II

Inhaltsverzeichnis

Variablen-  und Abkürzungsverzeichnis.  IV

Formelverzeichnis.   VI

1.  Einleitung  1

2.  Der Annuitätenkredit bei jährlicher Zahlung  2

2.1  Berechnung der Annuität, der Laufzeit und der Restschuld  3

2.2  Das Kreditkonto  5

2.3  Die Berechnung des Effektivzinssatzes  6

2.4  Das Vergleichskonto  8

3.  Der Annuitätenkredit bei unterjähriger Zahlung.  9

3.1  Das 2-Phasen Modell der Effektivzinsberechnung  10

3.2  Die Kontoführungsmethoden der ersten Phase  11

3.3  Die Effektivzinsberechnungsmethoden in der zweiten Phase  16

3.4  Vergleich der Methodenkombinationen und der ermittelten Effektivzinssätze.  19

3.5  Wertung der Verzinsungsmethoden.  22

4.  Fazit.  24

Literaturverzeichnis.   26

Anhang   27

A  Dokumentation des Programms REBA- Effektivzinsrechner.  29

1.  Screen Shots des Programms REBA  29

1.1  Der Startbildschirm  29

1.2  Das Hauptfenster.  30

2.  Technische Daten des Programms REBA  31

3.  Ziel und Aufgabe des Programms REBA  31

4.  Start des Programms und die Eingabe der Kreditdaten  31

5.  Berechnung der Zahlungsströme und der Effektivzinssätze.  33

5.1  Berechnung der Abschlusszahlung bzw. der Restschuld.  33

5.2  Ermittlung der Laufzeit.  34

5.3  Berechnung des Effektivzinssatzes  34

6.  Die Ausgabe von Kredit- und Vergleichskonto.  35

B  Abbildungen und Kontenbeispiele  36

C  Variablendefinition zu §6 PAngV (Formel 2 3 1)  48

III

D  Rechenwege  49

Effektivzinsberechnung  Kapitel 3.5 S.23  49

Bei  linearer Verzinsung.  49

Bei  konformer Verzinsung  50

A äquivalente Jahresannuität * A A äquivalente Annuität für den Laufzeitrest

x

AIBD Association of International Bond Dealers AZS Gesamtzahl aller Zahlungsströme BGB Bürgerliches Gesetzbuch EU Europäische Union

( )

Funktion von x x f Effektivzinssatz i

eff i Halbjahreszinssatz

H

i konformer Zinssatz

kon i Nominalzinssatz

nom i Zinssatz der Periode P

P

i relativer Zinssatz

rel

ISMA International Securities Market Association i Tilgungssatz

T

K Darlehenssumme, Restschuld zu Beginn des Jahres 1

0 K Restschuld nach dem Jahre n

n

Logarithmus log m Anzahl der Perioden n Laufzeit * n Anzahl der vollen Jahre P Punkt 1

1

p.a. pro anno (pro Jahr) PAngV Preisangabenverordnung

+ = 1 q i q x R Rente des Jahres n

n

xZS Anzahl der Zahlungsströme nach dem letzten vollen Laufzeitjahr 360TM 360- Tage- Methode

V

ZVTVhj Methode mit nachschüssiger halbjährlicher Zins- und Tilgungsverrechnung ZVTVj Methode mit nachschüssiger jährlicher Zins- und Tilgungsverrechnung

(2.1.1)

(2.1.2)

(2.1.3)

( )

(2.1.4)

(2.1.5)

(2.1.6)

⋅ = (2.1.7) Abschlusszahlung q K A

+ n * 1 *

′

(2.3.1) (2.3.2)

(2.3.3)

(2.3.4)

(3.2.1)

(3.2.2) äquivalente Jahresrate bei nachschüssiger Zahlung

(3.2.3) Restschuldformel 5,5 Jahre Zinsbindung bei der 360- Tage- Methode

VII

(3.2.4) Restschuldformel für die Methode nach Braess

(3.2.5) Restschuldformel für die US- Methode

( )

(3.2.6)

(3.2.7) Restschuldformel für die ISMA- und US- Methode

( )

(3.2.8) Restschuldformel 5,5 Jahre ZVTVj

(3.2.9)

(3.2.10) Restschuldformel 5J 5M m=12 ZVTVhj

(3.3.1)

(3.3.2) modifiziert endwertig Äquivalenzgleichung nach 360TM

(3.3.3) jährliches Äquivalent der Annuitäten des Laufzeitrestes nach 360TM

(3.3.4)

(3.2.5)

