2

Inhaltsverzeichnis

Literaturverzeichnis   4

Einleitung.   7

1.  Didaktische Grundlagen.  8

1.1  Beweisen im Mathematikunterricht.  8

1.2.  Entdeckendes Lernen  10

1.3.  Einsatz des Computers  12

1.4.  Dynamische Geometriesoftware: Euklid DynaGeo  13

2.  Planung der Unterrichtseinheit.  15

2.1.  Sachanalyse.  15

2.2.  Didaktische Analyse.  15

2.3.  Lernziele  16

2.4.  Methodische Aspekte.  17

2.4.1.  Teamarbeit  17

2.4.2.  Weitere Unterrichtsmethoden.  17

2.4.3.  Der virtuelle Lernzirkel.  18

2.4.4.  Rolle des Lehrers  19

2.4.5.  Die elektronischen Arbeitsblätter.  20

2.4.6.  Lernerfolgskontrolle.  20

2.4.7.  Leistungsbeurteilung.  21

2.5.  Voraussetzungen  21

2.5.1.  Der Computerraum.  21

2.5.2.  MasterEye  22

2.5.3.  Die Klasse 7b.  22

2.5.4.  Schülerbefragung.  23

3.  Durchführung der Unterrichtseinheit  23

3.1.  Übersicht über die Unterrichtseinheit.  23

3.2.  Der Unterricht.  24

3.2.1.  Stunde 1: Einführung in PC und Euklid DynaGeo  24

3.2.2.  Stunde 2: Einführung in PC und Euklid 2.  25

3.2.3.  Stunde 3: Stufen- und Wechselwinkel.  25

3.2.4.  Stunde 4: Stufen- und Wechselwinkel an Parallelen.  27

3.2.5.  Stunde 5: Übungen zu Stufen- und Wechselwinkelsatz  29

3.2.6.  Stunde 6: Summe der Innenwinkel im Dreieck.  30

3.2.7.  Stunde 7: Übungen, Winkelsumme im Viereck.  32

3.2.8.  Stunde 8: Außenwinkel beim Dreieck.  34

3.2.9.  Stunde 9: Virtueller Lernzirkel.  35

3.2.10.  Stunde 10: Übungen, Wiederholung.  37

4.  Analyse der Unterrichtseinheit.  38

4.1.  Die Lernerfolgskontrolle: die Klassenarbeit  38

4.2.  Erfolg des entdeckenden Lernens  39

4.3.  Erfolg des PC-Einsatzes.  42

4.4.  Schulung der Medienkompetenz.  43

4.5.  Ergebnissicherung.  43

4.6.  Fazit  44

5.  Anhang.  45

5.1.  Die Klasse 7b im Computerraum.  45

5.2.  Screenshot: Tagesordner Arbeitsblätter.  46

5.3.  Screenshot: Teamordner der Schüle r.  46

5.4.  Vorbereitende Schülerbefragung.  46

5.5.1.1.  Arbeitsblatt zur Einführung.  47

5.5.1.2.  Schüler-Lösung zu Arbeitsblatt zur Einführung  48

5.5.2.1.  Checkliste  48

5.5.2.2.  Arbeitsblatt „Übung1“  49

5.5.2.3.  Arbeitsblatt „Übung2“  49

5.5.2.4.  Arbeitsblatt „Übung3“  50

5.5.2.5.  Arbeitsblatt „Übung4“  50

5.5.2.6.  Arbeitsblatt „Übung5“  51

5.5.2.7.  Arbeitsblatt „Übung6.  51

5.5.2.8.  Arbeitsblatt „Übung7“  52

5.5.2.9.  Arbeitsblatt „Übung8“  52

5.5.2.10.  Arbeitsblatt „Übung9“  53

5.5.2.11.  Arbeitsblatt „Übung91“  53

3

5.5.2.12.  Arbeitsblatt „Übung92“  54

5.5.2.13.  Arbeitsblatt „Übung93“  54

5.5.2.14.  Arbeitsblatt „Übung94“  55

5.5.2.15.  Arbeitsblatt „Übung95“  55

5.5.3.1.  Arbeitsblatt „Winkel alle“  56

5.5.3.2.  Lösung zu Arbeitsblatt „Winkel alle“  56

5.5.3.3.  Arbeitsblatt „Stufenwinkel“  57

5.5.3.4.  Lösung zu Arbeitsblatt „Stufenwinkel“  57

5.5.4.1.  Tafelbild zum Stufenwinkelsatz  58

5.5.4.2.  Tafelbild zum Wechselwinkelsatz.  58

5.5.4.3.  Tafelbild zu Übungsaufgabe.  59

5.5.4.4.  Lösung zu Übungsaufgabe.  59

5.5.5.1.  Folie zu S. 103 Fig. 3.  60

5.5.5.2.  Lösung zu S. 103 Fig. 3.  60

5.5.5.3.  Folie zu S. 103 Fig. 4.  61

5.5.5.4.  Lösung zu S. 103 Fig. 4.  61

5.5.5.5.  Folie zu S. 104 Nr. 5a)  62

5.5.5.6.  Lösung zu S. 104 Nr. 5a)  62

5.5.5.7.  Tafelbild 1 zu Textaufgabe.  63

5.5.5.8.  Tafelbild 2 zu Textaufgabe.  64

5.5.6.1.  Folie zu S. 104 Nr. 5b)  65

5.5.6.2.  Lösung zu S. 104 Nr. 5b)  65

5.5.6.3.  Arbeitsblatt „S 103 Nr 3“  66

5.5.6.4.  Lösung zu Arbeitsblatt „S 103 Nr 3“  66

5.5.6.5.  Arbeitsblatt „WS Dreieck“  67

5.5.6.6.  Lösung 1 zu Arbeitsblatt „WS Dreieck“  67

5.5.6.7.  Lösung 2 zu Arbeitsblatt „WS Dreieck“  68

5.5.7.1.  Tafelbild 1 zu Winkelsumme im Viereck  69

5.5.7.2.  Tafelbild 2 zu Winkelsumme im Viereck  69

5.5.7.3.  Tafelbild 3 zu Winkelsumme im Viereck  69

5.5.8.1.  Folie 1 zu Fünfeck.  70

5.5.8.2.  Folie 2 zu Fünfeck.  70

5.5.8.3.  Skizze 1 zu Fünfeck.  70

5.5.8.4.  Skizze 2 zu Fünfeck.  70

5.5.8.5.  Arbeitsblatt „Außenwinkel Dreieck“  71

5.5.8.6.  Lösung zu Arbeitsblatt „Außenwinkel Dreieck“  71

5.5.8.7.  Arbeitsblatt „AWS Dreieck“  72

5.5.8.8.  Lösung 1 zu Arbeitsblatt „AWS Dreieck“  72

5.5.9.1.  Screenshot: Aufbau des virtuellen Lernzirkels 1.  73

5.5.9.2.  Screenshot: Aufbau des virtuellen Lernzirkels 2.  73

5.5.9.3.  Arbeitsblatt „1 AB“  74

5.5.9.4.  Lösungsblatt „1 AB Lösung“  74

5.5.9.5.  Arbeitsblatt „2 AB“  75

5.5.9.6.  Lösungsblatt „2 AB Lösung“  75

5.5.9.7.  Arbeitsblatt „3 AB“  76

5.5.9.8.  Lösungsblatt „3 AB Lösung“  76

5.5.9.9.  Kopie zu Arbeitsblatt „3 AB“  77

5.5.9.10.  Arbeitsblatt „4 AB“  78

5.5.9.11.  Lösungsblatt „4 AB Lösung“  78

5.5.9.12.  Arbeitsblatt „5 AB“  79

5.5.9.13.  Lösungsblatt „5 AB Lösung“  79

5.5.9.14.  Arbeitsblatt „6 AB“  80

5.5.9.15.  Lösungsblatt „6 AB Lösung“  80

5.5.10.1.  Folie zu S. 106 Nr. 6.  81

5.5.10.2.  Lösung zu S. 106 Nr. 6.  81

5.5.10.3.  Tafelbild zu S. 106 Nr. 6.  81

5.5.10.4.  Tafelbild 1 zu S. 107 Nr. 15 a)  82

5.5.10.5.  Tafelbild 2 zu S. 107 Nr. 15 a)  82

5.5.10.6.  Tafelbild 3 zu S. 107 Nr. 15 a)  83

5.5.11.1.  Klassenarbeit Gruppe A  84

5.5.11.2.  Klassenarbeit Gruppe B  85

5.5.12.1.  Lösung Klassenarbeit Gruppe A.  86

5.5.12.2.  Lösung Klassenarbeit Gruppe B  87

4

Literaturverzeichnis

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• Bovet, Gislinde: Lernpsychologie für die Schule II: Wissenserwerb und Problemlösen. In: Leitfaden Schulpraxis. Pädagogik und Psychologie für den Lehrberuf. Hg. v. Gislinde Bovet, Volker Huwendiek. 3., erw. u. bearb. Aufl. Berlin: Cornelsen 2000. S. 155-181

