Without education, you're not going anywhere in this world. Malcolm X (1925 - 1965)

So weit du gehst, so hoch du steigst - du musst mit einem einfachen Schritt beginnen. japanisches Sprichwort

Vorwort

Was ist Mathematik?

Viele verbinden mit dem Wort Mathematik vor allem das Rechnen. Dies liegt wohl darin begründet, dass in der Schule bis zur 10. Klasse genau das gefordert ist. Doch was heißt Mathematik eigentlich? Im wissenschaftlichen Bereich existiert keine allgemeine Definition des Wortes und bei der Bedeutungsklärung könnte der altgriechische Wortstamm helfen:

Mathematik ist also die Kunst des Lernens.

Wahrheit, als weithin angenommen.

Warum dieses Buch?

kann heute dank CAS-Taschenrechnern nur noch müde darüber gelächelt werden. Die Aufgabensteller sind damit endlich zum Umdenken gezwungen. Bereits jetzt wird deutlich, dass immer mehr das Verständnis mathematischer Zusammenhänge in den Vordergrund rückt als die einseitige Rechenarbeit.

Das Ziel dieses Buches ist, ein umfassendes Verständnis über die Analysis zu bekommen. Dabei werden zwei didaktische Ansätze verfolgt: Der visuelle Ansatz: Was ich sehe, kann ich mathematisch beschreiben. Das Baukastenprinzip: wenden.

Das charakteristische am Fach Mathe ist, dass etwas umso leichter wird, je mehr darüber nachgedacht wird. Es lohnt sich also, keine Mühen zu scheuen um den Stoff zu durchdringen. Gerade dann viel selbstsicherer und effizienter meistern lassen.

Ist das nicht anstrengend?

Im Gegenteil, Mathe mit dem Willen, die Dinge zu verstehen, macht tatsächlich jede Menge Spaß. Unser Gehirn verfügt über ein Belohnungssystem, welches im Moment des Verstehens Dopamin ausschüttet. Dieser Botenstoff löst gute Gefühle aus und versetzt uns augenblicklich in einem Glückszustand. Dieses Belohnungssystem ist die Triebfeder des Aufgaben ist eng ans Verstehen gekoppelt und damit bestens geeignet, das Gehirn mit glückbringenden Botenstoffen zu überfluten. Nur müssen die Aufgaben dabei angepasst sein. Eine Grundregel ist hier, sich selbst zu fordern, aber nicht zu überlasten.

arbeitet und Ruhepausen sind oft wichtiger als

Isaac Newton lag unter einem Obstbaum, als ihm ein Apfel auf den Kopf fiel. Entrüstet stellte er sich die Frage, was die Frucht eigentlich zum Fallen bewegt hatte und fand als Antwort die Schwerkraft.

Was ist der Nullplan?

Die Übersetzung von Sachverhalten in die Sprache der Mathematik erfolgt durch Gleichungen. Dabei

Fragestellung nicht eindeutig formuliert wurde. In der Analysis werden die Gleichungen oft höheren Grades sein. Diese sind nur lösbar, wenn auf einer Seite eine Null vorzufinden ist. Auf dieser Tatsache fußt die Grundidee des Buches: Es wird immer etwas gleich Null.

Jede Aufgabe kann gelöst werden, indem etwas gefunden wird, dass gleich Null ist. Bei der Suche danach ist es hilfreich, den Blick eine Dimension tiefer als auf die Aufgabendimension zu richten.

Der Bereich der Analysis befindet sich in der 2. Dimension und um die lösung so einfach wie möglich zu gestalten, wird sich in der 0. Dimension nach etwas umgeschaut, dass Null wird. Dort finden sich Nullpunkte, oder genauer ihre x-Werte. D einer Aufgabe in der Analysis Nullstellen.

Zum Arbeiten mit diesem Buch

Es sollte jedoch stets darauf geachtet werden, wie sich die Anforderungen des sich weniger in ein Thema zu vertiefen, wenn

es sowieso nicht gebraucht wird (z.B. wird man sich nicht immer mit dem Nachweis der beschäftigen . Umgekehrt kann es von Vorteil sein, sich mit Dingen

vertraut zu machen, die über die normale Stoffvermittlung hinausgehen (z.B. ist es dem umfassenden Verständnis -, Sattel- und

Wendepunkten auch Flachpunkte in Erscheinung treten können, obwohl dies meist nicht der Fall sein

r gestaltet. Alle sind schriftlich gelöst, damit Wurde diese verstanden, darf gerne zum

Taschenrechner gegriffen werden - er ist ein nützliches Instrument, dessen Umgang oft geübt werden sollte, um es mit

Danksagung

Dieses Buch wäre ohne die Offenheit meiner Schüler für neue Methoden nie entstanden. Vor allem ihre einfachen Fragen haben zu den wesentlichen Erkenntnissen geführt und ich habe dadurch jede Stunde mehr von ihnen gelernt als sie von mir - ihrem Vertrauen gebührt mein Dank!

geschaffene Möglichkeit langjähriger Mitarbeit. Ohne die dort vorgefundene individuelle und freie Unterrichtsgestaltung wäre auch ein ausgiebiges Testen der Idee nicht möglich gewesen.

aller zum Buch gehörenden

Fragen unterstützt hat und immer wieder eine inspirierende Quelle neuer Motivation war.

mich obendrein mit ausgesprochen leckerem Essen beköstigt haben. Ebenso danke ich allen, die es mir während dieser Zeit ermöglichten, Aikido zu trainieren oder Tischtennis zu spielen und mich

Da ich vollkommen ahnungslos ins Buchgeschehen eingetaucht bin, freue ich mich, auf Menschen getroffen zu sein, die bereit waren, ihre langjährige Erfahrung und ihr Fachwissen zu teilen und mir sehr großzügig hilfreiche Erklärungen und Ratschläge gegeben haben. Namentlich danke ich: - Ilka für die zahlreichen Gestaltungtipps, - - Maxi für die erfrischende Einführung ins Verlagsgeschäft, - Nachprüfen einiger sehr hartnäckiger Ableitungen danke ich Schorsch, der auf zahlreichen Roadtrips auch stets zum mathematisch-philosophischen Gespräch aufgelegt gewesen ist. Erst so konnte sich die faszinierende Idee herauskristallisieren, Funktionswerte einer Stammfunktion als orientierte Flächen aufzufassen.

und .

