Hausarbeit

im Seminar (WS′99/2000)

Wahrnehmung II

Dozent

Dr. Gisela Böhm

Die mathematischen Grundlagen der Statistik:

Mengen ­ Relationen - Funktionen

von Jacqueline Konrad

5. Fachsemester

Diplom Erziehungswissenschaften / Erwachsenenbildung

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Inhalt

1. EINLEITUNG 3

2. MENGEN 5

2.1. DER MENGENBEGRIFF 5

2.2. OPERATIONEN MIT MENGEN 7

2.2.1. Durchschnitt 7

2.2.2. Vereinigung 7

2.2.3. Differenz 8

2.2.4. Komplement 8

2.3. MENGENALGEBRA 11

3. RELATIONEN 12

3.1. KARTESISCHES PRODUKT 12

3.2. RELATIONEN 13

4. FUNKTIONEN 16

5. RELATIVE 20

6. LITERATURVERZEICHNIS 22

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3

1. Einleitung

Die Mathematik und die Statistik sind beides Wissenschaften. Ihr

Zusammenhang ergibt sich aus deren Gegenständen. Die

Mathematik

ist

die Wissenschaft von den quantitativen Verhältnissen und den räumlichen

Beziehungen der Wirklichkeit. Weil die Mathematik die quantitativen

Bestimmtheiten der materiellen Dinge und Erscheinungen untersucht, ist ihre

Anwendbarkeit nicht auf einzelne Bereiche beschränkt. Der

Anwendungsbereich der Mathematik als Grundwissenschaft erstreckt sich

auf die Naturwissenschaften, die technischen Wissenschaften, die

Wirtschaftswissenschaften und nicht zuletzt auf die Statistik.

In welcher Weise durch Anwendung mathematischer Hilfsmittel das Wesen

der Erscheinung erfaßt wird, muß die betreffende Einzelwissenschaft

entscheiden, in deren Gegenstandsbereich die Erscheinung fällt. Erst durch

die Analyse der Erscheinungen wird die Möglichkeit der Anwendbarkeit

bestimmter mathematischer Methoden oder gar die Notwendigkeit der

Entwicklung neuer mathematischer Begriffsbildungen herausgearbeitet.

Wichtige selbständige Teilgebiete der Mathematik sind neben Analysis,

Arithmetik, Ausgleichs- und Fehlerrechnung auch die

Wahrscheinlichkeitsrechnung, Zahlentheorie und Mengenlehre.

Die

Statistik

erforscht die erfahrungsgemäßen Gesetze, die bei

Massenerscheinungen auftreten. Sie findet im gesellschaftlichen und

wirtschaftlichen Leben, aber auch in den Naturwissenschaften, wie zum

Beispiel in der Biologie und Physik, ihre vielfache Anwendung. Aber auch bei

wissenschaftlichen Untersuchungen in der Psychologie, Soziologie und

Pädagogik haben die statistischen Methoden im zunehmenden Maße ihren

festen Platz. Die Grundaufgabe der Statistik ist die Sammlung und

Auswertung statistischer Daten. Statistische Daten sind zahlenmäßige

Angaben über die zu untersuchende Menge gleichartiger Einzeldinge, der

statistischen Massen. Die Frage nach der zweckmäßigsten Methode zur

Gewinnung des statistischen Zahlenmaterials führt bereits auf vielfältige

Probleme. Eindeutig jedoch ist, daß die statistischen Daten mit den

Teilgebieten der Mathematik erfaßt, aufbereitet, dargestellt und ausgewertet

werden. Die Gesamtheit der Methoden zum Verarbeiten und Auswerten der

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4

statistischen Daten ist die mathematische Statistik, ein Zweig der

angewandten Mathematik.

Diese Arbeit behandelt ausgewählte mathematische Grundlagen der

Statistik:

Mengen ­ Relationen ­ Funktionen

, welche durch eine

Erläuterung der mathematischen Begriffe, deren statistische Verwertung und

Anreicherungen durch Bespiele lehrhaft in der Folge dargestellt werden.

Die mathematischen Inhalte sind so umfassend, daß sie nur eingegrenzt

wiedergegeben werden können. Die Ausführungen setzen Grundkenntnisse

der Mathematik voraus und erfordern ein hohes Abstraktionsvermögen.

