Autor: Marina Pol

Der Doppler-Effekt

Inhaltsverzeichnis

I. Einleitung

2

II.

Hauptteil

2

1. Klärung der Begriffe Schwingung und Welle

2

1.1 Was ist eine Schwingung?

2

1.2 Was ist eine Welle?

3

2. Leben und Wirken Dopplers

3

3. Doppler-Effekt bei mediumgebundenen Wellen -

4

akustischer Doppler-Effekt

3.1 Quelle bewegt - Empfänger ruht

4

3.1.1 Quelle bewegt sich auf Verbindungslinie von

4

beiden

3.1.2 Quelle bewegt sich abseits der Verbindungslinie 6

3.2 Empfänger bewegt - Quelle ruht

7

3.2.1 Empfänger bewegt sich auf Verbindungslinie

7

3.2.2 Empfänger bewegt sich abseits der Verbindungslinie

8

3.3

Rechenbeispiele

9

3.4 Quelle und Empfänger gleichzeitig bewegt

10

3.5 Medium bewegt - Quelle und Empfänger ruhen

11

3.6 Allgemeine Formel des akustischen Doppler-Effekts 11

3.7 Kopfwelle und Machsche Kopfwelle

12

4. Praktische Anwendungen des akustischen Doppler-Effekts

14

5. Doppler-Effekt bei nicht mediumgebundenen Wellen -

15

optischer Doppler-Effekt

III.

Schluß

16

IV.

Literaturverzeichnis

17

V.

Anhang

18

I. Einleitung

Auf den folgenden Seiten wird der Doppler-Effekt genauer dargestellt. Es

handelt sich dabei um einen Effekt, der z.B. bei Formel 1-Übertragungen

1

---

im Fernsehen auftritt. Der Empfänger (in diesem Fall der Zuschauer vor dem

Fernseher) nimmt eine Frequenzverschiebung wahr, d.h. die Frequenz der von den

Rennautos ausgesendeten Geräusche, wird vom Empfänger höher bzw. tiefer

wahrgenommen - je nachdem, ob sich das Auto nähert oder entfernt. Der Doppler-

Effekt tritt immer dann auf, wenn sich eine Quelle (z.B. eine Schallquelle) und ein

Empfänger aufeinander zu-, voneinander weg- oder aneinander vorbeibewegen.

Begonnen wird in dieser Arbeit mit der Klärung der Begriffe ,,Schwingung" und ,,Welle",

da diese für den Doppler-Effekt wichtig sind. Im Weiteren wird das Leben und Wirken

des Christian Johann Doppler beschrieben um etwas über den Entdecker dieses

Effektes zu erfahren. Grob lässt sich der akustische Doppler-Effekt in zwei Fälle

einteilen: Im ersten Fall bewegt sich die wellenaussendende Quelle und im zweiten

der Empfänger, der die Wellen der Quelle aufnimmt. Für den akustischen Doppler-

Effekt ist es entscheidend, wer von beiden sich bewegt, was anhand von

Rechenbeispielen verdeutlicht wird. Es gibt allerdings noch andere Fälle, wie z.B. ein

bewegtes Medium, die desweiteren benannt werden. Neben dem akustischen

Doppler-Effekt gibt es noch den optischen, der als letztes beschrieben wird.

Die Facharbeit basiert hauptsächlich auf Literatur aus dem Internet und dem Buch

,,Physik" von Paul A. Tipler.

II. Hauptteil

1. Klärung der Begriffe ,,Schwingung" und ,,Welle"

1.1 Was ist eine Schwingung?

Es gibt mehrere Dinge, die schwingen, z.B. eine Schaukel oder ein Faden-pendel.

Aber auch ein Funkgerät schwingt, obwohl man keine Bewegung beobachten kann.

Beim Fadenpendel gibt es zwei Umkehrpunkte. Befindet sich das Massestück am

höchsten Punkt, so besitzt es maximale potentielle Energie (Lageenergie). Die

kinetische (Bewegungs-) Energie ist an diesem Punkt gleich Null. Bewegt sich das

Massestück nun vom höchsten Punkt zum tiefsten und hat diesen erreicht, so ist die

kinetische Energie maximal und die potentielle Energie gleich Null. Einen solchen

Vorgang nennt man Schwingung, da sich die zwei Energiezustände periodisch

(regelmäßig) wechseln. Ist das Massestück einmal hoch und runter geschwungen, so

hat es genau eine Schwingung vollführt. Die Dauer dieser Schwingung nennt man die

Periodendauer T. Der größte Abstand des Massestücks von der Ruhelage nennt man

Amplitude (

s

^ ). Die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde bezeichnet man als

1

Frequenz f. Die Einheit für die Frequenz ist demnach (oder -1

s

), wofür man eher

s

die Einheit

Hz

(Hertz) verwendet.

