Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis   I

Abbildungssverzeichnis.   V

I  Notation.  IX

II  Einleitung.  1

0  Grundlegende Begriffe  2

0.1  Dreieck  2

0.1.1  Begrifflichkeiten am Dreieck.  3

0.2  Kreis  4

0.2.1  Begrifflichkeiten am Kreis.  4

0.2.2  Winkel im Kreis  5

0.2.3  Ähnlichkeitskreis.  6

0.3  Winkelfunktionen  7

0.4  Kongruenz und Ähnlichkeit  7

0.5  Winkelpaare  8

0.6  Zentrische Streckung  9

1  Vorbereitende Sätze.  10

1.1  Satz des Pythagoras.  10

1.2  Sinus- und Kosinussatz  10

1.3  Winkelsätze.  11

1.4  Binomische Formeln  13

1.5  Die vier Ähnlichkeitssätze am Dreieck.  13

1.6  Strahlensätze  13

1.7  Sekantensatz.  15

II

2  Kreise am Dreieck  16

2.1  Umkreis.  16

2.1.1  Satz über den Umkreisradius  16

2.2  Berührkreise.  17

2.3  Südpolsatz  20

2.3.1  Satz über Südpole.  21

2.4  Satz von Carnot.  22

2.4.1  Sonderfälle des Satzes von Carnot.  23

2.5  Johnson-Kreise.  24

2.5.1  Umkreisradius des Johnson-Dreiecks  24

2.5.2  Das Johnson-Theorem.  25

2.5.3  Der antikomplementäre Kreis  26

2.5.4  Das antikomplementäre Dreieck  27

2.6  Schmetterlingssatz  28

2.7  Taylor-Kreis  30

2.8  Malfatti-Kreise  33

2.9  Lamoen-Kreis  37

2.10  Feuerbachkreis  40

2.10.1  Der Satz über den Feuerbachkreis.  40

2.10.2  Der Radius des Feuerbachkreises.  42

2.10.3  Zusammenhang Umkreismittelpunkt, Schwerpunkt und Höhenschnittpunkt  43

2.10.4  Der Mittelpunkt des Feuerbachkreises.  44

2.10.5  Der große Satz von Feuerbach  45

2.10.6  Hilfssatz  45

3  Weitere geometrische Problemaufgaben  50

3.1  Sehnenviereck  50

III

3.1.1  Sehnensatz.  51

3.1.2  Satz über ähnliche Dreiecke im Sehnenviereck  52

3.1.3  Satz über Innenwinkel im Sehnenviereck  53

3.1.4  Satz über Mittelsenkrechten im Sehnenviereck  54

3.1.5  Satz des Ptolemäus.  55

3.2  Japanischer Satz für Sehnenvierecke  57

3.3  Höhenfußpunktdreieck.  59

3.3.1  Zusammenhang Höhenfußpunktdreieck, Inkreis und Ankreise.  59

3.3.2  Zusammenhang Umkreismittelpunkt mit Verbindungen der Lotfußpunkte.  60

3.3.3  Hilfssatz für 3.3.2  60

3.4  Satz vom asymmetrischen Propeller  62

3.4.1  Verallgemeinerung des Satzes vom asymmetrischen Propeller.  65

3.5  Das Napoleondreieck  68

3.6  Satz von Morley/Das Morleydreieck  71

3.6.1  Satz von Morley  71

3.7  Neuberg-Mineurkreis  74

3.7.1  Der Satz von Neuberg-Mineur  74

3.7.2  Hilfssatz 1  75

3.7.3  Hilfssatz 2: Satz von Steiner-Miquel  76

3.7.4  Hilfssatz 3  77

3.7.5  Hilfssatz 4  80

3.7.6  Satz über den Spezialfall des Satzes von Neuberg-Mineur  83

3.8  Sangaku - Japanische Tempelgeometrie  86

3.8.1  Zweites Problem aus dem Katayamahiko-Schrein  86

3.8.2  16. Problem aus dem Katayamahiko-Schrein  90

4  Didaktische Überlegungen  93

4.1  Bedeutung des Geometrieunterrichts in Thüringen  93

IIII