Schließlich danke ich allen Menschen, die mich darin bestärkten, dieses Buch zu schreiben und ungeachtet aller Bedenken in meinem Sinne umzusetzen. In diesem Zusammenhang seien besonders Denis und Wilson erwähnt.

- Teil 1 -

Dass die niedrigste aller Tätigkeiten die arithmetische ist, wird dadurch belegt, dass sie die einzige ist, die auch durch eine Maschine ausgeführt werden kann. Nun läuft aber alle Analysis finitorum et infinitorum im Grunde doch auf Rechnerei zurück. Artur Schopenhauer (1788 - 1860)

Inhalt

1.  Einleitung  1

2.  Grundbegriffe  2

3.  Funktionsarten  4

4.  Differenzieren und Integrieren  6

4.1.  Grundidee des Differenzierens  7

4.2.  Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit  8

4.3.  Grundregeln  9

5.  Kurvendiskussion  14

5.1.  Nullpunkte  16

5.2.   41

5.3.  Definitionsbereich  68

5.4.  Stetigkeit  76

5.5.  Verhalten im Unendlichen  86

5.6.  Wertebereich  112

5.7.  Kurvenverlauf  128

5.8.  Symmetrie  136

6.  Zwei Funktionen  148

6.1.  Abstand  148

6.2.   150

6.3.  Schnittwinkel  155

6.4.  Tangente  158

6.5.  Normale  164

7.  Integral  169

7.1.  Unbestimmtes Integral  170

7.2.  Bestimmtes Integral  174

7.3.  Rotationsvolumen  180

8.  Polynominterpolation  184

9.  Extremwertaufgaben  189

10.  Ortskurve  193

11.  Wissenswertes  196

Man kann einen Menschen nichts lehren, man kann ihm nur helfen, es in sich selbst zu entdecken. Galileo Galilei (1564 - 1642)

1. Einleitung

Das Stoffgebiet der Analysis (altgriech. „Auflösung“) beschäftigt sich mit Funktionen in der Ebene. Die Anwendungen der Analysis sind äußerst vielfältig und ihre Möglichkeiten nach Meinung einiger Mathematiker noch lange nicht ausgeschöpft. Vor allem lassen sich komplizierte Prozesse und Abläufe und ihre Entwicklung beschreiben. Die berühmte Seerosenaufgabe als Beispiel für exponentielles Wachstum erhält eine dringlichere Relevanz für unser Leben, wenn die Blätter mit gefährlichen Krankheitserregern ausgetauscht werden. In der Wirtschaft werden mit Methoden der Analysis Gewinnmaxima (Carnotscher Punkt) berechnet und damit Produktionsabläufe optimiert.

Den Anwendungen liegt ein Theorieteil zu Grunde, dessen Umfang zu Recht fragwürdigt erscheint, soll er in seiner Gänze abgeschritten werden. Dieses Buch beschäftigt sich deshalb mit ausgewählten Themen und versucht den Stoff stets in seiner kompletten Gestalt darzulegen. Wie immer gibt es eine festgelegte Grenze des Tiefgangs, die interessierte Leser aber gleichzeitig einladen soll, diese selbständig zu überschreiten.

Die strukturierte Anordnung von Inhalten eines Themengebiets und die daraus folgende Kombination von relevanten Elementen führt meist zu einer Auffächerung des aufbereiteten Wissens. Dennoch sind sämtliche Erklärungsbeispiele so gewählt, dass sich alle Möglichkeiten auch in einem Rechenbeispiel niederschlagen. Im Bereich der Kurvendiskussion wird beispielsweise auf alle Funktionsarten eingegangen.

Das wichtigste Kapitel (5.1.) handelt von den Nullstellen und bildet die Grundlage für alle folgenden Kapitel. Obwohl Ordnung und Vorzeichenwechsel der Nullstellen im Schulstoff oft nur angerissen werden, ist klar, dass ohne sie ein Verständnis der prägenden Punkte unmöglich ist.

Manche Erklärungsbeispiele sind speziell auf bestimmte Funktionen zugeschnitten, da auch der Lehrplan nicht darüber hinausgeht. Die dargestellten Erkenntnisse lassen sich aber grundsätzlich auf alle Funktionsarten anwenden. So ist die Ordnung von Nullstellen sowie ihr Vorzeichenwechsel exemplarisch an Polynomen erklärt, deren Anwendung bei prägenden Punkten beinhaltet aber alle Funktionstypen. Die Erklärungsbeispiele ziehen sich oft durch mehrere Gebiete (z.B. beim Bildbereich) oder tauchen an anderer Stelle nochmals auf (z.B. wird bei der Beschreibung des Kurvenverlaufs Bezug auf die prägenden Punkte genommen).