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5

2. Mengen

2.1. Der

Mengenbegriff

Als Begründer der Mengenlehre gilt Georg Cantor (1845-1918). Die

Bedeutung, der von ihm geprägten Begriffe wurde nicht sofort erkannt. Heute

ist die Mengenlehre zu einem weit ausgebauten Zweig der Mathematik und

deren Anwendungen geworden. Die Menge wurde damit zu einem

Grundbegriff der Mathematik.

Die

Menge

ist: ,,jede Zusammenfassung von bestimmten,

wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens

(welche die Elemente der Menge genannt werden) zu einem Ganzen"1.

,,Wohlunterschieden" heißt in diesem Fall, daß es im Prinzip möglich sein

muß, die einzelnen Objekte zweifelsfrei einer bestimmten Menge zu

zuordnen oder nicht. Beispiele für eine eindeutige Zuordnung sind: Menge

der Schüler einer Klasse oder Menge der gegenwärtig auf der Erde lebenden

Menschen. Beispiele einer kritischen Zuordnung, also unscharfe Mengen

(

Fuzzy-Mengen

), sind: Menge der Schüler einer Klasse, die klug sind oder

Menge aller Patienten, die unter starken Schmerzen leiden. In beiden

letztgenannten Beispielen ist die Zuordnung durch subjektives Empfinden

nicht zweifelsfrei.

Eine Menge ist endlich oder unendlich, je nach dem ob sie endlich viele oder

unendlich viele Elemente enthält. Auch hierfür lassen sich einige Beispiele

anführen. Die gegenwärtig auf der Erde lebenden Menschen oder die Anzahl

der Schüler einer Klasse sind endliche Menge. Dagegen sind die Mengen

der natürlichen Zahlen, der Primzahlen oder der Punkte eines Kreises

unendliche Mengen.

Die Objekte einer Menge heißen

Elemente

dieser Menge. Die

Bezeichnungen der Mengen erfolgen mit großen lateinischen oder

griechischen Buchstaben, bzw. werden im Ausnahmefall Indizes verwandt.

Die Menge der natürlichen Zahlen (ohne 0) werden standardmäßig mit N, die

der ganzen Zahlen mit Z, die der reellen Zahlen mit R und die der rationalen

Zahlen mit Q bezeichnet.

1 Meyers Neues Lexikon in acht Bänden. Band 5, VEB Bibliographisches Institut Leipzig,

1963, S. 733

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6

Mengen können anschaulich mittels ebenen und konvexen Gebilden,

sogenannte

Venn-Diagramme

, dargestellt werden.

Elemente werden mit kleinen Buchstaben bezeichnet.

· a A bedeutet ,,a ist Element der Menge A"

· a A bedeutet ,,a ist kein Element der Menge A"

Eine Menge kann auf zwei Arten, unter Einschluß in geschweifte Klammern,

beschrieben werden.

· durch Auflisten ihrer Elemente (

Extension

)

Bsp.:

A = {1,2,3,4,5}; B = {Robert, Jürgen, Mirko, Joachim}

· durch Angabe einer Regel, nach der die Entscheidung der Zugehörigkeit

eines Elementes zu einer Menge möglich ist (

Intension

). Diese Regel

besteht aus einer festgelegten Eigenschaft, die auf alle Elemente der

Menge und auf keine anderen Objekte zutrifft.

Bsp.: A

=

{aa ist ganze Zahl und 1< a < 5}

B

=

{bb sind männliche Mitglieder der Familie K.}

Wenn zwei Mengen A und B die gleichen Elemente enthalten, sind sie die

Mengen A und B genau gleich. In diesem Fall spricht man vom

Extensionalitätsprinzip

für Mengen.

Bsp.(vgl. Bronstein et al., S. 288):

A = {3,1,3,7,2} und B {1,2,3,7}

Wenn jedes Element von A auch ein Element von B ist, so bezeichnet man

die Menge A als

Teilmenge

der Menge B, und kennzeichnet diese

symbolisch durch den Ausdruck A B.

Bsp.:

Es seien A = {2,4,6,8,10} eine Menge gerade Zahlen und

B = {1,2,3...10} eine Menge natürlicher Zahlen (N). A ist somit

eine echte Teilmenge von B (A B), da sie Menge A die

ungeraden Zahlen nicht enthält.

Eine

leere Menge

enthält keine Elemente. Sie

9

ist Teilmenge jeder Menge M ( M). Sind

10

8

5

A

die Teilmengen zweier Mengen A und B

1

6

4

7

2

genau gleich, sind auch die Mengen gleich.

