- 1 -
GYMNASIUM P U L L A C H Kolleg 1995/97
Facharbeit aus dem Leitungskurs
M
A
T
H
E
M
A
T
I
K
THEMA:
Die Ellipse als Kegelschnitt; Konstruktionsaufgaben
- 2 -
Inhaltsverzeichnis
A. Die Ellipse als Kegelschnitt
3
A.1. Definition der Kegelschnitte
3
A.2. Die Dandelinischen Kugeln
4
A.3. Die Ellipse als Kegelschnitt
5
B. Konstruktionsaufgaben
6
B.1. Bezeichner
6
B.2. Einfache Aufgaben
7
B.2.1. Aufgabe 1
7
B.2.2. Aufgabe 2
9
B.2.3. Aufgabe 3
10
B.2.4. Aufgabe 4
10
B.3. Konstruktionen mit der ,,Eulerschen Affinität"
11
B.3.1. Die Ellipse als affines Abbild des Kreises
11
B.3.2. Aufgabe 14
12
B.3.3. Ellipsen und Tangenten
12
B.3.4. Aufgabe 8
13
B.3.5. Aufgabe 6
14
B.3.6. Aufgabe 7
16
B.3.7. Aufgabe 12
16
B.3.8. Aufgabe 13
17
B.3.9. Aufgabe 16
18
B.4. Konstruktionen mit der Relation b²=t
0
*y und a²=s*x
18
B.4.1. Herleitung
18
B.4.2. Aufgabe 9
19
B.4.3. Aufgabe 10
20
B.4.4. Aufgabe 11
21
B.5. Konstruktion mit der Reflexionseigenschaft der Ellipse
22
B.5.1. Nachweis
22
B.5.2. Aufgabe 15
23
B.5.3. Aufgabe 5
24
C. Literaturverzeichnis
25
- 3 -
A. Die Ellipse als Kegelschnitt
A.1. Definition der Kegelschnitte
Der Schnitt eines
geraden Doppelkreiskegels mit dem halben
Öffnungswinkel
(=Winkel zwischen Kegelachse a und Kegelmantel) mit
einer Ebene E wird als Kegelschnitt oder als Kegelschnittskurve bezeichnet.
Die Form dieser Kegelschnitte wird durch
und dem Winkel
zwischen der
Schnittebene E und der Kegelachse (0
°
90°
) bestimmt. Verändert man
den Abstand zwischen der Ebene E und dem Berührpunkt S der beiden
Kegelhälften, so vergrößert beziehungsweise verkleinert man den
Kegelschnitt (Abb 1).
,,Diese Kurven haben in Naturwissenschaft und Technik eine große
Bedeutung. Sie treten beispielsweise als Bilder eines Kreises bei einer
Zentralprojektion, als Querschnitte von Reflektoren und als Bahnkurven von
Himmelskörpern auf." [2; Seite: 181]
H
INWEIS
: Der Fall, daß die Schnittebene E durch den Punkt S geht, wird bei
folgenden Überlegungen ausgeschlossen, da als Schnittfigur entweder ein
Punkt oder eine bzw. zwei sich schneidende Gerade(n) entstehen.
Abb. 1 - Drei verschiedene Kegelschnitte [nach 1; Seite: 181]
Die senkrechte Projektion der Kegelachse auf die Ebene E ergibt die Gerade
e, die Schnittpunkte dieser Geraden mit dem Mantel nennt man A1 und
gegebenemfalls A3. Die Mantellinien m1 und m2 sind die Verbindungen
dieser Punkte mit S (Abb. 2). Schneidet e den Mantel nur einmal, ist m2 eine
Gerade aus dem Kegelmantel, die echt parallel zu e ist.
(Siehe Abb. 2 - Fall 1)
- 4 -
A.2. Die Dandelinischen Kugeln
Nun existieren ein oder zwei Kugeln, die sowohl den Kegelmantel von Innen,
als auch die Ebene E berühren. Diese Kugeln nennt man die Dandelinischen
Kugeln
1
. Betrachtet man die Kugel(n) hinsichtlich ihrer Lage gegenüber der
Schnittebene und des Punktes S, kann man 3 Fälle unterscheiden (Abb. 2).
Abb. 2 - Schnitt an einer Ebene aufgespannt durch e, m1
Fall 1 tritt ein wenn
=
. Hierbei schneidet die Ebene nur einen Doppel-
kegel, da sie parallel zu einer Mantellinie m2 verläuft (
und
sind die Z-
Winkel an den parallelen Geraden m2 und e).Es existiert nur eine
Dandelinische Kugel. Genauere Untersuchungen zeigen, daß es sich bei
der Schnittfigur um eine Parabel handelt.