Um in der Mathematik kommunizieren zu können, muss Einigikeit über die Bedeutung der verwendeten Begriffe herrschen. So ist es notwendig, sich einigen Begriffsdefinitionen zuzuwenden. Es ist sinnvoll, sich diese zunächst mit eigenen Worten zu erklären. Diese Fähigkeit ist die Grundlage für selbständiges Denken und wirkliches Verstehen des hier vorgestellten Stoffs.

1 © Thomas Pientka - Mathe mit Nullplan (Analysis)

2. Grundbegriffe

Es gibt einige Vokabeln, die zu beherrschen sind, um sich einem mathematischen Sachverhalt in Ruhe nähern zu können. Viele Begriffe klingen ungewöhnlich, besitzen sie doch oftmals lateinische oder griechische Wortwurzeln. Da sie selten im alltäglichen Sprachgebrauch vorkommen, werden sie auch als Fachbegriffe bezeichnet. Sie ermöglichen überhaupt erst die Kommunikation innerhalb des Fachs Mathematik, wo wir immer genau wissen sollten, worüber wir uns gerade unterhalten.

Die strukturierte Anordnung der Begriffe und ihre Beziehung untereinander spielt für das Verstehen eine große Rolle. Hierbei hilft eine Einteilung der Fachbegriffe in Oberbegriffe und Unterbegriffe, welche zu einer Baumstruktur führt, die einen Themenbereich in der Mathematik behandelt. Das Zusammenführen von mehreren Unterbegriffen zu einem Oberbegriff stellt dabei oftmals die eigentliche Herausforderung beim Verstehen von Sachverhalten dar. In Aufgabenstellungen wird meist auf die hierarchische Gliederung verzichtet und es wird so leicht der fälschliche Eindruck erweckt, dass die nebeneinander geschriebenen Begriffe auf gleicher Stufe stehen.

Fachbegriffe müssen, damit sie universell nutzbar sind, einer einheitlichen Definition unterliegen. Die Definitionen sollten aber nicht auswendig gelernt, sondern durch Überlegung hergleitet werden. Dabei bringt die Antwort auf die Frage "Was meint dieser Begriff?" erklärt mit eigenen Worten mehr, als die zahlreichen Merkversuche einiger sehr ungelenk niedergeschriebener Fachbuch-worthülsen, welche dem Autor mehr den Anschein des Tragens eines besonders edel gewobenen Sprachgewands als das Leserverständnis sichern sollen.

2 © Thomas Pientka - Mathe mit Nullplan (Analysis)

Gleichung: Mathematisches Gebilde mit einem „=“

Funktionsgleichung: Gleichung, die ein Verhältnis von 2 Variablen (x; y) ausdrückt Eindeutige Zuordnung (jeder x-Wert hat einen y-Wert)

Funktion: Bild, welches die Funktionsgleichung beschreibt

Graph: Bildbereich der Funktion (Schnappschuss)

Koordinatensystem: Orthogonales Achsensystem von DESCARTES (lat. Cartesius)

Koordinatenachsen: Abszisse (Rechtsachse = x-Achse) und Ordinate (Hochachse = y-Achse)

Koordinaten: 2 Koordinaten bilden zusammen einen Punkt

Quadrant: Flächenabschnitt im Koordinatensystem (mit römischer Ziffer bezeichnet)

Koordinatenursprung: Punkt O (0;0) mit 2 Nullkoordinaten (von engl. origin = „ursprünglich“)

Nullpunkt: Punkt mit einer Nullkoordinate

Anstieg: Wert für die Steigung der Funktion in einem Punkt

Drehsinn: Wert für die Krümmung der Funktion in einem Punkt

Extrempunkt: Punkt mit extremen Funktionswert

Wendepunkt: Punkt mit extremen Anstieg

1. Ableitung: Funktion, die das Anstiegsverhalten beschreibt

2. Ableitung: Funktion, die das Krümmungsverhalten beschreibt

Stammfunktion: Funktion, die den orientierten Flächeninhalt mit der x-Achse beschreibt

3 © Thomas Pientka - Mathe mit Nullplan (Analysis)

3. Funktionsarten

Grundsätzlich kann alles, was gemalt werden kann, auch mathematisch beschrieben werden. Um den Stoffbereich ordnen zu können, werden nur bestimmte Funktionen betrachtet. Funktionen lassen sich in sogenannte Funktionsklassen einteilen. Eine übersichtliche Darstellung ensteht durch die Unterteilung in rationale und nichtrationale (irrationale) Funktionen.

ganzrational

Polynom

Rationale Funktionen lassen sich mit den 4 Grundrechenarten darstellen. Nichtrationale Funktionen sind alle Funktionen, die in ihrer Darstellung über die 4 Grundrechenarten hinausgehen. Sie können deshalb auch Polynome und Bruchfunktionen enthalten.

Ganzrationale Funktionen bestehen aus einem Monom (Potenzfunktion) oder Polynom (Potenzkette). Ein Polynom gliedert sich in mehrere Monome und hat einen sogenannten Funktionsgrad, welcher dem größten Exponenten einer auftretenden Potenz entspricht. Polynome lassen sich nach ihrem Funktionsgrad weiter unterteilen.

Der Begriff "ganzrational" kann verwirrend sein, da auch Brüche vor den Potenzen auftreten können. Deshalb wird folgend schlicht von Polynomen gesprochen.

Gebrochenrationale Funktionen können nicht nur einen Bruch enthalten, sondern sind selbst einer. Zum besseren Verständnis wird deshalb von nun an von Bruchfunktionen die Rede sein.

Zur Beschreibung jeder Funktionsart existieren jeweils allgemeingültige Funktionsgleichungen.

