Formeln auf die Herleitung verzichtet.

Voraussetzung zum Verständnis ist ein gutes mathematisches Schulwissen des Lesers. Die mathematischen Erläuterungen zur Herleitung der Formeln sollen dem Leser die Möglichkeit bieten, Einblicke in die Methoden zu erwerben, um fehlende Formeln später selbst herleiten zu können. Durch Beispiele soll die Anwendung der abstrakten Formeln in der Praxis gezeigt werden.

Besonderer Wert wurde auf eine übersichtliche Gliederung mit einem ausführlichen Inhaltsverzeichnis und auf ein detailliertes Sachwortverzeichnis mit den verwendeten Begriffen und Stichwörtern gelegt.

Der Verfasser hofft, mit dieser Formelsammlung eine Lücke füllen zu können, die sich in der Praxis öfter zeigte.

Unterschleißheim, im September 2010

Otto Praxl

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Inhaltsverzeichnis

1.  Vorbemerkungen  9

1.1.  Geometrie des Kreises.  9

1.2.  Lage von Schwerpunkten  9

1.3.  Die Kreiszahl S  10

  Geometrische Ermittlung von  10

  1.3.1.  

  Mathematische Berechnung von  10

  1.3.2.  

1.4.  Einheiten für das Winkelmaß  11

1.4.1.  Winkel in Altgrad (Grad, Minuten und Sekunden)  11

1.4.2.  Winkel in Neugrad (Gon)  12

1.4.3.  Winkel im Bogenmaß (Radiant)  12

1.4.4.  Ausgezeichnete Winkel  13

1.5.  Arkusfunktionen  13

1.5.1.  Arkusfunktion für Gradangaben  13

1.5.2.  Arkusfunktionen für trigonometrische Funktionen  13

1.5.3.  Wichtiger Hinweis für Umkehrfunktionen  14

2.  Sätze am Kreis  15

2.1.  Definitionen und Begriffe  15

2.1.1.  Geometrischer Ort  15

2.1.2.  Definition des Kreises.  15

2.1.3.  Radius und Durchmesser  15

2.1.4.  Zentriwinkel, Kreisbogen, Umfang  15

2.1.5.  Sehne, Sekante und Tangente  16

2.2.  Satz über die Peripheriewinkel  16

2.3.  Der Satz von Thales  17

2.4.  Der Sehnensatz und seine Anwendung  17

2.4.1.  Der Sehnensatz  17

2.4.2.  Beweis des Sehnensatzes  17

2.4.3.  Potenz des Sehnenschnittpunktes  18

2.4.4.  Anwendung des Sehnensatzes  18

2.4.5.  Abstand der Sehne vom Mittelpunkt  19

2.4.6.  Länge der Sehne  19

2.5.  Sekantensatz und Sekantentangentensatz  19

2.5.1.  Der Sekantensatz  19

2.5.2.  Beweis des Sekantensatzes  20

2.5.3.  Potenz des Sekantenschnittpunktes  20

2.5.4.  Der Sekantentangentensatz  20

2.5.5.  Praktische Anwendungen des Sekantentangentensatzes  21

2.5.5.1.  Erdkrümmung und geometrische Sichtweite  21

2.5.5.2.  Näherungsformel für die Sichtweite  22

2.5.5.3.  Zusammengesetzte Sichtweiten  22

2.6.  Das Sehnenviereck des Kreises  23

2.6.1.  Beweis des Satzes über das Sehnenviereck  23

2.6.1.1.  Beweis über die Zentriwinkel  23

2.6.1.2.  Beweis über die Peripheriewinkel  24

2.6.2.  Umfang des Sehnenvierecks  24

2.6.3.  Fläche des Sehnenvierecks aus den vier Seitenlängen  24

2.6.4.  Herleitung der Formel  24

2.6.5.  Beliebiges Viereck im Vergleich zum Sehnenviereck im Kreis  26

2  6 6 Fläche aus dem Radius und den vier Zentriwinkeln  26

6

2.6.7.  Seitenlängen aus dem Radius und den vier Zentriwinkeln.  27

2.6.8.  Eckwinkel des Sehnenvierecks aus den Seitenlängen  27

2.6.9.  Diagonalenlängen aus den Seitenlängen  28

2.6.10.  Umkreisradius des Sehnenvierecks aus den vier Seitenlängen  29

2.6.10.1.  Umkreisradius eines beliebigen Dreiecks  29

2.6.10.2.  Umkreisradius des Sehnenvierecks  30