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• Elschenbroich, Hans-Jürgen: Dynamische Geometrieprogramme: Tod des Beweisens oder Entwicklung einer neuen Beweiskultur? In: MNU. Jg. 50, Heft 8/1997. S. 494-496

• Elschenbroich, Hans-Jürgen: Geometrie beweglich mit EUKLID. Arbeitsblätter für computergestützten Geometrieunterricht mit dem Programm EUKLID (=Dümmlerbuch 4557). Bonn: Ferdinand Dümmler 1996 • Entdeckendes Lernen. Hg. v. Heinz Neber. 2. Auflage. Weinheim; Basel: Beltz 1975 • Götzl, Dieter: Warum sind mathematische Beweise nötig? In: MNU 52/2 (1.3.1999). S. 82-84 • Henn, Hans-Wolfgang: Computereinsatz im Geometrieunterricht. In: Der Mathematikunterricht. Beiträge zu seiner

fachinhaltlichen und fachdidaktischen Gestaltung. ² Jg. 40. Heft 1/1994. S. 5-12

• Henn, Hans-Wolfgang: Computergestütztes Problemlösen in der Geometrie. In: MU. Jg. 40. Heft 1/1994. S. 25-38 • Hischer, Horst: Mathematikunterricht im „Bannkreis des Computers“ - oder: Wohin führt uns der Comp uter? In: Mathematikunterricht und Computer: neue Ziele oder neue Wege zu alten Zielen? Hg. v. Horst Hischer. Hildesheim: Franzbecker 1994. S. 8-18

• Hole, Volker: Erfolgreicher Mathematikunterricht mit dem Computer. Methodische und didaktische Grundfragen in der Sekundarstufe I. Donauwörth: Auer 1998

¹ im Folgenden: MNU

² im Folgenden: MU

5

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• Hölzl, Reinhard: Aspekte des heuristischen Einsatzes von Dynamischer Geometriesoftware. In: MU. Jg. 45. Heft 1/1999. S. 52-60

• Huwendiek, Volker: Didaktik: Modelle der Unterrichtsplanung. In: Leitfaden Schulpraxis. Pädagogik und Psychologie für den Lehrberuf. Hg. v. Gislinde Bovet, Volker Huwendiek. 3., erw. u. bearb. Aufl. Berlin: Co rnelsen 2000. S. 11-39

• Huwendiek, Volker: Methodik: Formen der Unterrichtsplanung. In: Leitfaden Schulpraxis. Pädagogik und Psychologie für den Lehrberuf. Hg. v. Gislinde Bovet, Volker Huwendiek. 3., erw. u. bearb. Aufl. Berlin: Cornelsen 2000. S. 40-72

• Kadunz, Gert: Computereinsatz im Geometrieunterricht. In: Computereinsatz im Mathematikunterricht. Hg. v. Hans-Christian Reichel. Mannheim; Leipzig; Wien; Zürich: BI-Wissenschaftsverlag 1995. S. 195-206 • Kaune, Christa: Weiterentwicklung des Mathematikunterrichts: Die kognitionsorientierte Aufgabe ist mehr als ‚die etwas andere Aufgabe’. In: MU. Jg. 47. Heft 1/2001. S. 35-46. S. 37

• Klemisch, Ingo, Osterloff, Karlheinz: Klassenarbeiten und ihre Korrektur im Fach Mathematik. In: MU. Jg. 39. Heft 1/1994. S. 28-37

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• Kunz, Ernst: Ebene Geometrie. Axiomatische Begründung der euklidischen und nichteuklidischen Geometrie. Mit 15. Bildern und 97 Figuren. Reinbek: Rowohlt 1976

• Lambacher Schweizer 7. Mathematisches Unterrichtswerk für das Gymnasium. Ausgabe Baden-Württemberg. Hg. v. August Schmid. 2. Auflage. Stuttgart, Düsseldorf, Leipzig: Ernst Klett 2000

• Laumeyer, Ulrike M.: Lernen durch Lehren - Schüler halten Unterricht. In: MNU. Jg. 53. Heft 2/2000. S. 179-183 • Lehren und Lernen mit Medien. Beiträge aus Medienforschung und Medienpraxis. Festschrift für Walter Cappel. Hg. v. Wolf Theuring. Grünwald: Institut für Film und Bild in Wissenschaft und Unterricht 1983 • Leitfaden Schulpraxis . Pädagogik und Psychologie für den Lehrberuf. Hg. v. Bovet, Huwendiek. 3. Auflage. Kapitel

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• Lergenmüller, Arno: Offenere Formen des Unterrichts. In: MU. Jg. 40. Heft 6/1994. S. 5-10. S. 10 • Mehlhase, Ute: Informations- und kommunikationstechnische Grundbildung in einem forschenden Mathematikunterricht. Hildesheim: Franzbecker 1994 (= Texte zur mathematisch-naturwissenschaftlich-technischen Forschung und Lehre; 40)

• Meschenmoser, Helmut: Lernen mit Medien: zur Theorie, Didaktik und Ge staltung von interaktiven Medien im fächerübergreifenden Unterricht. Baltmannsweiler: Schneider-Verlag Hohengehren 1999 (=Hamburg, Univ., Diss. 1998) • Meyer, Hilbert: Schulpädagogik. Band 2. Frankfurt; Main: Cornelsen-Scriptor 1997 • Meyer, Hilbert: Unterrichtsmethoden. II: Praxisband. Berlin: Cornelsen-Scriptor 1987 • Neue Medien und Lernen: Herausforderungen, Chancen und Gefahren. Hg. v. Hans-Günther Rolff, Peter Zimme rmann. Weinheim; Basel: Beltz 1985

• Niederdrenk-Felgner, Cornelia: Mädchen und Computer. Modelle für eine mädchengerechtere Unterrichtsgestaltung. Computer im koedukativen Unterricht. Tübingen: Deutsches Institut für Fernstudien 1993 • Nimz, Hartmut: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. In: MU. Jg. 44. Heft 3/1998. S. 23-35 • Ralle, Bernd: Die Neuen Medien: Wünschenswertes und Machbares. In: MNU. Jg. 51. Heft 8/1998

6

• Reichel, Hans-Christian: Computereinsatz im Mathematikunterricht. In: Computereinsatz im Mathematikunterricht. Hg. v. Hans-Christian Reichel. Mannheim; Leipzig; Wien; Zürich: BI-Wissenschaftsverlag 1995. S. 15-54 • Rüthing, Dieter: Experimentell-funktionales Lösen von Geometrieaufgaben mit EUKLID. In: MNU 51/8 ( 1. 12. 1998). S. 463-467

• Schmidt, Günter: „Kommt das auch in der Arbeit dran?“ Über Einflüsse, Abhängigkeiten und Diskrepanzen von Zielen und Methoden des Mathematikunterrichts einerseits und der Leistungsfeststellung und -beurteilung andererseits. In: MU. Jg. 39. Heft 1/1993. S. 10-27

• Schmidt, Jürgen: Individualisiertes Lernen im Mathematikunterricht der Orientierungs- und der Sekundarstufe I. In: MU. Jg. 40. Heft 6/1994. S. 31-49

• Schumann, Hein: Satzfindung durch kontinuierliches Variieren geometrischer Konfigurationen mit dem Comp uter als interaktivem Werkzeug. In: MU. Jg. 35. Heft 4/1989. S. 22-37

• Schwarze, Monika: Geometrie lehren und lernen mit neuen Medien und Technologien. In: Mathematische Bildung und neue Technologien. Vorträge beim 8. Internationalen Symposium zur Didaktik der Mathematik, Universität Klagenfurt, 28.9.-2.10.1998. Hg. v. Gert Kadunz... Stuttgart; Leipzig: Teubner 1999. S. 295-302 • Sjuts, Johann: Aufgabenstellungen zum Umgang mit Wissen(srepräsentationen). In: MU. Jg. 47. Heft 1/2001. S. 47-60