3

B

Das heißt A B und B A.

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7

Zusammenfassend gelten folgende Regeln:

· A A für jede Menge A

· A B B A A = B

· A B B C A C

2.2.

Operationen mit Mengen

Aus gegeben Mengen A und B können durch bestimmte

Bildungsvorschriften, sogenannte

Mengenoperationen

, neue Mengen

konstruiert werden.

Für die nachfolgend verwandten Beispiele (vgl. Böhm) werden folgende

Mengen festgelegt: C = {1,2,3,4,5}, D = {3,4,6,7,8}, E = {9,10}

2.2.1. Durchschnitt

Die

Schnittmenge

, oder der Durchschnitt (Bezeichnung A B) ist definiert

durch: A B = { xx A x B}, wobei ,," logische ,,und". Man liest ,,A

geschnitten mit B". Die Schnittmenge zweier Mengen A und B ist die Menge

aller Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören, und ist immer eine

Teilmenge einer Vereinigungsmenge.

Bsp.: C

D = {3,4}

Des weiteren gilt für Schnittmengen:

· A A = A

· Wenn A B = B, dann A B = A

Zwei beliebige Mengen A und B, die kein gemeinsames Element besitzen,

nennt man elementfremd oder

disjunkt

(A B = ) . Die Mengen schließen

sich somit einander aus, d. h. ihr Durchschnitt ist eine

leere Menge

.

Bsp.: C

E = , D E = , C D E =

Der Durchschnitt der Menge der ungeraden und der Menge der geraden

Zahlen leer. Das heißt: {ungerade Zahl} {gerade Zahl}=

2.2.2. Vereinigung

Bei den Mengen A und B ist die

Vereinigungsmenge

(A B), oder die

Vereinigung definiert durch: A B = { xx A x B}, wobei ,," logisches

,,oder" . Man liest ,,A vereinigt mit B". Die Vereinigungsmenge zweier

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8

Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die Element von A oder von B

oder von beiden Mengen sind.

Bsp.: C

D = {1,2,3,4,5,6,7,8}

C

D E = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

Ebenso ist für Vereinigungsmengen zu beachten:

· Wenn B A, dann ist A B = B A = A

· A = A

2.2.3. Differenz

Die Menge der Elemente von A, die nicht zu B gehören, nennt man

Differenzmenge

(A \ B) oder Differenz von A und B. Diese wird wie folgt

definiert: A \ B = {x x A x B}. Man liest ,,A minus B". Die Differenz der

Mengen A und B, ist die Menge aller Elemente von A, die nicht in B enthalten

sind. Allgemein gilt: A \ B B \ A

Bsp.:

C - D = {1,2,5}, D ­ C {6,7,8}

Die

symmetrische Differenz

(Diskrepanz) zweier Mengen A und B (A B),

ist die Menge aller Elemente, die zu genau einer der beiden Mengen A und B

gehören. Die symmetrische Differenz wird folgendermaßen definiert: A B =

{x | (x A x B) (x B x A)}. Man liest ,,A Diskrepanz B". Aus der

Definition folgt, daß gilt: A B = (A \ B) (B \ A), das heißt, daß alle

Elemente, entweder in A oder B liegen, aber nicht in beiden zugleich.

Bsp.: C

D = {1,2,5,6,7,8}

2.2.4. Komplement

Speziell für die Belange der Wahrscheinlichkeitsrechnung wird der Begriff der

Negation (¬A = M\ A) einer Menge (

Komplementärmenge

) benötigt. Man

geht davon aus, daß sämtliche betrachtete Mengen von einer Grundmenge

G Teilmengen sind. Demnach wird die Negation bezüglich G einer jeden

Menge A wie folgt definiert: ¬A = {x | x A }G. Man liest: ,,die Negation von A

ist die Grundmenge minus A".

Bsp.:

¬E = C D

Die Schnittmenge einer Menge mit ihrer Komplementärmenge ist immer leer:

A ¬A = .

---

9

Ein abschließendes Beispiel (vgl. Clauß et al., S. 351) soll die Verknüpfung

von Mengen nochmals verdeutlichen.

Bsp.:

Betrachtet man die Bälle in einer Kiste eines

Spielwarengeschäftes, so bilden alle Bälle dieser Kiste die

Grundmenge G. Es seien A und B Bälle auf denen die Farbe

Grün bzw. Blau vorhanden ist.