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Polynom

Polynome werden mit der Monomkette

a gilt. wobei vor jeder Potenz Koeffizienten vorzufinden sind, für die ⁱ Der Grad eines Polynoms entspricht dem Exponent n in der größten Potenz. Vor dieser Potenz steht der Leitkoeffizient a n . Das Absolutglied a 0 ist der Nullwert y 0 . Gerade Polynome besitzen nur gerade Exponenten und sind axialsymmetrisch zur y-Achse. Ungerade Polynome haben nur ungerade Exponenten und sind punktsymmetrisch zum Ursprung.

Bruchfunktion

Bruchfunktionen werden mit der Funktionsgleichung

wobei u(x) als Zählerpolynom m. Grades und v(x) als Nennerpolynom n. Grades bezeichnet werden. ) weiter untergliedert. ) und unechte ( m n Bruchfunktionen werden nach dem Grad in echte ( m n und solche mit m n viel relevanter (vgl. Seite 92). Jedoch ist eine Einteilung in solche mit m n

Wurzelfunktion

f (x) z(x) Wurzelfunktionen werden mit der Funktionsgleichung beschrieben, n

wobei im Radikanten ein Polynom z(x) vorzufinden ist. Wurzelfunktionen lassen sich nach ihrem n in ungerade und gerade einteilen. ^* Wurzelexponenten

^{2 n n} Betragsfunktionen sind geraden Wurzelfunktionen mit . f (x) z(x) z(x)

Exponentialfunktion

^z(x) Exponentialfunktionen werden mit der Funktionsgleichung beschrieben, f (x) b a

wobei z(x) ein Polynom und b ist. Sie lassen sich nach ihrer Basis a a 0 in solche mit

einteilen. Funktionen mit a = 1 werden oft als zu trivial empfunden und solche mit 0 a 1 a 1

und deshalb meist wegfallen gelassen. Die natürliche Exponentialfunktion besitzt die Basis e.

Logarithmusfunktion

Logarithmusfunktionen werden mit der Funktionsgleichung beschrieben, f (x) b log z(x)

a

wobei z(x) ein Polynom und b ist. Sie lassen sich nach ihrer Basis a a 0 a 1 in solche und solche mit 0 a 1 einteilen. Die natürliche Logarithmusfunktion besitzt die Basis e. mit a 1

Winkelfunktion

Winkelfunktionen werden mit f (x) a sin z(x), und f (x) a tan z(x) beschrieben, f (x) a cos z(x)

wobei z(x) ein Polynom und a ist. Die Kosinusfunktion ist eine um 90° phasenverschobene Sinusfunktion. Die Tangensfunktion ist der Quotient aus einer Sinus- und einer Kosinusfunktion.

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4. Differenzieren und Integrieren

Das Differenzieren und Integrieren zählte früher zu den Hauptfertigkeiten um sich in der Analysis zurechtzufinden. Dank CAS-Rechner und Computerunterstützung lassen sich heute selbst die kompliziertesten Funktionsgebilde differenzieren und häufig auch integrieren. Umso interessanter erscheint deshalb der Blick hinter die Rechnungen.

„Differenzieren ist Können, Integrieren ist Kunst.“ (mathematischer Volksmund)

Das Differenzieren einer Funktion ergibt die Ableitung. Das Integrieren die Stammfunktion. Für ein besseres Verständnis der Thematik darf die Stammfunktion hierbei auch als „Aufleitung“ bezeichnet werden, denn das Integrieren ist die Umkehrung des Differenzierens.

f '(x)

Ableitung

Der eigentliche Bedeutungsgehalt der Stammfunktion ist nur sehr verschwommen wahrnehmbar: Hinter ihr verbirgt sich der aufgeleitete Abstand der Funktion zur x-Achse, so dass eine orientierte Fläche entsteht (vgl. Seite 176). Trotzdem wird die Stammfunktion oft nur indirekt als diejenige Funktion definiert, deren Ableitung die Ausgangsfunktion ist:

F'(x) = f(x)

Das Integrieren wurde eigentlich aus der Notwendigkeit heraus entwickelt, Differentialgleichungen lösen zu können. Es lässt sich jedoch auch dafür verwenden, den Inhalt einer krummlinigen Fläche zu berechnen. Um Begriffsverwirrungen vorzubeugen, wird bereits an dieser Stelle darauf hingewiesen, dass die Stammfunktion nicht dasselbe ist wie das unbestimmte Integral (vgl. Seite 169).

Grundsätzlich lässt sich sagen, dass beim Ableiten etwas wegfällt, hingegen beim Aufleiten etwas hinzukommt. Das Differenzieren ist deshalb nicht für alle Funktionen beliebig oft wiederholbar. Polynom

So nimmt der Funktionsgrad eines Polynoms beim Ableiten ab und das Differenzieren ist nur solange wiederholbar, bis nichts mehr zum Ableiten vorhanden ist. Bruchfunktion und nichtrationale Funktion

Bruchfunktionen sind im Gegensatz zu Polynomen unendlich oft ableitbar. Wurzel-, Exponential-, Logarithmus- und Winkelfunktionen werden immer als verkettete Funktionen betrachtet. Diese können unendlich oft abgeleitet werden. Die natürliche Exponentialfunktion kann sich sogar wiederholt selbst als Ableitung ergeben.

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4.1. Grundidee des Differenzierens

Doch welcher Gedanke verbirgt sich hinter dem Differenzieren und wie funktioniert es genau? Die Grundidee des Differenzierens ist, eine Sekante zu einer Tangente werden zu lassen.