2.6.11.  Fläche aus den Diagonalen und ihrem Kreuzungswinkel  31

2.6.12.  Kreuzungswinkel der Diagonalen im Sehnenviereck  31

2.6.13.  Diagonalen als Sehnen  32

2.6.14.  Der Satz von Ptolemäus für das Sehnenviereck  32

2.6.14.1.  Herleitung der Formel  32

2.6.15.  Schwerpunktlage im (Sehnen-)Viereck  32

2.6.15.1.  Zeichnerische Ermittlung der Schwerpunktlage  32

2.6.15.2.  Rechnerische Ermittlung der Schwerpunktlage  33

2.7.  Das Tangentenviereck des Kreises  33

2.7.1.  Beweis des Satzes über das Tangentenviereck  34

2.7.2.  Der Umfang des Tangentenvierecks  34

2.7.3.  Fläche des Tangentenvierecks  34

2.7.4.  Inkreisradius des Tangentenvierecks  35

2.7.5.  Schwerpunktlage im Tangentenviereck  35

3.  Berechnungen am Kreis  35

3.1.  Umfang des Vollkreises  35

3.2.  Fläche des Vollkreises  35

3.3.  Kreisbogen  36

3.3.1.  Die Länge des Kreisbogens  36

3.3.2.  Winkel des Kreisbogens  36

3.3.3.  Länge der Sehne  36

3.3.4.  Schwerpunktlage des Kreisbogens  36

3.3.5.  Formel für die Lage des Schwerpunkts des Kreisbogens  37

3.4.  Kreissektor (Kreisausschnitt)  38

3.4.1.  Definition des Kreissektors  38

3.4.2.  Fläche des Kreissektors  38

3.4.3.  Schwerpunktlage der Kreissektorfläche  38

3.4.4.  Formel für die Lage des Schwerpunkts im Kreissektor  38

3.5.  Kreissegment (Kreisabschnitt)  39

3.5.1.  Bezeichnungen.  39

3.5.2.  Definition  40

3.5.3.  Kreissegmentberechnung aus Zentriwinkel und Radius  40

3.5.3.1.  Kreissektorfläche A 1  40

3.5.3.2.  Sehnenlänge s des Kreissegments  40

3.5.3.3.  Stichhöhe h des Kreissegments  40

3.5.3.4.  Dreiecksfläche A 2 zwischen Sehne und dem Mittelpunkt  40

3.5.3.5.  Kreissegmentfläche A  41

3.5.3.6.  Gültigkeitsbereich der Formeln  41

3.5.4.  Kreissegmentberechnung aus Sehnenlänge und Stichhöhe  41

3.5.4.1.  Zentriwinkel  42

3.5.4.2.  Radius  42

3.5.4.3.  Tabellenwerte für das Kreissegment  43

3.5.4.4.  Formeln für die Parameterwerte  43

3.5.4.5.  Programmierung der Tabelle  44

3.5.4.6.  Taschenrechnerprogramm  45

3.5.5.  Schwerpunktlage bei der Kreissegmentfläche  45

3  5 5 1 Abstand des Schwerpunkts vom Kreismittelpunkt  45

7

3.5.5.2.  Abstand des Schwerpunkts von der Sehne  46

3.5.6.  Schwerpunktlage aus Sehne, Stichhöhe und Flächenkoeffizient  46

3.5.6.1.  Abstand des Schwerpunkts vom Kreismittelpunkt  46

3.5.6.2.  Abstand des Schwerpunkts von der Sehne  46

3.6.  Halbkreis  47

3.6.1.  Fläche des Halbkreises  47

3.6.2.  Umfang des Halbkreises  47

3.6.3.  Schwerpunktlage des Halbkreisbogens  47

3.6.4.  Schwerpunktlage der Halbkreisfläche  47

3.6.4.1.  Herleitung der Formel aus Kreissektor  48

3.6.4.2.  Herleitung der Formel aus Kreissegment  48

3.6.4.3.  Herleitung der Formel aus Kugelvolumen und Halbkreisfläche  48

3.7.  Kreisring und Kreisringausschnitt  49

3.7.1.  Kreisring  49

3.7.1.1.  Definition des Kreisrings  49

3.7.1.2.  Mittlerer Radius r m des Kreisrings  49

3.7.1.3.  Umfang U des Kreisrings  49

3.7.1.4.  Breite B des Kreisrings  49

3.7.1.5.  Fläche A des Kreisrings  50

3.7.2.  Kreisringausschnitt (Kreisringsektor)  50

3.7.2.1.  Länge b des Kreisringausschnitts  50

3.7.2.2.  Fläche A b des Kreisringausschnitts  50

3.8.  Kreiszone und Kreiskeil  50

3.8.1.  Kreiszone  50

3.8.2.  Kreiskeil  51

4.  Zwei Kreise  52