4.2  Didaktische Überlegungen zu einigen Problemen aus Kapitel 2 und 3.  96

4.2.1  Umkreis, Inkreis und Satz von Carnot  96

4.2.2  Johnson-Kreise.  98

4.2.3  Feuerbachkreis  99

4.2.4  Sätze über das Sehnenviereck  100

4.2.5  Sangaku-Aufgaben.  101

III  Schlusswort.  104

Literaturverzeichnis   105

IVI

Abbildungsverzeichnis   

Abbildung  1: Allgemeines Dreieck ABC mit den Seiten a, b, c  

Abbildung  2: Rechtwinkliges und gleichschenkliges Dreieck  

Abbildung  3: Gleichseitiges Dreieck  

Abbildung  4: Begrifflichkeiten am Dreieck  

Abbildung  5: Begrifflichkeiten am Kreis  

Abbildung  6: Kreiswinkel  

Abbildung  7: Ähnlichkeitskreis  

Abbildung  8: Rechtwinkliges Dreieck  

Abbildung  9: Winkelpaare.  

Abbildung  10: Zentrische Streckung des Dreiecks ABC um den Faktor 3 und  

Abbildung  11: Kreiswinkel  

Abbildung  12: Satz des Thales  

Abbildung  13: Hilfszeichnung zum Beweis des Satz des Thales  

Abbildung  14: 1. und 2. Strahlensatz  

Abbildung  15: 3.Strahlensatz  

Abbildung  16: Sekantensatz  

Abbildung  17: Umkreis des Dreiecks ABC  

Abbildung  18: Inkreis K i und Ankreise K 1 , K 2 , K 3  

Abbildung  19: Hilfszeichnung für den Zusammenhang der Radien  

Abbildung  20: Südpolsatz  

Abbildung  21: Satz über Südpole  

Abbildung  22: Satz von Carnot  

Abbildung  23: Satz von Carnot im rechtwinkligen Dreieck  

Abbildung  24: Satz von Carnot im stumpfwinkligen Dreieck  

V

Abbildung  25: Johnson-Kreise und Johnson-Dreieck  

Abbildung  26: Durch den Radius r gebildete Rhomben  

Abbildung  27: Antikomplementärer Kreis, antikomplementäres Dreieck  

Abbildung  28: Schmetterlingssatz  

Abbildung  29: Beweis Schmetterlingssatz  

Abbildung  30: Taylor-Kreis  

Abbildung  31: Hilfszeichnung zum Taylor-Kreis  

Abbildung  32: Malfatti-Kreise  

Abbildung  33: Hilfskonstruktion zu den Malfatti-Kreisen.  

Abbildung  34: Lamoen-Kreis  

Abbildung  35: Hilfspunkte zum Beweis des Lamoen-Kreis  

Abbildung  36: Hilfskonstruktion zum Beweis des Lamoen-Kreis.  

Abbildung  37: Feuerbachkreis  

Abbildung  38: Feuerbachkreis und Eulergerade  

Abbildung  39: Großer Satz von Feuerbach  

Abbildung  40: Hilfssatz 2.10.6.  

Abbildung  41: Hilfskonstruktion zum Beweis des großen Satz von Feuerbach  

Abbildung  42: Konvexes Sehnenviereck  

Abbildung  43: Sehnenviereck mit überschlagenem Viereck  

Abbildung  44: Sehnensatz  

Abbildung  45: Diagonalendreiecke im Sehnenviereck  

Abbildung  46: Hilfszeichnung zum Beweis des Satzes über Innenwinkel  

Abbildung  47: Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist M  

Abbildung  48: Diagonalen im Sehnenviereck  

Abbildung  49: Hilfskonstruktion zum Beweis des Satzes des Ptolemäus  

Abbildung  50: Japanischer Satz für Sehnenvierecke  

Abbildung  51: Höhenfußpunktdreieck  

VII

Abbildung  52: Senkrechte Geraden im Höhenfußpunktdreieck.  