Mit der Parallelverschiebung wird das Ziel verfolgt, den Anstieg in einem beliebigen Punkt der Funktion berechnen zu können. Dies ist möglich, wenn 1 P und 2 P zu einem Punkt P verschmelzen.

Anstieg m (mittlere Änderungsrate) = Differenzenquotient

m tan

eingesetzt: Jetzt wird x 2 mit x 1 ausgedrückt und 2 x x x

1

m

Es ist nun überflüssig x mit einem Index zu versehen:

m

Da es sich bei dem Gebilde um einen Quotienten handelt, bei dem sowohl im Zähler als auch im Nenner eine Differenz gebildet wird, wird es schlicht als Differenzenquotient bezeichnet. Ableitung f '(x) = Differentialquotient unendlich klein werden zu lassen. Strebt x im Differenzenquotienten gegen 0, Die Idee ist nun, x

so entspricht der erhaltene Grenzwert der 1. Ableitung.

f '(x) m tan

Da es sich bei dem Gebilde wieder um einen Quotienten mit Differenzen handelt, zusätzlich aber der Grenzwert gebildet wird, wird der Ausdruck Differentialquotient genannt.

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4.2. Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit

Da das Bilden des Differentialquotienten sehr umständlich ist, wurde im Lauf der Zeit eine Abkürzung gesucht und gefunden. Dies sind die Grundregeln des Differenzierens und Integrierens. Sämtliche Funktionstypen müssen differenziert und einige davon integrieren werden können. Zum Bilden der Ab- und Aufleitung gibt es jeweils nur eine Grundregel. Zusätzlich helfen die Kettenregeln, welche oft etwas verquer in Formelsammlungen dargestellt werden und deshalb im Folgenden mit der Idee der Substitution in eine anwenderfreundliche Form gebracht worden sind. Da Integrieren Kunst ist, existieren keine allgemeingültigen Regeln, welche für alle verkettete Funktionen anwendbar sind. Dort erwarten einen nur Verkettungen mit Funktionen 1. Grades.

Doch selbst wenn nach den nachfolgenden Grundregeln eine Ableitung oder Stammfunktion gebildet werden kann, ist es möglich, dass eine Funktion nicht überall differenzierbar und integrierbar ist.

Eine unstetige Funktion ist nie komplett differenzierbar.

Eine unstetige Funktion ist dort nicht integrierbar, wo sie nicht definiert ist. Eine stetige Funktion ist dort nicht differenzierbar, wo ihre Ableitung unstetig ist.

Polynom

Polynome sind überall differenzierbar und integrierbar.

Bruchfunktion

Bruchfunktionen sind nur innerhalb ihres Definitionsbereichs differenzierbar und integrierbar.

Wurzelfunktion

Wurzelfunktionen sind grundsätzlich nur innerhalb ihres Definitionsbereichs differenzierbar und integrierbar. Zusätzlich sind sie auch an ihren Nullstellen nicht differenzierbar. Die Unstetigkeit der Ableitung liegt dann entweder darin begründet, dass die Nullstellen gar nicht erst in ihrem definierten Bereich liegen oder sie an den Nullstellen springt (bei Betragsfunktion).

Exponentialfunktion

Exponentialfunktionen sind überall differenzierbar und integrierbar.

Logarithmusfunktion

Logarithmusfunktionen sind nur innerhalb ihres Definitionsbereichs differenzierbar und integrierbar.

Winkelfunktion

Sinus- und Kosinusfunktionen sind überall differenzierbar und integrierbar. Tangensfunktionen sind nur innerhalb ihres Definitionsbereichs differenzierbar und integrierbar.

8 © Thomas Pientka - Mathe mit Nullplan (Analysis)

4.3. Grundregeln des Differenzierens und Integrierens

Das Substitut z steht für ein Polynom. Bei u und v ist dies meistens auch so, bei Produkten können aber auch andere Funktionsarten vorkommen. Die Ableitungsregeln sind unbeschränkt anwendbar. ^* Die Kettenregeln für die Stammfunktionen sind nur anwendbar, wenn z ein Polynom 1. Grades bzw. u = v' ist. Mehr zur Substitutions- und Produktintegration findet sich auf Seite 170f.

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Erklärungsbeispiele

Polynom

² geg.: ges.: f '(x) und F(x) Bsp. 1 f (x) 3 x 2 x 1

Lsg.: 1. Ableitung

^{2 1 0} 3 x f ( 1 x) 2 x x ^{2 1 1 1 0 1} f '(x) 2 3 x 1 2 x 0 1 x ^{1 0 1} f '(x) 6 x 2

2. Stammfunktion

^{2 1 0} f (x) 3 x 2 x 1 x

F(x)

F(x)

^{3 2} F(x) x x x

⁴ f (x) 3 x 2 geg.: ges.: f '(x) und F(x) Bsp. 2

Lsg.: 1. Ableitung

^{4 1} f '(x) 4 3 3 x 2

³ f '(x) 12 3 x 2

2. Stammfunktion

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Bruchfunktion

Lsg.: 1. Ableitung

Wurzelfunktion

Bsp. 4 geg.: ges.: f '(x) und F(x) ⁴ f (x) 3 x 2

Lsg.: 1. Ableitung

Exponentialfunktion

^{3 x 2} ges.: f '(x) und F(x) Bsp. 5 geg.:

Lsg.: 1. Ableitung

3 x 2

2. Stammfunktion

4 e ^{3 x 2} geg.: ges.: f '(x) und F(x) Bsp. 6 f (x)