A B

alle Bälle, die sowohl Grün als auch Blau

enthalten

A B

alle Bälle, die Grün oder Blau enthalten

A \ B

alle Bälle, die Grün aber nicht Blau enthalten

A B

alle Bälle, die entweder Grün oder Blau enthalten

¬A

alle Bälle, au denen keine grüne Farbe ist

Wie oben schon ausgeführt, benutzt man zur Veranschaulichung von

Mengen und Mengenoperationen Venn-Diagramme. Die nachfolgende

Tabelle (vgl. Clauß) enthält einen Überblick über mögliche

Mengenoperationen, die entsprechende Definition, die Bezeichnung und

Sprechweise und die Darstellung durch VENN-Diagramme. Im Diagramm

(vgl. Clauß et al., S. 350) wird die jeweilige Ergebnismenge schraffiert

wiedergegeben.

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10

Mengenoperation Definition

Bezeichnung

VENN-Diagramm

1. Durchschnitt

alle Elemente, die A B

sowohl in A als

,,A Durchschnitt B"

A

auch in B

B

enthalten sind

2. Vereinigung

alle Elemente, die A B

in einer der

,,A vereinigt B"

A

Mengen A oder B

oder in beiden

B

enthalten sind

3. Differenz

Alle Elemente, die A \ B

zu A gehören,

,,A minus B"

A

aber nicht

B

gleichzeitig in B

liegen

4. symmetrische

Alle Elemente, die A B

Differenz

entweder in A

,,A Diskrepanz B"

A

oder in B liegen,

B

aber nicht in

beiden zugleich

5. Komplement

Alle Elemente, die ¬A = G \ A

nicht in A (aber

immer noch in der

A

Grundmenge G)

enthalten sind

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11

2.3. Mengenalgebra

Die Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik und eine der ältesten

mathematischen Disziplinen. Die Anfänger ihrer Entwicklung reichen bis ins

Altertum zurück. Das Rechnen mit Mengenoperationen, zum Beispiel mit

Vereinigung und Durchschnitt, erfolgt nach den Grundgesetzen der

Mengenalgebra

. Diese sind von den Regeln der Aussagelogik unmittelbar

abgeleitet. Auf diesen Zusammenhang wird hier nicht näher eingegangen. Im

Folgenden werden die für uns drei wichtigsten Grundgesetze der

Mengenalgebra tabellarisch dargestellt. Das Absorptionsgesetz,

Idempotenzgesetz, die DE MORGANsche Regeln und weitere Gesetze der

Mengenalgebra werden hierbei vernachlässigt.

A = {1,2,3,4,5}, B = {3,4,6,7,8}, C = {9,10}

Assiozativgesetz

(a+b)+c = a+(b+c)

(A B) C = A (B C)

(A B) C = A (B C)

Bsp.: =

Bsp.: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} =

{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

Kommutativgesetz

a+b = b +a

A B = B A

A B = B A

Bsp.: {3,4} = {3,4}

Bsp.: {1,2,3,4,5,6,7,8} = {1,2,3,4,5,6,7,8}

Distributivgesetz

c.a+ c.b = c(a+b)

(A B) C = (A B) (B C)

(A B) C = (A B) (B C)

Bsp.: =

Bsp.: =

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12

3. Relationen

3.1.

Kartesisches Produkt

Im vorangegangenen Kapitel wurden mittels der verschiedenen

Mengenoperationen neue, logisch verknüpfte Mengen gebildet. Im

Gegensatz dazu wird beim

kartesischen Produkt

aus zwei Mengen A und B

eine neue Menge gebildet, welche die Bindung der Elemente der Menge A

zu den Elementen der Menge B beschreibt. Die Elemente der beiden

Mengen werden dabei gleichzeitig, also simultan betrachtet. Beim

kartesischen Produkt bestehen die Mengen aus Paaren von Objekten (a,b),

wobei a A und b B sei. Das Paar wird geordnet dargestellt, was bedeutet,

daß die Reihenfolge in der die beiden Objekte maßgebend ist: (a,b) (b,a).

