Möglichkeiten des Computereinsatzes im Mathematikunterricht der Grundschule:  

  Kriterienkataloge zur Bewertung von math. Lernsoftware  

  Inhaltsverzeichnis  I

  Inhaltsverzeichnis  

1  Einleitung  1

2  Zum Stand des heutigen Mathematikunterrichts.  3

3  Allgemeine Lernziele im Mathematikunterricht der  

  Grundschule.  6

3.1  Allgemeine Lernziele nach Winter  7

3.1.1  Argumentieren  9

3.1.2  Sich kreativ verhalten.  10

3.1.3  Mathematisieren.  12

3.1.4  Geistige Grundtechniken.  13

3.1.4.1  Klassifizieren.  13

3.1.4.2  Ordnen.  14

3.1.4.3  Generalisieren und Spezifizieren  14

3.1.4.4  Analogisieren  15

3.1.4.5  Formalisieren  15

3.2  Die mathematischen Kompetenzen der PISA - Studie und Ausblick  

  auf die Standards.  16

4  Grundlagen der Mathematikdidaktik.  19

4.1  Didaktische Prinzipien  20

4.1.1  Mathematikdidaktische Prinzipien bei der Entwicklung des  

  Wissens.  21

4.1.1.1  Das operative Prinzip.  21

4  1 1 2 Prinzip des entdeckenden Lernens  23

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  Inhaltsverzeichnis  II

4.1.2  Repräsentationsformen.  25

4.1.2.1  Enaktiv - Ikonisch - Symbolisch (EIS)  25

4.1.2.2  Variation der Veranschaulichung  27

4.1.3  Produktives Üben.  27

4.2  Didaktik der Arithmetik  30

4.2.1  Zahlenbereiche  30

4.2.2  Stellenwertsystem  32

4.2.3  Rechenoperationen.  34

4.3  Sachrechnen  39

4.4  Geometrie.  41

5  Computereinsatz in der Grundschule.  44

5.1  Der Computer im Mathematikunterricht der Grundschule  48

5.1.1  Didaktische Begründung für einen computerunterstützten  

  Mathematikunterricht.  49

5.1.2  Einsatzmöglichkeiten  53

6  Das Medium Lernsoftware  57

6.1  Klassifizierung von Lernsoftware.  57

6  2 Evaluierung von Lernsoftware  62

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  Inhaltsverzeichnis  III

7  Erarbeitung eines Kriterienkataloges: Begründung und  

  Konzeption  66

7.1  Programmtechnische Aspekte.  71

7.2  Benutzerfreundlichkeit und Benutzerführung  73

7.3  Mediale Aspekte.  77

7.4  Mathematikspezifische Aspekte  79

7.4.1  Allgemeine mathematikspezifische Kriterien.  80

7.4.2  Umsetzung der Lernziele des Mathematikunterrichtes  83

7.4.3  Anwendung der mathematikdidaktischen Prinzipien  85

7.4.4  Arithmetik  88

7.4.5  Sachrechnen  91

7.4.6  Geometrie  92

8  Qualitative Bewertung mathematischer Lernsoftware.  95

8.1  Beschreibung der Lernsoftware „Matheland Klasse 3 4“  95

8.2  Bewertung der Lernsoftware „Matheland Klasse 3 4“  100

9  Schlussbemerkung.  114

10  Literaturverzeichnis  117

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  Abbildungsverzeichnis  

  Abbildungsverzeichnis  

  Abbildung 1: „Mathematische Qualifikationen und Aspekte des Mensch-  

  seins“  

  Abbildung 2: Kreativitätsprozess nach Winter.  

  Abbildung 3: Prozess der Modellbildung.  

  Abbildung 4: Drei Darstellungsebenen der Mathematik  

  Abbildung 5: Zahlaspekte  

  Abbildung 6: Stellenwerttafel.  

  Abbildung 7: Rechengesetzte der Addition und Multiplikation  

  Abbildung 8: Hunderterfeld  

  Abbildung 9: Typen von Sachrechenaufgaben  

  Abbildung 10: Lernziele im Geometrieunterricht der Grundschule.  

  Abbildung 11: Intensivierungsgrade des Computereinsatzes in der Schule  

  Abbildung 12: Bewertungsskala des Kriterienkatalogs  

  Abbildung 13: Das Matheland mit Mac Mathe  

  Abbildung 14: Lernort „Tempel“  

  Abbildung 15: Die im Rechenwettkampf zu schlagenden Geier  

  Abbildung 16: Lernort „Pizzeria“  

  Abbildung 17: Die Würfelmaschine  

  Abbildung 18: Aufgabe zur Berechnung von Flächeninhalten  

  Abbildung 19: Der Notizzettel  

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1 Einleitung

„Beim Einsatz neuer Technologien geht es vorrangig nicht darum, Ziele und Inhalte des Mathematikunterrichtes zu verändern, sondern es ist vielmehr die Art und Weise des Umgangs mit diesen Inhalten, die Methode des Unterrichtens oder das Beschreiten neuer Wege, das zum besseren oder anderen Erreichen ‚alter’ Ziele und zum besseren Verständnis ‚alter’ Inhalte führen soll.“ (Weigand/Weth 2002, S. 27)

Wir leben in einer Informationsgesellschaft, in welcher die Arbeit mit dem Personal-Computer (PC) zum täglichen Alltagsgeschehen gehört. So setzen fast alle Berufsgruppen Kenntnisse im Umgang mit dem PC voraus und auch im Alltag kommt der Grundschüler immer mehr mit diesem neuen Medium in Kontakt.

