INHALTSVERZEICHNIS

1  EINFÜHRUNG.  1

2  RISIKOMAßE FÜR VERSCHIEDENE FINANZINSTRUMENTE.  2

2.1  Finanzinstrumente am Spotmarkt: Volatilität und LPM  2

2.2  Finanzinstrumente am Derivativmarkt: Greek letters  4

2.3  Finanzinstrumente am Fixed-Income-Markt: Duration und Konvexität.  6

2.4  VaR als aggregierter Risiko-Maß.  7

3  METHODEN DER VAR-BERECHNUNG  9

3.1  Vorgaben: Zeithorizont und Konfidenzniveau.  9

3.2  Varianz-Kovarianz-Methode für Spot-Finanzinstrumente.  10

3.3  Modellbildungsmethode für Derivativen  13

3.3.1  Delta-Normal-Approximation.  13

3.3.2  Delta-Gamma-Approximation  14

3.4  Historische Simulation  15

3.5  Monte-Carlo Simulation.  16

3.6  Vergleich der Berechnungsverfahren.  17

4  BEISPIELE DER VAR-BERECHNUNG  18

4.1  Aktienkursrisiken eines Portfolios  18

4.1.1  Modellbildungsmethode.  18

4.1.2  Historische Simulation  21

4.1.3  Monte-Carlo Simulation.  22

4.2  Aktienkursrisiken eines Portfolios mit Optionen  22

4.2.1  Delta-Normal-Approximation.  22

4.2.2  Historische Simulation  25

4.2.3  Monte-Carlo Simulation.  26

4.3  Zinsrisiken eines Portfolios.  27

4.3.1  Modellbildungsmethode.  27

4.3.2  Historische Simulation  30

4.3.3  Monte-Carlo Simulation.  31

5  ANALYSE DER BERECHNUNGSERGEBNISSE  33

6  FAZIT.  35

ANHANG A.  STATISTIK UND MATHEMATIK  IV

ANHANG B.  R-QUELLCODE.  XIII

LITERATUR  - UND VERWEISVERZEICHNIS.  XIV

I

SYMBOLVERZEICHNIS

“Quadratwurzel”-Matrix aus Cholesky-Zerlegung A A, A Fairer Wert einer Anleihe a Elemente der “Quadratwurzel”-Matrix a Konstante B, B Diskontierungsfaktor bpv, bpv, BPV Basis-point-value b Konstante C, C Kupon einer Anleihe C Konvexität einer Anleihe c Preis einer Call-Option c Wert der Wahrscheinlichkeit CF Cash Flow CL Confidence level (Konfidenzniveau) Corr(·) Korrelation Cov(·) Kovarianz D Duration einer Anleihe d Unendlich kleine Änderung eines Parameters det Determinante einer Matrix E(·) Erwartungswert e Exponente f(·) Beliebige Funktion f(·) Dichte-Funktion f(·) Pay-Off-Funktion einer Option F(·) Verteilungsfunktion G Sensitivitätskennzahl einer Option (Greek letter) i Nummer der Matrixzeile oder Nummer der Beobachtung j Nummer der Matrixspalte k Nummer der Simulation K Strike-Preis einer Option M Gesamte Anzahl der Marktparameter m Nummer des Marktparameters N Gesamte Anzahl der Beobachtungen (oder Parameter) N(·) Normalverteilung

II

n Nummer einer Beobachtung p(·) Dichte-Funktion P(·), p(·) Wahrscheinlichkeit p Preis einer Put-Option P, P Aktienpreis q Quantil einer Verteilung R, R Diskrete Rendite (auch allgemeine Bezeichnung beliebiger Renditen)

~

Kontinuierliche Rendite R r Risikoloser Zinssatz s Empirische Standardabweichung s ² Empirische Varianz S Spotpreis (Preis des Underlying) T Fälligkeitsdatum oder Prognoseperiode in der Zukunft T Gesamte Anzahl der Perioden (Beobachtungszeitraum) t Nummer der Periode oder heutige Periode tr Trace einer Matrix Eigenwektor einer Matrix v V Wert eines beliebigen Derivaten Var(·) Varianz VaR Value-at-Risk W, W Absolutes Gewicht einer Portfolioposition w, w Relatives Gewicht einer Portfolioposition x, X Zufallsvariable und ihre Realisation y, Y Zufallsvariable und ihre Realisation Y, Y Absolutes Gewicht des Delta-Äquivalentes y, y Relatives Gewicht des Delta-Äquivalentes y, y Zinssatz

