Die Fourierzerlegung. Grundlagen und Rechenbeispiele


Studienarbeit, 2016

15 Seiten, Note: 1,7


Leseprobe


Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Formelverzeichnis

1. Einleitung
1.1 Begründung der Themenstellung
1.2 Zielsetzung und Aufbau der Arbeit

2. Grundlagen und Begriffsabgrenzung
2.1 Die Fourier-Entwicklung
2.2 Die Approximationseigenschaften

3. Berechnung der Aufgabenstellung
3.1 Fourierzerlegung eines Rechtecksignals
3.2 Berechnung einer Dreieckfunktion aus den Fourierkoeffizienten
3.3 Berechnungen der Spektrallinien

4. Fazit und kritische Reflektion

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: : Darstellung der Ergebnisse aus MATLAB für versch. n

Abbildung 2: Darstellung der Ergebnisse aus MATLAB für die Annäherung an endliche n

Abbildung 3: Darstellung der Dreiecksfunktion

Abbildung 4: Graphikausgabe der fft-Berechnung

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Formelverzeichnis

Formel 1: Fourier-Reihe

Formel 2: Bestimmung der Koeffizienten

Formel 3: Summe Sinusfunktionen

Formel 4: Umstellung Summe Sinusfunktion

Formel 5: Reihenentwicklung für ein periodisches Dreiecksignal

Formel 6:Umstellung der Reihenentwicklung für ein periodischesDreiecksignal

1. Einleitung

1.1 Begründung der Themenstellung

Periodische Vorgänge spielten in der Natur und Technik schon immer eine zentrale Rolle. Dies zeigt sich im Puls von Lebewesen bis hin zu Taktfrequenzen und hat somit ein breites Vorkommen. Es stellt sich als Ausgangspunkt der Ruhezustand dar und verändert sich durch äußere periodische Einwirkung zu einer Schwingung. Insofern es sich in einer harmonischen Schwingung darstellt, kann eine Berechnung mit einer Sinus- oder Kosinusfunktion erfolgen. Jedoch lassen sich nicht alle Schwingungen, z.B. in der Elektrotechnik, mit diesen Methoden berechnen. Hier kommt die Fourierzerlegung / Fouriertransformation zum Einsatz. Es besagt, dass jede periodische Schwingung die Summe harmonischer Schwingungen aus unterschiedlichen Amplituden und Frequenzen darstellen lässt. Somit lässt sich jede periodische Funktion durch Überlagerung unendlich genau darstellen, lösen und wieder auf das Ursprungsproblem zurücktransformieren.[1]

Die Berechnungsmethode wurde nach dem französischen Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier, nach dessen Veröffentlichung seiner Theorie im Jahr 1822, benannt. Jedoch reicht der Ursprung dieser mathematischen Methode bereits in das 18. Jahrhundert zurück.[2]

1.2 Zielsetzung und Aufbau der Arbeit

Das Ziel dieser Arbeit ist es, zum einen die Grundlagen der mathematischen Berechnungsverfahren der Fourierzerlegung zu erarbeiten.Zum anderen soll anhand unterschiedlicher Rechenbeispieleder Nutzen und die Vorgehensweise der Fourierzerlegung aufgezeigt werden. Hierzu werden ein Rechtecksignal, eine Dreieckfunktion und Spektrallinien berechnet. Betreffend der Spektrallinien wird einleitend das Vorgehen zur Berechnung in MATLAB erarbeitet.

Die Ausarbeitung beginnt mit der Grundlagenschaffung für die Fourierzerlegung und der Approximationseigenschaften.Darauf aufbauend erfolgen die Berechnung anhand von einem vorgegebenen Rechenbeispielenmit MATLAB[3] und die Ergebnisse dargestellt und bewertet.