Die Grundschule (GS) kann vor der zunehmenden Computerisierung der Gesellschaft nicht die Augen verschließen und darf sich daher nicht nur auf die reine Vermittlung des Lesens, Schreibens und Rechnens beschränken. Vielmehr sollte es bereits Bildungsaufgabe der Grundschule sein, den Schüler zu einem sachgerechten und reflektierten Umgang mit dem PC anzuleiten.

In dieser Arbeit soll untersucht werden, in wieweit der Mathematikunterricht der Grundschule von dem Einsatz des Computers profitieren kann. Hierbei werden besonders die Lernmöglichkeiten des Mediums Lernsoftware betrachtet. Ausgehend von der Fragestellung, wie ein Lernprogramm beschaffen sein muss, damit die Lernziele des Mathematikunterrichts erreicht werden können, wird in dieser Arbeit ein Kriterienkatalog als Werkzeug zur qualitativen Bewertung mathematischer Lernsoftware konzipiert.

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Dieser Kriterienkatalog muss dem gesicherten Stand der Mathematikdidaktik entsprechen. Daher werden im ersten Teil dieser Arbeit die Lernziele des

Mathematikunterrichts der Grundschule und die Grundlagen der Mathema- tikdidaktik vorgestellt.

Der zweite Teil befasst sich mit dem Computereinsatz im Mathematikunterricht der Primarstufe. Nachdem allgemeine Aspekte erläutert worden sind, wird der computerunterstütze Mathematikunterricht didaktisch begründet. Anschließend wird das Medium Lernsoftware vorgestellt und weitere Einsatzmöglichkeiten des Computers im Mathematikunterricht beschrieben. Basierend auf das bisher erworbene Hintergrundwissen, wird dann ein Kriterienkatalog zur qualitativen Bewertung von mathematischer Lernsoftware entwickelt. Welcher abschließend bei der Evaluation einer Mathematik -Lernsoftware angewandt wird.

Anmerkung:

Um eine bessere Lesbarkeit zu gewährleisten wird in dieser Arbeit grundsätzlich die männliche Form eines Personenbegriffs verwendet. Dies ist nicht als Diskriminierung des weiblichen Geschlechts zu verstehen.

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Teil 1:

lehrens

2 Zum Stand des heutigen Mathematikunterrichts

Die mathematische Denkweise ist eines der mächtigsten, leistungsfähigsten und elegantesten Instrumente, unsere Erfahrungen und Ideen zu ordnen und neue Denkmodelle zu entwerfen, die über unsere jeweilige Erfahrungen hinausgehen und als heuristische Mittel für neue Forschungen und die Gestaltung der Zukunft dienen. Die Mathematik ist weit über den technologischen Aspekt hinaus grundlegend für das Verständnis und die Erschließung der modernen Welt und nimmt zwischen Geistes- und Naturwissenschaften eine einzigartige Stellung ein. (Wittmann 1984, S. 28)

Dieses Verständnis von Mathematik ist heutzutage immer noch aktuell. Gerade für die Begründung des Mathematikunterrichts in der Grundschule ist besonders hervorzuheben, dass Mathematik ein Werkzeug ist, um sich in der Welt zu orientieren.

Analog zu Wittmann, veröffentlichte Heymann (1998) sein Konzept einer zeitgemäßen mathematischen Allgemeinbildung. Auch dieser Autor hebt Mathematik als eine Möglichkeit zur Erschließung der Umwelt hervor. So formuliert er unter anderem die These, dass Lebensnützliches ernst genommen werden und so die Mathematik mit der übrigen Welt verbunden werden soll. Mit dem Hintergrund der fortschreitenden Technisierung der Gesellschaft und dem dazugehörigen Einzug der neuen Medien in die Schule, fragt Heymann (1998), ob mit neuen Methoden alte Ziele und Inhal- te besser und effektiver vermittelt werden können, oder aber ob sich als

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Konsequenz auf neue Methoden auch die Ziele und Inhalte des Mathematikunterrichts wandeln müssen.

Die Fragestellung nach Inhalten und Methodik des Mathematikunterrichts ist nach PISA (Programm for International Student Assesment) besonders pressant und wird in den Medien, in der Bildungspolitik und der Wissenschaft kontrovers diskutiert.

Die PISA - Studie des Jahres 2000 war eine Untersuchung der schulischen Leistungen von fünfzehnjährigen Jugendlichen, an welcher alle OECD -Staaten teilgenommen haben. Es zeigte sich, dass deutsche Schüler, in fast allen Bereichen, nur Plätze im hinteren Mittelfeld belegen konnten. (OECD 2001)

Wie Heymann (1998) anmerkt, führte schon TIMMS (Third International Mathematics and Science Study), bei welcher der Leistungstand der vierten Klassenstufe untersucht worden ist, dazu, dass der Mathematikunterricht in einer Akzeptanz- und Legimitationskrise steckt. Dies verstärkte sich durch die PISA - Ergebnisse noch mehr.