2

---

(vgl. [3] S. 1)

1.2 Was ist eine Welle?

Führt man einer Wellenquelle Energie zu, so entsteht eine Schwingung, die Wellen im

jeweiligen Medium verbreitet. Die Wellen breiten sich dann nach allen Seiten in

diesem Medium aus. Vom Menschen werden nur die Licht-, Wasser- und Schallwellen

wahrgenommen. Wasserwellen bewegen sich zweidimensional an der Oberfläche des

Mediums, während Schall-, Licht-, Wärme- und Radiowellen sich dreidimensional zu

allen Seiten verbreiten. Sie werden auch Kugelwellen genannt, da die Wellen um die

Quelle herum eine Kugel bilden. Die Geschwindigkeit der Wellen ist in jedem Medium

anders. Sie hängt von der Elastizität, der Dichte und der Temperatur des jeweiligen

Mediums ab. Die Abstände zwischen den einzelnen Wellen werden als Wellenlänge

bezeichnet.

(vgl. [2] S. 1)

2. Leben und Wirken Dopplers

Christian Johann Doppler wurde am 29.11.1803 in Salzburg als Sohn eines

Steinmetzmeisters geboren. Seine Eltern waren Johann und Therese Doppler. 1829

bis 1835 arbeitete er als Mathelehrer am Polytechnischen Institut Wien und gab an

der Uni Salzburg Vorlesungen in Philosophie. 1835 bekam er eine Dozentenstelle an

der Uni Prag. 1836 heiratete er Mathilde Sturm, Tochter eines Goldschmieds aus

Salzburg. Mit ihr hatte er fünf Kinder und wohnte abwechselnd in Wien und Prag. Im

Jahre 1842 entdeckte er den nach ihm benannten Doppler-Effekt. Am 25. Mai des

gleichen Jahres veröffentlichte er vor der königlichen Böhmischen Gesellschaft sein

Buch ,,Über das farbige Licht der Doppelsterne", wodurch er in aller Welt bekannt

wurde.1848 wurde er Professor für praktische Geometrie an der kaiserlichen

Akademie der Wissenschaften. 1850 wurde Doppler Physikprofessor an der

Universität Wien und Direktor des von Kaiser Franz Josef neu gegründeten

physikalischen Institut. Am 17. März 1853 starb Christian Johann Doppler während

seines Krankenurlaubs in Venedig. Als Todesursache wird eine Staublunge vermutet,

da er in der Steinmetzwerkstatt seines Vaters immer Staub ausgesetzt war.

Zu Lebzeiten schrieb Doppler Beiträge zu Akustik, Optik, Elektrizitätslehre und

Astronomie sowie zur analytischen Geometrie.

(vgl. [1] & [12] S. 77)

3. Doppler-Effekt bei mediumgebundenen Wellen - akustischer Doppler-Effekt

3.1 Quelle bewegt - Empfänger ruht

3.1.1 Quelle bewegt sich auf der Verbindungslinie von beiden

3

---

Bewegt sich die wellenaussendende Quelle relativ zum Medium auf den Empfänger

zu, so beobachtet man in einer mit Wasser gefüllten Demonstrationswanne , dass

die vorauslaufenden Wellenzüge zusammengedrückt sind, während die Wellenzüge

hinter der Quelle weit auseinander verlaufen. Sofern die Geschwindigkeit der Quelle

kleiner ist als die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen, eilt die Quelle den

Wellenzügen also hinterher. Zur Bestimmung der Wellenlänge ( für

v

vorauslaufende und für nachlaufende Wellen) benötigt man die Frequenz

f

der

n

Q

Quelle. Im Zeitraum

t

sendet die Quelle

N

=

f

t

Wellen aus. Während dieser

Q

Zeit bewegt sich die Wellenfront um die Strecke

v

t

, und die Quelle um

v

t

weiter (wobei

v

die Geschwindigkeit der Quelle relativ zum Medium angibt).

Q

Q

Auf einer Streckenlänge von (

v

-

v

befinden sich genau

N

Wellen. Daraus

Q

)

t

folgt die Formel für die Wellenlänge der vorauseilenden Wellenzüge

(

v

-

v

Q

)

t

=

v

N

Gleichung II.1

.