Das kartesische Produkt oder Kreuzprodukt von A und B wird A x B

geschrieben und wie folgt definiert: A x B = {(a,b) | a A, b B}

Das Kreuzprodukt findet seine Anwendung oft in psychologischen

Untersuchungen, wo mehrere Parameter oder Meßwerte von einem

Probanden gleichzeitig zu erfassen oder wenn mögliche

Antwortkombinationen einer schriftlichen Erhebung auszuwerten sind.

Bsp.(vgl. Clauß et al., S. 354):

Es seien A = {ja, nein} die Menge der Antworten auf Frage 1

eines Fragebogens B = {a,b,c} die Menge der Antworten auf

Frage 2 eines Fragebogens. Dann ist A x B = {(ja,a), (ja,b),

(ja,c), (nein,a), (nein,b), (nein,c)} die Menge der

Antwortmöglichkeiten der Fragen 1 und 2. Bei diesem Beispiel

wird besonders der simultane Charakter der Elemente des

kartesischen Produktes sichtbar. Da die Paare geordnet sind,

ist zum Beispiel (b,ja) kein Element von A x B.

Das kartesische Produkt einer Menge kann man auch mit sich selbst bilden

(A x A). Wichtigstes Beispiel dafür ist die Menge aller Paare reeller Zahlen

(R x R), die das kartesische Koordinatensystem erklärt.

Bsp.(vgl. Clauß et al., S. 354):

Es seien A = {1,4,5} und B = {1,2,3}

wir erhalten A x B = {(1,1), (1,2), (1,3), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1),

(5,2), (5,3)}

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13

Y

Das Kreuzprodukt wird in Koordinatensystem

folgendermaßen veranschaulicht. Jedes Paar (a,b) wird

mit dem Punkt der Zahlenebene mit den Koordinaten a

und b identifiziert. Dabei wird die Bedeutung der

X

Reihenfolge nochmals verdeutlicht.

3.2. Relationen

Die Beziehungen zwischen den Elementen einer

oder verschiedener Mengen

beschreibt man als

Relationen

. Somit ist eine Relation die Teilmenge ihres

kartesischen Produktes A x B. Will man eine ganz bestimmte Relation

beschreiben, so ist dies allgemein und einfach dadurch zu erfüllen, daß man

alle Paare angibt die in der zu beschreibenden Beziehung stehen. Man

formuliert eine Eigenschaft, in dem man alle Elemente aufzählt, die diese

Eigenschaft haben. Relationen sind Mengen, welche nicht nur durch

Auflistung sondern auch durch Angabe einer Regel definiert werden, wie zum

Beispiel: L = {(a,b) A x B a spielt gern mit b},

F

=

{(x,y)

R x R x + y = 6},

G = {(x,y) x R R 3 x 5, -2 y -1}.

Bsp.(vgl. Clauß et al., S. 354):

X = {1,4,5} und Y = {1,2,3}

X x Y = {(1,1), (1,2), (1,3), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), 5,3)}

X

x

Y

F

=

{(x,y)

R x R x + y = 6}

F = {(4,2), (5,1)}

Y

Für X die Menge aller reellen Zahlen x gilt:

1

3

x 4, für Y die Menge aller reellen

2

Zahlen y gilt: 2 y 3.

Dann ist X x Y = {(x,y) : 1 x 4, 2 y 3}

1

4 X

X x Y = {(1,2), (1,3), (4,2), (4,3)}

Für eine gegebene Relation U A x B gilt: Die Menge aller a A, die als

erste Komponenten in den zur Relation U gehörenden Paaren auftreten, ist

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14

der sogenannte Definitionsbereich der Relation U und wird mit Du

bezeichnet. Entsprechend bilden alle auftretenden b den Wertebereich WU.

Nach dem vorangegangenen Relationsbeispiel F = {(4,2), (5,1)} ist der

Definitionsbereich DF {4,5} und der Wertebereich WF {1,2}. Für die Begriffe

Definitions- und Wertebereich sind auch die Begriffe Vor- und Nachbereich

üblich.

Eine Relation U zwischen A und B (U A x B)

heißt linksvollständig

oder

linkstotal,

wenn ihr Definitionsbereich gleich A ist; sie heißt rechtsvollständig

oder rechtstotal, wenn ihr Wertebereich gleich B ist. Weiterhin wird

unterschieden zwischen einer linkseindeutigen und einer rechtseindeutigen

Relation U zwischen A und B.