4.1.  Fallunterscheidungen  52

4.2.  Schnitt zweier Kreise  53

4.2.1.  Winkel, Sehne und Höhen  53

4.2.1.1.  Winkel  53

4.2.1.2.  Länge der gemeinsamen Sehne  54

4.2.1.3.  Stichhöhen der Segmente  54

4.3.  Durchschnitt zweier Kreise  54

4.3.1.  Segmentflächen  54

4.3.2.  Bedeckung bei astronomischen Ereignissen  55

4.4.  Tangenten an zwei sich nicht berührende Kreise  55

4.4.1.  Äußere Tangenten  55

4.4.1.1.  Technische Anwendung: Gerader Riemenantrieb  56

4.4.2.  Innere Tangenten  56

4.4.2.1.  Technische Anwendung: Gekreuzter Riementrieb  57

5.  Quadratur des Kreises  57

5.1.  Geometrische Lösung unmöglich  57

5.2.  Mathematische Lösung  57

5.2.1.  Flächengleichheit von Kreis und Quadrat  57

5.2.2.  Überdeckung des Kreises mit flächengleichem Quadrat  58

5.2.2.1.  Sehnenlänge und Stichhöhe.  58

5.2.2.2.  Verhältnis der Sehnenlänge zur Quadratseite  58

5.2.2.3.  Winkel  58

5.2.2.4.  Segmentfläche  59

6.  Kreisgleichungen der analytischen Geometrie  59

6  1 Der Kreis im rechtwinkligen Koordinatensystem  60

8

6.1.1.  Allgemeines zum rechtwinkligen Koordinatensystem  60

6.1.1.1.  Abstand zweier Punkte  60

6.1.1.2.  Kreisgleichungen.  60

6.1.1.3.  Gültigkeitsbereich der Kreisgleichungen  60

6.1.1.4.  Es gibt immer zwei Lösungen  60

6.1.2.  Die Mittelpunktsgleichung des Kreises  61

6.1.3.  Die allgemeine Kreisgleichung  61

6.1.4.  Die Scheitelgleichung des Kreises  61

6.1.5.  Die Parametergleichung  62

6.1.5.1.  Berechnung von Kreiskleinpunkten von der Tangente aus  62

6.1.5.2.  Näherungsformel  63

6.1.5.3.  Beispiel  63

6.2.  Der Kreis im Polarkoordinatensystem.  64

6.2.1.  Allgemeines zu Polarkoordinaten  64

6.2.2.  Übergang von Polarkoordinaten zu kartesischen Koordinaten  64

6.3.  Kreisgleichungen im Polarkoordinatensystem  65

6.3.1.  Pol im Mittelpunkt des Kreises  65

6.3.2.  Pol in beliebiger Lage  65

6.3.3.  Polarachse geht durch den Mittelpunkt des Kreises  65

6.3.4.  Pol auf der Kreislinie  66

6.4.  Kreis durch drei gegebene Punkte  67

6.4.1.  Bezeichnungen.  67

6.4.2.  Herleitung der Vektorgleichungen  67

6.4.3.  Determinantendarstellung des Kreises aus drei Punkten  68

6.4.4.  Beispiel der Kreisberechnung aus drei Punkten  69

7.  Hilfsmittel zum Zeichnen von Kreisen  70

7.1.  Der Zirkel  70

7.2.  Schnur und Latte als Zirkelersatz  70

7.3.  Kreis- und Bogenschablonen  71

7.4.  Zeichnen von Kreisen in der Werkstatt  71

7.4.1.  Zeichnen eines Kreises durch zwei gegebene Punkte  72

7.4.1.1.  Vorgang  72

7.4.1.2.  Abmaß  72

7.4.2.  Zeichnen eines Kreises durch drei gegebene Punkte  72

7.4.2.1.  Vorgang  73

7.4.2.2.  Abmaß  73

7.4.2.3.  Theoretische Grundlage des Verfahrens  73

8.  Literatur  74

9.  Kreissegment-Tabelle  75

  10 Sachwortverzeichnis (Index)  80

9

1. Vorbemerkungen

1.1. Geometrie des Kreises

Die Geometrie geht hauptsächlich auf die Griechen zurück. Der griechische Mathematiker Euklid ¹ lebte etwa 325 vor Chr. und wirkte in Alexandria. Er fasste das damalige Wissen über die Geometrie in seinen 13 Büchern zusammen, er nannte sein Werk „Die Elemente“ (Lit. [Euklid]). Das Werk ist die Grundlage der Euklidischen Geometrie und ist nach der Bibel das am meisten verbreitete Buch der Erde (siehe Lit. [Kropp]). Euklid hat sich sehr ausführlich mit dem Kreis beschäftigt.

