Bogenlänge

Inhaltsverzeichnis

Seite

1.

Definition und Anwendung der Bogenlänge

2

2.

Berechnung der Bogenlänge in kartesischen Koordinaten

2

2.1

Herleitung einer Formel für die Bogenlänge

2

2.2

Überprüfung der Gleichung (f.1) am Beispiel des Einheitskreises

4

3.

Berechnung der Bogenlänge einer Kurve in Polarkoordinaten

5

3.1

Aufbau des Polarkoordinatensystems

5

3.2

Herleitung einer Formel für die Bogenlänge in Polarkoordinaten 6

3.3

Herleitung der Formel aus (f.1)

7

3.4

Überprüfung der Gleichung (f.2) am Beispiel des Einheitskreises

9

4.

Berechnung der Bogenlänge in Parameterdarstellung

9

4.1

Definition der Parameterdarstellung

9

4.2

Herleitung einer Formel für die Bogenlänge in Parameterdarstellung

10

4.3

Zusammenhang von (f.1) und (f.3)

11

4.4

Überprüfung der Gleichung (f.3) am Beispiel des Einheitskreises

12

5. Eine

Beispielanwendung

13

6. Resümee

19

Anhang

20

Literaturverzeichnis

20

Sonstige Hilfsmittel

20

Bogenlänge ebener Kurven -

1

-

Andree Große

---

1. Definition und Anwendung der Bogenlänge

Den Begriff ,,Bogenlänge" ist primär aus der Kreisgeometrie bekannt, wo er die Länge

eines Kreisbogens bezeichnete. Mit Bogenlänge meint man im Allgemeineren auch die

Länge einer Kurve, anschaulich gesehen also die Länge, die ein Faden hätte, wenn man ihn

in einem bestimmten Intervall exakt über die Kurve legen würde.

Die Bogenlänge lässt sich annährend bestimmen, indem man eine Kurve in mehrere

geradlinige Strecken unterteilt, d.h. man legt einen

Polygonzug

über die Kurve. Wird die

Unterteilung feiner, passt sich dieser Polygonzug immer genauer der Kurve an und seine

Länge nähert sich der des Graphen an. Durch die Integralrechnung kann man dann nicht

nur Nährungs-, sondern auch exakte Werte berechnen.

Die Berechnung der Bogenlänge ist besonders im technischen und handwerklichen Bereich

von Bedeutung. So findet sie beim Brückenbau oder im allgemeinen bei der Herstellung

,,krummer" Bauelemente Verwendung. Man kann sie aber auch zur Berechnung von

Entfernungen einsetzen, die sich auf einer Kurvenbahn bewegende Körper zurücklegen,

wie in Kapitel 4 erläutert wird.

2. Berechnung der Bogenlänge in kartesischen Koordinaten

2.1 Herleitung einer Formel für die Bogenlänge

Eine Formel für die Bogenlänge des Graphen einer Funktion

y

=

f

(

x

) in einem Intervall

[

a

;

b

] kann man sehr anschaulich durch eine äquidistante Unteilung dieses Intervalls, also

eine Zerlegung der Kurve in mehrere Teilstrecken, herleiten (Abb. 1). Dabei ist es

einfacher, gleich den allgemeinen Fall anstatt zuerst spezielle Funktionen zu betrachten.

y

f

(

x

+

x

)

i

yi

s

i

f

(

x

)

i

(Abb. 1)

x

x

x

x

i

i

1

+

Bogenlänge ebener Kurven -

2

-

Andree Große

---

Der Graph wird im gegebenen Intervall [

a

;

b

] in

n

gleichlange Teilstücke mit der Länge

b

-

a

=

x

mit

a

=

x

und

b

=

x

unterteilt. Wie sich aus Abbildung 1 erkennen lässt, gilt

n

1

n

1

+

nach dem Satz von Pythagoras für die Länge jeder Strecke

s

:

i

2

2

2

2

2

s

=

+

= 1+

= 1+

i

(

x

) (

yi

)

(

yi

)

yi

(

x

)

x

x

2

x

Für die Summe aller Teilstrecken

s

bis

s

ergibt sich:

1

n

n

n

2

y

s

i

= 1+

x

i

=1

=1

i

i

x

Für den Grenzübergang

n

,

x

0 werden die Teilstrecken so klein, dass sie sich

der Kurvenform beliebig genau anpassen. Der Grenzwert dieser Summenfolge lässt sich als

