INHALTSVERZEICHNIS 3

Inhaltsverzeichnis   

1  Projektbeschreibung  6

2  Theorie der Aerodynamik  7

2.1  Fluide  7

2.2  Viskosit at  8

2.3  Sutherland’s Gesetz  9

2.4  Die Reynoldszahl  9

2.5  Auftriebs- und Widerstandskraft mit Newton  10

2.6  Erkl arung des Auftriebs durch die Bernoulli- Gleichung  12

2.7  Auftriebs- und Widerstandsbeiwert  13

2.8  Zur Entstehung von Wirbeln  14

2.9  Beschreibung der Grenzschichten  16

2.10  Effekte in begrenzten Str omungsfeldern  17

3  Experiment im Windkanal  19

3.1  Ziel  19

3.2  Erfassung der Ausr ustung  19

3.3  Versuchsaufbau  23

3.4  Vorversuch  24

3.5  Vorgehensweise  25

3.6  Modifikation des Fl ugels  25

INHALTSVERZEICHNIS 4

3.7  Ergebnisse  26

4  Simulation mit Comsol  28

4.1  Ziel  28

4.2  Hintergrund  28

4.3  Kl arung von fundamentalen Begriffen  28

4.4  Methode  29

4.5  Die Entwicklung der Simulation  30

4.5.1  Die Vorbereitung des geometrischen Models  30

4.5.2  Bestimmung der Materialtypen  30

4.5.3  Allgemeine Konfiguration des Physikpaketes  31

4.5.4  Low Reynolds k-epsilon  31

4.5.5  Standard k-epsilon  33

4.5.6  Rechengitter  34

4.5.7  Netzverfeinerungsprozess und Schwierigkeiten  35

4.5.8  Berechnung  36

4.6  Auswertung der Ergebnisse  37

4.7  Analyse der Str omung  40

4.7.1  Abl osung der Grenzschicht  40

4.7.2  Effekte der Wand und der Wirbel auf das Modell bei zwei Winkeln  41

5  Schlussbetrachtung  43

Inhaltsverzeichnis 5

6  Abschließende Gedanken und Danksagung  44

Quellen  - und Literaturverzeichnis  45

7  Anhang  48

1 Projektbeschreibung

Betrachtet wird eine Tragfl¨ ache mit konstantem L¨ angsschnitt in einer spezifischen Windge-schwindigkeit von 7, 0 m s .

Das Ziel dieser Facharbeit ist zu ¨ uberpr¨ ufen, ob sich f¨ ur den Auftriebs- und den Widerstandsbeiwert in einer Computersimulation Ergebnisse erzielen lassen, die mit Messungen im Windkanal ubereinstimmen. ¨

2 Theorie der Aerodynamik

2.1 Fluide

Innerhalb eines Fluides, also einer Fl¨ ussigkeit oder eines Gases bewegen sich Molek¨ ule relativ frei und ungeordnet, was als Brownsche Molekularbewegung bezeichnet wird. Die Teilchengeschwindigkeit ist abh¨ angig von der Gastemperatur; bei einer Temperaturerh¨ ohung gibt es eine Verst¨ arkung der Brownschen Molekularbewegung [10].

Um diese Molek¨ ulverbunde zusammenzuhalten, wirken zwei verschiedene zwischenmolekulare elektrische Kr¨ afte, deren Reichweite sehr gering ist. Die Adh¨ asionskr¨ afte wirken zwischen den Molek¨ ulen des einen Fluides und den Molek¨ ulen eines anderen Fluides, wohingegen die Koh¨ asionskr¨ afte untereinander zwischen den Molek¨ ulen eines Fluides wirken. Das Gleichgewicht der elektrisch anziehenden und abstoßenden Kr¨ afte ist erreicht, wenn die

Molek¨ ule einen bestimmten Abstand r 0 zueinander haben ¹ ; so versuchen alle Molek¨ ule, um

das Kr¨ aftegleichgewicht aufrechtzuhalten, den Abstand r 0 zu ihren Partnern beizubehalten. Aufgrund der Brownschen Molekularbewegung kann dieser Zustand nicht (dauerhaft) gehalten werden.