Fall 2 ergibt sich, wenn
>
. Die Ebene schneidet aus ersichtlichen Gründen
beide Kegelhälften. e schneidet m1 und m2 je einmal auf verschiedenen
Kegelhälften. Es existieren zwei Dandelinische Kugeln, je eine auf jedem
Einfachkegel. Nun kann man zeigen, daß es sich bei dem Kegelschnitt
um eine Hyperbel handelt.
Fall 3 tritt auf, wenn
<
. e schneidet m1 und m2 auf einer Seite des
Doppelkegels. Daraus folgt unmittelbar, daß der daraus resultierende
Kegelschnitt eine ,,kreisähnliche", in sich geschlossene Figur sein muss.
1
"Nach dem belgischen Festungsbaumeister und Mathematiker P
IERRE
G
ERMINAL
D
ANDELIN
,
1794-1847" [2, Seite: 182]
- 5 -
Wie man auf der Skizze erkennt, gibt es zwei Dandelinische Kugeln auf
einer Seite des Einfachkegels, die die Ebene von beiden Seiten
berühren. (
A.3.)
A.3. Die Ellipse als Kegelschnitt
Betrachtet man oben aufgeführten 3.Fall, liegt die Vermutung nahe, daß es
sich bei dem Kegelschnitt um eine Ellipse handelt. Dies werde ich im
folgenden nachweisen.
Die Berührpunkte der Kugeln mit der Ebene heissen F1 und F2. P ist ein
beliebiger Punkt des Kegelschnitts. Die Berührpunkte von [SP mit den zwei
Dandelinischen Kugeln sind B1 und B2. Nun gilt:
PF
PB
PF
PB
PF
PF
PB
PB
B B
1
1
2
2
1
2
1
2
1 2
=
=
+
=
+
=
(sich schneidende Tangentenabschnitte)
( " " )
[vergleiche hierzu 2,182]
Da B B
1 2
bei einem beliebigen Punkt P immer konstant ist, ist die Summe der
Abstände aller Punkte des Kegelschnitts zu F1 und F2 konstant. Dies ist die
Definitionseigenschaft einer Ellipse.
Abb. 3 - Die Dandelinischen Kugeln [nach 2, Seite:182]
- 6 -
B. Konstruktionsaufgaben
B.1. Bezeichner
Symbolik:
Kreis um M mit dem Radius r
K(M;r)
Lot von P auf die Gerade g (kann über P und g hinausgehen: L(P,g)
Abstand eines Punktes P von einer Geraden g:
d(P,g)
Parallelstreckung mit Achse a, Richtung r, Faktor k:
(a,r,k)
Es gilt: Geradentreue, Flächenverhältnistreue, Parallelentreue
Punkte die auf der Achse a liegen sind Fixpunkte.
Steht a senkrecht auf r, so spricht man von einer eulerschen Affinität.
Parallelstreckung einer Punktmenge P mit der Achse a, der Richtung r
und
dem
Faktor
k: P'=
(a,r,k)(P)
Umkehrung einer Parallelstreckung
-1
Bezeichner werden wie folgt verwendet:
Abb. 4: Bezeichner
- 7 -
Hinweise zu Abb. 4:
·
a und b sind die beiden Halbachsen der Ellipse
·
ein Kreis um A2 mit dem Radius a schneidet die x-Achse in F1 und F2
·
MF
MF
e
1
2
=
=
·
K1 ist ein Kreis um M mit dem Radius a
·
K2 ist ein Kreis um M mit dem Radius b
·
eine Tangente schneidet die x-Achse in S und die y-Achse in T
·
t
0
=MT ; s=MS.
Grundkonstruktionen:
Es werden folgende Grundkonstruktionen als bekannt vorausgesetzt:
·
Parallele zu Gerade durch Punkt;
·
Lot durch Punkt auf Gerade
·
Mittelsenkrechte zwischen zwei Punkten
·
Mittelpunkt einer Strecke
Des weiteren wird vorausgesetzt, daß bei bekanntem a - A1,A3 und K1
nicht eigens konstruiert werden müssen und umgekehrt. Dasselbe gilt für
b,A2,A4,K2 und e,F1,F2
B.2. Einfache Aufgaben
B.2.1. Aufgabe 1
Gegeben: a=6; b=4
Gesucht: Punkte P1, P2, ...; F1, F2
F1 und F2: Die Brennpunkte F1 und
F2 erhält man durch den Schnitt
von K(A2;r=a) und der x-Achse
P1 wird durch die ,,große" Papier-
streifenkonstruktion konstruiert.