• Suchman, J. Richard: Fragetraining: Aufbau von Fertigkeiten zur selbständigen Entdeckung. In: Entdeckendes Lernen. Hg. v. He inz Neber. 2. Auflage. Weinheim; Basel: Beltz 1975. S. 247-272

• Taschner, Rudolf: Der Computer im Mathematikunterricht - ein gelobtes Land? In: MNU 51/8 (1. 12. 1998). S. 458-463

• Terhart, Ewald: Lehr-Lern-Methoden. Eine Einführung in Probleme der methodischen Organisation von Lehren und Lernen. Weinheim; München: Juventa 1989

• Walsch, Werner: Beweisen im Mathematikunterricht - logische, psychologische und didaktische Aspekte. In: MU. Jg. 38. Heft 6/1992. S. 23-32

• Weidenmann, Bernd: Psychologie des Lernens mit Medien. In: Pädagogische Psychologie. Ein Lehrbuch. Hg. v. Bernd Weidenmann ... München; Weinheim: Psychologie Verlags Union, Urban u. Schwarzenberg 1986. S. 493-554 • Weigand, Hans-Georg: der Computer als heuristisches Hilfsmittel im Mathematikunterricht. In: Computereinsatz im

Mathematikunterricht. Hg. v. Hans-Christian Reichel. Mannheim; Leipzig; Wien; Zürich: BI-Wissenschaftsverlag 1995. S. 149-166

• Weigand, Hans-Georg: Der Computer und die Wiederbelebung der Geometrie. In: Computer und Geometrie. Neue Chancen für den Computerunterricht? Hg. v. Horst Hischer. Hildesheim: Franzbecker 1997. S. 193-198 • Welker, Madeleine: Kontakt durch den Computer. Neue Medien bergen Chancen aber auch Risiken. In: Mannheimer Morgen. Nr. 66. 20.3.2001. S. 3

• Winter, Heinrich: Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht: Einblicke in die Ideengeschichte und ihre Bedeu- tung für die Pädagogik. Hg. v. Erich Ch. Wittmann. Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg 1989

7

Einleitung

„Ohne Medienkompetenz geht heute gar nichts mehr. Darin sind sic h Lehrer, Arbeitsvermittler und Firmen einig“ ³ , war kürzlich in einer überregionalen Tageszeitung zu lesen. Wer das „Know-how rund um die elektronische Welt nicht rechtzeitig erwirbt, der droht im beruflichen wie im gesellschaftlichen Leben den Anschluss zu verlieren.“ ⁴ Insbesondere sind demnach die Schulen gefordert, den Einstieg in die neuen Medien zu ermöglichen. Ohne Frage darf das jedoch nicht dazu führen, den Computer quasi als Selbstzweck einzusetzen, die Eignung muss am jeweiligen Unterrichtsinhalt und den angestrebten Unterrichtszielen gemessen werden.

Entschließt man sich unvoreingenommen, das Wagnis des Computereinsatzes auf sich zu nehmen, so erkennt man schnell die Grenzen des Wünschenswerten und des Machbaren. ⁵ Der PC-Einsatz fordert neue Unterrichtsmethoden, Aufnahmebereitschaft auf Schüler- wie auf Lehrerseite ⁶ , geeignete Software und natürlich auch die Entwicklung neuer Kompetenzen, bei denen besonders auch der Lehrer gefordert ist. Denn noch ist der Computereinsatz im Mathematikunterricht keineswegs die Regel, ist die Unterstützung durch Kollegen wie auch durch geeignete Materialien noch nicht so gewährleistet wie bei traditionellen Methoden.

So lernte auch ich schnell die derzeitigen Grenzen kennen. Recht euphorisch mit den positiven Erfahrungen mit Dynamischer Geometriesoftware aus Fachdidaktiksitzungen an die Planung gegangen, schränkten u.a. technische Hindernisse das „Wünschenswerte“ schnell ein. Noch besitzt nicht jeder Schüler sein eigenes Laptop, also muss der Computerraum belegt werden, möglichst ohne Überschne idung mit anderen Klassen. Dann gilt es u.a., die zeitaufwendig vorbereiteten Dateien auf den Computern bereitzustellen, was sich beispielsweise als schwierig erwies, wenn nach dem Wochenende montags in der vierten Stunde der Computer benutzt werden sollte, der Computerraum jedoch in den drei vorangehenden Stunden belegt war. Es erfordert also einiges an Weitsicht und Planungsgeschick, um allen Unwägbarkeiten erfolgreich zu begegnen.

Schließlich änderte sich die Konzeption meiner Unterrichtseinheit ⁷ gezwungenermaßen sehr kurzfristig: Einen Tag vor der ersten Stunde erwies sich eine Information über die Computerkonfiguration als unric htig, die Arbeit mit Disketten war nicht möglich. Das verhinderte, dass Hausaufgaben mit dem Programm bearbeitet bzw. Arbeitsblätter zu Hause fortgesetzt werden konnten. Also wurde modifiziert, und zune hmend entwickelte sich ein Aspekt, unter dem diese UE durchgeführt werden sollte: der realistische Einsatz des Computers unter den gegebenen Umständen, wie sie wohl an den meisten Schulen anzutreffen sind. Es sollte keine Modelleinheit werden, z.B. mit aufwendiger Aufteilung der Klasse o.ä., wie sie im normalen Schulalltag auf Dauer nicht durchzuführen wäre. Diese Arbeit soll stattdessen ein Exempel bieten, wie ein pragmatischer Einsatz des Computers als effektives Hilfsmittel realisiert werden kann.

³ Madeleine Welker: Kontakt durch den Computer. Mannheimer Morgen. Nr. 66. 20.3.2001. S. 3

⁴ Ebd.

⁵ Vgl. dazu Bernd Ralle: Die Neuen Medien: Wünschenswertes und Machbares. S. 451

⁶ Die Begriffe werden zur besseren Lesbarkeit geschlechtsneutral verwendet, Ausnahmen folgen aus dem Kontext.

⁷ im Folgenden: UE

8

Als „Mitverantwortliche im Lernprozess“ ⁸ erwiesen sich dabei auch die Schüler, die noch keinerlei Erfahrung mit dem Computereinsatz in der Schule hatten. Hochmotiviert und unbedarft, allerdings die meisten auch sehr unerfahren, gingen sie an die Sache. Da weder die Schüler noch der Lehrer über Erfahrungswerte verfügten, erwies sich besonders in den Anfangsstunden die Abschätzung des Zeitaufwands als sehr schwierig. „Die aktuelle Basis für die weitere Grobplanung der UE und die Feinplanung der nächsten Ein-zelstunden verändert sich permanent, sodass immer wieder Revisionen, Rück- und Vorgriffe und Ausste uerungen notwendig werden“ ⁹ , stellt Huwendiek fest, und so musste auch bei dieser UE trotz sorgfältiger Grobplanung die Feinplanung gel egentlich modifiziert werden. Aus diesem Grund wird die Planung der Stunden nicht getrennt von deren Verlauf sowie der Analyse relevanter Aspekte betrachtet. Denn so geht der Lehrer ja auch vor: Nach Planung der gesamten Einheit, theoretischen, didaktischen und methodischen Überlegungen, analysiert er den Verlauf der einzelnen Stunde und modifiziert ggf. die Planung der Folge-stunden, um schließlich nach Ende der UE ein Fazit zu ziehen und Konsequenzen zu überlegen. Diesen Prozess soll der Aufbau der Arbeit widerspiegeln.

In Kapitel 1 werden die theoretischen Grundlagen behandelt, Kapitel 2 bezieht sich auf die grundsätzliche Planung der UE. Kapitel 3 liefert Planung, Durchführung und Analyse der einzelnen Stunden, in Kapitel 4 erfolgt schließlich die Analyse übergreifender Aspekte des Unterrichts und das Fazit. Im Anhang finden sich Abbildungen der Arbeitsblätter sowie von Tafelbildern und Folien. Der Arbeit liegt eine CD-ROM bei, auf der neben einer Sharewareversion der Software die Arbeitsblätter samt Lösungen enthalten sind.