Es ist im Rahmen dieser Arbeit nicht möglich die komplexen Bedingungsfaktoren, welche zu den PISA - und Timms - Ergebnissen geführt haben, zu untersuchen. Allerdings ist beim Aspekt Computer aufgefallen, dass deutsche Schüler angeben, nur über ein sehr geringes Maß mit diesem Medium vertraut zu sein. Finnische Schüler, welche gute PISA - Ergebnisse vorzeigen können, verfügen über doppelt soviel Erfahrungen mit dem Einsatz des Computers (OECD 2001, S. 137). Dies ist ein Grund mehr, die Möglichkeiten des PC - Einsatzes im Mathematikunterricht der Grundschule genauer zu untersuchen.

Als eine Konsequenz auf das allgemeine mittelmäßige Abschneiden deutscher Schüler bei PISA und dem hohen Leistungsgefälle zwischen den ein- zelnen Bundesländern, entwickelte eine Arbeitsgruppe der Kultusminister-

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konferenz (KMK) allgemeingültige Standards, welche bereits im kommenden Schuljahr in Bade- Württemberg in Kraft treten sollen. Ziel dieser länderübergreifenden Standards soll es sein, angestrebte Lernziele einfacher zu kontrollieren und die einzelnen Bundesländer besser miteinander vergleichen zu können. Die Standards wurden so konzipiert, dass der Schüler durch den Gebrauch von Mathematik eine Weltorientierung erlangen und

seine Persönlichkeit entwickeln kann. (KMK 2003)

Bobrowski und Grassmann (2004) merken an, dass die Umsetzung der Bildungsstandards Schule und Unterricht stark beeinflussen werden. Jedoch wurde innerhalb der Bildungsstandards, anders als in den Rahmenrichtlinien, keine direkten Methodenvorschläge zur Umsetzung dieser Lernziele angegeben. Diese Weiterentwicklung der Unterrichtsmethodik muss daher von der Schule geleitest werden.

Dem deutschen Bildungssystem und somit auch dem Mathematikunterricht der Grundschule steht in den nächsten Jahren ein enormer Wandel bevor. In dieser Arbeit soll untersucht werden, welche Forderungen an das neue Medium Software gestellt werden müssen, damit dieser Wandel positiv ges- taltet werden kann.

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3 Allgemeine Lernziele im Mathematikunterricht der Grund- schule

Ein Mathematik - Lernprogramm muss auf die Lernziele des Mathematikunterrichts der Grundschule basieren. Im folgenden Kapitel wird daher ein Lernzielkatalog, welcher von Heinrich Winter in der Mitte der siebziger Jahre entwickelt worden ist, vorgestellt. Diese ‚Allgemeinen Lernziele’ haben die Lernpläne des Mathematikunterrichts in den letzten drei Jahrzehnten stark geprägt.

Eine ähnliche Stellung soll in der Zukunft den neuen mathematischen Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz zukommen, welche anschließend erläutert werden.

Lernziele werden meistens innerhalb eines Curriculums, welches von einer Expertenkommission entwickelt wird, zusammengefasst. In allgemeinen Lernzielen spiegeln sich die Ansprüche und Erziehungsvorstellungen der Gesellschaft wieder, denen sich auch der Mathematikunterricht nicht entziehen kann. Darüber hinaus haben allgemeine Lernziele ein hohes Abstraktionsniveau und sind nicht an fachspezifische Inhalte gebunden. (Lauter 1995)

Angelehnt an Müller und Wittmann (1984) wird in dieser Arbeit unter dem Begriff Fertigkeit die reine Beherrschung der vier Grundrechenarten in mündlicher und schriftlicher Form, sowie Tätigkeiten wie beispielsweise das Messen oder das Wiegen verstanden. Eine Fähigkeit hingegen lässt sich nicht an einer konkreten Handlung oder Aufgabe festmachen, sondern ist weiter gefasst und vor allem auf andere Bereiche und Situationen transferierbar. Beispiele hierfür sind die Fähigkeit, Probleme zu lösen oder die Fä- higkeit, Sachsituationen zu erfassen.

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3.1 Allgemeine Lernziele nach Winter

Winter entwickelte, ausgehend von den Fragestellungen, was in welcher Anordnung und Detaillierung gelernt werden soll und wie gelernt werden soll, einen speziell auf den Mathematikunterricht abgestimmten Lernzielkatalog.