[nach 1; Seite: 30]
1.
K(H1
x-Achse; r=a+b)
schneidet die y-Achse in H2
Abb. 5 Aufgabe 1
- 8 -
2. K(H1, r=b) schneidet
[H1H2] in P1
P2 erhält man durch die ,,kleine" Papierstreifenkonstruktion. [nach 1, Seite 30]
1.
K(H3
y-Achse; r=a-b) schneidet die x-Achse in H4
2. K(H3, r=(a-b)+b=a) schneidet [H3H4 in P2
P3: Konstruktion nach der ,,Gärtnermethode". [nach 1, Seite 30]
Nutzt die Eigenschaft, daß PF
PF
a
1
2
2
+
=
1. [H5H6] ist eine beliebige Strecke der Länge 2a
2.
T
[H5H6]
3. K(F1, r=H T
5
H5T) schneidet K(F2, r=H T
6
) in P3
P4: Der Konstruktionsmechanismus von P4 ist eine direkte Folge der
Parameterdarstellung der Ellipse. Jeder Punkt P(x/y) der Ellipse ist auf
folgende Art darstellbar: x= a cos(w) ; y= b sin(w) (Siehe Abb. 4).
w ist der Winkel eines beliebigen Strahls von M aus, der K1 in H7 und
K2 in H8 schneidet. Die Parallelen zur x-Achse durch H8 und zur y-
Achse durch H7 treffen sich in P4. Da die x-Koordinate des Punktes P
nun gleich a cos(t) und die y-Koordinate gleich b sin(t) ist, muß der Punkt
auf der Ellipse liegen.
- 9 -
B.2.2. Aufgabe 2
Gegeben: a=4; b=7
Gesucht: Einige Punkte; F1,F2; Kr1,Kr2
P1: Konstruktion durch die Parameter-
konstruktion wie in Aufgabe 1
1. [M, H1
K1] schneidet K2 in H2
2. l(H1, x-Achse) schneidet l(H2, y-Achse)
in P1
P2,P3,P4: Eine einfache Möglichkeit, die
Anzahl der konstruierten Punkte zu vervier-
fachen, bieten die Symmetrieeigenschaften
der Ellipse. Da die Ellipse in sich zu M
Punkt- und zu der X- und Y-Achse Achsen- symmetrisch ist, kann man
durch Kongruenzabbildungen einen Punkt auf 3 neue Punkte abbilden.
1. L(P1, y-Achse) schneidet K(M; r=MP1) in P3
2. L(P1, x-Achse) schneidet K(M; r=MP1) in P2
3. [P1M schneidet K(M, MP1) in P4
F1, F2: Da a kleiner als b, liegen die Brennpunkte auf der y-Achse. Man
erhält sie, indem man diese Achse mit K(A1; r=b) schneidet.
Kr1, Kr2, Kr3, Kr4 (Abb. 7) sind die Mittelpunkte der sogenannten
,,Krümmungskreise". Diese Kreise helfen, schnell ein brauchbares Bild
der Ellipse zu erhalten. Konstruktion: [nach 1, Seite: 31/32]
H3 ist der Schnittpunkt von L(A1,x) und L(A2,y)
H4 ist der Schnittpunkt von L(A3,x) und L(A2,y)
H5 ist der Schnittpunkt von L(A1,x) und L(A4,y)
H6 ist der Schnittpunkt von L(A3,x) und L(A4,y)
Das Lot von H6 auf [H4H5] schneidet die x-Achse in Kr1 und die y-Achse in
Kr2. Das Lot von H3 auf [H4H5] schneidet die x-Achse in Kr3 und die y-
Achse in Kr4
Die Krümmungskreise sind nun
K(Kr1,r = Kr1 A3), K(Kr2,r = Kr2 A4), K(Kr3,r = Kr3 A1), K(Kr4,r = Kr4 A2)
Abb.6: Aufgabe 2 - P1-4; F1,F2
- 10 -
Abb. 7 - Aufgabe 2 - Krümmungskreise Abb. 8 - Aufgabe 3
B.2.3. Aufgabe 3
Gegeben: a=5; P(3/2)
Gesucht: b; F1,F2
b erhält man durch die Umkehrung der in Aufgabe 1 verwendeten Methode
zur Konstruktion von P4 durch Parameterdarstellung der Ellipse.