Lsg.: 1. Ableitung

2. Stammfunktion

Logarithmusfunktion

geg.: ges.: f '(x) und F(x) Bsp. 7 f (x) 2 log 3 x 1

⁵ Lsg.: 1. Ableitung

2. Stammfunktion

geg.: ges.: f '(x) und F(x) Bsp. 8 f (x) 2 ln 3 x 1

Lsg.: 1. Ableitung

2. Stammfunktion

12 © Thomas Pientka - Mathe mit Nullplan (Analysis)

Winkelfunktion

Bsp. 9 geg.: f (x) 4 sin 2 x 4

Lsg.: 1. Ableitung

Lsg.: 1. Ableitung

Lsg.: 1. Ableitung

Schachtelfunktion

Lsg.: 1. Ableitung

5. Kurvendiskussion

Ein Hauptelement in der Analysis nimmt die Kurvendiskussion ein. Wenngleich ihre Tage dank neuer Taschenrechnersysteme gezählt sein mögen, lassen sich viele Aufgaben trotzdem erst lösen, wenn sich eingehend mit ihr beschäftigt worden ist. Das Wort Diskussion hat seine Sprachwurzeln im lateinischen "discotio", was unter anderem "untersuchen" bedeutet.

Eine gewissenhafte Untersuchung folgt dabei einer leicht verständlichen Struktur, welche sich durch einfache Fragen wie von selbst erschließt. Da viele Untersuchungspunkte einander bedingen, ist nur einer gut durchdachten Prüfungsreihenfolge Vertrauen zu schenken.

Hier ein für alle Funktionen funktionierender Vorschlag für eine komplette Kurvendiskussion:

Markante Punkte: Welche Punkte fallen ins Auge?

5.1. Nullpunkte (Gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen)

Nullstellen Nullwert

5.2. Prägende Punkte

Extrempunkte Sattelpunkte Wendepunkte Flachpunkte

Bildbereich: Welchen Bereich umfasst die Funktion?

5.3. Definitionsbereich

5.4. Stetigkeit

5.5. Verhalten im Unendlichen

5.6. Wertebereich

Aussehen: Womit kann das Aussehen der Funktion beschrieben werden?

5.7. Kurvenverlauf Anstieg Monotonie Drehsinn Krümmung

5.8. Symmetrie Achsensymmetrie Punktsymmetrie

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Funktionen und ihre Kurvendiskussion

Die Tabelle gibt einen Überblick über die Untersuchungsaspekte einer Kurvendiskussion für verschiedene Funktionsarten. Es ist dabei wichtig, zu wissen, was einzelnene Markierungen meinen. Ein Kreuz bedeutet hier, dass die Funktion einen Aspekt aufweisen kann, aber nicht muss (so kann eine Wurzelfunktion symmetrisch sein und eine andere nicht).

Ein Minus bedeutet, dass das Ergebnis der Untersuchung eines Aspekts immer gleich ist (so haben beispielweise Polynome und Exponentialfunktionen nie Einschränkungen im Definitionsbereich und verlaufen immer stetig).

Da die Beschreibung des Kurvenlaufs einer Funktion immer möglich ist und an markante Punkte anknüpft, kommt dieser Prüfungspunkt in der Tabelle nicht noch einmal vor. Die obige Darstellung ist zunächst nur eine Grobübersicht, welche zur Orientierung dient und den Einstieg in die Kurvendiskussion erleichtern soll. Die tabellarischen Feinübersichten finden sich dann am Ende jeder Thematik.

Dank grafikfähiger Taschenrechner lassen sich bestimmte Untersuchungsaspekte geradezu ablesen. Dies soll jedoch nicht dazu verleiten, mathematische Aussagen einfach anzunehmen. Diese werden immer aufgrund der Prüfung bestimmter Bedingungen, welche sich in Gleichungen äußern, getroffen. So hat f(x) = x - 1 beispielsweise eine Nullstelle bei x 0 = 1, weil f(1) = 0 ist.

15 © Thomas Pientka - Mathe mit Nullplan (Analysis)

5.1. Nullpunkte

Nullpunkte sind die gemeinsamen Punkte der Funktion mit den Koordinatenachsen.

Nullpunkte besitzen mindestens eine Nullkoordinate. Die Koordinaten, welche dabei nicht Null sind, werden Nullstelle (x-Wert, wo y = 0 ist) bzw. Nullwert (y-Wert, wo x = 0 ist) genannt. Der Koordinatenursprung wird oft als der Nullpunkt bezeichnet, da dort beide Koordinaten Null sind. Für eine Funktion, welche durch ihn verläuft, sind in ihm Nullstelle und Nullwert vereint.

f (x 0 ) = 0 Nullstelle: gemeinsame Stelle x 0 von f (x) mit der x-Achse

Nullwert: gemeinsamer Funktionswert y 0 von f (x) mit der y-Achse f (0) = y 0

Kann die Anzahl der Nullstellen einer Funktion von gar keiner bis unendlich viele schwanken, so kann sie höchstens einen Nullwert haben.

Die x-Achse wird bei den Nullstellen der Funktion geschnitten oder berührt, die y-Achse hingegen wird immer im Nullwert der Funktion geschnitten.

Die oft verwendete Aussage, dass Nullstellen Schnittstellen der Funktion mit der x-Achse seien, ist für allgemeine Funktionen deshalb unzureichend und dürfte auf die Tatsache zurückzuführen sein, dass diese Definition als Spezialfall für lineare Funktionen geläufig ist.

Nullstellen sind mächtige Werkzeuge und nehmen eine Schlüsselposition für das Begreifen des Stoffs der Analysis ein. Zeit sollte deshalb keine Rolle spielen, wenn sich mit ihnen beschäftigt wird. Sie sollten in ihrer Definition verstanden worden sein und für allen Funktionsarten berechnet werden können. Von großer Bedeutung ist auch die Ordnung von Nullstellen (vgl. Seite 34), welche es erlauben wird, diese in ungerade und gerade einzuteilen.