Abbildung  53: Asymmetrischer Propeller (blau) und gleichseitiges Dreieck (rot)  

Abbildung  54: Hilfszeichnung 1 zum Beweis des Satzes vom asymmetrischen Propeller  

Abbildung  55: Hilfszeichnung 2 zum Beweis des Satzes vom asymmetrischen Propeller  

Abbildung  56: 1. Verallgemeinerung  

Abbildung  57: 2. Verallgemeinerung  

Abbildung  58: 3. Verallgemeinerung  

Abbildung  59: 4. Verallgemeinerung  

Abbildung  60: Hilfszeichnung zum Beweis der 4. Verallgemeinerung  

Abbildung  61: Inneres und äußeres Napoleondreieck  

Abbildung  62: Hilfszeichnung zum Beweis des äußeren Napoleondreiecks  

Abbildung  63: Morley-Dreieck  

Abbildung  64: Hilfszeichnung zum Beweis des Satzes von Morley  

Abbildung  65: Neuberg-Mineurkreis  

Abbildung  66: Darstellung zu Hilfssatz 1  

Abbildung  67: Skizze zum Beweis des Hilfssatz 1  

Abbildung  68: Miquelpunkt  

Abbildung  69: Tangenten an Hilfskreisen  

Abbildung  70: Hilfskonstruktion zum Mineurkreis  

Abbildung  71: Hilfskonstruktion 2 zum Mineurkreis  

Abbildung  72: Spezialfall des Satzes von Neuberg-Mineur  

Abbildung  73: Hilfskonstruktion zum Beweis des Spezialfalles  

Abbildung  74: Dewasanzan-Schrein  

Abbildung  75: Zweites Problem aus dem Katayamahiko-Schrein.  

Abbildung  76: Hilfskonstruktion zum Beweis des Sanganku 3.8.1  

Abbildung  77: Sangaku des Katayamahiko-Schreins  

Abbildung  78: Erweitertes Sangaku  

VIII

Abbildung  79: Hilfskonstruktion zum Beweis des erweiterten Sangaku  

Abbildung  80: 16. Sangaku im Katayamahiko-Schrein  

Abbildung  81: Hilfszeichnung zur Lösung des 16. Sangaku im Katayamahiko-Schrein  

Abbildung  82: Ergänzungsbeweis  

VIIII

Für Punkte werden lateinische Großbuchstaben A, B, C, …. verwendet. Für Seitenlängen, Strecken und Geraden werden lateinische Kleinbuchstaben a, b, c, … verwendet.

Für Winkel werden Kleinbuchstaben des griechischen Alphabets verwendet. Dreieck ABC bedeutet, dass es sich um ein Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C handelt. Viereck ABCD bedeutet, dass es sich um ein Viereck mit den Eckpunkten A, B, C und D handelt.

Kreis ABC bedeutet, dass es sich um den eindeutig durch die Punkte A, B und C gegebenen Kreis handelt.

Geraden durch Punkte A und B werden AB genannt. Strecken zwischen den Punkten A und B werden ABgenannt. Die gerichtete Strecke vom Punkt A zu Punkt B wird AB

Einen Kreisbogen der durch die Punkte A und B gebildet wird, wird AB genannt. Mit ABC wird der Winkel im Punkt B bezeichnet, der durch den Schnittpunkt der Strecken von AB und BC gebildet wird und ist gleichbedeutend mit der Bezeichnung (BA; BC).

II Einleitung

In dieser Staatsexamensarbeit für das erste Staatsexamen für Lehramt Gymnasium Mathematik und Wirtschaftslehre/Recht mit dem Titel „Untersuchungen zu Dreieck, Viereck und Kreis in ihrer gegenseitigen Lage“ werden verschiedene, mitunter überraschende, Zusammenhänge zwischen Dreieck, Viereck und Kreis beleuchtet. Hierbei wird nach zwei Vorkapiteln, die sich mit den nötigen mathematischen Grundlagen zum Verständnis der Arbeit beschäftigen, mit dem Thema „Kreise am Dreieck“ beschäftigt. Hierzu gibt es vielfältige Problemvarianten, so dass ein eigenes Kapitel gerechtfertigt ist. In Kapitel 3 wird sich nachfolgend mit weiteren interessanten Zusammenhängen beschäftigt, die das Viereck mit einbeziehen.

Nach diesem wissenschaftlichen Teil folgt ein didaktisches Kapitel, in dem die Geometrie im Schulunterricht näher betrachtet wird und für einige der behandelten Themen aus Kapitel 2 und 3 eine Möglichkeit aufgezeigt wird, diese in den Unterricht einzugliedern. Diese sind nur als Anregungen zu verstehen, um eine Vorstellung zu entwickeln, wie auch historische oder scheinbar komplexe Aufgaben für die Schüler motiviert werden können und ihre Kreativität herausgefordert wird.