Diese beiden Kr¨ afte bilden das Fundament f¨ ur die Erkl¨ arung vieler Eigenschaften von Fluiden. Folgendes Modell (Abb. 1) dient zur Veranschaulichung der zwischenmolekularen Kr¨ afte bei einem str¨ omendem Fluid.

In Str¨ omungsrichtung unterteile man das Fluid in 3 molekularen Schichten der H¨ ohe x und der Fl¨ ache A; die mittlere Schicht sei beweglich, die zwei ¨ außeren fest. In der Ausgangssituation befinden sich die 3 Str¨ omungsschichten der Fl¨ ache A in Ruhe, die Molekularschichten sind im Kr¨ aftegleichgewicht. Wenn aber nun die mittlere Schicht um v beschleunigt wird, so wirkt eine r¨ ucktreibende Kraft auf jedes Molek¨ ul dieser Schicht, welches in der Summe durch einen Kraftvektor entgegen der Bewegungsrichtung dargestellt werden kann. Dieses Ph¨ anomen wird innere Reibung genannt.

¹ Eine Erkl¨ arung hierf¨ ur bietet das Lennard-Jones-Potential.

2.2 Viskosit¨ at 8

2.2 Viskosit¨ at

Die innere Reibungskraft F inn. l¨ asst sich nach Versuchen so beschreiben[10]:

Hierbei wird μ als eine Konstante eingef¨ uhrt, die dynamische Viskosit¨ at genannt wird. Ihre

Einheit lautet [μ] = kg m · s = Pa · s .

Viskosit¨ at ist immer charakteristisch f¨ ur das jeweilige Fluid. Sie stellt die Eigenschaft dar, bei Verformung eine Spannung aufzunehmen [1]. Sie bildet somit ein Maß f¨ ur die Z¨ ahigkeit des Fluids. Diese Z¨ ahigkeit des Stoffes wird durch die erw¨ ahnten zwischenmolekularen Kr¨ afte der Molek¨ ule verursacht. Aufgrund der extremen Temperaturabh¨ angigkeit von Viskosit¨ at ist ihre Angabe grunds¨ atzlich nur mit gleichzeitiger Temperaturangabe sinnvoll. Die Beziehung f¨ ur die Viskosit¨ at in Abh¨ angigkeit von der Temperatur wurde schon fr¨ uh durch William Sutherland (1859-1911) aufgestellt. Sutherland’s Beziehung f¨ ur Viskosit¨ at und die Reynoldskennzahl werden nun eingef¨ uhrt und berechnet, da ihre Werte zur Konzeption der Simulation ben¨ otigt werden.

2.3 Sutherland’s Gesetz 9

2.3 Sutherland’s Gesetz

Ihre allgemeine Form lautet

³

Sie verkn¨ upft die dynamische Viskosit¨ at μ mit der Temperatur T , wobei eine Bezugsviskosit¨ at μ 0 bei einer bestimmten Temperatur T 0 ben¨ otigt wird [11]. Rechnung:

T = 296, 15 K; (3)

μ 0 (288.16 K) = 1.7894 · 10 −5 kg

ms (T abellenwert)

Durch Einsetzen des Tabellenwertes μ 0 f¨ ur die Viskosit¨ at, T 0 f¨ ur die Bezugstemperatur und 296,15 K f¨ ur die Raumtemperatur T ergibt sich f¨ ur die Gr¨ oße μ : ³

μ =

Im folgenden Kapitel wird dieser Wert zur Berechnung der Reynoldszahl verwendet.

2.4 Die Reynoldszahl

Diese dimensionslose Kennzahl ist definiert als das Produkt zwischen der Dichte , der Str¨ omungsgeschwind v des Fluides und der charakteristischen L¨ ange des Gegenstandes d geteilt durch die dynamische Viskosit¨ at des Fluides μ.