Nun setzt man für

N

f

t

ein und erhält

Q

(

v

-

v

v

-

v

Q

)

t

=

oder

Q

=

.

v

f

t

v

f

Q

Q

Nach Umformung erhält man nun die Gleichung für die Wellenlänge der

vorauslaufenden Wellen:

v

æ

vQ

ö

1

v

=

ç

ç -

÷

÷

fQ

è

v

ø

Gleichung II.2

.

Für nachlaufende Wellen muss ein Vorzeichenwechsel vorgenommen werden. Auf

der Strecke (

v

+

u

befinden sich immer noch

N

Wellen. Somit ergibt sich nach

Q

)

t

gleicher Herleitung die Formel für nachlaufende Wellen

v

æ

vQ

ö

1

.

n

=

ç

ç +

÷

÷

fQ

è

v

ø

Gleichung II.3

Bewegt sich der Sender in Ausbreitungsrichtung der Wellen auf den Empfänger zu,

eilt also den Wellenzügen hinterher, so muss die Geschwindig-keit

v

der Quelle

Q

4

---

kleiner sein als die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen. Die

Ausbreitungsgeschwindigkeit beträgt jetzt nicht mehr

v

, sondern ist um

v

verkürzt.

Q

Die Wellenanzahl in einem bestimmten Zeitraum bleibt konstant, sodass die

Wellenlänge kürzer werden muss und die Frequenz sich erhöht. Der verkürzte

Abstand

v

-

v

wird in die Gleichung für die Ausbreitungsgeschwindigkeit

v

=

f

Q

v

v

eingesetzt. Hierfür formt man diese Gleichung zuerst einmal nach um: =

.

v

v

f

Eingesetzt ergibt sich die Formel

v

-

vQ

=

.

v

fQ

Gleichung II.4

Somit kann die Wellenlänge berechnet werden, die zur Berechnung von

f

nach der

E

v

Formel

f

=

notwendig ist. Die Formel für die Frequenz des Empfängers lautet:

v

v

f

=

. Nun setzt man die Formel zur Berechnung der Wellenlänge in diese

E

v

v

Gleichung ein und erhält

v

v

fQ

f

=

=

.

E

v

-

vQ

v

-

vQ

fQ

Gleichung II.5

1

Nun bringt man den Faktor v aus dem Zähler mit seinem Kehrwert in den Nenner

v

und es ergibt sich

f

f

f

=

Q

.

E

=

Q

v

-

vQ

æ

vQ

ö

1-

v

ç

ç

÷

÷

è

v

ø

Gleichung II.6

Bewegt sich die Quelle vom Empfänger weg, so muss das Vorzeichen ge-wechselt

werden, da sich der Abstand zwischen dem ersten Wellenzug und dem Empfänger

schneller vergrößert, was bedeutet, dass

v

um

v

vergrößert wird:

Q

5

---

v

f

f

.

E

=

=

Q

n

æ

vQ

ö

1+ çç ÷÷

è

v

ø

Gleichung II.7

(vgl. [6] S. 5-6 & [11])

3.1.2 Quelle bewegt sich abseits der Verbindunslinie

Bewegt sich die Quelle abseits der Verbindungslinie, so zeigt der

Geschwindigkeitsvektor nicht genau auf die Quelle. Also zerlegt man diesen Vektor

v

in einen Vektor

v

und den dazu orthogonalen

v

(der allerdings im Weiteren

Q

Q

irrelevant ist). Die Frequenz ist vom Vektor

v

abhängig, da er die Geschwindigkeit

Q

des Empfängers auf die Quelle zu angibt. Aus den Vektoren ergibt sich nun ein

rechtwinkliges Dreieck, in dem

v

und

v

die Katheten sind und

v

die

Q

Q

Hypothenuse darstellt. Der Winkel wird von den Vektoren

v

und

v

Q

Q

eingeschlossen. Nach dem Cosinusgesetz ergibt sich:

v

cos

Q

=

v

v

Q

=

Q

cos

vQ

Gleichung II.8

.

Dies setzt man nun in Gleichung II.6 bzw. II.7 ein und kann so die Empfängerfrequenz

berechnen.

(vgl. [6] S. 7)

3.2 Empfänger bewegt - Quelle ruht

3.2.1 Empfänger bewegt sich auf der Verbindungslinie

Bewegt sich der Empfänger während die Quelle, ruht so bleibt die Wellenlänge gleich,

wohingegen die Frequenz sich verändert. Geht die Bewegung des Empfängers auf die

Quelle zu, so wird seine Frequenz höher, da mehr Wellen-längen in gleicher Zeit

Q

t

am Empfänger vorbeiziehen. Für seine Frequenz gilt dann

vE

f

=

f

+

.