1. H1 ist der Schnittpunkt von L(P,x) und K1(M,r=a=5)
2. H2 ist der Schnittpunkt von L(P,y) und [H1,M]
3. [MH2] ist der Radius des von K2
a
MH
=
2
F1, F2 sind die Schnittpunkte von K(A2,a) und der x-Achse, da b²+e²=a²
B.2.4. Aufgabe 4
Gegeben: b=4 ; P(4/3)
Gesucht: a
a: Auf ähnliche Art, wie man bei Aufgabe 3 ,,b"
erhalten hat, konstruiert man nun ,,a"
1. L(P, y-Achse) schneidet K(M; r=b) in H1
2. [MH1 schneidet l(P, x-Achse) in H2
3. [MH2] ist der Radius des Kreises K1
a
MH
=
2
Abb. 9 - Aufgabe 9
- 11 -
B.3. Konstruktionen mit der ,,Eulerschen Affinität"
B.3.1. Die Ellipse als affines Abbild des Kreises
[vergleiche hierzu 2; Seite 193]
Ein Kreis mit der Gleichung
x² + y² = a²
mit a>b kann als das Bild einer Ellipse mit der Gleichung
x
a
y
b
²
²
²
²
+
=
1
bei orthogonaler Parallelstreckung (eulerschen Affinität) an der x-Achse mit
dem Faktor
a
b
aufgefaßt werden. Denn setzt man
x'=x, y'=
a
b
y,
dann geht die Ellipsengleichung in die Kreisgleichung über
Der Kreis K1 ist also durch eine affine Parallelstreckung
(x,y,
a
b
) der Ellipse
in Richtung der y-Achse im Verhältnis
a
b
entstanden. Da x und y aufeinander
senkrecht stehen, handelt es sich hierbei um eine ,,eulersche Affinität"
zwischen Kreis und Ellipse
Hinweis: Um eine Strecke c mit dem Faktor
a
b
zu
strecken, geht man folgendermaßen vor (Abb. 11):
An einem Ende der Strecke c wird unter einem
beliebigen Winkel eine Hilfsgerade h angetragen. An
diese trägt man nun von dem Schnittpunkt S
ausgehend die Strecken a und b an. Die Parallele zu
AC durch B schneidet [SC in C'. Die Dreiecke ASC
und BSC' sind ähnlich, deshalb gilt:
a
b
c
c
c
=
'
c' =
a
b
(Strahlensatz).
Diese Einzelschritte einer solchen Streckung oder einer Parallel-
streckung eines Punktes (z.B. P' =
(x,y,
a
b
)(P) ) werden im weiteren Text
nicht mehr einzeln explizit aufgeführt, um die Übersichtlichkeit zu
verbessern.
Abb. 10
- 12 -
B.3.2. Aufgabe 14
Gegeben: P(3/2.4); a:b = 5:4
Gesucht: a und b
P' erhält man durch Parallelstreckung des
Punktes P an der y-Achse im Verhältnis 5:4.
(P'=
(x,y,
a
b
)(P) )
a: Dieser Punkt P' muß nun auf dem Kreis
K1(M;r=a) liegen.
[MP'] ist der Radius des Kreises K1
a=MP'
b: l(P;PP') schneidet MP' in H.
[MH] ist der Radius des Kreises K2
b=MH
B.3.3. Ellipsen und Tangenten
t ist nun die Tangente an eine Ellipse durch
den Ellipsenpunkt B(x
E
,y
E
). t' ist die
Tangente an den Kreis K1(M;r=a) mit dem
Berührpunkt B'(x
K1
=x
E
,y
K1
). (B und B'
liegen also auf der selben Parallele zur y-
Achse)
Zu beweisen ist nun, daß auch t durch
(x,y,
a
b
) in t' übergeht.
Da zwei Geraden durch zwei Punkte eindeutig definiert sind und B durch
(x,y,
a
b
) in B' übergeht (vergl. B.3.1.), genügt es zu beweisen, daß sich t und
t' auf der x-Achse im Fixpunkt S (bezüglich
) schneiden.
Beweis:
Tangentengleichung
x
y
a²
Tangentengleichung E
x
y y
a²
K
a
b
E
Kreis durch Punkt B'(x , y ) :
x
y
(I) [nach 1; Seite: 15]
llipse durch Punkt B(x , y ) :
x
(II) [nach 1; Seite: 33]
K1
K1
K1
E
E
E
+
-
=
+
-
=
1
0
0
²
²
( )
( )
²
²
²
²
²
²
I
II
x
y
a
x
y y
a
x
y
x
y y
K
a
b
E
K
a
b
E
=
+
-
=
+
-
+
=
+
x
y
x
x
y
x
K1
E
K1
E
1
1
Abb. 11 - Aufgabe 14
Abb. 12 - Ellipse + Tangente
- 13 -
Es gilt:
x
y
x
y y
x
y y
y
y y
K
a
b
E
a
b
E
a
b
E
E
a
b
E
x
y
x
x
y
y = 0
E
K1
E
E
=
=
+
=
+
=
1
;
²
²
y in (I):
x
a
a
K
x
E
x
y
x
x
S
(
q. e. d.