Dieser setzte sich besonders durch zwei Punkte von ähnlichen Aufstellungen der damaligen Zeit ab. Die ‚Allgemeinen Lernziele’ beschränken sich nicht nur auf kognitive Ziele, vielmehr werden hier auch soziale und affektive Lernziele thematisiert. Des Weiteren begründet Winter seinen Lernzielkatalog nicht nur durch rein mathematische, sondern auch durch anthropologische Aspekte. Dies verdeutlicht das folgende Zitat: „Lernziele können nicht ohne ein Bild von der Mathematik und auch nicht ohne ein Bild vom Menschen bestimmt werden“ (Winter 1975, S.107). Winter selbst bezeichnet seine Auflistung daher als „generelle Intentionen“ (Winter 1975, S. 106). Die ‚Allgemeinen Lernziele’ sind nicht an spezielle Unterrichtsinhalte gebunden, vielmehr plädiert Winter (1975) dafür, den Lernstoff so auszuwählen, dass die Förderung möglichst vieler allgemeiner Lernziele gewährleistet wird. Durch die hohe Abstraktion dieses Lernzielkatalogs sind die Inhalte für alle Klassenstufen umsetzbar.

Der Lernzielkatalog wird in zwei Bereiche unterteilt. Zum kognitiven Bereich gehören die drei Strategien: „Argumentieren“, „Sich kreativ verhalten“ und „Mathematisieren“. Den zweiten Bereich bilden die fünf geistigen Grundtechniken: „Klassifizieren, Ordnen, Spezialisieren, Analogisieren und For- malisieren.“ (Winter 1972 zitiert nach Lauter 1995, S.44 ff.)

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Die folgende Tabelle zeigt, in wieweit Winter die Aspekte der Mathematik und die des Menschen in seinem Lernzielkatalog zusammenfließen lässt.

Abbildung 1: „Mathematische Qualifikationen und Aspekte des Menschseins“(nach

Christmann 1980, S.85)

Die geistigen Grundtechniken verfügen ebenfalls über eine anthropologische Entsprechung, da der Mensch durch die Anwendung dieser intellektuellen Techniken Ereignisse einordnen kann, sich so einen Überblick verschaffen kann und somit eine Weltordnung aufstellt (Christmann 1980). Ein guter Mathematikunterricht sollte aber auch die Grenzen dieses Faches aufzeigen und vermitteln, nicht jede Situation ist durch den Einsatz vom ma- thematischen Mitteln zu bewältigen (Radatz/Schipper 1983).

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3.1.1 Argumentieren

Argumentieren ist das bedeutendste Lernziel dieses Katalogs (Lauter 1995). Argumentieren zu können, bedeutet, die Fähigkeit zu besitzen, sich vernünftig mit anderen zu verständigen.

Im mathematischen Sinne ist das Argumentieren als Beweisen bzw. in der

Grundschule als Begründen auszulegen (Wittmann 1981). Jedoch umfasst die Fähigkeit zum Argumentieren mehr als nur einen reinen Beweis oder eine Begründung zu formulieren, sondern beinhaltet sich an Vereinbarun- gen und Definitionen zu halten, folgerichtige Schlüsse zu ziehen und Scheinargumente als solche zu entlarven (Krampe/Mittelmann/Kern 1983). Außerdem ist darunter die Fähigkeit zum verständlichen Erklären zu verste- hen.

Des Weiteren sollen beim Argumentieren nicht nur Einzelaussagen betrachtet werden, im Vordergrund steht vielmehr die Entwicklung der Fähigkeit zum logischen Schlussfolgern. Der Schüler soll lernen, ganz im Sinne eines sokratischen Gespräches eine Behauptung aufzustellen. Dazu muss der Gedankengang strukturiert und anschließend in einer für den Gesprächspartner verständlichen Weise formuliert werden. Sein Gegenüber hat nun die Aufgabe, die Behauptung entweder zu akzeptieren oder aber anzuzweifeln. In letzterem Fall ist der erste Akteur gezwungen, seine Behauptung zu beweisen. (Christmann 1980)

Des Weiteren sollen die Schüler lernen, zu kommunizieren, z.B. auf den Gesprächspartner einzugehen und ihn ausreden zu lassen. Diese gelungne Kommunikation ist mit Dialogfähigkeit, einer der menschlichen Grundfähigkeiten, zu umschreiben (Lauter 1995). Es wird deutlich, dass bei der Förderung des Lernziels Argumentieren nicht nur kognitive, sondern auch soziale Lernziele verfolgt werden.

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Im Unterricht - beziehungsweise in allen Lernsituationen - sollte daher immer die Möglichkeit zur Diskussion geschaffen werden, dies lässt sich z.B. gut durch die Durchführung einer Rechenkonferenz realisieren.

3.1.2 Sich kreativ verhalten

Die zweite kognitive Strategie ist die Kreativität. Damit sind nicht die gestalterische Fertigkeiten gemeint, sondern vielmehr „die Fähigkeit, brauchbare Einfälle zu produzieren“ (Krauthausen/Scherer 2001, S.141). Kreativität ist jedoch nicht nur direkt am Schüler festzumachen. Vielmehr wird darunter eine Wechselbeziehung zwischen dem kreativen Produkt, dem kreativen Prozess, der kreativen Person und der kreativen Umwelt verstanden (Neuhaus 1995, zit. nach Krauthausen/Scherer 2001, S.141). Nach Winter wird ein kreativer Prozess in vier Phasen eingeteilt:

Abbildung 2: Kreativitätsprozess nach Winter (Winter 1991, S.170) Kreativität hängt daher eng mit der Fähigkeit des Problemlösens und dem entdeckenden Lernen zusammen.