Auch Archimedes aus Syrakus (er lebte etwa von 287 bis 212 v. Chr.) hat in seiner Schrift „Kreismessung“ einige Lehrsätze aufgestellt, wie Umfang und Flächeninhalt eines Kreises berechnet werden können, nachzulesen in Lit [Archimedes].

1.2. Lage von Schwerpunkten

Wenn in der mathematischen Literatur vereinfachend von Schwerpunkten die Rede ist, dann ist immer die Lage der Schwerpunkte gemeint. Die Kenntnis der Lage von Schwerpunkten in Flächen und Körpern ist im praktischen Berufsleben von Ingenieuren und Wissenschaftlern sehr wichtig, deshalb dürfen die Formeln dafür in den Formelsammlungen nicht fehlen.

Formel für die Lage von Schwerpunkten

Das statische Moment S einer Fläche in Bezug auf einen beliebigen festen Punkt ist das Produkt Flächeninhalt mal Abstand von diesem Punkt. Die statischen Momente der Flächenelemente in Bezug auf den Schwerpunkt der Gesamtfläche heben sich auf. Die Drehmomente einer Fläche oder eines Körpers, der im Schwerpunkt aufgehängt ist, sind also null.

Die Schwerpunktlage in einer Figur in Bezug auf einen gewählten festen Punkt wird aus den Flächenelementen dA und der Summe der statischen Momente dS dieser Flächenelemente durch die Division S/A berechnet. Statisches Moment S und Fläche A können dabei durch Summierung (bei geradlinig begrenzten Figuren) oder durch Integral (bei durch Kurven begrenzten Figuren) berechnet werden.

Hier sei der allgemeine mathematische Ansatz genannt, der den Abstand e s des Schwerpunkts (Schwerpunktlage) zu einem beliebigen Bezugspunkt angibt:

Erläuterungen:

dS = a ˜ dA, ist das statische Moment einer Teilfläche dA, die einen bestimmten

Abstand a von einem bestimmten Drehpunkt (Bezugspunkt) hat.

S ist das statische Moment der Gesamtfläche aus der Summe oder dem Integral aller dS.

A ist die Gesamtfläche der Figur aus der Summe oder dem Integral der Teilflächen dA.

e S ist der Abstand des Schwerpunkts der Figur vom gewählten Drehpunkt.

Für die Berechnung der Schwerpunktlagen bei Kreisbogen und Kreissektor in 3.3.4 und 3.4.3 wird der Berechnungsgang über das Integral nach Formel (1) gezeigt.

¹ nicht zu verwechseln mit dem Philosophen Euklid aus Megara, der etwa 400 vor Chr. lebte.

10

Die Kreiszahl S

1.3.

Der Umfang U ist die Länge der geschlossenen Kreislinie. Der Umfang U hat zur Länge des Durchmessers D ein festes Zahlenverhältnis S (gesprochen: Pi). Mit diesem Zahlenverhältnis S = U/D ha-

Dieses Zahlenverhältnis S , auch Kreiszahl genannt, ist eine irrationale und transzendente Zahl. Irrati- ist eine Zahl, die nicht durch rationale Zahlen, also nicht durch einen Bruch zweier ganzer Zahlen, dargestellt werden kann. Transzendent ist eine Zahl, die nicht algebraisch berechnet werden kann.

Dies bedeutet, dass es kein Polynom endlichen Grades mit rationalen Koeffizienten gibt, das in π eine Nullstelle hat. S kann nur durch unendliche Reihen angenähert werden. Die Transzendenz der Zahl S

sagt aus, dass es allein mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist, den Kreis in ein flächengleiches Quadrat zu verwandeln (siehe „Quadratur des Kreises“ auf Seite 57).

1.3.1. Geometrische Ermittlung von S

Mit regelmäßigen Vielecken (reguläre Polygone), die den Kreis von außen und innen eingrenzen, die also dem Kreis umbeschrieben und einbeschrieben sind, kann der Kreisumfang annähernd berechnet werden. Je mehr Seiten diese Vielecke haben, desto mehr nähert sich der auf diese Weise berechnete Kreisumfang dem genauen Wert. Der Kreisumfang liegt immer zwischen dem Umfang des umbeschriebenen und des einbeschriebenen regelmäßigen Vielecks.