K1
K1
t t'
a²
x
K1
+
-
=
=
=
1
0
0
0
²
²
/ )
Aufgrund dieser Eigenschaft der Ellipse ergibt sich eine sehr effiziente
Möglichkeit Tangenten an Ellipsen zu konstruieren. (Siehe Aufg. 8)
B.3.4. Aufgabe 8
Gegeben: a=3; b=2; P(7/6)
Gesucht: Tangente von P an die Ellipse
Alle vorgegebenen Elemente,
also der Punkt P(7/6) und die
noch nicht konstruierte Ellipse
werden im Verhältnis
a
b
in
Richtung y-Achse gestreckt. Der
Punkt P geht über in den Punkt
P'(6/
a
b
7). Das Bild der Ellipse
ergibt, wie in B.3.1. bewiesen,
den Kreis K1(M, r=a=3).
Da die gesuchte Tangente t durch den Punkt P geht, verläuft auch die
Bildtangente t' an K1 durch den Punkt P' (B:3.3.). Mit Hilfe des Thaleskreises
über [MP'] konstruiert man die Tangente t'.
T' schneidet die x-Achse in S. S ist ein Fixpunkt bezüglich der oben
vollzogenen Streckung; deshalb ist SP die Tangente von P an die Ellipse.
Abb. 13 - Aufgabe 8
- 14 -
B.3.5. Aufgabe 6
Gegeben: a=5; b=3; Geraden x=3; y=1,5; 3x-5y-3=0
Gesucht: Schnittpunkte mit den Geraden
Hinweis: Die Konstruktion der vorgegebenen Geraden wird hier nicht explizit
geschildert.
Schnittpunkt mit x=3: (Abb. 14)
Da der Kreis K1 durch eine Streckung der
Ellipse in y-Richtung hervorgegangen ist,
schneidet die senkrechte Gerade g: x=3
K1 mit dem selben Abstand zur y-Achse
wie die Ellipse.
Man konstruiert den Punkt unter Zuhilfe-
nahme der Parameterdarstellung der
Ellipse.
(siehe B.2.1. - P4)
g schneidet K1 in H1.
[MH1 schneidet K1 in H2.
S1 ist der Fußpunkt des Lotes von H2 auf g
S2 erhält man analog, wobei man für H1 den anderen Schnittpunkt von
K1 und g verwendet
Schnittpunkt mit y=1,5:(Abb. 15)
Da der Kreis K2 durch eine Stauchung
der Ellipse in x-Richtung entstanden ist,
schneidet die waagrechte Gerade g:
y=1,5 K2 mit dem selben Abstand zur x-
Achse wie die Ellipse.
Man konstruiert den Punkt unter Zuhilfe-
nahme der Parameterdarstellung der
Ellipse.
g schneidet K2 in H1
[MH1 schneidet K2 in H2.
S1 ist der Fußpunkt des Lotes von H2 auf g
Abb.14 - Aufg.6 - x=3
Abb.15 - Aufg.6 - y=1,5
- 15 -
S2 erhält man auch hier analog, wobei man für H1 den anderen
Schnittpunkt von K2 und g verwendet.
Schnittpunkt mit 3x-5y-3=0 (Abb. 16)
Unmittelbar aus B.3.1. und der
Geradentreue der Parallelstreckung folgt,
daß der Schnittpunkt einer Ellipse mit einer
Geraden die selbe x-Koordinate wie der
Schnittpunkt der Bildgerade mit dem Bild der
Ellipse, also dem Kreis K1 hat.
g'=
(x,y,
a
b
)(g). Diese erhält man, indem man
einen beliebigen Punkt der Gerade durch
in P' überführt und mit dem
Schnittpunkt von g mit der x-Achse (Fixpunkt bezüglich
) verbindet.
Die Schnittpunkte S1' und S2' der Gerade g' mit K1 müssen nun den selben
Abstand zur y-Achse haben wie S1 und S2.
Fällt man nun die Lote von S1 und S2 auf die x-Achse, so schneiden diese
die Gerade g in S1 und S2. Da diese gleichzeitig auf der Ellipse liegen,
handelt es sich hierbei um die gesuchten Schnittpunkte.