Integral schreiben. Dabei wird der Differenzenquotient

y

i

zum Differentialquotienten

x

f

′(

x

) . Es folgt für die Bogenlänge

B

:

i

n

2

y

xn

1

B

i

= lim

+

1+

x

=

1+ (

f

′(

x

))2

dx

n

=1

i

x

x

1

Die Bogenlänge

B

des Graphen einer Funktion

y

=

f

(

x

) im Intervall [

a

;

b

] ist also das

bestimmte Integral:

b

(f.1)

B

=

1 (

f

′(

x

)2

)

dx

+

a

Diese Verfahrensweise setzt voraus, dass die Funktion

f

(

x

) in dem gegebenen Intervall

differenzierbar ist. Die Ableitung

f

′(

x

) muss zudem integrierbar sein. Die Funktion

f

(

x

) selber wird dann als

stetig differenzierbar

bezeichnet.

Bogenlänge ebener Kurven -

3

-

Andree Große

---

2.2 Überprüfung der Gleichung (f.1) am Beispiel des Einheitskreises

Die Funktionsgleichung des Einheitskreises ist

2

f

(

x

) = ± 1-

x

. Der obere Halbbogen

hat die Länge . Dies soll nun über die Formel für die Bogenlänge eines

Funktionsgraphen berechnet werden (Abb. 2).

y

2

f

(

x

) = 1-

x

=

(Abb. 2)

(1-

x

)1

2 2

1

1

-

x

f

′(

x

) = (

2

1-

x

) 2 -2

x

= -

2

2

1-

x

-1

0

1

x

Für die Bogenlänge gilt:

1

B

=

1+ (

f

′(

x

)

2

)

dx

-1

1

2

=

x

1+

dx

1- 2

x

-1

1

=

1

(1-

x

2

2

)+

x

2)

dx

1-

x

-1

1

= 1

dx

2

-1 1 -

x

1

In der Formelsammlung findet man die Stammfunktion von

f

(

x

) =

:

2

1-

x

F

(

x

1

) sin -

=

(

x

)

B

= [

-1

sin (

x

)] 1 =

-

1

Die über die Formel berechnete Bogenlänge ist in diesem Fall also korrekt.

Bogenlänge ebener Kurven -

4

-

Andree Große

---

3. Berechnung der Bogenlänge einer Kurve in Polarkoordinaten

Gerade bei der Berechnung der Bogenlänge eines Kreises bietet es sich an, die Funktion

nicht in kartesischen Koordinaten darzustellen, sondern in

Polarkoordinaten

. Die Funktion

des Einheitskreises hat in Polarkoordinaten zum Beispiel die Form

f

() = 1 . Auch ohne

die Darstellung in Polarkoordinaten zu kennen, kann man erahnen, dass Berechnungen

über diese Funktion nicht sonderlich kompliziert sein werden.

3.1 Aufbau des Polarkoordinatensystems

Ein Punkt wird in Polarkoordinaten durch zwei Variablen definiert:

1. Der Radialkoordinate

r

, die den Abstand des Punktes vom Koordinatenursprung

(Pol) angibt. Negative

r-

Werte werden in Gegenrichtung aufgetragen.

2. Dem Polarwinkel , der den Winkel zwischen der Strecke

OP

und der

Polarachse im Bogenmaß angibt. Die Polarachse ist ein vom Pol ausgehender

Strahl. Der Polarwinkel ist positiv, wenn er im Gegenuhrzeigersinn von der

Polarachse aus gemessen wird. Wird er im Uhrzeigersinn gemessen, ist er negativ.

Wird nun jeder durch den Winkel festgelegten Richtung innerhalb eines vorgegebenen

Definitionsbereichs eindeutig ein Wert

r

zugeordnet, liegt also eine Gleichung der Gestalt

r

=

f

() vor, erhält man eine Kurve. Zur Verdeutlichung eine Abbildung:

P

(

r

, )

P

(

r

, )

1

1

1

2

2

2

r

1

r

2

2

1

0 Polarachse

(Abb. 3)

Bogenlänge ebener Kurven -

5

-

Andree Große

---

3.2 Herleitung einer Formel für die Bogenlänge in Polarkoordinaten

Analog zur Darstellung in kartesischen Koordinaten, wo ein Streckenintervall in mehrere

gleichgroße Teilstrecken zerlegt wurde, kann man eine Formel für die Bogenlänge des

Graphen einer Funktion

f

() =

r

durch die Zerlegung eines Winkelintervalls in mehrere

gleichgroße Teilwinkel herleiten (Abb. 4).