Der Nullwert spielt hingegen eine Nebenrolle, die nur knapp den Auftritt eines Statisten überragt.

16 © Thomas Pientka - Mathe mit Nullplan (Analysis)

Funktionen und ihre Nullstellen

ABEL hat nachgewiesen, dass es für Polynome ab dem 5. Grad keine weiteren Lösungsformeln gibt. Mit der kubischen Lösungsformel von CARDARNO und der biquadratischen Lösungsformel von FERRARI werden auch Polynome 3. und 4. Grades erfasst. Beide Formeln sind aber kein Schulstoff! Bei Winkelfunktionen wiederholen sich die Nullstellen periodisch:

Die periodischen Nullstellen von

Erklärungsbeispiele

Polynom - 0. Grades

geg.: f (x) ges.: Nullstellen und Nullwert Bsp. 1 3

Lsg.: 1. Nullstellen

⁰ 0 3 x 0 3 1 0 3 keine Nullstelle!

2. Nullwert

⁰ f 0 2 0

y 3

0

Polynom - 1. Grades

f (x) geg.:

Lsg.: 1. Nullstellen

0

| ^{Klammern auflösen} 0 2 3 x 2

0 3 x 6 | ^{x isolieren} 6 3 x x 2

0

2. Nullwert

3

f 0

y 3

0

18 © Thomas Pientka - Mathe mit Nullplan (Analysis)

Polynom - 2. Grades

Bsp. 3 geg.: f (x) 2 x 8 Lsg.: 1. Nullstellen

Lsg.: 1. Nullstellen

Lsg.: 1. Nullstellen

Polynom - 3. Grades

f (x) geg.:

Lsg.: 1. Nullstellen

0

³ | ³ ... ^{ungerader Wurzelexponent!} 27 x

^{3 3} | ungerade Wurzeln dürfen immer gezogen werden ³ x 27 x 3

0

2. Nullwert

f 0

y 9

0

^{3 2} geg.: ges.: Nullstellen und Nullwert Bsp. 7 f (x) 2 x 4 x

Lsg.: 1. Nullstellen

^{3 2} | ^Ausklammern 0 2 x 4 x 0 2 x x 2

x 0 x 2

01 02

2. Nullwert

^{3 2} f 0 2 0 4 0 y 0

0

^{3 2} geg.: ges.: Nullstellen und Nullwert Bsp. 8 f (x) x 13 x 36 x

Lsg.: 1. Nullstellen

^{3 2} | ^Ausklammern 0 x 13 x 36 x 0 x x 13 x 36

x 0 x 4 x 9

01 02 03

2. Nullwert

^{3 2} f 0 0 13 0 36 0 y 0

0

20 © Thomas Pientka - Mathe mit Nullplan (Analysis)

Polynom - 4. Grades

Lsg.: 1. Nullstellen

Lsg.: 1. Nullstellen

Lsg.: 1. Nullstellen

^{4 2} ges.: Nullstellen und Nullwert Bsp. 12 geg.: f (x) x 8 x 16

Lsg.: 1. Nullstellen

^{4 2} | Substitution: x ^{2 = z} 0 x 8 x 16

² | ^{Lösungsformel} 0 z 8 z 16 | ^{Restitution: x =} z z 4

0

x 2 x 2

01 02

2. Nullwert

^{4 2} f 0 0 8 0 16

y 16

0

^{4 3 2} geg.: ges.: Nullstellen und Nullwert Bsp. 13 f (x) x 13 x 36 x

Lsg.: 1. Nullstellen

^{4 3 2} | ^Ausklammern 0 x 13 x 36 x 0 x x 13 x 36

x 0 x 4 x 9

01 02 03

2. Nullwert

^{4 3 2} f 0 0 13 0 36 0

y 0

0

^{4 2} geg.: ges.: Nullstellen und Nullwert Bsp. 14 f (x) 2 x 26 x 72

Lsg.: 1. Nullstellen

^{4 2} | Substitution: x ^{2 = z} 0 2 x 26 x 72

² | ^{Lösungsformel} 0 z 13 z 36

x 3 x 2 x 2 x 3

01 02 03 04

2. Nullwert

^{4 2} f 0 2 0 26 0 72

y 72

⁰ 22 © Thomas Pientka - Mathe mit Nullplan (Analysis)

Bruchfunktion

Lsg.: 1. Nullstellen

Wurzelfunktion

Lsg.: 1. Nullstellen

geg.: f (x)

Lsg.: 1. Nullstellen

^{3 3} 0 x 27 | (...) 3

³ 0 x 27

³ | 3 ... x 27 x 3

0

2. Nullwert

f 0 ^{3 3} 0 27 y 3

0

Exponentialfunktion

^{3 2 2 x 3 x 2} geg.: ges.: Nullstellen und Nullwert Bsp. 18

Lsg.: 1. Nullstellen

2 x 3 x 2

2. Nullwert

^{3 2} 2 0 3 0 2

Logarithmusfunktion

² f (x) ln x 13 x 37 ges.: Nullstellen und Nullwert Bsp. 19 geg.:

Lsg.: 1. Nullstellen

² | e ^(...) 0 ln x 13 x 37

^{2 ln x 13 x 37 0} e e ² 1 x 13 x 37 ² | ^{Lösungsformel} 0 x 13 x 36 x 4 x 9

01 02

2. Nullwert

² f 0 ln 0 13 0 37 y ln37

0

24 © Thomas Pientka - Mathe mit Nullplan (Analysis)

Winkelfunktion

Bsp. 20 geg.: f (x) 4 sin 2 x 4

Lsg.: 1. Nullstellen

Lsg.: 1. Nullstellen

Lsg.: 1. Nullstellen

Achsenschnittwinkel

Die Koordinatenachsen können von einer Funktion in ihren Nullpunkten geschnitten werden.