Abb.16 - Aufg.6 - 3x-5y-3=0
- 16 -
B.3.6. Aufgabe 7
Gegeben: a=6; b=4; Gerade g: y=0,3x
Gesucht: Tangente parallel zu g
Die Bildtangente t'=
(x,y,
a
b
)(t) an K1 ist parallel zu g'=
(x,y,
a
b
)(g)
(Parallelentreue der eulerschen Affinität).
g': =
(x,y,
a
b
)(g) (Konstruktion wie in B.3.5.)
t' Das Lot l(M;g') schneidet K1 in B.
Die Parallele zu g' durch B ist nun die Bildtangente t', die durch
-1
in die
gesuchte Tangene t übergeht.
S ist der Schnittpunkt von t' mit der x-Achse. (Fixpunkt gegenüber
).
t ist die Parallele zu g durch S
Abb: 17 - Aufgabe 7
B.3.7. Aufgabe 12
Gegeben: a=5; b=3
Gesucht: In die Ellipse ist ein Quadrat einzubeschreiben
Aus den Symmetrieeigenschaften der Ellipse ergibt sich, daß das gesuchte
Quadrat zu M punktsymmetrisch und damit dessen Kanten zu x und y-Achse
parallel sein müssen.
Die Ecken aller Quadrate mit diesen Eigenschaften ,,laufen" auf der Funktion
y=
±
x. Findet man einen Schnittpunkt eines Astes dieser Funktion mit der
Ellipse, kann man durch Achsen und Punktspiegelungen die anderen
Eckpunkte des Quadrats ermitteln.
- 17 -
g: y=x
g': =
(x,y,
a
b
)(g)
(Konstruktion wie in B.3.5.)
H ist der Schnittpunkt von K1 und g'.
g' schneidet nun K1 mit dem selben
Abstand zur y-Achse wie die Gerade g
die Ellipse.
P1 ist der Schnittpunkt von
l(H,x-Achse) und g.
Die Punkte P2 und P4 erhält man als
Achsenspiegelungen von P1 an X und Y-Achse, P3 ist das
Punktspiegelbild von P1 am Zentrum M
Diese Punkte liegen auf der Ellipse (Symmetrieeigenschaft der Ellipse) und
haben von X und Y-Achse gleichen Abstand. Deshalb ist das Viereck
P1P2P3P4 ein Quadrat, dessen Eckpunkte auf der Ellipse liegen.
B.3.8. Aufgabe 13
Gegeben: a=5; b=3
Gesucht: In die Ellipse ist ein Rechteck einzubeschreiben,
dessen Seiten sich wie 2:1 verhalten
Auch hier ergibt sich aus den Symmetrieeigenschaften der Ellipse, daß das
gesuchte Rechteck zu M punktsymmetrisch und dessen Kanten zu x und y-
Achse parallel sein müssen.
Die Ecken aller Rechtecke mit
diesen Eigenschaften, dessen
Seiten sich zudem wie 2:1 verhalten,
,,laufen" zum Beispiel auf der
Funktionen y=
±
½x.
Die Konstruktion der Schnittpunkte
dieser Funktion mit der Ellipse
verläuft völlig analog zu der
Konstruktion von Aufgabe
12
(B.3.7.), natürlich mit veränderter Gerade g=½x.
Abb 18 - Aufgabe 12
Abb. 19 - Aufgabe 13
- 18 -
B.3.9. Aufgabe 16
Gegeben: a:b = 3:2; Tangente t: y=-
2
3
x+4
Gesucht: a und b; Berührpunkt B
Da das Verhältnis a:b bekannt ist, kann man
leicht die Bildgerade g'=
(x,y,
a
b
)(g)
ermitteln.