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Folgende Fähigkeiten sind kennzeichnend für Kreativität im ‚winterschen Sinne’ (Christmann 1980; Wittmann 1981; Lauter 1995):

• Bereitschaft zur Beschäftigung mit einer neuen Aufgabe

• Situationen variieren, fortsetzten und übertragen können

• Alternativen entwickeln

• Bereitschaft und Fähigkeit, selbständige Lösungen und Beweise zu finden

• Beziehungen und Strukturen entdecken können

• Verallgemeinerungen erkennen, formulieren und begründen können

• Hypothesen aufstellen und kontrollieren können

• Genügend Ausdauer, um eine schwierige Aufgabe zu lösen. Fast jedes Grundschulkind ist von Natur aus kreativ. Kinder in diesem Alter sind meist spontan, aufgeschlossen gegenüber Neuem und haben Lust am Ausprobieren und Phantasieren (Lauter 1995). Aufgabe des Mathematikunterrichts muss es daher sein, Situationen zu schaffen, in welchen die Schüler kreativ tätig sein können. Durch eine problemhaltige Ausgangssituation, dem Zulassen von Fehlern, ausreichenden Materialien und viel Zeit zum Ausprobieren kann dieses Ziel erreicht werden.

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3.1.3 Mathematisieren

Dieses Lernziel ist im Gegensatz zu den beiden schon beschriebenen, welche auch in anderen Unterrichtsfächern verwirklicht werden können, speziell für den Mathematikunterricht entwickelt worden.

Der Schüler soll lernen, reale Situationen aus seiner Umwelt zu mathematisieren. Dies geschieht, indem Situationen erfasst und beschrieben werden. Um dies durchführen zu können, muss der Schüler folgende Aspekte beherrschen (Christmann 1980; Lauter 1995):

• Gewinnung von Daten durch messen, zählen, ablesen und schätzen

• Mathematisches Darstellen von gesammelten Daten

• An Hand von gesammelten Daten ein mathematisches Modell bilden

• Strukturelle Zusammenhänge einer Situation erkennen. Durch das Mathematisieren soll eine Alltagssituation in einem Modell dargestellt werden und die Wirklichkeit so für die Mathematik anwendbar gemacht werden. Das in Abbildung 3 dargestellte Schema veranschaulicht den Prozess der Modellbildung.

Abbildung 3: Prozess der Modellbildung (Müller/Wittmann 1984, S.253)

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3.1.4 Geistige Grundtechniken

Die geistigen Grundtechniken nach Winter sind bei erster Betrachtung fachspezifische Lernziele der Mathematik, bei näherem Hinsehen zeigt sich jedoch, dass diese Grundfertigkeiten auch den Charakter allgemeiner Lernziele besitzen.

3.1.4.1 Klassifizieren

Das Klassifizieren ist eine allgemeine, wissenschaftliche Grundtechnik. Durch eine auf spezielle Merkmale reduzierte Betrachtung von Elementen ist es möglich, eine größere Übersicht über gemeinsame Eigenschaften aller zu betrachtenden Elemente zu gewinnen. Die Fähigkeit zum Klassifizieren ist unerlässlich für den Abstraktionsprozess, so z.B. beim Erlernen von Begriffen.

Im Allgemeinen sind in der Grundschule dem Lernziel Klassifizieren folgende Punkte zuzuordnen (Hole 1998; Krampe/Mittelmann/Kern 1983):

• Objekte nach Vorschrift sortieren

• Material nach Merkmalen sortieren

• Vertreter für Begriffe (Klassen) angeben können

• Kennzeichnende Eigenschaften einer Klasse finden

• Sortierungsvorschrift (Äquivalenzrelationen) einer gegebenen Klasse finden.

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3.1.4.2 Ordnen

Anders als beim Klassifizieren, werden beim Lernziel Ordnen die Unterschiede von Elementen hervorgehoben. Der mathematische Zusammenhang ist die Ordnungsrelation. Dabei ist zwischen einer linearen Ordnung, wie etwa die Anordnung von Hausnummern und einer zyklischen Anordnung von Elementen, z.B. wie auf einer Uhr angeordnet, zu unterscheiden. (Hole 1998)

Folgende Aktivitäten sind unter dem Lernziel Ordnen zusammenzufassen (Hole 1998; Krampe/Mittelmann/Kern 1983):

• Objekte nach einer oder mehrerer Vorschrift/en in eine sinnvolle Reihenfolge bzw. Ordnung bringen

• Entdecken und Bennennen von Ordnungskriterien einer Relation

• Sinnvolles Fortsetzten einer Reihe.

In der Grundschule wird eine Ordnungsrelation meist durch die Kriterien Zeit, Länge, Gewicht oder Flächeninhalt gebildet.