Archimedes rechnete bis zum 96-Eck. Er kam in seiner Schrift „Kreismessung“ auf das Ergebnis:

Der Umfang eines Kreises ist demnach dreimal so groß wie der Durchmesser und noch um et- größer, nämlich um weniger als 1 / 7 und um mehr als 10 / 71 desselben.

Der Zahlenwert von S liegt also nach Archimedes zwischen

223 10

= 3,14084507042 und 3

71 71

1

= 3,14285714286 3

7

Der heute auf Taschenrechnern angegebene Wert für S beträgt: 3,14159265359.

Die Schulmathematik rechnete jahrhundertelang näherungsweise mit dem Wert 3,14, neuerdings mit dem Taschenrechnerwert.

1.3.2. Mathematische Berechnung von S

Die Kreiszahl S kann auch, unabhängig von der Geometrie, mit Hilfe der vier Grundrechenarten auf

unterschiedliche Weise mathematisch beliebig genau ermittelt werden. Hier wird als Beispiel die alternierende Reihe der zyklometrischen Funktion arctan (Arkustangens) angegeben (Leibnizsche Reihe). arctan 1 ist der Bogen, bei dem der Tangens des Zentriwinkels den Wert 1 hat. Dieser Bogen ist ein Achtelkreis mit 45°, dessen Bogenmaß ² S/4 ist.

Die Reihe lautet:

Daraus folgt:

S 11 9 7 5 3 1

² Das Bogenmaß wird im nächsten Abschnitt erläutert.

11

Diese Reihe kann mit der Summenformel (2) berechnet werden, wobei das Ungefährzeichen (|) angibt, dass die Reihe nur bis zur Zahl k berechnet und ein Näherungswert der Summe angegeben wird:

1 n ) ( 1 ) (

(2)

1 2 n

1 n

n und k sind natürliche Zahlen. k sollte eine gerade Zahl (k mod 2 = 0) sein. f o Für die genaue Summe der Reihe wird gesetzt. k

Es gibt noch andere Reihen zur Berechnung von S, die hier aber nicht angegeben werden.

Moderne mathematische Berechnungsmethoden auf Computern können diesen Wert mit vielen Kommastellen beliebig annähern. Mit dem Taschenrechner HP49 (mit Langzahlarithmetik) wurden 100 Kommastellen dieser Zahl berechnet:

Die Mathematiker haben mehr als 2 Billionen Kommastellen der Zahl S berechnet und es ist noch

kein Ende abzusehen, dass die Berechnung bei einer bestimmten Kommastelle enden und damit der genaue Wert von S feststehen würde.

Diese hohe Genauigkeit der Zahl S braucht kein Mensch. Selbst bei astronomischen Berechnungen genügen nach Lit. [MathHb] 30 Kommastellen für die Zahl S, um den Umfang eines Kreises mit dem

Radius von 2 Milliarden Lichtjahren auf 0,02 mm genau anzugeben.

Bei der Berechnung von S nach der oben angegebenen Summenformel treten einige Besonderheiten

auf, die in einem gesonderten Beitrag des Verfassers auf der Internetseite www.praxelius.de zu finden sind. Eine interessante Zusammenfassung über die Kreiszahl S ist auf der deutschen Wikipedia-Inter-

Kreiszahl zu

1.4. Einheiten für das Winkelmaß

Der Vollständigkeit halber werden hier auch die Einheiten für das Winkelmaß angegeben.

1.4.1. Winkel in Altgrad (Grad, Minuten und Sekunden)

Die Winkel-Maßeinheit Grad (°) wird auch als Altgrad bezeichnet, damit im Sprachgebrauch gegenüber der Maßeinheit Neugrad (siehe unten) eine eindeutige Unterscheidung möglich ist.

Der Gesamtwinkel einer vollen Umdrehung ist ein Vollkreis, der in 360° eingeteilt wird. Die Maßeinheit eines Winkels ist 1 Grad (°), also ¹ / 360 des Vollkreises. Der Halbkreis hat 180°. Der rechte Winkel ist ein Viertelkreis mit 90°.

1 Grad (°) hat 60 Minuten ('): 1° = 60'.

1 Minute (') hat 60 Sekunden ("): 1' = 60" 1° = 60' = 3600".

Wenn Verwechslungsgefahr mit Zeitangaben besteht, werden anstelle von Minuten und Sekunden auch die Bezeichnungen Winkelminuten und Winkelsekunden oder Bogenminuten und Bogensekunden verwendet.