Q

s

i

P

r

b

i

i

r

i

R

ri

(Abb. 4)

0

Polarachse

Der Graph wird im Intervall [; ] in

n

gleichgroße Teilwinkel mit der Größe

-

=

n

unterteilt. Da die Winkelangaben im Bogenmaß erfolgen, hätte ein Kreisausschnitt mit dem

Radius

r

und dem Zentriwinkel

die Bogenlänge

b

=

r

. Nun ist die Strecke

b

i

i

i

nur unwesentlich kürzer als ein solches Bogenstück. Daher folgt für sehr kleine Werte von

also

b

r

. Dabei wird das auch Dreieck PQR annährend rechtwinklig.

i

i

Für

n

, 0 gilt folglich:

2

s

=

r

b

r

r

r

r

i

(

i

)

2 + (

i

)2 = (

i

)2 + (

i

)2

2

i

2

=

+

i

2

r

2

=

r

+

i

i

Bogenlänge ebener Kurven -

6

-

Andree Große

---

Für die Summe aller Teilstrecken von

s

bis

s

ergibt sich:

1

n

n

n

2

2

r

i

s

=

r

i

+

i

i

=1

i

=1

y

r

Genau wie

für

x

0 gegen

y

′ strebt, strebt

für 0 gegen

r

′ .

x

Hinweis: Die Ableitung einer Funktion in Polarkoordinaten hat allerdings eine

andere geometrische Bedeutung als die Ableitung einer Funktion in kartesischen

Koordinaten, aber darauf soll an dieser Stelle nicht genauer eingegangen werden.

Es folgt für die Bogenlänge

B

:

2

n

2

r

B

= lim

r

i

+

=

r

2 +

2

′

i

(

r

)

d

n

=1

i

Die Bogenlänge

B

des Graphen einer in Polarkoordinaten gegebenen Funktion

r

=

f

()

im Intervall [; ] ist also das bestimmte Integral:

(f.2)

B

=

r

2 (

r

′)2

d

+

3.3 Herleitung der Formel aus (f.1)

In der eben angewandten Methode wurden allerdings einige nicht weiter bewiesenen

Ungleichungen verwendet, nämlich dass man für den Grenzwert von 0 das Dreieck

PQR als rechtwinklig betrachten kann und das dann auch

b

=

r

gilt. Man kann

i

i

(f.2) aber auch aus (f.1) herleiten, was mathematisch gesehen etwas exakter ist.

Hierzu muss man einige Verhältnisse zwischen Polarkoordinaten und kartesischen

Koordinaten kennen. Diese lassen sich direkt aus (Abb.5) ablesen.

y

x

(Abb.5)

r

y

x / Polarachse

Bogenlänge ebener Kurven -

7

-

Andree Große

---

Fallen Polarachse und x-Achse sowie beide Koordinatenursprünge zusammen, gilt:

x

=

r

cos() ,

y

=

r

sin()

Setzt man

x

=

r

cos() =

g

() , gilt

g

′() =

r

′cos() -

r

sin() .

g

′() ist dann

aber die Ableitung von

x

nach dem Parameter , man kann also schreiben:

′

dx

g

( ) =

d

dx

=

g

′

( )

d

= (

r

′

cos( ) -

r

sin( ))

d

Auf dem gleichen Weg erhält man

dy

= (

r

′

sin( ) +

r

cos( ))

d

. Gleichung (f.1)

enthält zusätzlich noch

f

′(

x

) , was sich auch als

dy

ausdrücken lässt. Setzt man die eben

dx

hergeleiteten Gleichungen ein, erhält man schließlich:

dy

r

′sin() +

r

cos()

f

′(

x

) =

=

dx

r

′cos() -

r

sin()

Dies wird in Gleichung (f.1) eingesetzt und statt der Intervallgrenzen [

a

;

b

] die Grenzen

[;] verwendet:

b

B

=

1 (

f

′(

x

)2

)

dx

+

a

2

r

′

sin( ) +

r

cos( )

=

1+

(

r

′

cos( ) -

r

sin( ))

d

r

′

cos( ) -

r

sin( )

2

=

(

2

′sin( ) + cos( )

r

′

cos( ) -

r

sin( ))

r

r

1+

d

r

′

cos( ) -

r

sin( )

=

(

r

′

cos( ) -

r

sin( ))2 + (

r

′

sin( ) +

r

cos( ))

d

2

=

(

r

′)2 cos2

( ) +

r

2 sin 2

( ) + (

r

′)2 sin 2

( ) +

r

2 cos2

(

d

)