3.1.4.3 Generalisieren und Spezifizieren

Ausgehend von Einzelerfahrungen und -aussagen werden beim Generalisieren größere Zusammenhänge, z.B. übergeordnete Regeln betrachtet. Durch die Verwirklichung dieses Lernziels sollen die Schüler erkennen, dass mathematische Sätze und Gesetzmäßigkeiten einen allgemeingültigen Charakter aufweisen. (Lauter 1995)

Die Umkehroperation zum Generalisieren stellt das Spezifizieren, auch Konkretisieren genannt, dar. Hierbei werden Beispiele zu einem mathemati- schen Gesetz angegeben.

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3.1.4.4 Analogisieren

Ziel der geistigen Grundtechnik des Analogisierens ist es, Strukturen zwischen Elementen oder Situationen erkennen und benennen zu können. Dazu werden Entsprechungen und Unterschiede herausgesucht und dann die Elemente einander zugeordnet, so z.B. die Zuordnung von Punkten eines Diagramms zu einer entsprechenden Tabelle (Lauter 1995). Das Analogisieren beinhaltet aber auch die Transferleistung von gelernten Begriffen und Verfahren auf eine neue Situation (Krampe/Mittelmann/Kern 1983).

3.1.4.5 Formalisieren

Das Formalisieren besteht aus der korrekten, eindeutigen und übersichtlichen Darstellung von mathematischen Begriffen und Beziehungen. Dabei wird als Darstellungsform die formale Sprache der Mathematik gewählt (Hole 1998).

Hierzu gehört unter anderem, dass die Schüler die Bedeutung von mathematischen Symbolen kennen und anwenden können. Das Formalisieren ist eng verknüpft mit der schon in Kapitel 3.1.3 beschriebenen Kognitionsleistung des Mathematisierens und wird angewendet wenn Alltagssituationen, mathematische Sachverhalte oder Darstellungen in die symbolische Schreibweise der formalen Mathematik umgesetzt werden. Auf das Medium Computer bezogen, benötigt der Schüler dieser Fähigkeit unter anderem um Tabellen oder Diagramme richtig deuten und konstruieren zu können.

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3.2 Die mathematischen Kompetenzen der PISA - Studie

und Ausblick auf die Standards

Im folgenden Teil werden die mathematischen Standards vorgestellt. Diese wurden, wie in Kapitel 2 bereits beschrieben, von der Kultusministerkonferenz als Konsequenz auf das mittelmäßige Abschneiden deutscher Schüler bei diversen internationalen Leistungsvergleichen entwickelt. Ziel dieser länderübergeifend gültigen Standards soll es sein, überprüfbar zu machen, was Schüler am Abschluss einer Schulstufe wissen und können sollten. Leider sind zum jetzigen Zeitpunkt erst die Standards für den mittleren Schulabschluss veröffentlicht worden. Jedoch ist anzunehmen, dass die Standards für den Grundschulbereich sehr ähnliche Inhalte haben werden. Zum Vergleich wird der Lernzielkatalog, welcher in der PISA - Studie angewendet worden ist und wünschenswerte mathematischen Kompetenzen beschreibt, kurz angesprochen.

Ziel der mathematischen Standards ist es, dass der Schüler durch die Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten folgende sechs Kompetenzen erwirbt:

• „Mathematisch argumentieren“

• „Probleme mathematisch lösen“

• „Mathematisch modellieren“

• „Mathematische Darstellung verwenden“

• „Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen“ und

• „Kommunizieren“ (Kultusministerkonferenz 2003, S.9 f.).

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Im Rahmen der PISA - Studie ist fast der gleiche Lernzielkatalog wieder zu finden. Jedoch werden hier noch „die Fähigkeit mathematisch zu denken“ und „die Fähigkeit, Hilfsmittel einzusetzen und zu gebrauchen“ (Deutsches PISA - Konsortium 2002, S.49) thematisiert. Es ist anzunehmen, dass die neu entwickelten Bildungsstandards sich stark auf die Anforderungen der PISA - Studie stützen.

Auf den ersten Blick weisen die Standards eine hohe Analogie zu den ‚Allgemeinen Lernzielen’ Winters auf. Das Modellieren und die Verwendung von mathematischen Darstellungen können unter Mathematisieren und Formalisieren zusammengefasst werden. In beiden Katalogen wird die Fähigkeit mathematisch zu argumentieren an erster Stelle genannt. Jedoch wurde die Fähigkeit zur Kreativität in den Standards nicht direkt berücksichtigt.

Auch zeigt sich, dass die zu erwerbenden mathematischen Kompetenzen eher den Charakter von abfragbaren Fertigkeiten haben. Winter hingegen fordert, dass der Schüler weitreichende Fähigkeiten erlangen soll. Darüber hinaus spiegelt die Ausdifferenzierung der einzelnen Kompetenzen wider, dass die Standards, anders als die ‚Allgemeinen Lernziele’, sehr stark an den Fachinhalten der Mathematik orientiert sind. So werden fünf mathematische Leitideen dargestellt „Leitidee Zahl, Leitidee Messen, Leitidee Raum und Form, Leitidee funktionaler Zusammenhang und Leitidee Daten und Zufall“ (Kultusministerkonferenz 2003, S.12 ff.), welche spiralförmig den Mathematikunterricht sämtlicher Jahrgangstufen bestimmen sollen. Kritiker, so z.B. Bartnitzky (2003), warnen vor einer zu hohen Konzentrierung auf Lernziele und Inhalte, ohne dabei weitere Faktoren des Lernens, wie z.B. die Lehrerpersönlichkeit oder die Rahmenbedingungen zu berücksichtigen. Weiterhin warnen viele Autoren, beispielsweise Brüggelmann (2004), vor einem gezielten Lernen auf eine bestimmte Testsituation ihn, dabei würden übergeordnete, nicht abtastbare Lernziele vernachlässigt.