·

linkseindeutig:

zu verschiedenen ersten Elementen eines Paares

gehören auch verschiedene zweite Elemente, wenn aus (a1, b) U und

(a2,b) U stets a1 = a2 folgt

·

rechtseindeutig:

zu verschiedenen zweiten Elementen eines Paares

gehören auch verschiedene erste Elemente, wenn aus (a,b1) U und

(a,b2) U stets b1 = b2 folgt

Wie schon oben ausgeführt, können Relationen auch die Beziehung

zwischen den Elementen in einer Menge beschreiben, R A x A. Relationen

in einer Menge A können unter anderem folgende Eigenschaften haben:

·

reflexiv

, wenn (a,a) R für alle a A

·

symmetrisch

, wenn für alle (a,b) R gilt: (a,b) R (b, a) R

·

antisymmetrisch

, wenn (a,b) R (b,a) R a = b

·

asymmetrisch

, wenn für alle a, b A gilt: (a,b) R (b,a) R

·

transitiv

, wenn für alle a, b, c A gilt: (a,b) R (b,c) R (a,c) R

Besondere Bedeutung haben zweistellige (binäre) Relationen in einer

Menge. Das heißt, sie beziehen sich auf je zwei Elemente einer Menge. Zwei

wichtige Beispiele dafür sind die Äquivalenzrelation und die schwache

Ordnungsrelation.

Die

Äquivalenzrelation

(~:) kennzeichnet die Gleichheit von Objekten

bezüglich eines Merkmals. Sie ist reflexiv, symmetrisch und transitiv.

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15

Bsp. (vgl. Böhm)

Schulklasse, ~: gleiches Geschlecht, die Schüler werden in

männlich und weiblich eingeteilt

Die

schwache Ordnungsrelation

(R) besagt, daß ein Merkmal bei einem

Objekt mindestens so stark ausgeprägt sein muß, wie bei einem anderen

Objekt. Sie ist reflexiv, antisymmetrisch und transitiv.

Bsp. (vgl. Böhm)

Schulklasse,

R: Mathematikkenntnisse, die Schüler werden

bezüglich ihrer Mathematikkenntnisse geordnet (Rangfolge)

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16

4. Funktionen

Der Begriff der

Funktion

geht auf den Mathematiker Leonard Euler (1707-

1783) zurück. Er erklärte die Funktion als ,,eine veränderliche Größe, die von

einer anderen veränderlichen Größe abhängt"2. Heute wissen wir, daß nicht

nur die Abhängigkeit dieser Größen maßgebend für den Funktionsbegriff ist,

sondern die Zuordnung eines bestimmten Objektes zu einem anderen

bestimmten Objekt. Zum Beispiel gehört zu jedem Sitzplatz in einem Theater

bei jeder Vorstellung eine bestimmte Eintrittskarte. Aber nicht immer gehört

zu einem Sitzplatz ein bestimmter Besucher. Mengentheoretisch ausgedrückt

bedeutet das, daß eine Funktion jedem Element einer Menge ein bestimmtes

Element einer anderen Menge zuordnet. Eine Funktion ist in diesem Sinne

eine

Abbildung

zweier Mengen. Das heißt, daß eine Abbildung eine

bestimmte Menge von geordneten Paaren (x,y) ist, welche folgende

Eigenschaft besitzt: jedem x X ist eindeutig ein y Y zugeordnet. Die Art

der Zuordnung kann dabei verschiedene Formen haben: sie kann durch eine

Tabelle statistischer Werte, durch ein Diagramm oder durch einen

analytischen Ausdruck im Sinne einer Rechenvorschrift gegeben sein.

In den geordneten Paaren ist x die unabhängige Variable und y die

unveränderliche dazugehörige Beobachtung. Man kann zu keinem x mehr

als ein zugehöriges y finden. Somit ist es möglich dieses y als zu x

zugeordnet zu betrachten. Man schreibt y = (x) oder auch x (x) = y. Der

Definitionsbereich der Funktion wird mit D und der Wertebereich mit W

bezeichnet. Beim oben angeführten Theaterbeispiel besteht der

Definitionsbereich aus Sitzplätzen und der Wertebereich aus Besuchern.

Ein weiteres Beispiel verdeutlicht diese Aussage. Der Flächeninhalt I eines

Quadrates (I = a2) ist eine Funktion von einer unabhängigen Variablen,

nämlich von der Seitenlänge a des Quadrates, I = (a). Der Flächeninhalt

eines Rechtecks dagegen ist eine Funktion von zwei unabhängigen

Variablen, von der Länge a der Grundlinie und der Länge b der Höhe,

I = (a,b).

