Hausarbeit im Proseminar Einführung in die Philosophie der Mathematik 2

1. Einleitung

Das Thema dieser Arbeit ist die Rolle, welche die Induktion als wissenschaftliche Methode innerhalb der Mathematik einnimmt. Unter Induktion verstehe ich in diesem Zusammenhang das Sammeln von empirischen Daten über ähnliche Gegenstände, die dann miteinander verglichen und zusammengefasst werden, um zu einer allgemeinen Aussage über diese Gegenstände zu gelangen. Diese Aussage gilt dann nicht nur für die bis dahin untersuchten Gegenstände, sondern auch für alle zukünftigen Gegenstände derselben Art.

Zunächst werde ich den Standpunkt von John Stuart Mill zu diesem Thema darstellen, ihn dann kritisch prüfen und anschließend mit neueren Forschungsergebnissen von Imre Lakatos vergleichen.

Ich weise darauf hin, dass die vorliegende Arbeit nicht von einem Mathematiker geschrieben wurde und ich aus Mangel an Fachkenntnissen daher nicht auf innermathematische Theorien eingehen kann.

Erkenntnistheoretisch aufgeladene Begriffe wie Wahrnehmung, Erfahrung und Realität werde ich zudem unkritisch verwenden und die alltagssprachlichen Bedeutungen nicht weiter in Frage stellen.

2. Rekonstruktion der Position John Stuart Mills

Im zweiten und dritten Buch seines Werkes „System der deduktiven und induktiven Logik“ untersucht John Stuart Mill die Funktionsweise der Induktion, sowie ihre Bedeutung für die Wissenschaften. Am Beispiel der Mathematik möchte er zeigen, dass selbst die so genannten deduktiven Wissenschaften durch Induktion zu ihren Axiomen und Definitionen gelangen. Mill unterscheidet dabei die Disziplinen Geometrie, sowie Arithmetik und Algebra.

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2.1 Geometrie

Anhand der methodischen Vorgehensweise der Geometrie versucht Mill exemplarisch zu demonstrieren, dass die Gewissheit und Notwendigkeit, die man den mathematischen Wahrheiten üblicherweise zuschreibt, auf einer Täuschung beruhen ¹ .

Diese Täuschung folge aus der falschen Annahme, dass sich die Definitionen der Geometrie nicht auf wirklich existierende Gegenstände bezögen, sondern auf bloß ideelle oder mögliche Gegenstände. Auf diese weit verbreitete Annahme reagiert Mill mit der Bemerkung, dass Gegenstände auf die sich geometrische Definitionen wie Punkt, Linie, Kreis und Quadrat beziehen, nicht einmal der Möglichkeit nach auf einer Welt existieren können, auf der die uns bekannten physikalischen Gesetze gelten. 2

Dagegen könne man wiederum einwenden, dass die den Definitionen entsprechenden Gegenstände nicht als physikalische Objekte existieren, sondern als Begriffe in unserem Bewusstsein. Die Geometrie wäre demnach eine apriorische Wissenschaft „[...] deren Gewissheit mit äußerer Erfahrung durchaus nichts zu tun [hätte].“ 3

Diese Einschätzung teilt Mill jedoch nicht, da seiner Meinung nach die Begriffe der Punkte, Linien, Kreise und Quadrate in unserem Bewusstsein Abbilder der beobachteten Punkte, Linien, Kreise und Quadrate der Erfahrungswelt sind, allerdings mit der Einschränkung, dass keine der beobachteten Figuren den geometrischen Definitionen genau entspreche. Die Definitionen betrachtet Mill dabei als „[...] früheste[] und nächstliegende[] Verallgemeinerungen [...] jener natürlichen Gegenstände [...]“ ⁴ . Sie entsprechen den Gegenständen, von denen sie abgeleitet wurden nur annähernd. Allerdings sei diese Annäherung dicht genug, um die Definitionen so zu behandeln als entsprechen sie den Gegenständen genau ohne dass diese Ungenauigkeit ins Gewicht fiele. Sollte die Abweichung zwischen Definitionen und Tatsachen doch einmal zu groß sein, könne man dies ausgleichen, indem man zusätzliche Sätze ⁵ in die Rechnung mit einbezieht.

¹ Wilhelm Büttemeyer (Hg.), Philosophie der Mathematik, S.96

² a.a.O. S.96

³ a.a.O. S.97

⁴ a.a.O. S.97

⁵ a.a.O. S.98

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Bei der Ableitung der allgemeinen Definition aus einzeln beobachteten Phänomenen - der Induktion - und ihrer der jeweiligen Sachlage entsprechenden Modifizierung spielen die Fähigkeiten des Menschen zur Abstraktion und Konzentration ⁶ eine wichtige Rolle: Durch sie sind wir in der Lage, von irrelevanten Eigenschaften der Gegenstände abzusehen und andere Eigenschaften zu übertreiben. Wir können so tun als gäbe es Punkte ohne Ausdehnung, obwohl wir uns Punkte bildlich nur als sehr kleine Teile einer Fläche vorstellen können ⁷ . Dieses Vorgehen bezeichnet Mill als wissenschaftliche Zweckmäßigkeit ⁸ , was deutlich macht, dass er die Mathematik auch als Hilfsmittel oder Instrument betrachtet und nicht als eine Wissenschaft, die absolute Wahrheiten entdeckt. Trotz der Möglichkeit der Abstraktion und Konzentration seien die Definitionen jedoch nicht völlig beliebig, sondern Hypothesen ⁹ über die Wirklichkeit aus der sie abgeleitet wurden, denn es sei nicht erlaubt, den Gegenständen Eigenschaften zuzuschreiben, die sie nicht haben.

2.2 Arithmetik und Algebra

Bevor Mill seine Einschätzung in Hinblick auf den ontologischen Status der Gegenstände der Arithmetik und Algebra erörtert, skizziert und kritisiert er zunächst die Auffassung der Nominalisten. Diese gehen davon aus, dass die Definitionen und Sätze der genannten Disziplinen keinen Bezug zu wirklichen Dingen der Erfahrungswelt hätten, sondern reine Wortumformungen wären. Demnach wäre der Ausdruck „Drei“ eine bloße Vereinfachung des komplizierteren Ausdrucks „Zwei und Eins“ ¹⁰ ohne, dass sich die beiden Ausdrücke dabei auf verschiedene physikalische Tatsachen bezögen. Eine mathematische Gleichung wäre demzufolge nichts weiter als eine Übersetzung des einen Ausdrucks in einen anderen, geregelt durch Konventionen der mathematischen Sprache. Diese Meinung zu vertreten ist laut Mill durchaus verständlich, denn während wir bei einer geometrischen Rechnung beispielsweise die Strecken AB und AC vor unserem

⁶ Mill nennt diese Fähigkeiten nicht so, sondern umschreibt sie.

⁷ a.a.O. S.97

⁸ a.a.O. S.98

⁹ a.a.O. S.99

¹⁰ a.a.O. S.104