Die Reynoldszahl stellt das Verh¨ altnis von Tr¨ agheits- zu Z¨ ahigkeitskr¨ aften oder das Verh¨ altnis von Beschleunigungsarbeit zu Reibungsarbeit dar. Aus ihrem Wert l¨ asst sich schließen, ob sich die Str¨ omung laminar oder turbulent verh¨ alt.

F¨ ur diese Gr¨ oße ergibt sich mit den in dieser Arbeit verwendeten Werten folgendes ² :

² Die Dichte der Luft habe ich anhand der Daten des Luftdruckes -von der LMU Meteorologie[24] zur

Verf¨ ugung gestellt- mit dieser Beziehung berechnet. = p ; p: Druck, T: Temperatur, R: Gaskonstante der R∗T

trockenen Luft.[14]

2.5 Auftriebs- und Widerstandskraft mit Newton 10

Die kritische Reynoldszahl Re K zeigt den Umschlagspunkt von laminarer zu turbulenter Str¨ omung, bei dem in dem Str¨ omungsfeld durch kleinste St¨ orungen Turbulenz entsteht. Der Richtwert bei

einer flachen Platte parallel zur Str¨ omungsrichtung liegt bei Re K ≈ 5 · 10 ⁵ , f¨ ur einen Fl¨ ugel bei ca. Re K ≈ 8 · 10 ⁴ , d.h der Bereich Re <8 · 10 ⁴ wird hier unterkritisch und der Bereich Re > 8 · 10 ⁴ wird ¨ uberkritisch genannt. ³ [16] Den unterkritischen Bereich zeichnet eine laminare

Grenzschicht, den ¨ uberkritischen Bereich eine turbulente Grenzschicht aus. Wenn die Reibungsarbeit gegen¨ uber der Beschleunigungsarbeit ¨ uberwiegt, so ist die Str¨ omung laminar.

Das Turbulenzverhalten geometrisch ¨ ahnlicher K¨ orper mit v¨ ollig unterschiedlichen Str¨ omungsfaktoren ist bei gleicher Reynoldszahl identisch. Eine wichtige Funktion der Reynoldszahl ist somit die Charakterisierung des Turbulenzverhaltens.[22] Folglich ist die Ber¨ ucksichtigung der Reynoldszahl in der Hydro- und Aerodynamik bei Modellen in verkleinertem Maßstab von großer Bedeutung, denn z¨ ahe Fl¨ ussigkeitsstr¨ omungen verhalten sich nur dann ¨ ahnlich, wenn sie dieselbe Reynoldszahl besitzen und das begrenzende Gef¨ aß ¨ ahnliche Dimensionsverh¨ altnisse aufweist. Dies f¨ uhrt dazu, dass man zur Bestimmung des Str¨ omungsverhaltens realer Flugzeuge im kleinen Maßstab sehr schnelle Turbinen braucht und manchmal sogar Fluide gr¨ oßerer Dichte als Luft verwenden muss, bzw. ihre Temperatur absenken muss, womit ein Absinken der Viskosit¨ at und eine Erh¨ ohung der Dichte verbunden ist.

2.5 Erkl¨ arung der Auftriebs- und Widerstandskraft durch Newtonsche Gesetze

Wie erzeugt ein Fl¨ ugel Auftrieb? [19]

Die folgende Erkl¨ arung ist die intuitiv verst¨ andlichste. Newtons erstes Gesetz, das Tr¨ agheitsgesetz lautet:

Jeder K¨ orper verharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichf¨ ormigen

”

Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kr¨ afte gezwungen wird, seinen Zustand zu ¨ andern.“

Newtons drittes Gesetz, das Wechselwirkungsgesetz lautet:

Kr¨ afte treten immer paarweise auf. ¨ Ubt ein K¨ orper A auf einen anderen K¨ orper

”

B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft

³ ¨ ublicher Richtwert