2. Grundlagen und Begriffsabgrenzung

2.1 Die Fourier-Entwicklung

Die Fourier-Entwicklung begann wie bereits einleitend erläuterst im 18 Jahrhundert. Mit Herrn Joseph Fourier nach dem es benannt wurde, bekam dieses eine Verbreitung und zudem war er der Namensgeber. Maßgeblich war seine Theorie zur Wärmeausbreitung in Festkörpern, für welche er den Lösungsansatz mittels der Fourierreihen einsetzte.Heute ist diese Methode in der Mathematik und Physik von großer Bedeutung. Es beschäftigt sich mit dem Problem Funktionen in Kosinus und Sinus zu Entwickeln. Ziel der Fourier-Entwicklung ist eine Funktion mittels trigonometrischer Funktionen darzustellen.[4]

Die Fourier-Entwicklung besteht aus der nachfolgend Funktion der Fourier-Reihe, wie folgt dargestellt:

Formel 1: Fourier-Reihe[5]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Fourier-Reihe verwendet zur Berechnung keine Potenzfunktionen, sondern bildet eine unendliche Reihe aus Sinus- und Kosinusfunktionen. Die Fourier-Koeffizienten stellen die Zerlegung der Funktion in Frequenzteile dar. Zur Bestimmung der Koeffizienten , , erfolgt eine Betrachtung einer Periode von 2π mit dem Bereich von –π bis π, mittels der umgestellten Formeln:[6]

Formel 2: Bestimmung der Koeffizienten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In der Praxis werden diese Koeffizienten mittels der Fourier-Transformation, genauer mit der Fast Fourier Transformation berechnet. Diese Methode findet in dem Kapitel 3.3 seine Anwendung und somit auch Erläuterung.

2.2 Die Approximationseigenschaften

Die Approximationseigenschaft bedeutet, betreffend von trigonometrischen Funktionen, zu welchen die Fourier-Reihen gehören, dass man sich dem Ergebnis bzw. der Lösung annähert. Die Approximation ist in der Mathematik das Synonym für die Näherung an die Lösung. Bei der Funktion der Fourier-Reihe gibt es nicht nur ein Summenglied, sondern es besteht aus mehreren, um sich dem gewünschten Ergebnis der Funktion anzunähern. Die Anzahl der Summenglieder ist in der Praxis nach einer endlichen Anzahl begrenzt, da dies unbegrenzt fortgeführt werden könnte.[7]

3. Berechnung der Aufgabenstellung

3.1 Fourierzerlegung eines Rechtecksignals

Im folgenden Abschnitt erfolgt die Fourierzerlegung eines Rechtecksignals. Hierfür wird mittels MATLAB ein M-File erstellt, welches mittels einer for-Schleife dieses darstellt.[8] Eine for-Schleife ist eine Zählschleife, welche das Programm für verschiedene Werte mehrmals hintereinander automatisch durchläuft. Die Differenz zwischen den Werten muss vorgegeben sein.[9]

Das periodische Rechtecksignal kann durch die folgende Summe von Sinusfunktionen beschrieben werden:

Formel 3: Summe Sinusfunktionen[10]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Funktion kann in die folgende Formel umgestellt werden:

Formel 4: umgestellte Summe Sinusfunktionen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei der Programmierung des M-Files für die Berechnung der Fourierzerlegung des Rechtecksignals mittels MATLAB, sind nachfolgende Daten lt. Aufgabenstellung gegeben:[11]

- Impulshöhe a = 1 (Amplitude der Schwingung)
- Maximale Oberwelle: fend = 100
- Maximaler x-Wert: xend = 10
- x-Inkrement: xstep = 0,01
- testen des Programms für unterschiedliche n: n=1; n=5; n=100

Wie in der Aufgabenstellung gefordert, wird das Skript in drei Teile gegliedert:[12]

- Eingabe der Werte in die Kommandozeile
- Rechnung
- Grafikausgabe

Die Daten aus dem Commando-Fenster in MATLAB stellen sich wie folgt dar:

EDU>>% programmfourier_rechteck.m

EDU>>% Zerlegung eines Rechtecksignals

EDU>>% ************************************

EDU>>% Werte eingeben

EDU>> a=1; % Impulshöhe

EDU>>fend=input('max Oberwelle, Default:100):')

max Oberwelle, Default:100):100

fend =

EDU>>xend=input('max x-Wert, Default:10):')

max x-Wert, Default:10):10

xend =

EDU>>xstep=0.01; % x-Inkrement

EDU>> n1=1; n2=5; n3=100; % Anzahl Summenglieder

EDU>>% ********************************************

EDU>>% Rechnung

EDU>> x=0:xstep:xend;