1. Didaktische Grundlagen

1.1 Beweisen im Mathematikunterricht

Der Beweis stellt das zentrale Element der Mathematik dar, eine Aussage gilt als wahr, wenn sie ausgehend von den Voraussetzungen und Axiomen das Resultat streng logischer Deduktion ist. Die Rahme nrichtlinien des Bildungsplans fordern den mathematischen Beweis als wesentlichen Unterrichtsinhalt, wodurch bei den Schülern das Verständnis für logische Argumentation entwickelt, die Fähigkeit im logischen Denken gefördert und die Fähigkeit zum Problemlösen trainiert werden sollen. ¹⁰ Nicht zuletzt stellt der Lehrer auch den Anspruch an sich selbst, wissenschaftlich korrekt zu unterrichten und den Schülern ein zutreffendes Bild der Mathematik zu vermitteln.

Doch es gibt auch Argumente gegen das Beweisen im Mathematikunterricht. ¹¹ So reagiert ein Teil der Schüler meist desinteressiert oder ablehnend, wenn im Unterricht ein Beweis ansteht, meist beteiligen sic h nur die leistungsstärkeren Schüler. Weiterhin stellt es sich als schwierig dar, den Schülern die Beweisnotwendigkeit zu verdeutlichen, und nicht selten kommen in deduktiven Beweisführungen Schritte vor, die den Schülern als „Trick“ erscheinen und damit ihre Ablehnung des Beweisens verstärken. Walsch zufolge

⁸ Heinrich Winter: Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht. S. 4

⁹ Volker Huwendiek: Didaktik: Modelle der Unterrichtsplanung. S. 19

¹⁰ Vgl. Kultus und Unterricht. Amtsblatt des Ministeriums für Kultus und Sport Baden Württemberg. S. 28

¹¹ Vgl. Werner Walsch: Beweisen im Mathematikunterricht - logische, psychologische und didaktische Aspekte. S. 36f.

9

seien zudem die Effekte hinsichtlich der Entwicklung logischer oder heuristischer Fähigkeiten tatsächlich oft wenig erkennbar.

Ziel eines effektiven Mathematikunterrichts, der nicht auf das Beweisen verzichtet, muss es also sein, die Schüler an der Beweisführung zu beteiligen, sie zu aktivieren und ihnen die Beweisnotwendigkeit klar werden zu lassen. Ein vom Lehrer vorgeführter deduktiver Beweis zeigt nicht, „woher das Problem stammt, wieso ein Satz vor Kenntnis des Beweises vermutet oder erahnt wurde, welche Überlegungen, Irrwege und Experimente nötig waren, um den Satz zu beweisen.“ ¹² Deswegen ist es wichtig, den induktiven Weg vom Problem zum Ergebnis, den Gewinn der Erkenntnis nicht zu vernachlässige n bzw. sogar herauszustellen. ¹³ Denn wie Henn fordert, „sollen Schüler Mathematik so erleben, wie sie wirklich ist“, weswegen das induktive Suchen der Antworten im Vordergrund stehen müsse und nicht „das Lernen der Antworten.“ ¹⁴ Allerdings sollen die Schüler auch nicht zu früh durch formale Kriterien abgelenkt werden, es gilt, den Schülern das Grundprinzip mathematischer Argumentation zu verdeutlichen. Nach diesem Prinzip werden die Schüler in dieser UE zum Beweisen geführt. Wichtig ist dabei, dass den Schüle rn die Notwendigkeit einer mathematischen Begründung auch scheinbar geltender Zusammenhänge klar wird. Holland folgend kann man drei verschiedene Niveaustufen des Beweisens untersche iden ¹⁵ : i. Stufe des Argumentierens mit starkem Handlungsbezug und Veranschaulichungen. Es genügt, Argumente für die Gültigkeit einer Vermutung anzugeben, Argumente aufzugreifen und weiterzuführen oder gegebenenfalls zu widerlegen sowie einen Beweisgedanken zu verstehen und in eigenen Worten wiederzugeben.

ii. Stufe des inhaltlichen Schließens , was in einer eher umgangssprachlichen, beschreibenden Form geschieht. Einfache Beweise werden bereits selbst gefunden, die Notation als Sequenz von Beweisschritten mit Angabe der benutzten Sätze kann noch lückenhaft und mit Bezug auf Beweisfiguren geschehen.

iii. Stufe des formalen Schließens , auf der das Beweisen vorrangig oder ausschließlich dem Aufbau einer deduktiven Theorie dient. Ziel ist ein lückenloser Beweis, bei dem jede Beweiszeile entweder eine Voraussetzung ist oder aus vorangegangenen Beweiszeilen folgt.

Selbstverständlich werden diese Stufen im Unterricht nicht streng getrennt. Die Schüler werden, der jeweiligen Situation angepasst, durch Mischformen in das Beweisen eingeführt. Zumal es ja auch nicht damit getan ist, die Schüler möglichst schnell zu einem formal korrekten Beweis zu führen. Elschenbroich stellt dem Mathematiker den Mathematik-Lehrer gegenüber: Für ersteren sei mit dem „q.e.d.“ am Ende eines Beweises das Ziel erreicht, während es für den Lehrer dann noch weiter gehe. „Ein Aufarbeiten und Vertiefen des Beweises, Betrachten von Spezialfällen und Verallgemeinerungen, Wiedererkennen in anderen

¹² Hans-Wolfgang Henn: Computergestütztes Problemlösen in der Geometrie. S. 25

¹³ Vgl. Hein Schumann: Satzfindung durch kontinuierliches Variieren geometrischer Konfigurationen mit dem Comp uter als interaktivem Werkzeug. S. 22; Hans-Wolfgang Henn: Comp utergestütztes Problemlösen in der Geometrie. S. 25

¹⁴ Hans-Wolfgang Henn: Computergestütztes Problemlösen in der Geometrie. S. 25

¹⁵ Vgl. Gerhard Holland: Geometrie in der Sekundarstufe. S. 56ff.

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Zusammenhängen, Benutzen für Folgerungen, Anwenden in Sachzusammenhängen, Einordnen in ein Geflecht von Beziehungen, all das muss getan werden.“ 16

1.2. Entdeckendes Lernen

Bei der Erarbeitung mathematischen Wissens sollte also „weniger das Endprodukt als vielmehr der Prozess der Wissensaneignung im Vordergrund stehen.“ ¹⁷ Das Lernen von Mathematik ist umso wirkungsvoller, je mehr es durch eigene aktive Erfahrungen betrieben wird, „je mehr Fortschritt im Wissen, Können und Urteilen des Lernenden auf selbständigen entdeckerischen Unternehmungen beruht.“ ¹⁸ Ausubel betont, dass verschiedene kognitive und motivationale Faktoren das Lernen, Behalte n und die Übertragbarkeit von potentiell sinnvollen Ideen, die auf dem selbständig entdeckenden Weg gelernt wurden, deutlich erhöhen ¹⁹ , nicht zuletzt wegen der hohen emotionalen Besetzung der Findungsbemühungen bleiben Inhalte länger und besser präsent. Des Weiteren sind zentrale Qualifikationen, die heutzutage in Studium und Berufsleben und auch in anderen Bereichen der Gesellschaft gefordert werden, Selbsttätigkeit, Teamfähigkeit, Projekt- und Produktionsbezogenheit, Organisationstalent sowie Selbstreflexion. ²⁰ Das Sammeln eigener Erfahrungen und das selbständige Entdecken von Beziehungen und Gesetzmäßigkeiten trainieren heuristische Fähigkeiten, was die Leistungsfähigkeit beim Problemlösen und die Kreativität der Schüler verbessert. ²¹ Alles Gründe, die für offenere Formen des Unterrichts und dabei insbesondere für das entdeckende Lernen sprechen.

Holland folgend versteht man unter entdeckendem Lernen (oder auch: gelenktem Entdeckungslernen) eine mehr oder weniger vorstrukturierte Lernsituation, die dem Schüler Gelegenheiten zur Realisierung von Prozesszielen des Entdeckens geben soll. ²² Allerdings kann entdeckendes Lernen auch zur Realisierung von Inhaltszielen eingesetzt werden, wie etwa der Kenntnis einer Definition oder eines Satzes. ²³ Dabei unterscheidet man vier Methoden: 24

i. Induktive Satzfindung mit anschließender Lösung des Beweisproblems , wobei das Entwickeln von Satz und Beweis deutlich voneinander getrennt sind. Zuerst entdecken die Schüler den Satz und formulieren ihn als Vermutung, danach wird der Beweis des Satzes gefunden und seine Allgemeingültigkeit begründet. Diese Methode leistet einen Beitrag zu den Fähigkeiten, Beispiele zu generieren und Vermutungen zu äußern, eine Vermutung auf Allgemeingültigkeit zu überprüfen sowie ein Bewei sproblem zu lösen. Ihre Anwendbarkeit hängt wesentlich von der Leistungsfähigkeit der Kla sse ab. ii. Satz- und Beweisfindung durch Analyse einer geometrische Konfiguration nach einem vom Lehrer vorgegeben Aspekt, wobei die Beweisfigur im Laufe des Beweises nicht ergänzt zu werden braucht. Bei

¹⁶ Hans-Jürgen Elschenbroich: Dynamische Geometrieprogramme: Tod des Beweisens oder Entwicklung einer neuen Beweiskultur? S. 495

¹⁷ Hans-Georg Weigand: Der Computer und die Wiederbelebung der Geometrie. S. 196

¹⁸ Heinrich Winter: Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht. S. 1

¹⁹ David P. Ausubel: Entdeckendes Lernen. S. 34

²⁰ Vgl. Arno Lergenmüller: Offenere Formen des Unterrichts. S. 6

²¹ Vgl. Hans-Georg Weigand: Der Computer als heuristisches Hilfsmittel im Mathematikunterricht. S. 149

²² Vgl. Gerhard Holland: Geometrie in der Sekundarstufe. S. 133ff.