~

y Einheitszinssatz eines Portfolios z, Z Standardnormalverteilte Zufallsvariable und ihre Realisation Z Fairer Preis einer Null-Koupon-Anleihe (eines Zero-Bonds) α Wahrscheinlichkeit α Quantil einer Standardnormalverteilung α Konstante in der Taylor-Approximation β Parameter bei erster Variablen in der Taylor-Approximation γ Parameter bei zweiter Variablen in der Taylor-Approximation Γ, Γ Gamma-Kennzahl einer Option, Gamma-Matrix

III

~

Modifiziertes Gamma Γ δ Absolute Änderung eines Parameters Delta-Kennzahl einer Option, Delta-Vektor ∆, ∆

~

Modifiziertes Delta ∆ ∂ Differenzierungssymbol ∂ Relative Änderung eines Parameters Λ Vega-Kennzahl einer Option λ Eigenwert einer Matrix µ, µ Mittelwert

µ ~ µ , n n-tes Verteilungsmoment und n-tes zentiertes Verteilungsmoment

n

π Pi-Wert π Realisation eines Portfoliowertes als einer Zufallsvariablen Π Portfoliowert ρ Rho-Kennzahl einer Option σ Standardabweichung σ ² Varianz σ ij Kovarianz Σ Varianz-Kovarianz-Matrix Θ Theta-Kennzahl einer Option φ(·) Dichte-Funktion einer Normalverteilung Φ(·) Verteilungsfunktion einer Normalverteilung ψ, ψ, Ψ Beliebiger Marktparameter Szenariovektor, Szenariomatrix ω, Ω ~ wird verteilt als ^T , ′ transponiert € Euro $ US Dollar ^* „Stern“ - Bezeichnung des zukünftigen (oder simulierten) Wertes ^* „Stern“ - Bezeichnung eines Cut-Off-Wertes ^ „Dach“ - Bezeichnung eines geschätzten Wertes ~ „Tilde“ - Bezeichnung eines modifizierten oder transformierten Wertes ′ „Strich“ - Bezeichnung eines zukünftigen Wertes ′ „Strich“ - Bezeichnung einer Ableitung − „Quer“ - Bezeichnung eines Mittelwertes

IV

1 EINFÜHRUNG

Es sind schon mehrere Jahre vergangen, seitdem ein neuer Aspekt der Unternehmensführung - RiskManagement - entwickelt wurde. Unter Risiko im Sinne der Entscheidungstheorie versteht man die Wahrscheinlichkeit eines Verlustes (oder Nichteintretens eines Gewinns). Eine alternative Definition des Risikos ist die negative Abweichung der tatsächlichen Konsequenzen einer Entscheidung von geplanten Konsequenzen ¹ .

Die Unternehmenserwartungen stimmen mehr oder weniger oft mit der Realität nicht überein. Die Tätigkeit aller Gesellschaften ist also mit dem Risiko verbunden. Insbesondere im Falle der Banken, die die Finanzgeschäfte betreiben, haben Kreditrisiken sowie Marktrisiken eine große Bedeutung. Diese beiden Risiko-Arten entsprechen den zwei größten Richtungen der Banktätigkeit: Commercial Banking (Kreditgeschäfte) und Investment Banking (Operationen mit den Finanzinstrumenten auf den Finanzmärkten).

Je mehr die Banken auf den Finanzmärkten agieren, desto größer ist die Notwendigkeit, die Marktrisiken zu erfassen und zu verwalten. Marktrisiken entstehen bei den unerwarteten Veränderungen von Marktparametern, die einen negativen Einfluss auf die Werte der Banken-Aktiva aufweisen. Im Rahmen dieser Arbeit werden Aktienkursrisiken und Zinsrisiken als die typischen Risikoarten auf dem Finanzmarkt beschrieben.