t':=
(x,y,
a
b
)(t)
(vergleiche B.3.5. - Konstruktion von g')
B' ist Berührpunkt dieser Gerade mit dem Kreis K1. (
Winkel SB'M=90
°
)
B':DerThaleskreis über [MS] schneidet g' in B'
Nach B.3.3. muß dieser Punkt den gleichen Abstand zur y-Achse haben wie B
B: l(B'; x-Achse) schneidet die Tangente t in B
a: [MB'] ist der Radius von K1, deshallb ist a
MB
=
'
b: l(B; y-Achse) schneidet [MB'] in H
[MH] ist der Radius von K2, deshalb ist b
MH
=
B.4. Konstruktionen mit der Relation b²=t
0
*y und a²=s*x
B.4.1. Herleitung
Der obere Ast einer Ellipse hat in dem Ellipsenpunkt P(x
0
/y
0
) die Steigung
f x
b x
a y
'(
)
²
²
0
0
0
= -
d.h. auch alle Tangenten zu der Ellipse durch diesen Punkt haben die
Steigung:
m
b x
a y
t
= -
²
²
0
0
Um den x-Abschnitt t der Tangente zu erhalten, setze ich m
t
in y=mx+t
0
ein:
y mx t
y
b x
a y
x t
=
+
= -
+
0
0
0
0
²
²
Löst man die Ellipsengleichung nach x auf so erhält man x
b
y
a
b
=
-
²
² . Will
man in obiger Gleichung t erhalten, so muß man einen Punkt, durch den die
Abb. 20 - Aufgabe 16
- 19 -
Tangente verläuft, einsetzen. Setzt man nun also x=x
0
=
a
b
b
y
²
-
0
2
und y=y
0
so erhält man:
t
y
b x
a y
x
t
y
b
y
a y
t
y
y
y
t
y
b
y
y
a
b
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
= +
=
+
-
=
+
-
=
+
-
²
²
²
(b²
)
²
(b²
)
²
²
²
t
b
y
0
=
²
In B.3.3. haben wir bewiesen, daß die obige
Tangente die x-Achse in S(
a
x
²
0
/0) schneidet. Somit
ist s = MS
a²
x
=
0
B.4.2. Aufgabe 9
Gegeben: a=6; Tangente y=
1
2
x-5
Gesucht: b; Berührpunkt B
Es gilt: s
a²
x
=
0
x = a
a
s
0
Man erhält also den x-Abstand des
Berührpunktes indem man a im
Verhältnis
a
s
staucht.
x
0
: An einer Hilfsgerade h (
x-Achse), die
durch M verläuft, wird s und a
angetragen.
Die Parallele zu A1S' durch A1'
schneidet die x-Achse in H1.
Nach dem Strahlensatz ist
x
a
MH
a
s
0
1
=
=
(vergleiche B.3.1. - Hinweis)
P: Das Lot von H1 auf die x-Achse schneidet t in B.
Abb 21 - geometrische
Veranschaulichung
Abb 22 - Aufgabe 9
- 20 -
b: [H1B schneidet K1 in H2.
l(B; y-Achse) schneidet [MH2] in H3
[MH3] ist der Radius des Kreises K2,
b
MH
=
3
.
B.4.3. Aufgabe 10
Gegeben: b=4; Tangente:
y
x
= -
+
16
15
20
3
Gesucht: a; Berührpunkt B
Es gilt: t
b
y
b
b
t
0
0
0
=
=
²
y
0
Man erhält also den y-Abstand des
Berührpunktes, indem man b im
Verhältnis
b
t
0
staucht (vergl. Aufgabe 9 -B.4.2.).
y
0
An einer Hilfsgerade h(
y-Achse), die durch M verläuft, wird t
0
und b
angetragen.
Die Parallele zu A2T' durch A2' schneidet die y-Achse in H1.
Nach dem Strahlensatz in b
MH
y
b
t
0
1
0
=
=
B: Das Lot von H1 auf die y-Achse schneidet t in B
a: [H1B schneidet K2 in H2.
l(B; x-Achse) schneidet [MH2 in H3
[MH3] ist der Radius des Kreises K1,
a
MH
=
3
Abb. 24 - Aufgabe 10
- 21 -
B.4.4. Aufgabe 11
Gegeben: Tangente x+2y-12=0; B(4;4)
Tangente
Gesucht: a und b
Es gilt: s
a
x
x
=
²
0
0
a = s
Hilfskonstruktion: Halbkreis über einer Strecke der Länge x+s
Die Randpunkte dieser Strecke heißen X
0
' und S'
M' teilt [X
0
' S'] daß M S
s
' '
=
Das Lot auf [X
0
' S'] durch M' schneidet den Halbkreis in A1'.
Das Dreeick X
0
' S' A1' ist nach dem Satz über den Thaleskreis rechtwinklig,
so daß nun nach dem Höhensatz gilt:
A M
x
s A M
x
s
a
1
1
2
0
0
' '
' '
=
=
=
Der Kreis K1(M; r=a) schneidet l(B; x-Achse) in H1
l(B; y-Achse) schneidet [MH1] in H2
[MH2] ist der Radius des Kreies K2
b
MH
=
2
Abb. 24 - Aufgabe 11
- 22 -
B.5. Konstruktion mit der Reflexionseigenschaft der Ellipse
B.5.1. Nachweis
Abb 25 - Reflexionseigenschaft der Ellipse
Behauptung: In jedem Ellipsenpunkt B wird der Winkel F1BF2 von der
Ellipsennormalen n halbiert.