=

r

2

(sin2 () + cos2 ())+ (

r

′)2 (sin2 () + cos2 ())

d

Da sin 2 () + cos2 () = 1 ist, kommt man also auch auf diesem Wege auf die Gleichung:

(f.2)

B

=

r

2 (

r

′)2

d

+

Bogenlänge ebener Kurven -

8

-

Andree Große

---

3.4 Überprüfung der Gleichung (f.2) am Beispiel des Einheitskreises

Wie zu Anfang dieses Kapitels erwähnt, hat der Einheitskreis in Polarkoordinaten die

Funktion

f

() = 1 : für jeden Winkel ist der Radius

r

= 1. Zeichnet man die Funktion

im Intervall [- ; ], ergibt sich als Graph ein vollständiger Kreis. Die Bogenlänge lässt

sich daher recht einfach ausrechnen:

B

=

r

2 + (

r

′)2

d

=

12 + 02

d

= 1

d

= [] =

-

-

-

-

Auch hier arbeitet die Formel korrekt.

4. Berechnung der Bogenlänge in Parameterdarstellung

4.1 Definition der Parameterdarstellung

Oft werden Funktionen auch in Parameterdarstellung angegeben. Die Parameterdarstellung

werden zwar ebenfalls in kartesischen Koordinaten dargestellt, allerdings besteht dabei

keine direkte Beziehung zwischen der

x

- und der

y

-Koordinate. Stattdessen sind beide

Werte von einem dritten Parameter (in der Regel mit

t

bezeichnet) abhängig. Die

Koordinaten eines Punktes werden also durch zwei Funktionen definiert:

f t

( ) =

x

und

g t

( ) =

y

, oder vereinfacht:

x

(

t

) und

y

(

t

) . Zwar lässt sich daraus manchmal eine direkte

Beziehung von

x

und

y

ableiten, dies ist aber nicht zwingend gegeben.

Eine Kurve in Parameterdarstellung denkt man sich oft als die Bahn, die ein sich

bewegender Punkt

P

(

x

|

y

) beschreibt, wenn der Parameter

t

ein gegebenes Intervall

durchläuft (wobei

t

in diesem Zusammenhang meist die Zeit darstellt). So lässt sich zum

Beispiel recht einfach die Bewegungskurve eines horizontal abgeschossenen Balles

darstellen. Nehmen wir an, dass er sich in x-Richtung mit einer konstanten

Geschwindigkeit

v

bewegt und in y-Richtung durch die Erdgravitation die konstante

Beschleunigung

a

nach unten erfährt. Dann ist

x t

( ) =

v

t

und

1

2

y

(

t

) = -

a

t

. Wenn für

2

v

und

a

Werte eingesetzt und der Graphen gezeichnet wird, ergibt sich eine Wurfparabel

(Abb. 6).

Bogenlänge ebener Kurven -

9

-

Andree Große

---

y

5 10 15 20

x

-5

-10

(Abb. 6)

-15

x t

( ) = 10

t

,

1

2

y

(

t

) = - 10

t

(

t

)

0

2

-20

Die Bogenlänge des Graphen lässt sich daher in der Parameterdarstellung auch als die

Strecke verstehen, die ein sich auf dieser Kurve bewegender Punkt zurücklegt.

4.2 Herleitung einer Formel für die Bogenlänge in Parameterdarstellung

Da die Parameterdarstellung in kartesischen Koordinaten aufgetragen wird, kann man

genauso vorgehen wie beim Graph einer Funktion

f

(

x

) .

P

y

i

1

+

(Abb.7)

si

y

i

Pi

x

i

x

Ein Intervall [

a

;

b

] mit

a

=

t

und

b

=

t

wird in

n

Teilstücke zerlegt (Abb.7). Dabei ist

1

n

1

+

b a

t

-

=

. Wie man aus der Zeichnung ersehen kann gilt wieder:

n

2

2

2

2

s

=

+

=

+

i

(

xi

) (

yi

)

x

y

i

i

t

t

t

Bogenlänge ebener Kurven -

10

-

Andree Große

---

Für die Summe aller Teilstücke von

s

bis

s

ergibt sich:

1

n

n

n

2

2

s

=

x

y

t

i

i

i

+

i

=1

i

=1

t

t

Wir führen wieder den Grenzübergang

n

,

t

0 durch. Dabei ist in der

Parameterdarstellung

x

die Ableitung von

x

nach dem Parameter

t

, also

x

′(

t

) . Genauso

t

ist

y

=

y

′(

t

) . Es folgt:

t

n

2

2

x

y

xn

1

B

i

i

= lim

+

+

t

=

(

x

′

t

())2 + (

y

′

t

())2

dt

n

=1

i

t

t

x

1

Die Bogenlänge

B

des Graphen einer in Parameterdarstellung gegebenen Funktion

x

=

x

(

t

) ,

y

=

y

(

t

) im Intervall [

a

;

b

] ist also das bestimmte Integral:

(f.3)

b

B

=

(

x

′

t

())2 (

y

′

t

())2

dt

+

4.3 Zusammenhang

von

(f.1) und (f.3)

Wenn man sich (f.1) (die Formel der Bogenlänge einer Funktion

y

=

f

(

x

) ) anschaut,

lässt sich diese auch Mithilfe der obigen Formel erklären. Eine Funktion

y

=

f

(

x

) kann

man auch in Parameterdarstellung ausdrücken, indem man

x

=

t

als Parameter wählt. Es

gilt also

x

=

t

=

x

(

t

) und

y

=

f

(

x

) =

y

(

t

) sowie daraus resultierend

x

′(

t

) = 1. Dies setzt

man nun in die Formel für die Bogenlänge einer in Parameterdarstellung gegebenen

Funktion ein:

b

b

b

B

=

(

x

′

t

())2 + (

y

′

t

())2

dt

= 1+ (

y

′

t

())2

dt

= 1+ (

f

′(

x

))2

dx

a

a

a

(f.3)

Die vorher bestimmte Formel erhält man also auch aus der Formel für die Bogenlänge

einer in Parameterdarstellung gegebenen Funktion. Da man eine Funktion

y

=

f

(

x

) wie

oben beschrieben als eine spezialisierte Parameterdarstellung auffassen kann, ist dies auch

zwingend notwendig.

Bogenlänge ebener Kurven -

11

-

Andree Große

---

4.4 Überprüfung der Gleichung (f.3) am Beispiel des Einheitskreises

Wenn man sich noch mal die Verhältnisse im Kreis klarmacht, kommt man schnell auf eine

Parameterdarstellung für den Einheitskreis (Abb. 8).

y

cos(

t

)

r

= 1

(Abb. 8)

sin(

t

)

t

x

Wenn man

t

als Winkel eines Kreisausschnitts auffasst, ergibt sich die

Parameterdarstellung

x

(

t

) = cos(

t

) ,

y

(

t

) = sin(

t

) . Durchläuft der Parameter

t

das

Intervall [- ; ] bildet diese Funktion einen ganzen Kreis (wobei die Kreisfunktionen im

Bogenmaß berechnet werden müssen).

Für den Kreisumfang folgt mit Hilfe von Gleichung (f.3) also:

B

=

(

x

′

t

())2 + (

y

′

t

())2

dt

-

=

sin 2

t

( ) + cos2

t

( )

dt

-

= 1

dt

= [ ] =

t

-

2

-

Auch hier ist das Ergebnis der erwartete Wert.

Bogenlänge ebener Kurven -

12

-

Andree Große

---

5. Eine Beispielanwendung

Zum Abschluss soll das Vorgehen bei der Berechnung der Bogenlänge noch einmal an

einem etwas aufwendigeren Beispiel aufgezeigt werden. Gegeben sei eine Wurfparabel,

also die Bahn eines mit der Geschwindigkeit

v

schräg abgeworfenen Körpers, der einer

Gravitation

g

unterliegt (siehe Abb. 9). Es soll untersucht werden, bei welchem

Abwurfwinkel die vom Körper zurückgelegte Strecke, also die Bogenlänge der

Wurfparabel zwischen ihren zwei Nullstellen, maximal ist und ob dieser Winkel von

v

oder

g

abhängt.