EDU>> y1=zeros(1,length(x));

EDU>> y2=zeros(1,length(x));

EDU>> y3=zeros(1,length(x));

EDU>>for n=1:n1

y1=y1+sin((2*n-1)*x)/(2*n-1); end

EDU>>for n=1:n2

y2=y2+sin((2*n-1)*x)/(2*n-1); end

EDU>>for n=1:n3

y3=y3+sin((2*n-1)*x)/(2*n-1); end

EDU>>% Normierung 4a/pi

EDU>> y1=(4*a/pi)*y1;

EDU>> y2=(4*a/pi)*y2;

EDU>> y3=(4*a/pi)*y3;

EDU>>% ****************************************

EDU>>% Grafikausgabe

EDU>>plot(x,y1, x,y2, x,y3)

EDU>>xlabel('x')

EDU>>ylabel('y=f(x)')

EDU>>gridon

Die Approximation der Rechteckfunktion ist in der nachfolgenden Abbildung dargestellt. Die drei vorgegebenen Werte n stellen sich farblich wie folgt dar: n=1 in blau, n=5 in grün und n=100 in rot.

Abbildung1: Darstellung der Ergebnisse aus MATLAB für versch. n [13]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wie in der Graphik ersichtlich ist, handelt es sich bei n=1 um eine reine Sinusfunktion. Über die Annäherung von n=1 über n=5 zu n=100 gelang es eine gute Approximation des Rechtecksignals zu erhalten. Jedoch stellt dieses keine ideale Rechteckfunktion dar. Das Problem liegt in der Unstetigkeit der Funktion, welches sich darin zeigt, dass für alle n eine Überschreitung auftritt. Auch mit einer weiteren Erhöhung der Summandenanzahl kann keine Verringerung erzeugt werden. Bei einem Versuch diese zu belegen zeigte die Graphikausgabe dass bei der Berechnung in Richtung endlicher Summanden das Signal nur zunehmend schmaler wird.

[...]


[1] Vgl. Weber, H.; et. al.; (2012); S: 1

[2] Vgl. Hoffmann, J.; et. al; (2002); S. 111

[3] MATLAB® ist ein eingetragenes Warenzeichen von The MathWorks Inc. Und ist ein Numerikprogramm

[4] Vgl. Knorrenschild, M.; (2014); S. 187

[5] Vgl. Goebbels, S.; et. al.; (2013); S. 701

[6] Vgl. Goebbels, S.; et. al.; (2013); S. 702 f.

[7] Vgl. Plato, R.; (2000); S. 33 f.

[8] Vgl. Prof. Dr. Thuselt; Aufgabenstellung für das Studienmodul IMA05; S. 1

[9] Vgl. Bosl, A.; (2012); S. 131

[10] Vgl. ebenda

[11] Vgl. Prof. Dr. Thuselt; Aufgabenstellung für das Studienmodul IMA05; S. 1

[12] Vgl. ebenda

[13] Graphische Ergebnisausgabe der Berechnungen aus MATLAB

Ende der Leseprobe aus 15 Seiten

Details

Titel
Die Fourierzerlegung. Grundlagen und Rechenbeispiele
Hochschule
AKAD University, ehem. AKAD Fachhochschule Stuttgart
Veranstaltung
REG40 - Master of Engineering
Note
1,7
Autor
Jahr
2016
Seiten
15
Katalognummer
V338523
ISBN (eBook)
9783668282407
ISBN (Buch)
9783668282414
Dateigröße
733 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Fourierzerlegung, Fouriertransformation, Periodische Vorgänge, Sinusfunktion, Kosinusfunktion
Arbeit zitieren
Stefan Landfried (Autor:in), 2016, Die Fourierzerlegung. Grundlagen und Rechenbeispiele, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/338523

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