Beweis: (nach 2, Seite: 197/198)
Die Ellipsennormale in B ist die zur Ellipsentangente in B orthogonale
Gerade. Die Strecke [F1B] wird über B hinaus bis zum Punkt F2' so
verlängert, daß gilt F F
1 2'
2a
=
. Die Winkelhalbierende t von Winkel
F2BF2' ist auch die Mittelsenkrechte von F2F2', denn das Dreieck F2BF2'
ist gleichschenklig. Die Gerade t enthält außer B keinen weiteren
Ellipsenpunkt, denn für Q
t mit Q
B gilt aufgrund der Dreiecks-
ungleichung: QF
QF
QF
QF
BF
BF
1
2
1
2'
1
2'
2a
+
=
+
>
+
=
.
Daher ist t die Ellipsentangente in B. Sie halbiert den Winkel F2BF2', also
halbiert die Normale n in B auch den Winkel F1BF2. q.e.d.
Als Anwendung dieser Eigenschaft ergibt sich, daß ein von F1 ausgehender
Strahl an der Ellipse so reflektiert wird, daß er durch F2 ,,weiterläuft".
,,Diese Eigenschaft erklärt auch die Bezeichnung ,,Brennpunkt" für F1 bzw.
F2; denn gehen bei einem elliptischen Spiegel von einem der Brennpunkte
Licht oder Wärmestrahlen aus, so vereinigen sich diese nach der Reflexion
in dem anderen Brennpunkt." [3, Seite: 178]
- 23 -
B.5.2. Aufgabe 15
Gegeben: F2, Tangente
Gesucht: a und b
F1: erhält man indem man F2 an der y-Achse spiegelt
F1' erhält man indem man F1 an der Tangente spiegelt
K(F1,r=beliebig) schneidet t in H1 und H2
K(H1,r) schneidet K(H2,r) in F1 und F2'
B liegt auf [F2,F1'] und der Tangente
Nun gilt:
F1BH1=
F1'BH1
(Winkeltreue der Achsenspiegelung)
F2BH2=
F1'BH1
(Scheitelwinkel)
F1BH1=
F2BH2
d.h. der Punkt B liegt auf der Ellipse mit den Brennpunkten F1 und F2, deren
Tangente im Punkt B gleich t ist.
a: Da F B F B
a
1
2
2
+
=
gilt (Definition der Ellipse) und F B
F B
1
1
=
'
(Längentreue
der Achsenspiegelung) gilt 2
1
2
1
2
2 1
a
F B F B
F B BF
F F
=
+
=
+
=
'
'
.
Wenn T der MittelPunkt von [F2F1'] ist, so ist F2T
a
=
.
b = a
e
²
²
-
Konstruktion nach Satz des Pytagoras am rechten Winkel
F2MA4
Abb. 26 - Aufgabe 15
- 24 -
B.5.3. Aufgabe 5
Gegeben: a=5; e=3
Gesucht: b; Tangente in P
E
F1,F2: K(M;r=e) schneidet die x-Achse
in F1 und F2.
b: K(F1;r=a) schneidet y-Achse in A2.
MA
b
2
=
da:
A2MF1=90
°
und
a²=e²+b² (Pythagoras)
[A3'A1'] ist eine beliebige Strecke der
Länge 2a
T ein beliebiger Punkt innerhalb von [A3'A1']
P liegt auf dem Schnittpunkt von K(F2;r=A T
3'
) und K(F1; r=A T
1'
)
(Gärtnerkonstruktion)
Verlängert man [F1P] um PF2 erhält man als neuen Endpunkt F2'
t ist das Lot von P auf [F2;F2']
H1 liegt auf t und x-Achse
H2 liegt auf t und y-Achse
Es gilt:
=
=
F PH
F PH
F PH
F PH
2
1
2
1
2
1
2
1
'
'
(gleichschenkliges Dreieck PF2F2' und t [F2F2')]
F1PH2 =
(Scheitelwinkel)
F1PH2
t ist die Tangente durch P an die Ellipse.
Abb. 27 - Aufgabe 5
- 25 -
C. Literaturverzeichnis
[1]
Demmig, Richard, Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel,
Nauheim: Demmig,
3
1977
[2]
Scheid, Harald, Elemente der Geometrie,
Heidelberg, Berlin, Oxford: Spektrum, Akad. Verl.,
2
1996
[3]
Kroll, Wolfgang, Lehr und Arbeitsbuch: Differentialrechnung 2,
Bonn: Dümmler, 1986
Hans-Jürgen Streibel
Die Ellipse als Kegelschnitt.
Kann mir jemand sagen, wie ich die Datei
mathe-elipse.doc öffnen kann. Mit Word2000 funktioniert es nicht.
Gruss Hans-Jürgen Streibel
on Thursday, March 01, 2001-