1

0 Grundlegende Begriffe

In dieser Arbeit werden viele aus der Geometrie bekannte Begrifflichkeiten verwendet. Dieses Vorkapitel dient dazu die Leser auf einen Wissensstand zu bringen und den späteren Umgang mit den Definitionen zu erleichtern.

0.1 Dreieck

Ein Dreieck ist eine geometrische Figur, die aus drei Punkten und drei Seiten (die Verbindungslinien der Punkte) besteht. Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt 180°. Die gebräuchliche Notation ist in Abbildung 1 dargestellt.

Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem Innenwinkel von 90°. Die Seite gegenüber dem rechten Winkel wird Hypotenuse, die beiden anderen Seiten werden Katheten genannt.

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem zwei der drei Seiten gleich lang sind. Die Winkel die den zwei gleichlangen Seiten gegenüber liegen, heißen Basiswinkel und sind gleich groß.

Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck bei dem alle Seiten gleich lang sind. Alle Innenwinkel betragen 60°.

0.1.1 Begrifflichkeiten am Dreieck

Seitenhalbierende: Ist die Verbindungsstrecke eines Dreieckseckpunktes zu dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Der Schnittpunkt aller Seitenhalbierenden ist der Dreiecksschwerpunkt S.

3

Mittelsenkrechte: Ist die Menge aller Punkte, die von zwei gegebenen Punkten den gleichen Abstand haben. In dem Dreieck ist sie umgangssprachlich gesagt die Gerade, die durch den Mittelpunkt einer Seite geht und senkrecht auf ihr steht. Winkelhalbierende: Ist die Gerade, die einen Winkel halbiert.

Mittelparallele: Ist (in einem Dreieck) die Verbindungsstrecke der Seitenmittelpunkte. Die Mittelparallele ist zu je einer Seite des Dreiecks parallel und halb so lang wie die entsprechende Seite. Die drei Mittelparallelen eines Dreiecks bilden das sogenannte Mittendreieck.

Höhe: Ist die Strecke die von einem Punkt senkrecht auf eine Gerade gefällt wird (umgangssprachlich: das Lot wird gefällt). Der Wert dieser Strecke wird ebenfalls als die Höhe bezeichnet. Der Schnittpunkt mit der Geraden wird Lotfußpunkt (hier H b , da das Lot auf b gefällt wird) genannt. Der Schnittpunkt aller Dreieckshöhen wird Höhenschnittpunkt genannt und kann sowohl innerhalb als auch außerhalb des Dreiecks liegen.

0.2 Kreis

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte die den gleichen Abstand zu einem Mittelpunkt haben. Ein Kreis K ist durch drei Punkte eindeutig bestimmt. 0.2.1 Begrifflichkeiten am Kreis

Radius r: Ist der Abstand zwischen dem Kreismittelpunkt M und der Kreislinie. Durchmesser d: Es gilt d=2r.

Tangente t: Ist eine Gerade, die eine gegebene Kurve in einem bestimmten Punkt (hier B) berührt. In einem Kreis steht die Tangente senkrecht auf dem zu dem Berührungspunkt gehörigen Kreisradius r.

Sehne s: Ist eine Verbindungsstrecke zwischen zwei auf der Kreislinie liegenden Punkten (hier A und B). Durch eine Sehne wird der Kreis in zwei Kreisbögen b 1 und b 2 geteilt. Sekante sk: Ist eine Gerade durch zwei auf der Kreislinie liegenden Punkten (hier C und D).

0.2.2 Winkel im Kreis

Mittelpunktswinkel : Ist der Winkel BMA an dem Mittelpunkt M eines Kreisbogens AB . Umfangswinkel (auch Peripheriewinkel): Ist der Winkel BPA an einem Punkt P, der auf dem Kreisbogen liegt der den gegebenen Kreisbogen AB zu einem Kreis komplettiert.

Sehnentangentenwinkel : Er wird zu einem gegebenen Kreisbogen von der Sehne AB und der Kreistangente im Punkte A oder B begrenzt.