²³ Vgl. Gerhard Holland: Geometrie in der Sekundarstufe. S. 4

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dieser Methode werden insbesondere die Prozessziele des Beweisens gefördert, nämlich die Fähigkeiten, nach Anweisungen eine Konfiguration zu zeichnen - sofern nicht als Arbeitsblatt vorgegeben -, Teilkonfigurationen innerhalb einer gegebe nen Konfiguration zu entdecken, bekannte Sätze zur Argumentation heranzuziehen, einen entdeckten Zusammenhang zu formulieren sowie eine Argumentation auf Allgemeingültigkeit zu überprüfen. Sie ist geeignet, wenn die Kenntnis des Beweises ein zusätzliches Inhaltsziel ist.

iii. Satz- und Beweisfindung durch Lösen eines Berechnungsproblems , dessen allgemeine Lösung den Satz liefert. Dabei wird zunächst ein spezielles Berechnungsproblem gelöst, die Einführung von Variablen führt zur allgemeinen Lösung. Durch geeignete Wahl der geometrischen Konfiguration lässt sich der Schwierigkeitsgrad variieren. Diese Methode liefert einen Beitrag zu den Fähigkeiten, spezielle Berechnungsprobleme zu lösen und ein spezielles Berechnungsproblem durch Einführung von Variablen zu verallgemeinern.

iv. Satz- und Beweisfindung durch Lösen eines Konstruktionsproblems , was für diese UE nicht zutrifft.

Selbständiges Arbeiten erfordert ein „ständiges Absuchen und Umorganisieren des vorhandenen Wissens und stellt somit eine intensive und sinnerfüllte Form des Übens dar“ ²⁵ , wodurch insbesondere die Fähigkeit zum Transfer trainiert wird, was in der Mathematik den Lernerfolg wohl am deutlichsten zum Ausdruck bringt. Dadurch erhält der Schüler Einsicht in den Stoff, Scheinleistungen - wie das Auswendigle rnen eines unverstandenen Algorithmus’ - werden begrenzt, das Lernen wird „intellektuell sowohl ökonomischer als auch wirkungsvoller“ ²⁶ .

Das selbständige Arbeiten ermöglicht intellektuelle und emotionale Identifikation. Das bedeutet alle rdings, dass es auch zu Misserfolgserlebnissen kommen kann, die sich „oftmals tiefer ins Gedächtnis brennen als positive Erfahrungen“ ²⁷ , wie Winter warnt. Außerdem erfordert diese Methode eine gewisse Neugier des Schülers, und die muss bei manchen sicherlich für mathematische Probleme erst geweckt werden, was u.a. durch Realitätsbezug erreicht werden kann. Außerdem ist die Methode des entdeckenden Lernens zeitaufwendig, sie setzt solides Wissen voraus und sie begünstigt Lernende mit komplexen intellektuellen Fähigkeiten. ²⁸ Trotz der unbestrittenen Vorteile des entdeckenden Lernens lassen es insbesondere Zeitnot ²⁹ und Stofffülle nicht zu, den Unterricht durchgängig im Sinne des entdeckenden Lernens zu strukturieren. So werden auch traditionelle Unterrichtsverfahren nach wie vor ihre Bedeutung haben, denn gerade lehrerzentrierte Formen der Informationsvermittlung können „den zeitlichen Raum freilegen für schülerzentrie rte und zeitintensivere Formen.“ ³⁰ Auch kann ein Schüler nur schwer die Bedeutung eines Inhaltes für das Folgelernen abschätzen, weshalb der Lehrer eventuell die Bede utung hervorheben sollte, allerdings ohne

²⁴ Vgl. Gerhard Holland: Geometrie in der Sekundarstufe. S. 142ff.

²⁵ Heinrich Winter: Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht. S. 2

²⁶ Heinrich Winter: Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht. S. 1

²⁷ Heinrich Winter: Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht. S. 2

²⁸ Vgl. Volker Hole: Erfolgreicher Mathematikunterricht mit dem Computer. S. 288

²⁹ Dazu zähle ich in diesem Zusammenhang auch die Zeit, die man eventuell leistungsschwächeren Schülern widmen müsste, die mit dieser Methode nicht zurecht kommen.

³⁰ Arno Lergenmüller: Offenere Formen des Unterrichts. S. 10

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zuviel vorwegzunehmen. ³¹ Deshalb wird auch in dieser UE nicht ausschließlich entdeckendes Lernen praktiziert. Daneben wird Unterrichtsstoff mitunter darbietend vermittelt - wenn auch in deutlich geringerem Umfang -, und es gibt ausgiebige Übungsphasen, in denen der Stoff angewendet, transferiert und gefestigt wird. Durch geeigneten Methoden- und Medie nwechsel wird auch den verschiedenen Problemen Rechnung getragen, die die Schulstruktur mit sich bringt: unflexible 45-minütige Stunden, fachliche Ansprüche des Lehrplans, Akzeptanz bei Kollegen, Eltern und Schülern, notwendige Materialien, technische Ausstattung, Anforderungen an den Ordnungsrahmen und Erfassung der individuellen Lei stungen. Schließlich gilt es auch, sich über den Einsatz geeigneter Medien klar zu werden. Denn die Schwächen des induktiven Satzfindungsprozesses mit herkömmlichen Werkze ugen bestehen u.a. in • zeitaufwendigen, oft ungenauen Konstruktionen einer genügend großen Anzahl von Repräsentanten der den Satz betreffenden Konfiguration,

• aufwendigen und ungenauen Messungen und Berechnungen (selbst mit dem Taschenrechner) sowie • statischen Konstruktionsergebnissen (die nur in der Vorstellung beweglich gemacht werden können). ³² Nicht nur diesen Schwierigkeiten kann durch den sinnvollen Einsatz des Computers begegnet werden.

1.3. Einsatz des Computers

Der Computereinsatz ist aus vielerlei Gründen aus der Mathematik nicht mehr wegzudenken. Neben der Tatsache, dass die Schule einen Bildungsauftrag auch in der Heranführung an neue Medien und insbesondere den Computer hat, sprechen die vielfältigen Möglichkeiten dieses Mediums, wie Interaktivität, Dokumentationsfähigkeit, Reversierbarkeit und die Fähigkeit zur Anpassung an die Bedürfnisse jedes Lernenden, für den Computereinsatz. Nicht unbegründet warnen Skeptiker (und Realisten), dass man gründlich überlegen müsse, „welche Lernziele und Inhalte mit Rechnereinsatz besser als mit herkömmlichen Methoden erreicht werde n können.“ ³³ Der Computer kann Fähigkeiten übernehmen, die menschlichen Geistesleistungen zugerechnet werden, ³⁴ doch soll er im Mathematikunterricht keine Denkprozesse abnehmen, sondern ganz im Gegenteil neue Möglichkeiten des Wissenserwerbs ermöglichen. Trotz der Bereicherung des Schulalltags und der Unterrichtsgestaltung darf man also die Rolle des Rechners „als bloßes Hilfsmittel“ ³⁵ nicht außer Acht lassen. Sein Einsatz darf keineswegs zum Selbstzweck im Sinne eines vermeintlich progressiven Aktionismus’ verkommen, er muss als bereicherndes „Werkzeug des Geistes im Dienste der Mathematik“ ³⁶ betrachtet werden. So werden auch die klassischen Geometriemethoden nicht unbedingt ersetzt, sondern ergänzt nach der Maxime, „zu jedem Unterrichtsstoff das am besten geei gnete Werkzeug zu verwenden.“ 37