Um eine Funktion, die diese Bewegung beschreibt, zu erhalten, wird die Geschwindigkeit

v

, mit der der Körper abgeworfen wurde, in die zwei Komponenten

v

=

v

cos( ) und

x

v

=

v

sin() zerlegt. Für die in x- bzw. y- Richtung zurückgelegte Strecke zum

y

Zeitpunkt

t

gilt dann:

x t

( ) =

v

cos()

t

1

2

y

(

t

) =

v

sin()

t

-

g

t

2

Der Winkel wird dabei im Bogenmaß gemessen und es gilt:

t

0

v

> 0

g

> 0 0

2

y

x t

( ) = 10 cos( )

t

,

2

1

2

y

(

t

) = 10 sin( )

t

- 81

,

9

t

2

vx

2

2

v

(Abb. 9)

y

x

3 4 5 6 7 8 9 10 11

Für die weiteren Berechnungen ist es allerdings vorteilhaft, diese Parameterdarstellung zu

einer Funktion umzuformen, die die direkte Beziehung von

x

und

y

angibt. Dazu löst man

x

(

t

) nach

t

auf und setzt dies in die Gleichung

y

(

t

) ein:

sin()

2

x

g

x

(f.4)

f

(

x

) =

-

cos()

2 2

v

cos2 ()

Bogenlänge ebener Kurven -

13

-

Andree Große

---

Um die Bogenlänge der Funktion mit Hilfe von (f.1) berechnen zu können, werden

zunächst die zu verwendenden Intervallgrenzen benötigt. Es müssen also die Nullstellen

der Funktion berechnet werden:

sin()

2

x

g

x

sin()

g

x

-

=

x

-

= 0

cos()

2 2

v

cos2 ()

cos() 2 2

v

cos2 ()

g

sin( )

x

x

= 0

-

= 0

cos()

2 2

v

cos2 ()

g

sin( )

x

=

cos()

2 2

v

cos2 ()

2 2 sin()

v

cos( )

=

x

g

2

2

v

sin( ) cos( )

x

= 0 ,

x

=

1

2

g

Als nächstes braucht man

f

′(

x

) :

sin()

g

x

g

x

f

′(

x

) =

-

= tan() -

cos()

2

v

cos2 ()

2

v

cos2 ()

Dies kann nun in die Formel für die Bogenlänge eingesetzt werden:

b

x

2

2

2

B

=

1+ (

f

′(

x

))

g x

dx

=

1+ tan() -

dx

2

2

cos ()

1

v

a

x

An dieser Stelle offenbart sich das größte Problem bei der Berechnung der Bogenlänge,

nämlich das Finden einer Stammfunktion zur algebraischen Berechnung des Integrals. Der

Ausdruck 1+ (

f

′(

x

)2

) führt dazu, dass diese nur selten sofort ersichtlich ist, sondern meist

durch aufwendige Umformungen hergeleitet werden muss. In unserem Fall ist es hier

sinnvoll, die gesuchte Stammfunktion vom Computer berechnen zu lassen. Dieser gibt an:

Bogenlänge ebener Kurven -

14

-

Andree Große

---

v

2 cos2 ( ) ln(

v

4 cos2 () - 2

g

x

v

2 sin() cos() +

g

2

x

2 -

v

2 sin() cos() +

g

x

)

F

(

x

) =

2

g

(

2

g

x

-

v

sin( ) cos( ))

4

v

cos2 () - 2

2

g

x

v

sin() cos()

2

2

+

g

x

+

2

2

g

v

cos2 ()

Kein besonders handlicher Ausdruck. Wenn man die Intervallgrenzen einsetzt, erhält man

einen einfacheren Ausdruck:

2

v

cos2 () ln[ 4

v

cos2 ()

2

-

v

sin()cos()] ( 2

-

v

sin() cos())

4

v

cos2 ()

F

(

x

) =

F

(0) =

+

1

2

g

2

2

g

v

cos2 ()

2

v

cos2 () ln[ 2

v

cos( )

2

-

v

sin() cos()] ( 2

v

sin( ) cos( )) 2

v

cos()

=

-

2

g

2

2

g

v

cos2 ()

v

2 cos2 () ln[

v

2 cos() (1 - sin())]

v

2

=

-

sin( )

2

g

2

g

2

v

2 sin() cos()

Beim Einsetzen der zweiten Grenze

x

=

in die Stammfunktion

2

g

löst sich die Wurzel ebenfalls auf. Aus Platzgründen wird dies vorweg gezeigt:

4

2

2

2

2

v

cos () - 2

g

x

v

sin() cos() +

g

x

2

2

4

=

v

cos2 () - 4 4

v

sin 2 () cos2 () + 4 4

v

sin2 () cos2 ()

2

=

v

cos()

v

2 cos 2 ( ) ln[

v

2 cos() -

v

2 sin() cos() + 2

v

2 sin()cos()]

F

(

x

) =

2

2

g

(2 2

v

sin() cos()

2

-

v

sin() cos()) 2

v

cos()