Das Prozess des Risk Management gliedert sich in der Praxis in drei Komponenten: Risikoidentifikation, Risikoquantifizierung und Risikosteuerung (Risiko-Management im engeren Sinne). Bei Risikoidentifikation untersucht man, welche Risiken überhaupt entstehen und welche davon im Weiteren als Objekt des Risk Management betrachtet werden. Bei der Risikoquantifizierung werden die Risiken in eine (oder mehrere) Messzahl erfasst. Nachdem man die Risiken quantifiziert hat, werden die Maßnahmen (Risikodiversifizierung, Hedging usw.) entwickelt, die der Risikoreduzierung dienen.

Die vorgelegte Arbeit wird den Problemen der Quantifizierung der Marktrisiken gewidmet. Dieser Teil des Risk Management stellt eine Menge der Alternativen in Messzahlen- und Messtechnikenauswahl dar. Das Ziel der Arbeit ist, die Zusammenhänge des universalen Risikomaßes VaR mit den anderen Kennzahlen zu ermitteln und diese in verschiedensten Berechnungstechniken darzustellen. Als praktisches Instrument für VaR-Berechnung wurde der statistische Packet „R“ benutzt.

Es wird weiter gezeigt, welche übliche Risikoquantifikatoren existieren und in welchen Situationen (für welche Finanzinstrumente) sie verwendet werden sowie warum die Risk Manager den Value-at-Risk präferieren (Abschnitt 2).

¹ Vgl. Hartmann-Wendels/Pfingsten/Weber, 2000, Bankbetriebslehre, 2. Aufl., Springer, S. 541. In Anlehnung an Müllhaut

1980, Einführung in die BWL der Banken, S. 188

1

Im Abschnitt 3 werden die populären Berechnungsmethoden für VaR veranschaulicht und ihre Vor- und Nachteile gegenüber einander diskutiert.

Im Abschnitt 4 werden die erwähnten Techniken an den ausgewählten Beispielportfolios angewendet. VaR wird hier mit so einem Konzept ermittelt, bei dem die charakteristische alternative Risikokennzahl an der VaR-Berechnung teilgenommen hat. Damit lässt sich besser den Zusammenhang zwischen VaR und anderen Maßen erkennen.

Im Abschnitt 5 werden die Ergebnisse der Berechnungen zusammengefasst und analysiert. Die sperrige Information, die allerdings für diese Arbeit relevant ist, wird im Anhang A gesammelt. Hier werden die statistischen Grundlagen und einige komplizierte Methoden erklärt. Die Programmierungscodes zur VaR-Berechnung beim PC wurden im Anhang B beigefügt.

2 RISIKOMAßE FÜR VERSCHIEDENE FINANZINSTRUMENTE

2.1 Finanzinstrumente am Spotmarkt: Volatilität und LPM

Spot-Instrumente sind die Finanzinstrumente, die ein reales Finanzmarkt vertreten und als Underlying eines Derivaten auftreten können. Das sind z.B. Aktien, Währungen, Commodities (Börsenwaren), Edelmetalle usw. Diese Instrumente charakterisieren sich dadurch, dass ihre Preiskurse schwanken im Zeitablauf, und aufgrund dessen die Renditen als relative Preisänderungen entstehen. −

= R

t

Als herkömmlicher Risiko-Parameter für Spot-Instrumente wird in der Portfolio-Theorie die Volatilität der Renditen, d.h. die Neigung zur Veränderung, betrachtet. Als Volatilitätsmaß hat Harry Markowitz zum ersten Mal die Varianz der Renditen um den Mittelwert verwendet ² .

∑ ) ( R Var

R Var

) ( Die Annahme der bestimmten Verteilung der Rendite ist ziemlich restriktiv. Deswegen benutzt man für die Berechnung der Varianz die Beobachtungen aus Vergangenheit. Die Güte dieses Ansatzes ist allerdings von der Repräsentativität der Stichprobe abhängig. Die empirische Varianz zeigt die quadrierte Differenz zwischen dem tatsächlichen Wert der Rendite und dem Mittelwert.

² Vgl. Elton/Gruber/Brown/Goetzmann, Modern portfolio theorie and investment analysis, 6th ed., 2003, S. 46 ff.