³¹ Heinrich Winter: Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht. S. 3

³² Vgl. Hein Schumann: Satzfindung durch kontinuierliches Variieren geometrischer Konfigurationen mit dem Comp uter als interaktivem Werkzeug. S. 23

³³ Hans-Wolfgang Henn: Computereinsatz im Geometrieunterricht. S. 7

³⁴ Vgl. Horst Hischer: Mathematikunterricht im „Bannkreis des Computers“ - oder: Wohin führt uns der Computer? S. 9

³⁵ Rudolf Taschner: Der Computer im Mathematikunterricht - ein gelobtes Land? S. 459

³⁶ Hans-Wolfgang Henn: Computereinsatz im Geometrieunterricht. S. 5

³⁷ Hans-Wolfgang Henn: Computereinsatz im Geometrieunterricht. S. 5

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Der Lehrer muss also weder in blinder Euphorie noch mit kaltschnäuziger Ablehnung den Computereinsatz abwägen. „Die optimale Haltung ist die sowohl von einfühlsamer Neugier als auch von gesunder Zurückhaltung getragene Gelassenheit.“ ³⁸ In diesem Sinne ist auch diese UE geplant, nicht um eine Modelleinheit für den totalen Computereinsatz zu präsentieren, sondern um den Rechner als effektives Werkzeug einzusetzen, mit Hilfe dessen den Schülern mathematische Inhalte, Denk- und Vorgehensweisen sowie Problemlösestrategien effektiv vermittelt werden. Ein nicht unerwünschter Nebeneffekt ist selbstverständlich, dass die Schüler durch implizites Lernen ³⁹ den Umgang mit der Software und dem Medium Computer verinnerlichen. Und nicht zu vernachlässigen ist der Effekt des PC-Einsatzes als extrinsischer Motivationsreiz für die Schüler, die hauptsächlich mit dem „den Mathematikunterricht beherrschende[n] Medium Schulbuch“ ⁴⁰ arbeiten und sich daher über einen abwechslungsreichen Einsatz anderer, insbesondere neuer Medien freuen.

1.4. Dynamische Geometriesoftware: Euklid DynaGeo

„Es gibt nur wenige Stellen im Mathematikunterricht, an denen der Rechnereinsatz sinnvoll ist“ ⁴¹ , behauptet Henn recht skeptisch. In einem Gebiet der Mathematik gibt es jedoch eine breite Basis von Befürwortern des Computereinsatzes: der zweidimensionalen Elementargeometrie, die sich für heuristisches Arbe iten geradezu anbietet. Speziell liefert hier die Dynamische Geometriesoftware ⁴² unschätzbare Vorteile, die anhand des in dieser UE eingesetzten Programms „Euklid DynaGeo“ ⁴³ kurz erläutert werden sollen. Euklid ist ein Computerprogramm zur beweglichen Geometrie, das die Erstellung von dynamischen Zeichnungen ermöglicht, d.h. Zeichnungen, in denen Punkte nachträglich variiert werden können, ohne dass dabei festgelegte Zusammenhänge zwischen den geometrischen Objekten verloren gehen. Das Untersuchen von beweglichen Figuren ist ein alter Ansatz in der Geometrie, der zuerst in Gedanken und in Folgen einzelner Zeichnungen erfolgte , später in Trickfilmen umgesetzt wurde und nun durch die DGS eine neue Qualität erhält. ⁴⁴ Zum Einen lassen sich Zeichnungen spielerisch leicht variieren, zum Anderen ist DGS ein interaktives Medium, das die Schüler „geradezu herausfordert, eigentätig zu werden“ ⁴⁵ , Vermutungen aufzustellen und zu überprüfen ⁴⁶ .

Ein großer Vorteil der DGS ist die Visualisierung von Problemen und Prozessen, die Bildschirmausgabe kann als „Lenker von Denkprozessen“ ⁴⁷ fungieren. Durch die Verwendung von graphisch visualisierten Handlungsvorstellungen wird der Aufbau von Handlungsschemata erleichtert, da fast alle Begriffe und Operationen sinnlich vorhanden sind. Was sich bisher vor dem inneren Auge bewegen musste, kann nun

³⁸ Rudolf Taschner: Der Computer im Mathematikunterricht - ein gelobtes Land? S. 459

³⁹ Vgl. Gislinde Bovet: Lernpsychologie für die Schule II: Wissenserwerb und Problemlösen. S. 159

⁴⁰ Jürgen Schmidt: Individualisiertes Lernen im Mathematikunterricht der Orientierungs- und der Sekundarstufe I. S. 32

⁴¹ Hans-Wolfgang Henn: Computereinsatz im Geometrieunterricht. S. 8

⁴² im Folgenden: DGS

⁴³ im Folgenden: Euklid

⁴⁴ Vgl. Hans-Jürgen Elschenbroich, Günter Seebach: Dynamisch Geometrie entdecken. S. 9

⁴⁵ Hans-Jürgen Elschenbroich, Günter Seebach: Dynamisch Geometrie entdecken. S. 9

⁴⁶ was natürlich noch kein Beweis ist, auf jeden Fall aber eine wichtige vertrauensbildende Maßnahme. Und im negativen Fall hat der Schüler selbst das Gegenbeispiel produziert und kann es beliebig wiederholen oder variieren.

⁴⁷ Gert Kadunz: Computereinsatz im Geometrieunterricht. S. 196

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sichtbar gemacht werden. „Klassische Sätze der Schulgeometrie erfährt man im Zugmodus als Invaria nzen, das Ausprobieren und Überprüfen von Vermutungen im Zugmodus wird zum fundamentalen Be-standteil des Unterric htens.“ 48

DGS erlaubt es in der heuristischen Phase, im sog. „Zugmodus“ viele verschiedene Konfigurationen einer geo-metrischen Situation zu studieren und so Vermutungen zu finden, zu testen, zu falsifizieren oder zu erhärten. ⁴⁹ Ist die Vorstellung erst einmal vorhanden, fällt auch das abstrakte Beweisen um einiges leic hter. Das Beobachten von Spezialfällen - was ja jede einzelne Konstruktion, ob dynamisch variierbar oder nicht, tatsächlich ist -, das Erkennen von Besonderheiten, das Äußern von Vermutungen, die Diskussion und schließlich die mathematische Bewei sfindung und damit Verallgemeinerung - das ist die typische Vorgehensweise auf dem Weg zu neuen mathematischen Erkenntnissen.

Uneins ist man sich allerdings in der Frage, wie sich DGS auf die Einsicht der Schüler in Beweisnotwendigkeiten auswirkt. Einwände gegen DGS-Programme, dass sie „wegen der Suggestivkraft des Bildschirms das subjektive Beweisbedürfnis schmälern“ ⁵⁰ oder gar dass „sich die perfekte Darstellung mathematischer Sachverhalte durch den Computer auf die Entwicklung der Argumentationsfähigkeit eher negativ auswirkt“ ⁵¹ , sind sicher nicht von der Hand zu weisen. Dem kann etwas plakativ entgegnet werden, dass auch ohne Computer viele Schüler kein Beweisbedürfnis haben. ⁵² Doch die Suggestivkraft der Computerdarstellung kann auch positiv genutzt werden, um die Schüler gerade in der Einführung in das Beweisen an die Vorgehensweise zu gewöhnen. Manche Schüler bekommen auch erst ein Bewei sbedürfnis, wenn sie selbst auf einen Zusammenhang stoßen, durch geeignete Beispiele kann man „zu Vorsicht vor scheinbar Evidentem“ ⁵³ mahnen.