Gradangaben können auch mit dezimalen Bruchteilen als Dezimalzahl geschrieben werden, z. B.:

· § · §

q 36 48 32 " '

¹ © ¹ ©

12

1.4.2. Winkel in Neugrad (Gon)

In der Vermessungspraxis muss sehr oft die Summe von Winkeln mit Winkelbruchteilen gebildet werden. Die Rechnung mit dem 60er-System von Grad, Minuten und Sekunden ist für die Addition von Winkeln unpraktisch. Deshalb wurde eine Maßeinheit eingeführt, bei der die Bruchteile des Kreises dezimal geteilt sind. Der rechte Winkel wird nicht in 90, sondern in 100 Teile geteilt. Diese Maßeinheit heißt Neugrad oder Gon ( ^g ), Kurzbezeichnung gon. Die Skalen der Vermessungsgeräte (z. B. Theodolit, Tachymeter) haben Neugradteilung.

Der Vollkreis hat also 400 ^g oder 400 gon. 90° entsprechen 100 ^g = 100 gon. Die Bruchteile von 1 gon werden als Dezimalstellen hinter dem Komma angegeben. Deshalb wären auch keine Untereinheiten nötig.

Trotzdem wurden die Neuminute ( ^c ) als ¹ / 100 gon = 0,01 gon und die Neusekunde ( ^cc ) als

¹ / ^{100 c} = 0,01 ^c = 0,0001 gon definiert.

1 g = 1 gon = 100 c = 10000 cc = 0,9°

Die hochgestellten Buchstaben g , c und cc sind in der Schreibweise sehr unpraktisch, deshalb werden sie in der Praxis kaum verwendet.

Winkelangaben in Neugrad werden als Kommazahl mit 4 Nachkommastellen geschrieben. Beispiel: 5 ^g 33 ^c 86 ^cc , geschrieben als 5,3386 ^g = 5,3386 gon = 4,80474° = 4°48'17,064".

Bei Winkelangaben dürfen für die Bruchteile keine Vorsätze wie Dezi, Zenti oder Milli verwendet werden. Die Neuminute darf also nicht als Zenti-Gon (cgon) bezeichnet werden.

1.4.3. Winkel im Bogenmaß (Radiant)

Die Maßeinheit für das Bogenmaß ist Radiant, Kurzzeichen: rad.

Ein Radiant ist gleich dem ebenen Winkel, der als Zentriwinkel des Einheitskreises mit dem Radius r = 1 m aus dem Kreisumfang einen Bogen von 1 m Länge herausschneidet.

Der Kreisumfang des Vollkreises ist 2S S r. Wird diese Bogenlänge zum Radius r des Kreises ins Ver-

2S.

Um bei Berechnungen darauf hinzuweisen, dass ein Winkelwert im Bogenmaß vorliegt (weil rad in der Berechnung nicht mitgeschleppt wird), sind die Variablennamen für das Bogenmaß mit einem Bogen über den Formelzeichen gekennzeichnet.

Die Funktion arcus, abgekürzt arc, die zur Maßzahl eines Winkels D im Bogenmaß führt, ist also als

das Verhältnis von Bogenlänge b eines Winkels zum Radius r des Kreises definiert:

Umrechnung:

q

Beispiel: Winkel in Grad: D = 30°.

Die Maßzahl im Bogenmaß ergibt sich aus:

q

13

Der Winkel von 30° wird als S/6 rad angegeben. Die Bezeichnung rad wird bei Berechnungen weg-

sin (S S/6) = 0,5 = sin 30°.

Das Bogenmaß wird als mathematisches Winkelmaß verwendet. In mathematischen Berechnungen wird das Bogenmaß als Zahl ohne die Bezeichnung rad verwendet. Trigonometrische Funktionen und Winkelberechnungen in Computerprogrammen stützen sich in den meisten Programmiersprachen auf das Bogenmaß.

1.4.4. Ausgezeichnete Winkel

Manche Winkelwerte in Altgrad werden als „ausgezeichnete“ Winkel bezeichnet, weil sie sich in bestimmten Konstruktionen als Sonderfall auszeichnen. Alle diese Winkel können mit Zirkel und Lineal konstruiert werden, ohne einen Winkelmesser verwenden zu müssen.

Im Bogenmaß kommen nur ganzzahlige Teile von S rad als ausgezeichnete Winkel vor:

S rad = 180°, als Zentriwinkel eines Halbkreises, S

/ 2 rad = 90°, rechter Winkel, auch „Rechter“ genannt, als Zentriwinkel des Viertelkreises,

^S / 3 rad = 60°, als Winkelwerte im gleichseitigen Dreieck, ² / 3 eines rechten Winkels, S

/ 4 rad = 45°, als Achtelkreis mit einem halben rechten Winkel,

^S / 6 rad = 30°, als halber Winkel im gleichseitigen Dreieck, ¹ / 3 eines rechten Winkels. S

/ 10 rad = 18°,

S

/ 12 rad = 15°.