1

1. Einleitung

Mit dem Inkrafttreten der Änderung zur Preisangaben- und Fertigpackungsverordnung (PAngV) zum 01. September 2000 wurde in Deutschland ein neues Verfahren zur Berechnung von Effektivzinssätzen in der Kreditwirtschaft eingeführt. Die effektive Verzinsung nach der deutschen PAngV und den europäischen Verbraucherkreditrichtlinien stellt ein Teil der nach dem Bürgerlichen Gesetzbuch (BGB) verlangten Angaben durch den Kreditgeber dar. In § 492 Abs. 1 Nr. 5 BGB ist vorgeschrieben, dass der Kreditgeber dem Kreditnehmer den effektiven Jahreszinssatz bzw. den anfänglichen effektiven Jahreszinssatz anzugeben hat. Ziel des ins BGB integrierten Verbraucherkreditgesetzes ist vorrangig der Verbraucherschutz. Auf Basis dessen dient der in der gesamten Europäischen Union einheitlich zu berechnende Effektivzinssatz als Mittel zum Preisvergleich. Die Notwendigkeit eines einheitlichen Zinssatzes ergibt sich aus der Tatsache, dass den Kreditinstituten bei den Verrechnungsmöglichkeiten der zu zahlenden Zins- und Tilgungsleistungen sehr viel Freiraum gelassen wird und somit einer Vergleichbarkeit der Kreditangebote nicht gewährleistet wäre. Zudem werden im

Effektivzinssatz Disagio und eine Vielzahl weiterer Kosten berücksichtigt. 1 Das Ziel dieser Arbeit ist es, mithilfe eines selbsterstellten Programms Effektivzinssätze für eine Vielzahl von Annuitätenkrediten zu berechnen und eine Vergleichsmöglichkeit für die unterschiedlichen Kontoführungs- und Effektivzinsberechnungsmethoden zu schaffen. Im ersten Teil der Arbeit wird der Annuitätenkredit auf Grundlage jährlicher Zahlungsweise des Kreditnehmers erläutert. Es werden zunächst die notwendigen Formeln zur Berechnung der für die Effektivzinsermittlung relevanten Kreditdaten erarbeitet. Anschließend wird das im Programm verwendete Verfahren zur Bestimmung des Effektivzinssatzes veranschaulicht und auf Basis dessen der Effektivzinssatz sowie alle dafür notwendigen Daten anhand eines Beispieldarlehens berechnet.

Der Hauptteil der Arbeit beschäftigt sich mit den Kontoführungs- und Effektivzinsberechnungsmethoden bei Annuitätenkrediten mit unterjähriger Zahlungsweise des Kreditnehmers. Nachdem Struktur und Auswirkungen der Änderung der PAngV dargestellt werden, folgt die ausführliche Beschreibung der einzelnen Methoden. Dabei wird neben der aktuell gesetzmäßigen Berechnungsmethode auch die alte PAngV- Methode sowie die US-amerikanische Methode zur Effektivzinsberechnung vorgestellt. Im letzten Kapitel der Arbeit wird ein Vergleich der Methodenkombinationen unter Anwendung eines exemplarischen Annuitätenkredites vorgenommen.

1 Vgl. Wimmer, K. / Stöckl-Pukall, E. (1998), S. 32 ff.

2

Die Programmbeschreibung des parallel zu dieser Arbeit entwickelten Computerprogramms REBA sowie sämtliche Beispielabbildungen, die von REBA erstellt wurden, sind im Anhang dieser Arbeit zu finden. Das Programm an sich ist auf der beiliegenden CD-Rom verfügbar.

2. Der Annuitätenkredit bei jährlicher Zahlung

Unter den verschiedenen finanzmathematischen Tilgungsformen ist die Annuitätentilgung der am häufigsten von den Kreditinstituten angewandte Rückzahlungsmodus. Bauvorhaben werden meist mit einem Annuitätendarlehen im Rahmen der Baufinanzierung von den Banken finanziert. Die Annuitätentilgung zeichnet sich durch eine vom Kreditnehmer zu erbringende jährlich gleich bleibende Rate (Annuität) aus, die sowohl einen Tilgungsanteil als auch eine Zinsanteil enthält. Durch die nachschüssig zu zahlenden Leistungen des Kreditnehmers sinkt während des Rückzahlungszeitraumes der Zinsanteil der Annuität. Der Tilgungsanteil wächst hingegen um den ersparten Zinsanteil an. Für den Kreditnehmer ergibt sich ein planbarer und

übersichtlicher Rückzahlungsstrom. 2

Folgendes Diagramm verdeutlicht die Aufteilung einer jährlichen Annuität in Höhe von 750 EUR über 5 Jahre. Die Darlehenssumme beträgt 5.000 EUR bei einem Zinssatz von 10% p.a. (pro Jahr) und einem anfänglichen Tilgungssatz von 5% p.a. zzgl. ersparter Zinsen.