Beim Einsatz von DGS darf es jedoch keineswegs darum gehen, auf einer experimentellen Stufe des Wissenserwerbs stehen zu bleiben, sondern die Frage nach den Gründen muss gestellt werden. Die Möglic hkeiten des Zugmodus’ erlauben es, statt einer einzelnen Zeichnung eine unendliche Klasse von Zeichnungen zu untersuchen, was weit über die Möglichkeiten der Visualisierung einer einzelnen Zeichnung hinausgeht. „In der Folge der Bilder, die im Zugmodus erzeugt werden, kann ein Beweis als eine Geschichte in Bildern erzählt werden“ ⁵⁴ , was für Elschenbroich und Seebach „ein präformales, aber vollgültiges Beweisen“ ⁵⁵ ist. Für die Zukunft sieht Elschenbroich, dass viele offensichtliche Sätze kaum noch bewiesen würden, ebenso viele Sätze, deren Gültigkeit man im Zugmodus der DGS als Invarianz erlebe. Es entstehe „kein Schaden, wenn man offensichtliche Invarianzen als offensichtlich akzeptiert und die Zeit nutzt, tiefergehenden Fragen auf den Grund zu gehen.“ ⁵⁶ So werde durch den PC-Einsatz in Zukunft das Beweisen

⁴⁸ Hans-Jürgen Elschenbroich: Dynamische Geometrieprogramme. S. 494

⁴⁹ Hans-Wolfgang Henn: Computergestütztes Problemlösen in der Geometrie. S. 27

⁵⁰ Dieter Rüthing: Experimentell-funktionales Lösen von Geometrieaufgaben mit EUKLID. S. 463

⁵¹ Volker Hole: Erfolgreicher Mathematikunterricht mit dem Computer. S. 95

⁵² Vgl. Hans-Wolfgang Henn: Computergestütztes Problemlösen in der Geometrie. S. 27

⁵³ Hans-Wolfgang Henn: Computergestütztes Problemlösen in der Geometrie. S. 27

⁵⁴ Hans-Jürgen Elschenbroich, Günter Seebach: Dynamisch Geometrie entdecken. S. 9

⁵⁵ Hans-Jürgen Elschenbroich, Günter Seebach: Dynamisch Geometrie entdecken. S. 9

⁵⁶ Hans-Jürgen Elschenbroich: Dynamische Geometrieprogramme. S. 496

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mehr auf einem „Niveau des plausiblen Begründens als auf dem des formalen Schließens“ ⁵⁷ stattfinden, schnell können zahlreiche Beispiele sowie Sonderfälle oder Gegenbeispiele erzeugt und visualisiert werden. 58

Henn bringt die Problematik aus der Sicht des Mathematiklehrers auf den Punkt: Ihm ist „ein Schüler lieber, der z.B. durch Computerexperimente selbst gewisse mathematische Zusammenhänge entdeckt hat. Er benötigt dann vielleicht keinen ‚richtigen’ Beweis mehr dafür, weiß aber die Zusammenhänge auch nach einem halben Jahr noch. Was hat dagegen ein Schüler Mathematisches geleistet, der nichts selbst entdeckt hat, die Beweise über sich hat ergehen lassen und nach zwei Tagen auch schon alles vergessen hat?“ ⁵⁹ In der Planung dieser UE werden die verschiedenen Aspekte berücksichtigt und die DGS in möglichst effektiver Weise eingesetzt, so bei der Heranführung an das Beweisen durch Formulierung von Vermutungen und deren deduktiver Bestätigung, bei selbständiger induktiver Satzfindung, bei der Einführung neuer Definitionen und auch in den Übungsphasen, wobei reine Evidenz-„Beweise“ nicht zugelassen werden. Neben dem Computer kommen auch das klassische Medium Tafel - besonders wenn es darum geht, gemeinsam eine Aufgabe an der Tafel zu entwickeln und fortzuführen ⁶⁰ - und Folien - v.a. bei der Hausaufgabenbesprechung - zum Einsatz.

2. Planung der Unterrichtseinheit

2.1. Sachanalyse

Die Sätze für Winkel an Parallelen stellen eine grundlegende Voraussetzung für die Arbeit mit Dreiecken (und damit auch anderen geometrischen Figuren) dar. Mit ihrer Hilfe können wichtige Sätze, wie der Winkelsummensatz und der Satz des Thales, hergeleitet werden. ⁶¹ Die Identität der Maße von Stufenwinkeln an Parallelen kann durch eine Verschiebung, die die Schüler in Klasse 6 behandelten, bewiesen werden. Mit diesem Wissen und den bisherigen Kenntnissen von Winkeln kann schließlich der Satz von Wechselwinkeln an Parallelen hergeleitet werden. Mit Hilfe dieser beiden Sätze lässt sich die Summe der Inne nwinkel im Dreieck bestimmen, woraus weiterhin die Winkelsumme jedes Polygons und insbesondere des Vierecks folgen. Die Winkelsumme komplexerer Polygone als dem Viereck sowie der Außenwinkel eines Dreiecks eignen sich sehr gut zur Übung und Anwendung und dem Prozessziel des Problemlösens.

2.2. Didaktische Analyse

Der Bildungsplan für Gymnasien des Landes Baden-Württemberg fordert für die 7. Klassen im Fach Mathematik als Lernziel des Arbeitsbereiches „Geometrische Grundkonstruktionen“, dass die Schüler durch die Beschäftigung mit Figuren geometrische Begriffe wiederholen und festige n und neue Zusammenhänge erschließen. Dabei soll auch die Einsicht in die Notwendigkeit von Beweisen geweckt werden. Fertigke i- ⁵⁷ Hans-JürgenElschenbroich: Dynamische Geometrieprogramme. S. 496

⁵⁸ Dieser sicherlich kontroverse Aspekt soll an dieser Stelle nicht weiter diskutiert werden.

⁵⁹ Hans-Wolfgang Henn: Computergestütztes Problemlösen in der Geometrie. S. 28

⁶⁰ Vgl. Volker Huwendiek: Methodik: Formen der Unterrichtsplanung. S. 51

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ten im Zeic hnen, Sorgfalt und Genauigkeit bei der Anfertigung von Konstruktionen sowie die eindeutige und vollständige Beschreibung von Konstruktionen sollen entwickelt werden. ⁶² All diese Aspekte werden bei der geforderten Behandlung der Sätze von Winkeln an Parallelen sowie der Winkelsummen in Dreieck und Polygon in dieser UE berücksichtigt. Zentrale Anliegen des Erziehungs-und Bildungsauftrags im Fach Mathematik sind das Problemlösen sowie mathematisches Folgern und Beweisen, neue Erkenntnisse sollen durch induktive und anschauliche Verfahren gewonnen werden. Insbesondere sollen die Schüler in der gemeinsamen Entwicklung von Lösungsstrategien sowie im sachbezogenen Dialog geschult werden. ⁶³ Für diese Ziele eignet sich das entdeckende Lernen und in dem Zusamme nhang der Einsatz des Computers.

2.3. Lernziele

Die Schüler lernen die Begriffe Stufen-, Wechsel- und Außenwinkel und als besondere Eigenschaften die Winkelsätze an Parallelen sowie die Summe der Innenwinkel in Dreiecken und Polygonen kennen. Sie wenden diese Kenntnisse an, um in gegebenen Konstruktionen fehlende Winkelmaße, nicht nur mit numerischen Werten, sondern auch abstrakt mit Variablen, sowie die Winkelsumme eines Polygons zu bestimmen. Sie lernen deduktive wie induktive mathematische Vorgehensweisen und wenden diese an, um aus vorhandenem Wissen neue mathematische Erkenntnisse logisch zu folgern, Problemlösestrategien, logisches Denken und mathematisches Verständnis werden durch Beweisführungen sowie verschiedene Anwendungen ausgebildet. Die Schüler trainieren durch angeleitetes bzw. eige nständiges Arbeiten logisch wie auch formal korrektes Beweisen. Durch praktische Anwendungsaufgaben wird die Fähigkeit zum Abstrahieren und Modellieren geschult.

Durch die Arbeit mit dem Computer und insbesondere mit dem Programm Euklid DynaGeo lernen die Schüler den sinnvollen und sachgerechten Einsatz des Rechners, sie erweitern ihre Medienkompetenz und erlangen Sicherheit im Umgang mit Hard- und Software. Die Anwendung verschiedener Sozialformen, wie Frontalunterricht, Präsentation, Einzel - oder Teamarbeit, trainiert die Schüler in ihrer Methodenkompetenz. Die Arbeit in Zweiergruppen fördert Sozialkompetenz sowie Team- und Kommunikationsfähigkeit. Bei der Präsentation eigener Ergebnisse üben die Schüler den mathematischen Vortrag. Erfolgserle bnisse des Einzelnen wie auch des Teams stärken Selbstbewusstsein und Vertrauen der Schüler in die eigene Leistungsfähigkeit.

⁶¹ Auf eine formal mathematische Darstellung des Sachverhaltes wird hier verzichtet, da in der Darstellung der einzelnen Stunden die mathematischen Beweise aufgeführt werden.