E

Q

Q

Gleichung II.9

6

---

Nimmt man nun die Formel für die Ausbreitungsgeschwindigkeit

v

=

und stellt

f

v

diese nach um, so erhält man =

. Dies setzt man nun in Gleichung II.9 ein

f

und es ergibt sich

v

f

f

=

f

E

Q

+

.

E

Q

v

Gleichung II.10

Nun kann

f

noch ausgeklammert werden und für dir Empfängerfrequenz ergibt sich

Q

die Formel

æ

f

1

.

E

=

+

v

f

E

Q

÷

ö

ç

è

v

ø

Gleichung II.11

Bei dieser Gleichung erkennt man nun sofort, dass die empfangene Frequenz größer

ist als die gesendete. Bewegt sich der Empfänger genau in entgegengesetzte

Richtung, also von der Quelle weg, so muss ein Vorzeichenwechsel erfolgen. Die

Gleichung sieht dann wie folgt aus:

æ

f

1

.

E

=

-

v

f

E

Q

÷

ö

ç

è

v

ø

Gleichung II.12

Hier wird auch gleich deutlich, dass die empfangene Frequenz kleiner ist als die

gesendete ist - im Gegensatz zu dem Fall, wo sich der Empfänger auf die Quelle

zubewegt.

(vgl. [6] S. 3-4 & [11])

3.2.2 Empfänger bewegt sich abseits der Verbindungslinie

Nach gleicher Herleitung wie in Kapitel 3.1.2 ergibt sich

v

v

. Dies wird nun in Gleichung II.11 bzw. II.12 eingesetzt und man

E

=

E

cos

kann die Empfängerfrequenz berechnen.

(vgl. [6] S. 4-5 & [11])

3.3 Rechenbeispiele zum Doppler-Effekt

m

1.

Ein Auto bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von

v

= 34

fort.

s

7

---

Seine Autohupe hat die Frequenz

f

= 400

Hz

, es herrscht Windstille

m

und die Schallgeschwindigkeit beträgt

c

= 340

. Um nun die beobachtete

s

Frequenz zu errechnen muss man als erstes die Wellenlängen vor dem Auto

berechnen. Hierzu setzen wir in die Formel für die Wellenlänge die

gegebenen Größen ein:

(340 - 34)

m

v

-

vQ

s

306

=

=

=

m

= ,

0 765

m

.

v

f

400

Hz

400

Q

Somit ergibt sich für die vorauslaufenden Wellen eine Wellenlänge von

,

0 765

m

. Diese errechnete Frequenz setzt man nun mit den anderen

gegebenen Größen in die Gleichung für die Frequenz des Empfängers ein:

m

340

c

s

f

=

=

= 444

Hz

.

E

,

0 765

m

v

Die Frequenz beträgt also 444

Hz

. Daraus kann man nun folgern, dass sich

die Frequenz um 11% erhöht hat.

2.

Nun bewegt sich nicht das Auto, sondern der Empfänger und zwar mit der

m

Geschwindigkeit

v

= 34

fort. Die Autohupe hat weiterhin die Frequenz

s

f

= 400

Hz

und die Wellenlänge =

m

765

,

0

. Die gegebenen Größen

Q

v

setzt man nun in die Formel zur Berechnung der Empfängerfrequenz ein:

æ

v

ö

æ

34

f

=

f

ç1

E

+

÷ = 400

Hz

1+

÷

ö

ç

= 400

Hz

10

,

1

= 440 .

Hz

E

Q

v

è

ø

è

340 ø

Es ergibt sich nun eine Empfängerfrequenz von 440 Hz. Die Frequenz hat

sich hier um 10% erhöht.

(vgl. [11] S. 490)

Wie man also anhand dieser Rechenbeispiele sehen kann, ist es nicht egal, wer von

beiden sich bewegt, während der andere ruht. Bewegt sich der Empfänger während

die Quelle ruht, so ändert sich die Wellenlänge nicht, die Frequenz wir aber erhöht

bzw. nimmt ab (je nachdem, ob sich der Empfänger auf die Quelle zubewegt oder sich

von ihr entfernt). Wenn die Quelle sich bewegt verändert sich jedoch sowohl die

Wellenlänge als auch die Frequenz, obwohl die Geschwindigkeit gleichgeblieben ist.

Da sich bei gleicher Geschwindigkeit verschiedene Frequenzen ergeben lässt sich

folgern, dass es nicht egal ist, wer von beiden (d.h. Empfänger oder Quelle) sich

bewegt.