15° und 18° haben bei der arithmetischen Berechnung von Sinuswerten eine besondere Bedeutung.

In Neugrad gibt es als ausgezeichnete Winkel nur den Halbkreis mit 200 gon, den Viertelkreis mit 100 gon und den Achtelkreis mit 50 gon.

1.5. Arkusfunktionen

Die Arkusfunktionen werden verwendet, um Gradangaben ins Bogenmaß umzurechnen.

1.5.1. Arkusfunktion für Gradangaben

Wie oben schon erwähnt, wird die Arkusfunktion arc D dazu verwendet, Gradangaben ins Bogen- D maß umzurechnen. Die allgemeine Angabe des Arguments D in arc steht stellvertretend für

Argumentwerte in Altgrad oder Neugrad. Im konkreten Fall wird die Winkeleinheit Altgrad oder Neugrad angegeben:

1.5.2. Arkusfunktionen für trigonometrische Funktionen

Außer der allgemeinen Arkusfunktion für Gradangaben (1.5.1) gibt es noch die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen sin, cos und tan.

Während die trigonometrischen Funktionen

x = sin D (oder sin D° oder sin D g ), x = cos D (oder cos D° oder cos D g ) und x = tan D (oder tan D° oder tan D g ) jeweils den Funktionswert x zu einer Winkelangabe liefern, ergibt sich bei einer Um-

x der

Ursprünglich sind diese Arkusfunktionen so definiert worden, dass sie zu einem gegebenen Funkti- onswert jeweils einen Winkel im Bogenmaß lieferten.

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D

x x x arcsin arccos arctan und und .

Computerprogramme und Taschenrechner liefern bei diesen Umkehrfunktionen die Winkelgröße nicht nur im Bogenmaß, sondern auch in Altgrad oder Neugrad, je nachdem, wie das Winkelformat (die Winkeleinheit) auf dem Gerät vorgewählt wurde.

Deshalb wird in dieser Formelsammlung die allgemeine Winkelangabe verwendet (also ohne Angabe des Bogenmaßes), wenn es auf die Winkeleinheit des Ergebnisses nicht ankommt:

D = arcsin x und D = arccos x und D = arctan x.

1.5.3. Wichtiger Hinweis für Umkehrfunktionen

Auf manchen Tastaturen von Taschenrechnern sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen mit sin -1 , cos -1 oder tan -1 (ohne Winkelangabe) bezeichnet.

Diese Bezeichnungen dürfen nicht mit den Kehrwerten der Funktionen verwechselt werden.

Mathematisch gilt für den Kehrwert einer Funktion:

1 1 1

D D D ^{1 1 1} und und . ) (sin ) (cos ) (tan

D D D

cos tan sin

Für Umkehrfunktionen, die auf Taschenrechnern unter den Tastenbezeichnungen sin -1 , cos -1 oder tan -1 (ohne Winkelangabe) aufgerufen werden können, gelten dagegen immer die mathematischen Beziehungen:

x ) tan(arctan , ) cos(arccos , ) sin(arcsin

wobei x ein Zahlenwert ohne Maßeinheit (reine Zahl, dimensionslose Zahl) ist. Bei diesen Umkehr- funktionen ist immer das Gültigkeitsintervall (Quadrantenrelation) der Winkelwerte zu beachten.

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2. Sätze am Kreis

Die Lehrsätze über Peripheriewinkel, Sehnen, Sekanten und Tangenten sind eine große Hilfe bei geometrischen Problemen und praktischen Anwendungen.

2.1. Definitionen und Begriffe

2.1.1. Geometrischer Ort

Bei Definitionen und Lehrsätzen wird der Begriff „geometrischer Ort“ verwendet.

Geometrische Örter sind Bestimmungslinien in der Ebene, auf denen alle und zugleich nur solche Punkte liegen, die eine bestimmte geometrische Bedingung erfüllen.

Außerhalb der betreffenden Bestimmungslinie gibt es keinen Punkt der Ebene, der die Bedingung erfüllt und auf der Bestimmungslinie gibt es keinen Punkt, der die Bedingung nicht erfüllt.

2.1.2. Definition des Kreises.

2.1.3. Radius und Durchmesser

2.1.4. Zentriwinkel, Kreisbogen, Umfang

Beim Zentriwinkel sind zwei sich ergänzende Winkel vorhanden: Der eigentliche Zentriwinkel D

liegt auf der einen Seite der beiden Schenkel und ist meist der kleinere, der zweite Winkel mit der

³ Die Ergänzungen in eckigen Klammern wurden vom Übersetzer hinzugefügt.