5

0.2.3 Ähnlichkeitskreis

Gegeben sind zwei Kreise K 1 und K 2 mit unterschiedlichen Radien, die außerhalb von einander liegen und sich nicht berühren. Die Kreise besitzen die Kreismittelpunkte M ¹ beziehungsweise M 2 und die Radien r 1 beziehungsweise r 2 . Zu den beiden Kreisen existieren zwei Streckungszentren A und B, welche auf dem Schnittpunkt der äußeren beziehungsweise inneren Tangenten liegen.

Der Ähnlichkeitskreis ist der Kreis, der über den Punkten A und B mit dem Durchmesser AB gebildet wird.

0.3 Winkelfunktionen

Winkelfunktionen (auch trigonometrische Funktionen genannt) bezeichnen den Zusammenhang zwischen Winkeln und Seitenverhältnissen. Dies galt ehemals nur für rechtwinklige Dreiecke, für die die Winkelfunktionen hier aufgezeigt werdeb.

Es gilt:

sinn =

Weiterhin ist tann =

0.4 Kongruenz und Ähnlichkeit Kongruenz

Zwei geometrische Figuren sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie durch Parallelverschiebung, Drehung und Spiegelung (oder durch die Hintereinanderausführung derselben) ineinander überführt werden können. Die Seitenlängen und Größe der Winkel stimmen bei kongruenten Figuren überein. Ähnlichkeit

Zwei geometrische Figuren sind ähnlich, wenn eine Figur eine Verkleinerung, Vergrößerung oder eine Kopie der Anderen ist, so dass beide Figuren die gleiche Gestalt haben und das Verhältnis der entsprechenden Seitenlängen zueinander gleich ist. Der Ähnlichkeit der Ursprungsfigur und das Ergebnis nach einer Spiegelung wird als ungleichsinnig ähnlich bezeichnet, während es nach einer Drehung oder Verschiebung mit gleichsinnig ähnlich benannt wird.

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0.5 Winkelpaare

In der Geometrie gibt es besondere Winkelpaare, die vor allem bei der Untersuchung der nachfolgenden Probleme hilfreich sind.

Nebenwinkel: Wenn sich zwei Geraden schneiden, so heißen die benachbarten Winkel Nebenwinkel. Sie ergänzen sich zu 180° (hier: + = 180°). Der Nebenwinkel eines Innenwinkels ist der Außenwinkel. Der Außenwinkel eines Dreiecksinnenwinkels ist genauso groß wie die Summe der beiden anderen Innenwinkel. Scheitelwinkel: Wenn sich zwei Geraden schneiden, so heißen die gegenüberliegenden Winkel Scheitelwinkel. Die Scheitelwinkel sind immer gleich groß (hier: = ). Wechselwinkel: Schneidet eine Gerade g zwei weitere Graden l und k, so heißen die Winkel, die auf den unterschiedlichen Seiten von g und auf den unterschiedlichen Seiten von k und l liegen, Wechselwinkel. Sind k und l parallel zueinander so sind die Wechselwinkel gleich groß (hier: und , wobei aufgrund der Parallelität von k und l gilt: = ).

Stufenwinkel: Schneidet eine Gerade g zwei weitere Graden l und k, so heißen die Winkel, die auf der gleichen Seite von g und auf den gleichen Seiten von k und l liegen, Stufenwinkel. Sind k und l parallel zueinander, so sind die Stufenwinkel gleich groß (hier: und , wobei aufgrund der Parallelität von k und l gilt: = ). Nachbarwinkel: Schneidet eine Gerade g zwei parallele Graden l und k, so heißen die Winkel, die auf der gleichen Seite von g und auf den unterschiedlichen Seiten von k und l liegen Nachbarwinkel. Sie ergänzen sich zu 180° (hier: + = 180°).

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0.6 Zentrische Streckung

Eine zentrische Streckung ist eine Abbildung, die alle Strecken in einem gegebenen Verhältnis (dem Streckungsfaktor) aus einem Streckungszentrum in ihrer Größe verändert. Die abgebildeten Strecken bleiben jedoch zu den Ursprungsstrecken parallel und die Winkel und Streckenverhältnisse bleiben ebenfalls gleich.

In der Abbildung 10 werden zwei zentrische Streckungen um das Streckungszentrum S

was das Dreieck A’B’C‘ ergibt und dann ein zweites Mal um den Faktor 3 gestreckt, was das Dreieck A‘‘B‘‘C‘‘ ergibt.