(vgl. [6] S. 7-8)

8

---

3.4 Quelle und Empfänger gleichzeitig bewegt

Um die Formel für den Fall wenn sich beide bewegen, d.h. Empfänger und Quelle, zu

ermitteln kombiniert man die Faktoren aus den Formeln II.11 und II.12, die mit

f

Q

multipliziert werden und erhält folgende Formel:

æ

vE

1±

÷

ö

ç

v

f

è

ø

=

f

.

E

Q

æ

vQ

ö

ç

ç1±

v

÷÷

è

ø

Gleichung II.13

Bei der Vorzeichenwahl ist die Bewegungsrichtung von Empfänger und Quelle relativ

zum Medium zu berücksichtigen. Nähern sich die beiden einander, so wird die

Frequenz größer und es muss entsprechend das Pluszeichen im Zähler auftauchen,

während im Nenner das Minuszeichen verwendet werden muss. Bei Entfernung ist es

genau umgekehrt. Da die Frequenz kleiner wird, muss im Zähler das Minus- und im

Nenner das Pluszeichen verwendet werden. Die allgemeine Formel für die

Empfängerfrequenz lautet

f

, wobei die relative, auf den Empfänger

E

=

bezogene Ausbreitungsgeschwindigkeit und die Wellenlänge im Medium (von

ruhendem Beobachter gesehen) darstellt. Auch wenn Empfänger und Quelle sich

gleichzeitig bewegen kann es sein, dass sie sich abseits der Verbindungslinie

befinden. Genau wie in Kapitel 3.1.2, 3.2.2 und 3.5 zerlegt man die

Geschwindigkeitsvektoren

v

bzw.

v

in die Komponenten

v

und

v

bzw.

v

E

Q

E

1

Q

und

v

zerlegen. Nach selber Herleitung wie in 3.1.2, 3.2.2 und 3.5 ergibt sich als

2

Formel für die Empfängerfrequenz

v

-

v

cos

E

f

=

f

.

E

Q

v

-

v

cos

Q

Gleichung II.14

(vgl. [6] S. 8-9& [11])

3.5 Medium bewegt - Quelle und Empfänger ruhen

Bewegt sich das Medium, so wird dieses im Bezug auf den akustischen Doppler-

Effekt als sehr störend empfunden. Ein Beispiel für die Bewegung des Mediums ist in

der Natur der Wind, der beispielsweise das Wasser bewegt. In so einem Fall wird die

Geschwindigkeit des Mediums von der der bewegten Quelle bzw. des bewegten

9

---

Empfängers abgezogen. Die Formel für den Doppler-Effekt bei auf der

Verbindungslinie von Empfänger und Quelle bewegtem Medium lautet dann

f

v

-

v

±

v

Q

E

Medium

f

=

.

E

v

-

v

±

v

Q

Medium

Gleichung II.15

Da sich der Geschwindigkeitsvektor des Mediums allerdings nicht immer auf der

Verbindungslinie von Empfänger und Quelle befindet, zerlegt man diesen in die

Vektoren

v

und dem zu ihm orthongonalen

v

. Der Winkel wird von

Medium

Medium

diesen beiden Vektoren eingeschlossen. Daraus folgt nach dem Satz des Pythagoras

v

Medium

cos =

, oder nach

v

umgeformt:

v

Medium

Medium

v

v

.

Medium

=

Medium

cos

Gleichung II.16

(vgl. [7] & [11])

3.6 Allgemeine Formel des akustischen Doppler-Effekt

In Kapitel 3.1 und 3.2 ergaben sich jeweils verschieden Ergebnisse. Daraus kann man

folgern, dass nicht die Bewegung wichtig ist, sonder wer von beiden sich bewegt. Ist

die Geschwindigkeit des Empfängers oder die der Quelle verhältnismäßig klein

gegenüber der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen, so gehen beide Gleichungen

ineinander über:

f

é

2

3

v

v

v

ù

Q

E

/

Q

æ

E

/

Q

ö

æ

E

/

Q

ö

f

E

=

=

fQ

ê1+

+

+

+ ú

...

æ

v

v

v

v

E

/

Q

ö

ê

ç

ç

÷

÷

ç

ç

÷

÷

è

ø

è

ø

ú

1-

ë

û

ç

ç

÷

÷

è

v

ø

Gleichung II.17

v

2

v

E

/

Q

æ

E Q

ö

ist hierbei eine kleine Größe und die Glieder nach

/

können

v

ç

ç

÷

÷

è

v

ø

vernachlässigt werden. Die allgemeine Formel für den akustischen Doppler-Effekt

lautet dann

v

±

v

v

E

cos ±

Medium

cos

1

f

f

.