Die Funktion ist ein Sonderfall einer Relation, und ist linksvollständig und

rechtseindeutig. Man schreibt: : A B (das heißt: Abbildung [phi] aus

dem Raum A in den Raum B) oder (a) = b. A ist in dem Fall die

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17

Ausgangsmenge

(Definitionsbereich) und B die

Zielmenge

. Die

Bildmenge

(a) (Wertebereich) enthält genau die Elemente der Zielmenge B, die den

Elementen aus A zugeordnet sind.

Man definiert: (a) = {b B | es gibt ein a A mit (a) = b}.

Wird a A bei einer Abbildung in das Element b B abgebildet ((a) = b),

so heißt b das

Bild

von a und a das

Urbild

von b.

Funktionale Relationen

(Funktion) treten beispielsweise stets bei

Bewertungen auf. Wobei Zahlen in eindeutiger Weise zugeordnet werden.

Nach bestimmten Regeln werden Punktsummen ermittelt und für die

Auswertung von Testleistungen zugrunde gelegt. Auch in der Statistik erfolgt

die funktionale Zuordnung bei der Bestimmung von Rangzahlen.

Bsp.:

Es gibt eine Serie von n verschiedenen Meßergebnissen. Man

ordnet jedem Meßwert seinen Rangplatz in der Größenordnung

zu (kleinster Wert Rangplatz 1, größter Wert Rangplatz n).

Werte

2,6

2

2,4

1,7

Rangplatz 4

2

3

1

Bei Abbildungen aus dem Raum A in den Raum B (: A B) treten folgende

Eigenschaften auf, für die gilt:

·

injektiv

(Injektion), wenn a

1, a2 A, dann a1 a2

(a1) (a2)

Das heißt, daß jedes Element der Menge B

y

höchstens einmal getroffen wird, also zwei

verschiedene x-Werte haben immer

verschiedene Funktionswerte.

x

Die Funktion R R ist injektiv, aber nicht

surjektiv. Ihr Wertebereich ist das (offene)

Intervall (-3,3).

2 Kleine Enzyklopädie Mathematik. Pfalz Verlag Basel, 1967, S. 125

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18

·

surjektiv

(Surjektion), wenn für jedes b B ein a A existiert mit (a) = b

y

Das heißt, daß jedes Element von B wird

getroffen, also wenn der Wertebereich gleich der

ganzen Menge B ist.

Die Funktion R R ist surjektiv, aber nicht

2

x

x

3

x

1

x

injektiv. Es gibt drei x-Werte, deren

Funktionswert 1 ist.

·

bijektiv

(Bijektion), wenn die Abbildung injektiv und surjektiv ist, dann ist

jedes b B Bild von genau einem Element

y

von A.

Das heißt, die Funktion R R ist injektiv und

surjektiv. Es wird eine exakte Entsprechung

(,,Eins-zu-eins-Zuordnung") zwischen den

x

Elementen der Menge A und den Elementen

der Menge B definiert. Bijektive Funktionen

werden auch als

eineindeutig

bezeichnet.

Eine injektive Funktion : A B kann auch zu einer bijektiven Funktion

modifiziert werden. Dabei wird die Menge B durch den Wertebereich von

ersetzt. Zu beachten ist allerdings, daß die Wirkung von ansonsten nicht

verändert wird. Zusammenfassend kann man sagen, daß in jeder injektiven

Funktion auch eine bijektive Funktion steckt.

Funktionale Relationen können grafisch anschaulich mit Hilfe von ebenen

Koordinatensystemen dargestellt werden. Man ordnet jedem Zahlenpaar

(x,y) einen Punkt P der Ebene zu. Auf der horizontalen Achse eines

rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystems werden die unabhängigen

(x) Variablen, auf der vertikalen Achse die abhängigen Variablen (y)

aufgetragen. Die Gesamtheit der so entstandenen Bildpunkte P bezeichnet

man als Bild der Funktion. Auf diese Weise, abhängig von der Beschaffenheit

des Definitionsbereiches und der Funktionsgleichung, erhält man eine Reihe

einzelner Punkte und Kurvenstücke oder ganze Funktionskurven.

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19

Bsp.: Als Beispiel für die grafische Darstellung einer Funktion

dient oft die standardisierte Gaußsche Glockenkurve (x).