Abbildung Nr.1: Aufteilung der Annuität

Quelle: Eigene Aufstellung.

2 Vgl. Tietze, J. (2002), S. 187.

3

2.1 Berechnung der Annuität, der Laufzeit und der Restschuld Berechnung der Annuität

Die Formel zur Berechnung der Annuität eines Annuitätenkredites leitet sich aus der Schul-dentilgungsformel für die Annuitätentilgung her. Die Anfangsschuld bzw. Darlehenssumme K muss über die Laufzeit vollständig durch die jährlichen Annuitäten getilgt werden. Da die

0

Annuitäten zunächst immer konstant sind, kann zur Aufzinsung der Zahlungsströme die Ren-tenendwertformel verwendet werden. Der Aufzinsungsfaktor setzt sich dabei aus q + 3 (Nominalzinssatz) zusammen. i 1

nom

(2.1.1)

Die Rente R wird durch die Annuität A ersetzt und mit der aufgezinsten Anfangsschuld K

0

gleichgesetzt.

(2.1.2)

Für die Annuität A ergibt sich 4 :

(2.1.3)

In der Finanzmathematik wird diese Form der Annuitätenberechnung als exakte Annuitätentilgung bezeichnet. Im Kreditgeschäft ist es jedoch üblich zusätzlich zum Nominalzinssatz i einen anfänglichen Tilgungssatz ( ) anzugeben. Die daraus resultierende Verfahrensweise

T

5 Die Prozentannuität errechzur Annuitätenberechnung wird als Prozentannuität bezeichnet.

net sich folgendermaßen 6 :

( ) + ⋅ = 0 (2.1.4) i K A

T nom

Berechnung der Laufzeit

Die Laufzeit (n) in Jahren ergibt sich genau wie die Annuität (A) aus der Schuldentilgungs-formel für Annuitätenkredite. 7

Beginnend mit der Schuldentilgungsformel sind folgende Schritte dazu notwendig 8 :

3 Vgl. Tietze, J. (2002), S. 109.

4 Vgl. Hass, O. (2000), S. 140.

5 Vgl. Anhang A Nr. 4. Das Effektivzinsberechnungsprogramm REBA rechnet mit einer Annuität oder

einem Tilgungssatz.

6 Vgl. Locarek, H. (1992), S. 125 ff.

7 Vgl. Anhang A Nr. 5.2 Umsetzung der Laufzeitberechnung in REBA.

(2.1.5)

Die Mehrheit der an Kunden ausgereichten Kredite weist eine gebrochene Laufzeit auf. Es entsteht somit eine Abweichung, da bei einer ganzzahligen Laufzeit gebrochene Raten zu zahlen wären. Aus Vereinfachungsgründen wird dem Kunden über die vollen Jahre eine konstante Annuität berechnet. Es bleibt demzufolge eine geringere Abschlusszahlung zu leisten.

Berechnung der Restschuld

Die Abschlusszahlung wird als Restschuld zum Ende des gebrochenen Jahres betrachtet, wenn der Kreditnehmer seine Leistungen nachschüssig erbringt. Da in der Praxis des Kreditgewerbes generell nachschüssige Zahlungsweise des Schuldners festgelegt wird, soll im weiteren Verlauf der Arbeit ausschließlich von nachschüssigen Zahlungsströmen ausgegangen werden. Es existiert demzufolge bei einer gebrochenen Laufzeit ein Restbetrag nach dem letzten angefangenen Jahr, der in der Schuldentilgungsformel berücksichtigt werden muss.

∗ 9 Für = Anzahl der vollen Jahre ergibt sich folgende Gleichung: n

(2.1.6)

Da im gebrochenen Jahr aber noch Zinsen für die berechnete Restschuld anfallen, werden diese addiert und es errechnet sich die Höhe der Abschlusszahlung. ⋅ = (2.1.7) q K A

+ n * 1 *

Mit der Restschuldformel kann auch die Restschuld des Darlehens zu einem beliebigen Zeitpunkt während der Darlehenslaufzeit berechnet werde. Dieser Aspekt tritt hauptsächlich bei

unterschiedlichen Zinsbindungsfristen in den Vordergrund. 10

8 Vgl. Ihrig, H. / Pflaumer, P. (1998), S. 40.

9 Vgl. Hass, O. (2000), S. 141.

10 Vgl. Anhang A Nr. 5.1 Kalkulation der Restschuld bzw. Abschlusszahlung in REBA.