E

=

Q

v

±

v

v

Q

cos

±

Medium

cos

2

Gleichung II.18

10

---

In dieser Formel sind alle Faktoren zur Berechnung der empfangenen Frequenz

enthalten.

(vgl. [6] S. 9)

3.7 Kopfwelle und Machsche Kopfwelle

Zuerst betrachtet man die Formel

1

f

=

f

. Ist

v

=

v

, so erhält man

E

Q

v

Q

Q

1 -

v

eine Division durch Null und die Gleichung

ist normalerweise nicht definiert. In der

Praxis ist dieser Fall allerdings möglich. Ein

Düsenjet z.B. kann so schnell fliegen wie der

Schall (bzw. seine Geschwindigkeit ist

genauso groß wie die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Schalls). Es ist sogar möglich,

dass seine Geschwindigkeit die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Schalls

überschreitet. Obwohl sich beim Einsetzen in die Gleichung negative Frequenzen

ergeben, ist dieser Fall möglich.

Abb. II.1

Befindet sich der Düsenjet im

Stillstand auf dem Flugplatz, so sendet er die

Schallwellen gleichmäßig in alle

Richtungen aus.

Abb. II.2

Der Düsenjet befindet sich im Unterschallflug. Seine Geschwindigkeit (v) ist

kleiner als die des Schalls (c). Der Empfänger nimmt bei Annäherung kurze

Wellenabstände wahr, Entfernung lange.

Dies führt zum akustischen Doppler-

Effekt.

Abb. II.3

Sind Geschwindigkeit des

Düsenjets und Schallgeschwindigkeit

gleich (v=c), so fliegt der Jet an der

Schallmauer. An der Spitze des Jets

überlagern sich die Wellen und bilden

die sogenannte Kopfwelle.

11

---

Abb. II.4

Jetzt, da die Geschwindigkeit

des Düsenjets größer ist als die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen

überschneiden die früher ent-standenen Wellen die später entstan-

denen.

Hinter dem Jet bildet sich ein

kegelförmiger Raum. Er wird

Machscher Kegel genannt.

Der Empfänger nimmt erst ein Geräusch wahr, wenn er in den Machschen Kegel (die

Schallschleppe) eintritt. Beim Überschreiten nimmt er einen lauten Knall wahr. Bei

diesem Vorgang herrschen für kurze Zeit sehr hohe Temperaturen, Drücke und

Dichten, die sich durch den Knall entladen. Der Pilot nimmt allerdings kein Geräusch

wahr, da er sich in seinem Jet schneller bewegt als der Schall. Dieses Phänomen

wurde von dem österreichischen Physiker und Philosophen Ernst Mach entdeckt. Er

beschrieb das Verhältnis zwischen der Schallgeschwindigkeit c und der

Geschwindigkeit der Wellenquelle v (in diesem Fall das Flugzeug). Hieraus ergibt sich

v

die sogenannte Machsche Zahl

M

= . Auf Höhe des Meeresspiegels und bei 20°C

c

Temperatur beträgt die Schallgeschwindigkeit etwa 1200 km/h und wird als Mach 1

bezeichnet. Ist die Geschwindigkeit des Düsenjets größer als Mach 1, so spricht man

von der Überschallgeschwindigkeit. Dementsprechend nennt man Geschwindigkeiten

unter Mach 1 Unterschallgeschwindigkeiten.

Abb. II.5

(vgl. [6] S. 9-11 & [5] S. 12)

4. Beispiel für die praktische Anwendung des akustischen Doppler-Effekts

12

---

Der Doppler-Effekt wird heute in vielen Bereichen des täglichen Lebens genutzt. So

kommt er z.B. der Polizei bei der Geschwindigkeitsüberwachung des Verkehrs zugute.

Ihre sogenannten Radarpistolen beruhen auf dem Doppler-Effekt. Hierbei richtet der

Polizist die Pistole auf ein fahrendes Auto. Hierbei werden von der Antenne eines

Senders Funkwellen mit einer Frequenz von

,

34 4

GHz

auf das Auto gesendet. Diese

Funkwellen werden am Wagen reflektiert und von der Pistole wieder aufgenommen.