+

2

2

g

v

cos2 ()

2

v

cos2 () ln[ 2

v

cos( )

2

+

v

sin() cos()] ( 2

v

sin() cos( )) 2

v

cos()

=

+

2

g

2

2

g

v

cos2 ()

v

2 cos2 () ln[

v

2 cos() (1 + sin())]

v

2

=

+

sin( )

2

g

2

g

Bogenlänge ebener Kurven -

15

-

Andree Große

---

Jetzt kann schließlich die Bogenlänge berechnet werden:

x

2

B

=

1+ (

f

′(

x

))2

dx

=

F

(

x

) -

F

(

x

)

2

1

1

x

v

2 cos2 () ln[

v

2 cos() (1 + sin())]

v

2

=

+

sin( )

2

g

2

g

v

2 cos2 () ln[

v

2 cos() (1 - sin())]

v

2 sin()

-

-

2

g

2

g

2

v

sin()

2

v

cos2 ()

=

+

( ln[ 2

v

cos() (1 + sin())]- ln[ 2

v

cos() (1 - sin())] )

g

2

g

2

v

sin()

2

v

cos2 ()

=

+

( ln[ 2

v

cos()]+ ln[1 + sin()]- (ln[ 2

v

cos()]+ ln[1 - sin()] ) )

g

2

g

2

v

sin()

2

v

cos2 ()

=

+

( ln[1+ sin()]- ln[1- sin()] )

g

2

g

2

2

2

v

sin()

v

cos () 1+ sin()

=

+

ln

g

2

g

1 - sin()

Die endgültige Formel für die Bogenlänge lautet also:

2

v

1

2

1- sin( )

B

=

sin() - cos ()ln

g

2

1+ sin()

Nun lässt sich untersuchen, wie sich die Bogenlänge der Wurfbahn in Abhängigkeit von

verändert. Definiert man eine Funktion

B

( ) =

B

, bemerkt man sofort, dass

v

und

g

für

diese Funktion nur als Streckungs- bzw. Stauchungsfaktoren auftreten und ihr Maximum

daher nicht verschieben. Jede Wurfparabel wird also bei dem einheitlichen Winkel

max

ihre maximale Bogenlänge haben. Diesen Winkel wollen wir nun versuchen zu berechnen.

Nach den obigen Überlegungen müssen wir dafür das Maximum der folgenden Funktion

suchen:

1

2

1- sin( )

f

() = sin() - cos () ln

2

1+ sin()

Bogenlänge ebener Kurven -

16

-

Andree Große

---

Dafür muss

f

′( ) = 0 gesetzt werden. Um

f

( ) abgeleiten zu können, benötigt man

folgende Ableitung:

d

1- sin()

2

ln

= -

d

1+ sin()

cos()

Unter Verwendung der Ketten- sowie der Produktregel folgt:

f

′() = cos( - 1

)

(- 2)

1- sin( ) 1

2

2

sin() cos() ln

- cos ()

2

1+ sin() 2

cos()

1- sin()

= sin() cos() ln

+ 2 cos()

1+ sin()

Dies setzen wir gleich Null, um einen Extrempunkt zu finden. Für cos( ) = 0 würde

f

′() Null werden. Dafür muss

= sein. In diesem Punkt, welcher gleichzeitig die

2

1- sin( )

rechte Intervallgrenze ist, ist die Funktion allerdings aufgrund von ln

2

= ln(0)

1+ sin( )

2

nicht definiert.

Für diesen Fall muss die Bogenlänge der Funktion daher gesondert berechnet werden.

Dazu erinnern wir uns daran zurück, dass die Funktion

f

( ) einen schrägen Wurf für den

speziellen Fall

v

= 1 und

g

= 1 beschreibt. Bei

= handelt es sich dabei um einen

2

senkrechten Wurf nach oben und die Länge der dabei zurückgelegten Strecke entspricht der

doppelten Steighöhe des Körpers. Diese berechnet sich durch

v

h

= 2 . In unserem Fall hat

2

g

die Bahn des Körpers also die Länge 1 und dies ist damit der Funktionswert von ′(

f

) .

2

Allerdings ist dies nicht das Maximum der Funktion im gegebenen Intervall, wie im

folgenden Absatz gezeigt wird.