⁶² Kultus und Unterricht. Amtsblatt des Minis teriums für Kultus und Sport Baden Württemberg. S. 214

⁶³ Vgl. Kultus und Unterricht. Amtsblatt des Ministeriums für Kultus und Sport Baden Württemberg. S. 28

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2.4. Methodische Aspekte

2.4.1. Teamarbeit

Wie sich im Laufe der Ausführungen bereits andeutete, beeinflussen sich Methodenwahl und Medieneinsatz wechselseitig. ⁶⁴ Das heißt, mit der Entscheidung, den Computer im Unterricht zu nutzen bzw. den Stoff durch entdeckendes Lernen zu vermitteln, ergeben sich auch Auswirkungen auf die Sozia lformen. Durch die Arbeit an den Rechnern ist eine Einteilung in Zweiergruppen zumindest für diese Phasen bereits vorgegeben, will man die Klasse nicht teilen, was im Normalfall ja nicht möglich ist. Um eine gewisse Konstanz zu wahren und die Vorteile der Teamarbeit zu nutzen, arbeiten die Schüler auch in weiteren Unterrichtsphasen im Zweierteam. Ein Vorteil der Arbeit mit dem Computer ist, dass jeder Schüler seine eigenen Ideen entwickeln und verfolgen kann. Im Zweierteam können sich daraus lebhafte Diskussionen entwickeln, das Arbeitstempo bestimmt innerhalb gewisser Schranken die Gruppe selbst. ⁶⁵ Den Schülern bleibt die Einteilung der Teams selbst überlassen. Erfahrungsgemäß bilden Schüler zumeist Neigungsgruppen von annähernd gleichem Leistungsniveau sowie geschlechtshomogene Zweie rgruppen, was insbesondere Mädchen zugute kommt, die so „besonders am Anfang mehr Sicherheit im Umgang mit dem Computer entwickeln“ ⁶⁶ können. Niederdrenk-Felgner zufolge sollte der Kenntnisstand innerhalb der Gruppen ungefähr gleich sein, also möglichst nicht „Experten“ und „Laien“ zusammen in einer Gruppe, was ein gemeinsames Arbeitstempo ermöglicht. Eine hierarchische Arbeitsteilung, bei der Experten das Vorgehen und die Geschwindigkeit bestimmen und Laien nur mitgezogen werden, muss vermieden werden. ⁶⁷ Das unterschiedliche Lerntempo der einzelnen Gruppen kann durch Zusatzaufgaben ausgeglichen werden.

2.4.2. Weitere Unterrichtsmethoden

Der Computereinsatz - der sowieso nicht die gesamte UE ausmacht - muss sich keineswegs auf rein schü-lerorientierte Unterrichtsformen beschränken. ⁶⁸ So kommen auch in dieser UE verschiedene Sozia lformen und insbesondere auch Mischformen zum Einsatz, je nach Eignung der Methode zur speziellen Unterrichtssituation. Besonders in der Anfangsphase führt der Lehrer in die grundlegenden Funktionsweisen des Rechners und der DGS und auch in die Praxis des Beweisens ein, ehe die Schüler zunehmend selbständig arbeiten können. Im günstigsten Fall kommt es hierbei zum Beobachtungslernen. ⁶⁹ Neben entdeckendem Lernen - nicht nur am Computer - wird auch Frontalunterricht mit darbietenden und entwickelnden Lern-formen praktiziert, was geeignet ist, sachliche Zusammenhänge, Probleme und Fragestellungen aus der Sicht des Lehrers darzustellen, wenn eine allgemeine Orientierungsgrundlage hergestellt, ein neues Wis-

⁶⁴ ganzabgesehen von der Auswahl der Unterrichtsinhalte.

⁶⁵ Vgl. Ulrich Abele: Die Klasse als Gruppe. S. 335ff.; Hans-Wolfgang Henn: Computergestütztes Problemlösen in der Geometrie. S. 26; Hans-Wolfgang Henn: Computereinsatz im Geometrieunterricht. S.7

⁶⁶ Cornelia Niederdrenk-Felgner: Mädchen und Computer. S. 114

⁶⁷ Vgl. Cornelia Niederdrenk-Felgner: Mädchen und Computer. S. 106f.

⁶⁸ Vgl. Volker Hole: Erfolgreicher Mathematikunterricht mit dem Computer. S. 249ff.

⁶⁹ Vgl. Gislinde Bovet: Lernpsychologie für die Schule I: Konditionierungs- und Beobachtungslernen. S. 151f.

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sensgebiet dargestellt, Arbeitsergebnisse gesichert oder Leistungsstände der Schüler überprüft werden sollen. 70

Der Erarbeitung neuer mathematischer Sachverhalte folgen Übungsphasen, in denen sich die Schüler erneut und mehrfach mit dem Gelernten auseinander setzen, es durch einfaches Anwenden festigen und neu eingeführte Verfahren trainieren. Dabei wird der Schwierigkeitsgrad zunehmend gesteigert, wobei zunächst auf komplizierte Bedingungen, wie unübersichtliche Zahlenangaben oder ungewöhnliche geometrische Figuren, verzichtet wird, um in der elementaren Übungsphase nicht unnötig zu verwirren. Aber auch hier ist es Ziel, keine sturen Rechenverfahren zu mechanisieren, sondern Einsicht und Verständnis für mathematische Zusammenhänge zu bewirken. Neben der Hausaufgabe finden diese Übungsphasen im Unterricht statt, was sich nicht auf Stillarbeit beschränkt. Quak zufolge leidet der Übungseffekt nicht, wenn geeignete Aufgaben in Partnerarbeit behandelt werden, allerdings nicht in der Phase des elementaren Übens, sondern dort, „wo das Gespräch über den Lösungsweg innerhalb der kleinen Gruppe weiterhelfen kann“ ⁷¹ , was eine gewisse Komplexität und einen explorativen Charakter ⁷² der zu lösenden Probleme voraussetzt. Einen großen Teil der UE macht Teamarbeit aus, auch bei der Ergebnissicherung agieren die Schüler möglichst im Team. Resultate werden gemeinsam präsentiert, wodurch die Formulierung mathematischer Sachverhalte geübt wird. ⁷³ Davon profitieren nicht nur die Referenten, da die Schüler zum Einen die Denk- und Sprachebene der Mitschüler treffen und zum Anderen Schüler gegenüber Mitschülern eher den Mut haben, Fragen und Probleme zu äußern. ⁷⁴ Natürlich muss der Lehrer hier auf eine gewisse Korrektheit der Darbietung und des Ausdrucks achten, möglichst ohne jedoch zu penibel zu wirken und den Fluss der Präsentation oder - im günstigsten Fall - Schülerdiskussion zu unterbrechen.

2.4.3. Der virtuelle Lernzirkel

Die Lehr- und Arbeitsmethoden im Unterricht sollten so ausgerichtet sein, dass sie die unterschiedlichen Fähigkeiten und Fertigkeiten der Schüler berücksichtigen. Für den Mathematikunterricht bede utet das, Phasen anzubieten, in denen die Schüler ihre mathematische Leistungsfähigkeit selbst einschätzen und erproben, nach ihrem Tempo arbeiten, aus einem Angebot auswählen und die Mathematik als ein Fachgebiet entdecken können, in dem neben der individuellen geistigen Beschäftigung auch die Arbeit miteina nder und der gegenseitige Wissensaustausch beim kreativen, entdeckenden Lernen erwünscht und notwendig ist. ⁷⁵ Diese Aspekte werden in der gesamten UE berücksichtigt, eine Unterrichtsmethode ermöglicht sie alle: der Lernzirkel. Beim klassischen Lernzirkel wird ein Themenbereich in unterschiedliche Teilbereiche portioniert und auf Stationen verteilt, die von den Schülern durchlaufen werden. An den Stationen liegt vorbereitetes Material bereit, mit dessen Hilfe die Schüler selbständig arbeiten können, wobei bei der

⁷⁰ Vgl. Hilbert Meyer: Unterrichtsmethoden. II: Praxisband. S. 183

⁷¹ Die Fundgrube für den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I. S. 138

⁷² Vgl. Monika Schwarze: Geometrie lehren und lernen mit neuen Medien und Technologien. S. 295

⁷³ Vgl. Hans-Jürgen Elschenbroich, Günter Seebach: Dynamis ch Geometrie entdecken. S. 9

⁷⁴ Vgl. Ulrike M. Laumeyer: Lernen durch Lehren - Schüler halten Unterricht. S. 182

⁷⁵ Vgl. Jürgen Schmidt: Individualisiertes Lernen im Mathematikunterricht der Orientierungs- und der Sekundarstufe I. S. 31f.