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Für den weiteren Verlauf dieser Arbeit ist darauf hinzuweisen, dass in den Standards für den mittleren Schulabschluss das Erlernen des richtigen Umgangs mit elektronischen Medien explizit genannt wird. So beispielsweise bei der Ausdifferenzierung der fünften Kompetenz. Hier wird gefordert, dass der Schüler „mathematische Werkzeuge (wie, Formelsammlung, Taschenrechner, Software) sinnvoll und verständig nutzen kann“ (Kultusministerkonferenz 2003, S.10). Auch im Vorwort, in welchem der Beitrag des Faches Mathematik zur Bildung beschrieben wird, ist der folgende Hinweis für den Einsatz des Computers in der Schule zu finden: „Schülerinnen und Schüler sollen auf diese Weise Mathematik als anregendes, nutzbringendes und kreatives Betätigungsfeld erleben, in dem auch Hilfsmittel, insbesondere elektronische Medien entsprechend sinnvoll eingesetzt werden.“ (Kultusministerkonferenz 2003, S.7)

Es bleibt abzuwarten, ob diese Passagen in die Standards für den Grundschulbereich übernommen werden. Zusammenfassung

Zusammenfassend ist zu sagen, dass sowohl bei der Auflistung von Winter sowie bei den mathematischen Standards, die Fähigkeiten zu mathematisieren und zu argumentieren als wichtigste Lernziele des Mathematikunterrichts der Grundschule genannt worden sind. Dazu sollten die fünf vorgestellten geistigen Grundtechniken beherrscht werden. Ein gutes Mathematik

- Lernprogramm muss so konzipiert sein, dass mit ihm die Lernziele des Mathematikunterrichts der Grundschule erreicht werden können. Da die mathematischen Standards noch nicht für die Grundschule veröffentlicht wurden sind und manchmal eher den Charakter von Fertigkeiten haben, werden die ‚Allgemeinen Lernziele’ nach Winter die Grundlage des zu konzipierenden Kriterienkataloges darstellen.

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4 Grundlagen der Mathematikdidaktik

Die folgende Einführung in die Mathematikdidaktik dient als Hintergrundwissen zur Erarbeitung von mathematikdidaktischen Kriterien im zweiten Teil dieser Arbeit. Bei der Auswahl der Inhalte, wird sich auf Aspekte beschränkt, welche für die Beurteilung eines Lernprogramms von Bedeutung sind. Themenkomplexe, wie beispielsweise die Einführung der Addition oder der Prozess der mathematischen Begriffsbildung sind in der Grundschule nicht von einem Lernprogramm zu leisten und werden daher bewusst nicht oder nur kurz angesprochen.

Neben einer Einführung in mathematikdidaktische Prinzipien, werden die drei Hauptbereiche des Mathematikunterrichts der Grundschule

• Didaktik der Arithmetik,

• Didaktik der Geometrie und

• Didaktik des Sachrechnens thematisiert werden.

Zwar beinhalten die meisten Mathematik - Lernprogramme für die Primarstufe hauptsächlich arithmetische Aufgaben, jedoch stellt die Geometrie, nach einer langen Vernachlässigung durch viele Lehrkräfte heutzutage einen wichtigen Teilbereich des Mathematikunterrichts dar (Franke 2000). Auch Sachrechenaufgaben, gerade da sie von vielen Schülern meist als schwer betrachtet werden, sollten in einem guten Lernprogramm vorhanden sein.

Ein Lernprogramm muss also daran gemessen werden, ob die drei Hauptbereiche der Mathematik in einer angemessenen Gewichtung vorhanden sind. Ausnahmen bilden hier natürlich reine Geometrie - Programme oder Ähnliches.

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4.1 Didaktische Prinzipien

Didaktische Prinzipien geben, ausgehend von Erkenntnissen der Lerntheorien und Fachdidaktik, Hinweise zur Durchführung und Planung von Unterricht. Es ist anzumerken, dass didaktische Prinzipien über keine Allgemeingültigkeit verfügen, daher muss die Wahl der Prinzipien auf die jeweilige Unterrichtssituation abgestimmt werden. (Radatz/Schipper 1983) Auch bei der Auswahl der mathematikdidaktischen Prinzipien wurde darauf geachtet, dass diese sich in einem Kriterienkatalog zur Bewertung von mathematischer Lernsoftware umsetzen lassen. Daher wird beispielsweise das Spiralprinzip, welches besagt, dass der Lernstoff in allen Klassenstufen wiederholt werden sollte (Lauter 1995), in dieser Arbeit nicht thematisiert. Da für die Bewertung dieses Prinzips Programme mehrerer Jahrgänge miteinander verglichen werden müssten.