Achsenschnittwinkel: Winkel, unter denen die Funktion die Koordinatenachsen schneidet.

Schnittwinkel mit x-Achse

Um den Schnittwinkel mit der x-Achse zu berechnen, werden die Bedeutung der 1. Ableitung und die Winkelbeziehungen im Steigungsdreieck (vgl. Seite 7) genutzt: tan m f ' x

0

Wie bei x 03 zu sehen, ist es möglich, dass der Schnittwinkel mit der x-Achse 0° beträgt.

Schnittwinkel mit y-Achse

Um den Schnittwinkel mit der y-Achse zu berechnen, wird bei x = 0 der fiktive Schnittwinkel mit der x-Achse genommen und anschließend die Winkeldifferenz gebildet: 90

Wie bei y 0 zu sehen, ist es möglich, dass die Differenz in eine Summe umschlägt, wen

26 © Thomas Pientka - Mathe mit Nullplan (Analysis)

Funktionen und ihre Achsenschnittwinkel

Mitunter kann es anfangs schwer sein, zu erkennen, wo genau die Achsenschnittwinkel liegen. Der Schnittwinkel mit der x-Achse liegt grundsätzlich rechts von der Nullstelle. Ist der Anstieg der Funktion bei der Nullstelle positiv, liegt der Winkel oberhalb der x-Achse. Ist der Anstieg der Funktion bei der Nullstelle negativ, liegt der Winkel unterhalb der x-Achse. Der Schnittwinkel mit der y-Achse liegt immer rechts von der y-Achse und oberhalb der Funktion.

Nicht alle Funktionen haben beide Achsenschnittwinkel.

Gerade Wurzel- und Exponentialfunktionen können nie die x-Achse schneiden. Wurzelfunktionen nehmen eine Sonderstellung bei der Berechnung der Achsenschnittwinkel ein. So beträgt bei ungeraden Wurzelfunktionen der Schnittwinkel mit der x-Achse immer 90°. Da Wurzelfunktionen an ihren Nullstellen nicht differenzierbar sind, greift die gefundene Formel zur Berechnung des Schnittwinkels mit der x-Achse nicht und der Winkel wird deshalb nur angegeben. Bei geraden Wurzelfunktionen kann der Schnittwinkel der y-Achse stark variieren und unter Umständen auch gar nicht angegeben werden, weil er nicht eindeutig ist (bei Betragsfunktionen). Außerdem können gerade Wurzelfunktionen nie die x-Achse schneiden, da ihre Funktionswerte nicht negativ werden können (vgl. auch Tabelle Seite 89).

27 © Thomas Pientka - Mathe mit Nullplan (Analysis)

Erklärungsbeispiele

Polynom

² geg.: ges.: Achsenschnittwinkel Bsp. 1 f (x) 2 x 4 x Lsg.: 1. Nullstellen vgl. Seite 19 Bsp. 4 x 0 x 2

01 02

2. Ableitung

f '(x) 4 x 4

3. Achsenschnittwinkel

Schnittwinkel mit x-Achse

1

² Schnittwinkel mit y-Achse ^{1 1 1} 90 tan f ' 0 90 tan 8 0 4 90 tan 4 166, 0

^{3 2} geg.: ges.: Achsenschnittwinkel Bsp. 2 f (x) 2 x 4 x

Lsg.: 1. Nullstellen

vgl. Seite 20 Bsp. 7 x 0 x 2

01 02

2. Ableitung

² f '(x) 6 x 8 x

3. Achsenschnittwinkel

Schnittwinkel mit x-Achse

Bei x 01 wird die x-Achse nicht geschnitten, sondern berührt (kein Schnittwinkel!).

Schnittwinkel mit y-Achse

^{1 1 2 1} 90 90 tan f ' 0 90 tan 6 0 8 0 90 tan 0

28 © Thomas Pientka - Mathe mit Nullplan (Analysis)

Bsp. 3 geg.: f (x) 2 x 4 x

Lsg.: 1. Nullstellen

Bruchfunktion

Lsg.: 1. Nullstellen

Wurzelfunktion

^{4 2} ges.: Nullstellen und Nullwert Bsp. 5 geg.: f (x) x 13 x 36

Lsg.: 1. Nullstellen

vgl. Seite 23 Bsp. 16 x 3 x 2 x 2 x 3

01 02 03 04

2. Ableitung

3. Achsenschnittwinkel

Schnittwinkel mit x-Achse

Bei geraden Wurzelfunktionen gibt es keinen Schnittwinkel mit der x-Achse. Schnittwinkel mit y-Achse

^{3 3} geg.: ges.: Nullstellen und Nullwert Bsp. 6 f (x) x 27

Lsg.: 1. Nullstellen

vgl. Seite 24 Bsp. 17 x 3

0

2. Ableitung

3. Achsenschnittwinkel

Schnittwinkel mit x-Achse . 90 Bei ungeraden Wurzelfunktionen ist der Schnittwinkel Schnittwinkel mit y-Achse

Es gibt also Funktionen, bei denen beide Schnittwinkel 90° betragen.

30 © Thomas Pientka - Mathe mit Nullplan (Analysis)