Da die Pistole nun als Empfänger gilt, nimmt sie auf Grund des Doppler-Effekts mehr

Schwingungen pro Sekunde wahr, da das Auto sich in einer Sekunde einige

Wellenlängen auf die Radarpistole zubewegt. Diese Frequenzverschiebung entspricht

der Geschwindigkeit des Fahrzeugs, die von einem Micro-Chip im Innern der

Radarpistole berechnet wird.

Auch in der Luftfahrt wird der Doppler-Effekt verwendet. Den Fluglotsen im Tower

werden an einem Leuchtschirm die Positionen der Flugzeuge im Luftraum um den

Flughafen angezeigt. Durch den Doppler-Effekt beschränkt sich die Anzeige nur auf

die Flugzeuge und nicht auf irrelevante Objekte, wie z.B. Hügel oder Gebäude. Dies

ist ein wichtiges Radargerät für die Flugsicherheit und wird Doppler-VOR genannt.

Man kann es mit einem Leuchtturm vergleichen. Es ist ein Drehfunkfeuer für den

Luftverkehr, das die genaue Richtung des Flugzeugs zur VOR-Station angibt. Es

entsendet einen rotierenden Funkstrahl mit einer Frequenz von über 100

MHz

und

ein Rundumsignal beim Durchgang durch die Nordrichtung.

Eine weitere Nutzungsmöglichkeit des Doppler-Effektes in der Luftfahrt ist das

sogenannte DME-Verfahren. Hierbei sendet das Flugzeug (als Quelle) ein Signal an

den Empfänger (in diesem Fall der Tower am Flughafen), das von diesem beantwortet

wird. Aus der Dauer bis zum Echo wird die Entfernung und - wie bei der Radarpistole -

aus der Frequenzverschiebung die Geschwindigkeit des Flugzeugs ermittelt. Somit

sind alle wichtigen Navigationsdaten bekannt, damit der Pilot das Flugzeug sicher

landen kann.

(vgl. [1] S. 1& [6] S.12-13)

5. Doppler-Effekt bei nicht-mediumgebundenen Wellen - optischer Doppler-

Effekt

Der optische Doppler-Effekt unterscheidet sich physikalisch vom akustischen Doppler-

Effekt. Deshalb gibt es auch verschiedene Gleichungen zur Berechnung der

Frequenzänderung. Während Schallwellen an ein Medium gebunden sind, bewegt

sich Licht im Vakuum fort. Beim Licht entfällt außerdem der Unterschied zwischen

bewegtem Empfänger und bewegter Quelle. Relevant ist hierbei nur die relative

13

---

Bewegung zwischen Empfänger und Quelle. Die dopplerverschobene Wellenlänge

im Vakuum wird durch die spezielle Relativitätstheorie beschrieben:

æ

v

ö

1

ç

ç -

c

÷÷

f

è

0

Q

ø

=

=

.

æ

v

ö

f

1

E

ç

ç +

c

÷÷

è

0 ø

Gleichung II.19

Bei Annäherung von Quelle und Empfänger gilt für die Relativgeschwindigkeit

v

< 0

und bei Entfernung

v

> 0 . Für

v

<<

c

erhält man die gleiche Formel wie für eine

bewegte Quelle:

v

= 1- .

c

Gleichung II.20

v

Erweitert man Gleichung II.19 mit 1 +

, so erhält man die verschobene

c

0

Empfängerfrequenz

f

beim optischen Doppler-Effekt:

E

æ

v

1+ ÷ö

ç

è

c

ø

f

.

E

=

2

v

1 æ

-

÷

ö

ç

è

c

ø

Gleichung II.21

Der optische Doppler-Effekt findet in der Astronomie praktische Anwendung. Er wird

zur Geschwindigkeitsbestimmung von Sternen und Quasaren (sternähnliches Objekt

mit intensiver Radiostrahlung) genutzt. Bewegt sich der Stern von der Erde weg, so

nimmt die Wellenlänge zu. Man nennt diesen Vorgang ,,Rotverschiebung".

(vgl. [10])

III. Schluß

Nachdem ich nun meine Facharbeit fertiggestellt habe, ist mir bewusst geworden,

dass jeder den akustischen Doppler-Effekt kennt und ihn fast jeden Tag wahrnimmt.

Da es allerdings etwas Alltägliches für die Menschen ist, nimmt man diesen nicht

bewusst wahr. Im Gegensatz dazu ist der optische Doppler-Effekt den meisten

Menschen nicht bekannt. Dehalb wurde er in dieser Facharbeit auch nur in einem

kleinen, kurzen Kapitel erwähnt. Ein weiterer Grund dafür, den optischen Doppler-

Effekt nur kurz zu erwähnen ist, die Beschränkung der Arbeit auf 15 Seiten.