³ f(R i ) - Dichtefunktion der Renditen. Ausführlichere Information über Verteilungen s. im Anhang A

2

Die unerwartet niedrige Renditen (negative Differenz) charakterisieren das Risiko der Investition, die unerwartet höhe Renditen werden als Chance bei der Investition interpretiert ⁴ . In der Portfolio-Theorie wird bei der Portfolio-Selektion fast immer die so genannte mean-variance-Methode verwendet. Also die höhere erwartete Rendite ist besser als niedrigere, und die niedrigere erwartete Varianz ist besser als höhere. D.h. im Bezug auf Risiko streben die Investoren nach Vermeiden der extremen Werte der Rendite, oder nach Reduzierung der Varianz.

Die Unbequemlichkeit bei der Varianz-Berechnung bereitet der zweite Grad dieses Parameters, was die andere im Vergleich zum Mittelwert Dimension hat. Deswegen benutzt man oft auch die σ oder s = ^{2 2} s , die in derselben Dimension wie Erwartungswert liegt Standardabweichung σ =

und damit leichter interpretiert werden kann ⁵ .

Alternativer Ansatz betrachtet das Streben der Investoren nach Vermeiden nicht beliebiger extremen Werte der Renditen, sondern nach Vermeiden der Werte, die unter dem Mittelwert liegen (eigentliches Risiko). Dafür wurde die Idee entwickelt, die Semi-Varianz statt Varianz (entsprechend Semi-Standardabweichung statt Standardabweichung) als Risiko-Maß zu benutzen. Also bei der Berechnung werden nur die negativen Differenzen als Streuung betrachtet ⁶ . Man verwendet als Vergleichsmaß am häufigsten den Mittelwert der Renditen, aber auch risikolosen Zins oder Zinssatz gleich Null. Alle mögliche Semi-Risiko-Maße (mit alternativen Referenzwerten) werden aggregiert unter dem Begriff lower partial moments (LPM) behandelt. Man spricht über Semi-Standardabweichungen als über first-order lower partial moments und über Semi-Varianzen als über second-order lower partial moments ⁷ .

In der Portfolio-Theorie kann man die Parallele zwischen LPMs und Portfolio-Selektion finden. So ist der Zusammenhang zwischen lower partial moments und stochastic dominance criteria (entsprechender Ordnung) zu merken ⁸ . Vereinfachte Interpretation - man wählt das Portfolio mit dem niedrigsten lower partial moment.

Die Idee, nur die extremen Werte in der Richtung nach unten zu berücksichtigen, vereinigt die Interpretation von Semi-Varianz und VaR als Risiko-Maße ⁹ . In der im Abschnitt 1 angegebenen Definition des Risikos ist nicht nur die (negative) Abweichung vom Erwartungswert wichtig, sondern auch die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses. Beide diese Gedanken sind in VaR mit einbegriffen.

⁴ Vgl. Hartmann-Wendels/Pfingsten/Weber, a.a.O., S. 541

⁵ Vgl. Green, Econometric analysis, 5th ed, 2003, Prentice Hall, S. 848

⁶ Vgl. Elton/Gruber/Brown/Goetzmann, a.a.O., S. 48

⁷ Vgl. ebenda, S.248 ff.

⁸ Vgl. Ingersoll, Jr., Theory of financial decision making, 1987, Rowmann & Littlefield, S. 71 ff.

⁹ Gemeinsame Probleme des VaR und der Semi-Standardabweichung wurden ausführlich im Beitrag von

Guthoff/Pfingsten/Wolff diskutiert. Vgl. Guthoff/Pfingsten/Wolff. Der Einfluss einer Begrenzung des VaR oder des LPM-

One auf die Risikoübernahme. In: Credit Risk und VaR-Alternativen. S. 111 ff.

3

2.2 Finanzinstrumente am Derivativmarkt: Greek letters

Ein ganz anderes Konzept wurde mit der Untersuchung der derivativen Finanzinstrumente entwickelt. Der neue Ansatz heißt Sensitivitätsanalyse. Die Sensitivität eines Finanzinstrumenten bezüglich eines Marktparameters wird als Kennzahl (G) interpretiert, so dass ∂Π = Π(ψ+∂ψ) - Π(ψ) = G·∂ψ. Man vergleicht also den Ausgangswert des Portfolios mit dem Wert dieses Portfolios nach der

Veränderung einer (oder mehreren) Marktgröße ¹⁰ . Dann

ist die Sensitivität einfach eine Ableitung vom Derivativpreis bezüglich eines Parameters. Das Risiko kann hier in der Reaktion des Finanzinstruments auf die Änderung der Marktvariablen gemessen wird. Also je mehr der Derivativpreis zu diesen Änderungen sensitiv ist, desto riskanter er ist.