Der zweite Extrempunkt liegt vor wenn gilt:

1- sin()

sin() ln

+ 2 = 0

1+ sin()

Der Wert

, der diese Bedingung erfüllt, kann allerdings nicht algebraisch, sondern nur

max

numerisch bestimmt werden. Daher kann man auch nicht durch die hinreichende

Bedingung

f

′′( ) > 0 beweisen, dass es ein Maximum ist. Man kann es sich aber

anschaulich machen, indem man die Funktionswerte an den Intervallgrenzen der Funktion

sowie an einem Punkt dazwischen betrachtet.

Bogenlänge ebener Kurven -

17

-

Andree Große

---

Die Funktionswerte an den Grenzen sind

f

( )

0 = 0 und (

f

) = 1. Bei = 1 ist

2

f

() ,

1 2 . Der Verlauf der Kurve ist damit schon festgelegt, da im gegebenen Intervall

kein weiterer Extrempunkt existiert und die Funktion stetig ist: Die Kurve beginnt im

Ursprung, steigt dann bis zu einem Maximum, welches bei

liegt, und fällt

max

anschließend wieder bis zum Punkt (

P

)

1

, . Die Kurve ist in Abbildung 10 skizziert.

2

y

f

′()

(Abb. 10)

6

,

0

,

0

4

f

()

,

0

2

x

0

0

1

,

0

,

0

2

3

,

0

,

0

4

5

,

0

Jede Wurfparabel hat ihre maximale Bogenlänge folglich bei dem Abwurfwinkel , der

die Bedingung erfüllt:

1- sin()

sin() ln

+ 2 = 0

1+ sin()

Auf vier Nachkommastellen gerundet ist dies bei etwa = 9855

.

0

der Fall, wie man auch

in Abbildung 10 ungefähr erkennen kann. Interessanterweise unterscheidet sich dieser Wert

von dem Winkel, bei dem die Wurfweite, d.h. der Abstand auf der x-Achse zwischen den

beiden Nullstellen, maximal ist (hierfür muss der Abwurfwinkel nämlich betragen).

4

Bogenlänge ebener Kurven -

18

-

Andree Große

---

6. Resümee

Im nachhinein betrachtet ist die Herleitung der Formeln für die Bogenlänge nicht

sonderlich kompliziert, wenn man mit der Integral- und Differentialrechnung einigermaßen

vertraut ist. Schließlich funktioniert sie in den verschiedenen Darstellungssystemen jeweils

nach dem gleichen Prinzip (Zerlegung der Kurve, Berechung der Teilstrecken über

Pythagoras und anschließende Grenzwertbildung). Wie sich am letzten Beispiel und auch

schon an der Berechnung der Bogenlänge des Einheitskreises in Abschnitt 2.2 gezeigt hat,

ist vielmehr die tatsächliche Berechnung der entstehenden Integrale in der Regel ein

aufwendiger Vorgang. Oft treten auch Fälle auf, in denen keine elementare Stammfunktion

zur Auflösung der Integrale existiert. Dies bedeutet natürlich nicht, dass die Bogenlänge

nicht berechnet werden kann. Jedoch muss man dann auf geeignete numerische

Integrationsverfahren zurückgreifen.

Für mich war es durchaus interessant, mich mit diesem Thema zu beschäftigen. Zum

Einen, weil ich mir gut vorstellen kann, die erlangten Kenntnisse auch praktisch anwenden

zu werden, zum anderen, weil ich bei der Bearbeitung dieses Themas gelernt habe, mit der

Polarkoordinaten- und der Parameterdarstellung zu arbeiten.

Bogenlänge ebener Kurven -

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-

Andree Große

---

Anhang

Literaturverzeichnis

-

Helmut Sieber, Leopold Huber,

Mathematische Begriffe und Formel

, Ernst Klett

Schulbuchverlag Stuttgart · Düsseldorf · Berlin · Leipzig, 1/2001

-

K. Winfried,

Einführung in die Analysis I

, Spektrum Akademischer Verlag

Heidelberg · Berlin, 1/2000

-

W. Kroll, J. Vaopel,

Grund- und Leistungskurs Analysis Lehr- und

Arbeitsbuch

, Dümmlerbuch Bonn, 1986

Sonstige Hilfsmittel

Es wurden Quellen von folgenden Internetadressen verwendet:

-

http://www.mathematik-online.de/F55.htm

-

http://www.cti.ac.at/~pester/Stoecker/daten/part_6/node154.htm

-

http://007-001-908-d.de/hausaufgaben/mathe/mk0004.zip

Für das Zeichnen der Funktionsgraphen und zur Hilfe bei den Berechnungen wurde Derive

5.5 verwendet.

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Andree Große

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