14

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Während ich an dieser Facharbeit schrieb, hegte ich keinerlei Zweifel am Doppler-

Effekt, da mir alles sehr einleuchtend erschien. Kurz vor Beendigung der Arbeit stieß

ich allerdings im Internet auf Leserbriefe im ,,Focus" Ausgabe 1/95. Dr. Heinz W. Hopf

aus Mannheim äußert hier z.B. seine Zweifel, dass die in Kapitel 5 beschriebene

,,Rotverschiebung des Lichts, das von entfernten Himmelskörpern kommt,

ausschließlich auf dem Doppler-Effekt basiert." ([12] Z. 20-22). Seiner Meinung nach

ist es auch möglich, dass die Rotverschiebung auf einer Alterung der Sterne beruht,

ohne dass sich das Licht von der Erde entfernt. Dipl.-Ing. Thomas Wäscher aus

Heidelberg bezeichnet es sogar als falsch, dss man an der Rotverschiebung erkennen

kann, dass sich das Licht von der Erde entfernt (vgl. [12] Z. 12-14). Es muss also in

Zukunft, meiner Meinung nach, weiter am optischen Doppler-Effekt geforscht werden,

um die Wahrheit zu erfahren.

Zum Abschluß dieser Arbeit kann ich jedoch sagen, dass der akustische Doppler-

Effekt im alltäglichen Leben bekannt und auch wichtig ist. Wie in Kapitel 4 vorgestellt

benutzt die Polizei diesen Effekt zur Geschwindigkeitsmessung des Verkehrs. Auch in

der Luftfahrt ist der Doppler-Effekt nicht mehr wegzudenken. Mit ihm erhalten die

Piloten und Fluglotsen alle wichtigen Daten zur Navigation. Der akustische Doppler-

Effekt trägt also zur Sicherheit im Verkehr bei und ist somit nicht mehr unerläßlich.

IV. Literaturverzeichnis

[1] ,,Doppler und Luftfahrt", Website http://www.christian-doppler.org/

luftfahr.htm; 11.02.2001

[2] ,,Was sind Wellen?", Website http://www.christian-doppler.org/wellen.htm;

11.02.2001

[3] ,,Was sind Schwingungen?", Website http://www.christian-doppler.org/

schwing.htm; 11.02.2001

[4] ,,Christian Doppler", Website http://www.christian-doppler.org/leben.htm;

11.02.2001

[5] ,,Doppler-Effekt", Website http://angelaschule.osnabrueck.de/eigene/

schule/facharbeit/Doppler-.../doppler-effekt.htm; 01.03.2001

[6] ,,Facharbeit Dopplereffekt", Website http://www.hackie.de/facharbeit/

facharbeit.html; 07.02.2001

[7] Meyers Enzyklopädisches Lexikon; Band 7: Div - Eny und 2. Nachtrag;

Lexikonverlag; Mannheim 1973; Bibliographisches Institut AG

[8] F. Pedrotti, L. Pedrotti, Werner Bausch, Hartmut Schmidt; ,,Optik - Eine

Einführung"; 1. Auflage 1996; Prentice Hall

15

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[9] Tipler, Paul A.; ,,Physik"; 2. Korrigierter Nachdruck 1998 der 1. Auflage

1994; Spektrum akademischer Verlag Heidelberg - Berlin

[10] Meyers Lexikonverlag in Zusammenarbeit mit Prof. Dr. Klaus Bethge;

,,Schüler Duden - Physik"; 3., überarbeitete und ergänzte Auflage 1995;

Bibliographisches Instiut & F.A. Brockhaus AG Mannheim

[11] Focus Online; ,,Bril ante Kompetenz"; Website http://www.focus.de/F/FC/

FCH/fch.hmt?para=?-showt:client/focus/focus/j1995/q1/m01/t16/s119/

001_001.dcs; 18.03.2001

V. Anhang

Erklärung der Formelzeichen

f

(in

Hz

) = Frequenz, die vom Empfänger wahrgenommen wird

E

f

(in

Hz

) = Frequenz der von der Quelle ausgehenden Welle

Q

m

v

(in

) = Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen

s

m

v

(in

) = Geschwindigkeit der Quelle

Q

s

m

v

(in

) = Geschwindigkeit des Empfängers

E

s

(in

m

) = Wellenlänge der von der Quelle ausgehenden Welle

Q

(in

m

) = vorauslaufende Wellen

v

(in

m

) = nachlaufende Wellen

n

t

(in

s

) = Zeit

N

= Anzahl Wellen

16

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