Im Falle der Optionen gibt es mehrere Variablen, die den Derivativpreis beeinflussen. Wenn man die Optionspreise nach Black-Scholes-Formel betrachtet, ^{⋅ −} Φ ⋅ ⋅ − Φ ⋅ = t r ) ( ) ( d e K d S c - Preis der Call-Option

2 1 0

^{⋅ −} − Φ ⋅ − − Φ ⋅ ⋅ = t r ) ( ) ( d S d e K p - Preis der Put-Option

1 0 2

d wo

1

dann hat man 5 verschiedene Marktparameter ¹¹ (Preis des Underlying S 0 , Strike-Preis K, Volatilität σ, Restlaufzeit t, risikoloser Zins r). Drei davon können vom Markt verändert werden (Preis des Underlying S 0 , Volatilität σ, risikoloser Zins r). Bei Sensitivitätsanalyse macht man die Prognose für die zukünftige Änderungen der Marktparameter und berechnet den Optionswert nach bestimmter Bewertungsformel (z.B. Black-Scholes-Formel) zwei Mal: ohne und mit der Berücksichtigung der Parameteränderung, um danach das Risiko als Differenz dazwischen zu berechnen. Eine kleine Optionspreisänderung kann durch Taylor- Reihedargestellt werde. Dabei nimmt man Rücksicht auch darauf, dass die Optionspreise einen nichtlinearen Zusammenhang mit Underlying-Preisen haben, und führt noch einen zusätzlichen Risikoparameter als die zweite Ableitung nach dem Preis des Underlying ¹² ein.

c' - c =

Da die Änderungen in Marktparameter nicht unbedingt alle gleichzeitig auftreten, kann jedes Risiko-Element mittels einer Sensitivitätskennzahl (auch „Greek“) getrennt von anderen betrachtet

¹⁰ Deutsch, Derivatives and internal models, 2 ^nd ed., 2002, Palgrave, S. 191 ff.

¹¹ Dubofsky/Miller, Derivatives: valuation and risk management, 2003, Oxford University, S. 521 ff.

¹² Erklärung dazu s. im Anhang A

4

werden. Jeder „Greek“ misst einen bestimmten Risikoaspekt in der Optionsposition ¹³ . Die gebräuchlichste „Greeks“ sind: Delta, Gamma, Vega, Theta und Rho. 1) Delta zeigt die Änderung des Optionspreises bei Änderung des Underlying-Preises um dS. Delta liegt für Call-Option innerhalb des Intervalls [0;1] und für Put-Option - [-1;0]. ∂

= ∆ c

= ∆

p

Im Gegensatz zu Forward und Future ist Optionspreis eine nicht-lineare Funktion von Spot-Preis, d.h. Delta ist nicht konstant für alle Preise des Underlying. Dieses Problem versucht man, zu lösen, indem man die zweite Ableitung nach S ins gesamte Risiko mit einbezieht. 2) Gamma zeigt die Änderung von Delta bei der Änderung vom Spot-Preis um dS. Gamma liegt innerhalb des Intervalls [0; 1].

= Γ

3) Vega ¹⁴ zeigt die Änderung des Optionspreises bei der Änderung von Volatilität des Underlying um dσ. ∂

= Λ

4) Theta zeigt die Änderung des Optionspreises bei der Änderung von der Restlaufzeit um dt

= Θ

5) Rho zeigt die Änderung des Optionspreises bei der Änderung des Zinssatzes um dr. ∂ c

ρ ⋅ Φ ⋅ ⋅ ⋅ = = , so dass dr dc ) ( 2 d e t K

∂ r

Nachteil der „Greeks“-Berechnung besteht in der riesigen Anzahl der Daten, die man berechnen und danach verwalten muss. In der Praxis braucht man jeden Tag eine ganze Menge von Kennzahlen in Abhängigkeit von jedem Marktparameter herzuleiten. Auf dem Niveau des Top-Management bei einem Finanzinstitut wäre das ziemlich überflüssig. Deswegen ist es sinnvoller, einen aggregierten Risiko-Maß zu ermitteln, der das gesamte Risiko (in Abhängigkeit von allen Marktparametern) des Portfolios darstellt. Als eine solche Kennzahl verwendet man am häufigsten VaR, was die Änderung des Portfolio-Wertes bei der schlimmsten Entwicklung aller Marktparameter angibt. In anderen Worten zeigt VaR als die schlimmste Änderung (δΠ) den maximalen Verlust, den der Portfolio-Inhaber erleiden kann.