Ein weiterer einschränkender Aspekt ist die Tatsache, dass fast alle Mathematik - Lernprogramme für die Grundschule über einen Übungscharakter verfügen. Sie dienen also nicht dazu, neues Wissen zu vermitteln, sondern vielmehr bereits im Unterricht erworbenes Wissen zu festigen. Daher kann beispielsweise das dynamische Prinzip, welches den Unterrichtsaufbau für die Einführung neuer Inhalte beschreibt, hier nicht berücksichtigt werden. Des Weiteren orientiert sich die Auswahl der didaktischen Prinzipien an der Vorstellung eines modernen und offenen Mathematikunterrichts. Angelehnt an Krauthausen/Scherer werden die mathematikdidaktischen Prinzipien in „Entwicklung des Wissens“ und „Repräsentationsformen“ (Krauthausen/Scherer 2001, S. 123) untergliedert. Der Aspekt ‚produktives Üben’ wird auf Grund seiner Wichtigkeit für die Beurteilung mathematischer Lernsoftware isoliert betrachtet.

Möglichkeiten des Computereinsatzes im Mathematikunterricht der Grundschule: Kriterienkataloge zur Bewertung von math. Lernsoftware S. 21

4.1.1 Mathematikdidaktische Prinzipien bei der Entwicklung

des Wissens

Diese Gruppe von Prinzipien geben vor, wie das Unterrichtsgeschehen zu gestalten ist, damit der Lernprozess des Schülers so gut wie möglich gefördert werden kann. Des Weiteren wird durch diese Prinzipien auch eine Einteilung der Inhalte und Übungsaufgaben vorgenommen.

4.1.1.1 Das operative Prinzip

Dieses mathematikdidaktische Prinzip wurde, ausgehend von der Entwicklungs- und Operationstheorie Piagets entwickelt. Unter dem Begriff Operation ist nicht eine konkrete Tat, sondern vielmehr eine verinnerlichte Handlung zu verstehen. Verinnerlichte Handlungen sind in Gedanken beweglich und können losgelöst von konkretem Material vollzogen werden. (Lauter 1995)

Folgende drei Hauptmerkmale sind charakteristisch für Operationen:

• Kompositionsfähigkeit

• Assoziativität

• Reversibilität.

Unter Kompositionsfähigkeit wird verstanden, dass Operationen sich in Gruppen zusammenfassen lassen. Das Merkmal Assoziativität beinhaltet, dass die Reihenfolge der Teilschritte einer Operation variieren kann. Der zeitliche Ablauf also nicht festgelegt ist. Reversibilität beschreibt, dass zu jeder Operation auch eine Umkehroperation vorhanden ist. Aus den drei Hauptmerkmalen folgt, dass nicht jede Handlung automatisch eine Operati- on ist. (Lauter 1995)

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Krauthausen und Scherer (2001, S. 135) merken an, dass auch die „Identität“, sowie die „Tautologie“ Merkmal für eine Operation sein können. Die Identität beschreibt eine neutrale Handlung, welche zu keiner Änderung der Ausgangsituation führt. Unter Tautologie wird verstanden, dass eine Mehrfachausführung einer Operation das Ergebnis nicht verändert. Die Gewinnung einer Operation erfolgt in mehreren Schritten. Ausgangspunkt für einen operativen Unterricht sollte die konkrete Handlung mit Materialien in einer konkreten Situation sein. Hier soll untersucht werden, welche Eigenschaften ein Objekt hat, wie es konstruiert ist und welche Handlungen mit dem Objekt durchgeführt werden kann. Im nächsten Schritt wird die Handlung verinnerlicht, dies geschieht durch die Verbalisierung und Reflektion des eigenen Tuns. Durch einen gedanklichen Abstraktionsprozess wird die vorausgegangene Handlung nun zu einer Operation. Nach diesem Schritt folgt das operative Durcharbeiten. Darunter ist zu verstehen, dass Teilbereiche der Ausgangshandlung, beispielsweise die Größe des Materials, in Gedanken variiert werden. Als letzter Schritt folgt die konkrete Anwendung der Operation. (Lauter 1995)

Für die Denkentwicklung und somit den Lernprozess des Schülers ist es entscheidend, dass mathematisches Wissen durch konkrete Handlungen oder konkrete Situationen gewonnen werden können. Als Konsequenz darauf sollte im Mathematikunterricht der Grundschule Wissen nicht durch Methoden, wie Zuhören, Nachmachen, Abschreiben oder stumpfes Einüben vermittelt werden, sondern vielmehr durch eine vielfältige Beschäftigung mit den unterschiedlichsten Materialien und Situationen. Ein Mathematik - Lernprogramm kann das operative Prinzip nur schwer vollständig umsetzen. Da aber nach Krauthausen und Scherer (2001) dieses Prinzip zu den bedeutendsten des Mathematikunterrichts zählt, muss durch eine Lernsoftware trotzdem das operative Arbeiten ermöglicht wer- den.