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Größe 360 ) ( Vollkreis (siehe Bild 2).

Ein voller Kreis hat einen Kreisbogen, dessen Zentriwinkel 360° umfasst. Die Länge dieser Kreislinie ist der Umfang des Kreises. Ist der Zentriwinkel D kleiner als 360°, dann schneiden die Schenkel

dieses Zentriwinkels einen Kreisbogen aus der Kreislinie heraus, dessen Bogenlänge b mit diesem Zentriwinkel berechnet werden kann.

2.1.5. Sehne, Sekante und Tangente

2.2. Satz über die Peripheriewinkel

Zu jedem Zentriwinkel D gehört nur ein Bogen b. Zu diesem Bogen gibt es Peripheriewinkel auf dem

restlichen Bogen auf der gegenüberliegenden Seite des Zentriwinkels. Zu jedem Bogen b existieren beliebig viele gleich große Peripheriewinkel (Bild 4a).

Jeder Peripheriewinkel ist halb so groß wie der zum gleichen Bogen b gehörende ZentriwinkelD. Peripheriewinkel über demselben Bogen sind gleich.

Der Beweis dieses Satzes ergibt sich aus gleichschenkligen Dreiecken, deren Eckpunkte im Scheitelpunkt des Peripheriewinkels, in den Endpunkten der Sehne und im Kreismittelpunkt liegen. Der Beweis sei dem Leser überlassen.

Den Satz über die Peripheriewinkel kannte auch schon Euklid:

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Im Kreis ist der Mittelpunktswinkel doppelt so groß wie der Umfangswinkel, wenn die Winkel über demselben Bogen stehen.

Die Sehnentangentenwinkel direkt unterhalb der Sehne in Bild 4a sind Grenzfälle, wenn die Scheitelpunkte der Peripheriewinkel auf die Sehnenendpunkte fallen. Diese Winkel sind ebenso groß wie die Peripheriewinkel.

2.3. Der Satz von Thales

Alle Peripheriewinkel über dem Halbkreis sind rechte Winkel (Bild 4b). Dieser Satz stammt von Thales von Milet (624 bis 547 v. Chr.):

Der geometrische Ort der Scheitel aller rechten Winkel, deren Schenkel durch zwei feste Punkte A und B gehen, ist der Kreis um den Mittelpunkt der Verbindungsstrecke dieser Punkte mit dem Abstand der beiden Punkte als Durchmesser.

Der Satz von Thales ist ein Sonderfall der Peripheriewinkel für den Zentriwinkel 180° (Thaleskreis).

2.4. Der Sehnensatz und seine Anwendung

2.4.1. Der Sehnensatz

Sind a 1 und a 2 die Abschnitte der einen Sehne und b 1 und b 2 die Abschnitte der anderen Sehne (Bild 5a), dann gilt:

˜ b a (3)

2 1 2 1

Wenn sich zwei Sehnen eines Kreises in einem Punkt S (Schnittpunkt) schneiden, dann ist das Produkt aus den Abschnitten der einen Sehne dem Produkt der Abschnitte der anderen Sehne gleich.

Euklid formulierte diesen Sehnensatz nicht mit Produkten von Zahlen, sondern mit der geometrischen Figur eines Rechtecks:

Schneiden im Kreise zwei Sehnen einander, so ist das Rechteck aus den Abschnitten der einen dem Rechteck aus den Abschnitten der anderen gleich.

Hier sind die Flächengrößen der Rechtecke gemeint.

Der Sehnensatz gilt auch für Sehnenbüschel (Bild 5b), also für mehrere Sehnen, die sich in einem Punkt schneiden.

Mathematisch ausgedrückt:

˜ c b a P (4)

2 1 2 1 2 1

2.4.2. Beweis des Sehnensatzes

Der Sehnensatz kann leicht bewiesen werden, indem in Bild 5a die beiden Hilfslinien AD und BC gezogen werden. Die Winkel ADB und ACB sind gleich große Peripheriewinkel des Zentriwinkels AMB. Auch die Winkel DAC und DBC sind gleich große Peripheriewinkel des Zentriwinkels DMC. Damit sind die beiden Dreiecke ADS 1 und BCS 1 ähnlich.

Werden die entsprechenden Dreiecksseiten dieser ähnlichen Dreiecke zueinander ins Verhältnis

⁴ lat.: q.e.d. = quod erat demonstrandum: Was zu beweisen war. Euklid beendete mit diesen Worten seine Beweisführun- gen.