¹³ ebenda, S.565 ff.

¹⁴ In dem griechischen Alphabet gibt es aber keinen Buchstaben „Vega“. Deswegen wird Vega-Kennzahl normalerweise

durch den anderen griechischen Buchstaben bezeichnet. Hier - durch „Lambda“.

5

2.3 Finanzinstrumente am Fixed-Income-Markt: Duration und Konvexität

Fixed-Income-Markt besteht aus den Instrumenten, die eine feste zukünftige Einzahlung gewährleisten. Diese Finanzinstrumente haben ganz andere Eigenschaften im Vergleich zu den Finanzinstrumenten mit der Kursbildungsstruktur (Aktien, Währungen u.a.). Als ein typisches Beispiel werden die Anleihen (Bonds) behandelt. Im Falle einer Anleihe ist der Geldbetrag, der dem Käufer zurückgezahlt werden soll, und somit der Gewinn bereits am Anfang bekannt ¹⁵ . Die Rückzahlung beinhaltet auch den Preis der Kapitalbereitstellung und erfolgt entweder ein Mal am Ende (bei Zero-Coupon-Bond) oder auch mehrmals während der Bondlaufzeit (als Kupons). Fairer Wert einer Anleihe ist gleich der Summe der Barwerte zukünftiger Einzahlungen: T =

∑ B

= t

T - Fälligkeitsdatum (Maturity date) C t - Kupon in der Periode t

~ - Zinssatz bei jeweils diskreter und kontinuierlicher Berechnung

y, y

Man sieht, dass, obwohl die Geldzuflüsse bekannt sind, der heutige Wert dieser Zuflüsse vom Zinssatz abhängig ist. D.h. je größer y, desto billiger ¹⁶ der Rückzahlungsbetrag ist. Das Risiko steht seinerseits im Zusammenhang mit der Zeit. D.h. je länger Intervall bis Maturity, desto größere Wahrscheinlichkeit ist, dass sich Zinssatz r verändert.

Man benutzt aber Maturity als Risiko-Maß nicht, weil sie nur die Hauptrückzahlung berücksichtigt. Im Gegensatz betrachtet Duration alle Einzahlungen (auch Kupons ¹⁷ ) aus einem Bond, wird als Summe gewichteter Zahlungszeitpunkten berechnet und als „effektive Maturity“ einer Anleihe in „Jahren“ gemessen ¹⁸ .

= D

∂

= ^* D

Duration ist ein Vergleichsmaß für Bonds mit verschiedenen Maturities, Rückzahlungsregeln und Zinssätzen ¹⁹ . Unter mehreren Anleihen gilt als die riskanteste diejenige, die die größte Duration hat. Dieses Risiko-Instrument hat aber dynamische Natur und ist bei großen Änderungen von y nicht besonders als alleiniger Risiko-Maß geeignet. In diesem Falle vergleicht man die Anleihen zusätzlich nach ihrer Konvexität, die im Allgemeinen eine Abhängigkeit der Duration vom Zinssatz zeigt und in „Jahren zum Quadrat“ gemessen wird ²⁰ .

¹⁵ Vgl. Veale, Stocks, Bonds, Options, Futures, 2 nd ed., 2001, New York Institute of Finance, S. 131 ff.

¹⁶ Billiger - hier: ist heute äquivalent einem niedrigeren Geldbetrag, als vor der Zinssatzänderung

¹⁷ Wenn es keine Kupons gibt (Zero-Kupon-Bond), stimmt die Duration mit der Maturity überein.

¹⁸ Vgl. Jorion, VaR: the new benchmark for controlling market risk, 1997, McGraw-Hill, S. 118 ff.

¹⁹ Vgl. Chew, Managing derivative risks: the use and abuse of leverage, 1996, John Wiley & Sons, S.85

²⁰ Vgl. Jorion, a.a.O., S.124 ff.

6