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1 Vorbereitende Sätze

In diesem Kapitel werden ein paar häufig in den späteren Beweisen genutzte Sätze präsentiert. Zu einigen wird kein Beweis gegeben, da diese bereits aus der Schulzeit bekannt sein sollten.

1.1 Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras ist einer der fundamentalsten Sätze der euklidischen Geometrie (die Geometrie der Ebene und des Raumes wie sie in dieser Arbeit behandelt wird) und ist nach dem griechischen Philosoph Pythagoras von Samos (etwa 570 v. Chr. - 510 v. Chr.) benannt. Er besagt, dass das Hypotenusenquadrat gleich der Summe der Kathetenquadrate ist. Sei c die Hypotenuse und a und b die Katheten so gilt: a ² + b ² = c ² . Eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras ist der Kosinussatz.

1.2 Sinus- und Kosinussatz

Sinussatz

Es seien a, b und c die Seiten eines Dreiecks ABC, r der Umkreisradius des Dreiecks und ,

und die jeweils den Seiten gegenüberliegenden Winkel. Dann gilt:

Kosinussatz

Es seien a, b und c die Seiten eines Dreiecks ABC und , und die jeweils den Seiten

gegenüberliegenden Winkel. Dann gilt

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1.3 Winkelsätze

Kreiswinkelsatz

Der Mittelpunktswinkel eines Kreisbogens ist doppelt so groß wie der dazugehörige Umfangswinkel . 2 Umfangswinkelsatz

Alle Umfangswinkel über einem Kreisbogen sind gleich groß. Spezialfall: Satz des Thales

Konstruiert man ein Dreieck aus den beiden Endpunkten des Durchmessers eines Halbkreises (Thaleskreis) und einem weiteren Punkt auf diesem Halbkreis, so erhält man ein rechtwinkliges Dreieck (Alle Winkel im Halbkreisbogen sind rechte Winkel.).

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Beweis:

Der Durchmesser (hier AB) kann halbiert werden, so dass man von dem Mittelpunkt M aus zu jedem Punkt des Halbkreises den Abstand r (Radius) hat. Bildet man mit einem beliebigen Punkt C auf dem Halbkreisbogen (der ungleich der Eckpunkte ist) ein Dreieck mit den beiden Halbkreiseckpunkten, so kann man mit dem Mittelpunkt zwei gleichschenklige Dreiecke MAC und MCB bilden.

Da in einem gleichschenkligen Dreieck die Basiswinkel immer gleich groß sind und die Winkelsumme in einem Dreieck 180° beträgt, gilt für MAC=CMA, MAC=ACM und =BMC 180° = + ( + +) + + = 2 + 2.

Hieraus folgt die gesuchte Beziehung 90° = + und somit ist die Behauptung bewiesen.

Sehnentangentenwinkelsatz

Die beiden Sehnentangentenwinkel eines Kreisbogens sind so groß wie die dazugehörigen Umfangswinkel und damit halb so groß wie der dazugehörige Mittelpunktswinkel.

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1.4 Binomische Formeln

Allgemein gilt:

Insbesondere gelten die Beziehungen:

(a + b)² = a² + 2ab + b²; (a a b)² = a² ² 2ab + b²; a² b² = (a + b)(a b)

1.5 Die vier Ähnlichkeitssätze für Dreiecke:

Die Ähnlichkeitssätze geben hinreichende Bedingungen dafür an, dass zwei Dreiecke ähnlich sind. 1. Satz (ww-Satz)

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln (und damit nach der Innenwinkelsumme für Dreiecke - die Summe der drei Innenwinkel eines Dreiecks ergibt 180° - auch im Dritten) übereinstimmen. 2. Satz (SSS-Satz)

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in allen Verhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen. 3. Satz (SwS-Satz)

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in einem Winkel und im Verhältnis der anliegenden Seiten übereinstimmen. 4. Satz (SSw-Satz)

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und im Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen.

1.6 Strahlensätze

Wenn sich zwei Halbgraden (Geraden die an einer Seite begrenzt sind, auch Strahl genannt) in einem Punkt und anschließend zwei parallele Geraden schneiden so gelten folgende Aussagen (die Punkte sind entsprechend der Abbildungen 14-16 angeordnet):

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