Wobei beachtet werden sollte, daß (-x) = (x) ist.

y

0,5

x

-2

-1

-3

1

2

3

1

x2

y =

(x) =

e 2 ,

< x <

2

x

-3 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 3

(x) 0,004 0,054 0,130 0,242 0,352 0,399 0,352 0,242 0,130 0,054 0,004

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20

5. Relative

Eine Menge von Elementen (A) und eine oder mehrere Relationen (R1 Rn),

mit denen die Art der Beziehung der Objekte untereinander charakterisiert

wird, nennt man

Relativ

A, R

1 Rn oder Relationensystem. Die

Relation(en) ist oder sind Teilmenge(n) aus A x A.

Besteht die Menge aus empirischen Objekten, wie zum Beispiel Kindern

einer Schulklasse oder Mitglieder eines Gesangvereins, so nennt man dieses

Relationensystem

empirisches Relativ

. Das empirische Relativ teilt in

diesem Fall die Mitglieder des Gesangvereins in männliche und weibliche

Sänger.

Wenn A (Objektmenge) die Menge aller reellen Zahlen R ist, wird ein

numerisches Relativ

definiert R, S

1... Sn . Das heißt S1... Sn stehen für

unterschiedliche Typen von Relationen, wie zum Beispiel die

Ordnungsrelationen.

Bsp.:

Die Plätze bei einem Weitsprungwettbewerb in einer

Schulklasse werden nach den erreichten Ergebnissen der

Schüler vergeben. Das numerische Relativ legt in diesem Fall

die Rangfolge des Weitsprungwettbewerbes fest.

Weite in m (R) 2,40

3,20

1,85

3,80

3,00

Platz

4. 2. 5. 1. 3.

Wird jedem Objekt aus der Menge A eine Zahl aus R zugeordnet

(Zuordnungsfunktion: : A R) und existiert für jedes Element aus A eine

Zahl (a) in R, so sprechen wir von einer

homomorphen

Abbildung.

Für zwei Objekte a und b aus A gilt: a b (a) (b), wenn das

empirische Relativ (A, ) in das numerische Relativ (R, ) homomorph

abgebildet wird.

Die Zuordnung einer homomorphen Abbildung eines empirischen Relativs in

ein numerisches Relativ finden wir als Bedingung in der Definition des

Messens (nach Orth, 1983) wieder. Diese Definition besagt: ,,das Messen ist

eine Zuordnung von Zahlen zu Objekten oder Ereignissen, sofern diese

Zuordnung eine homomorphe Abbildung eines empirischen Relativs in ein

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numerisches Relativ ist. Das Messen aus dem Alltagsverständnis ist die

Zuordnung von Zahlen und Beobachtungen durch den Vergleich mit einer

Maßeinheit. Zum Beispiel gibt es in der Psychologie, Soziologie und

Pädagogik für viele Untersuchungsgegenstände (Objekte) keine klar

festgelegten Bedingungen. Aus diesem Grund ist die Erweiterung des

Meßbegriffs erforderlich, da die Voraussetzung für den Einsatz statistischer

Methoden

quantifizierbare Merkmale

sind. Und dies zur gesicherten

Wissensgewinnung eine gegenstandsangemessene Quantifizierung

erfordert. Die Definition von Orth heißt vereinfacht, daß Messen der

Zuordnung von Zahlen zu Beobachtungen nach bestimmten Regeln

entspricht (,,der Zuordnung einer homomorphen Abbildung eines empirischen

Relativs in ein numerisches Relativ").

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6. Literaturverzeichnis

Böhm, G.: Skript: Einführung in die Statistik. WS 99/00

Bronstein, I.N. et al. (Hrsg.): Taschenbuch der Mathematik. 4. überarb. u.

erw. Aufl., Verlag Harri Deutsch, Thun u. Frankfurt (a. Main), 1995

Clauß, G. et al.: Statistik. Für Soziologen, Pädagogen, Psychologen und

Mediziner. Grundlagen.(Band 1), 2. überarb. u. erw. Aufl., Verlag Harri

Deutsch, Thun u. Frankfurt (a. Main), 1999

Gellert, W. et al. (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. Pfalz Verlag

Basel, 1967

Meyers Neues Lexikon in acht Bänden. Band 5, VEB Bibliographisches

Institut Leipzig, 1963, S. 733

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