1

Karl Friedrich Hofmann

LK Mathematik

Facharbeit: Die Zahl

Inhaltsverzeichnis

KAPITEL 1 ­ EINLEITUNG

2

KAPITEL 2 ­ DIE ZAHL

3

2.1

MATHEMATISCHE HERLEITUNG VON

3

2.2

GEOMETRISCHE HERLEITUNG VON

3

2.3

APPROXIMATIONEN VON

4

KAPITEL 3 ­ MATHEMATISCHE ANWENDUNGEN VON

5

3.1

IN DER TRIGONOMETRIE UND DIE GOLDENEN DREIECKE

5

3.2

UND DIE FIBONACCI-ZAHLEN

7

3.3

DIE LUCAS-ZAHLEN UND DIE ALLGEMEINEN FORMELN IN
HYPERBOLISCHER SCHREIBWEISE 10

KAPITEL 4 ­ KETTENBRÜCHE

12

4.1

DEFINITION UND EINFÜHRUNG IN KETTENBRÜCHE 13

4.2

ALS KETTENBRUCH 14

4.3

-VERWANDTE ZAHLENFOLGEN UND IHRE KETTENBRÜCHE 15

KAPITEL 5 ­ SCHLUSSBEMERKUNG

17

ANHANG 18

A.

QUELLENANGABEN 18

B.

BEISPIEL FÜR DIE ENTWICKLUNG EINES KETTENBRUCHS 19

C.

EINVERSTÄNDNISERKLÄRUNG 20

---

2

Karl Friedrich Hofmann

LK Mathematik

Facharbeit: Die Zahl

Kapitel 1 ­ Einleitung

Die Zahl geht, ebenso wie die Kreiszahl , auf das mathematische Erbe der alten

Griechen zurück. Ausgangspunkt zur Herleitung von war ein geometrisches

Phänomen, dass heute unter dem Namen ,,Goldener Schnitt" oder auch ,,göttliche

Proportion" bekannt ist. Später dann fand man auch in anderen mathematischen

Bereichen das Vorkommen der Zahl , so beispielsweise bei den Fibonacci-Zahlen oder

in der Trigonometrie.

Die Zahl spielt heute durch ihre enge Verwandtschaft zum Goldenen Schnitt auch in

der nichtmathematischen Kultur eine beträchtliche Rolle, ähnlich wie bei ihrer

entfernten Konstantenverwandten existieren zahlreiche halbesoterische

Vereinigungen, die sich mehr der Faszination der Zahl selbst gewidmet haben als ihren

mathematischen Anwendungsbereichen.

Meine Motivation für dieses Thema war, dass mich die vielen verschiedenen Bezüge zu

den unterschiedlichsten mathematischen Strukturen fasziniert haben und ich diese

Mannigfaltigkeit in dieser Facharbeit darstellen wollte. Die Mathematik der Zahl ist

zwar in der Anwendung nur sehr stark eingeschränkt, jedoch ist ihr Vorkommen sehr

häufig vorhanden. Die Facharbeit wird sich größtenteils auf die verschiedenen

mathematischen Bereiche, in denen vorkommt, konzentrieren, um die Facharbeit

genügend von den anderen beiden Themen ,,Fibonacci-Zahlen" (Astrid Dierkes) sowie

,,Goldener Schnitt" (Stephanie Kurz) abzugrenzen, jedoch werden auch diese

angesprochenen Themen in der Facharbeit behandelt werden, auch da sie die

bekanntesten Anwendungsmöglichkeiten für die Zahl sind.

---

3

Karl Friedrich Hofmann

LK Mathematik

Facharbeit: Die Zahl

Kapitel 2 ­ Die Zahl

Dieses Kapitel soll dem Leser die Definition der Zahl vermitteln sowie einzelne

Eigenschaften von und ′ vorstellen.

2.1 Mathematische Herleitung von

Gesucht wird eine Zahl, deren Quadrat um 1 größer ist als sie selbst.

2

x = x + 1

- (x + )

1

2

x - x -1 = 0

2

- b ± b - 4ac

x

=

für a = ,

1 b = - ,

1 c = 1

-

1 / 2

2a

- (- )

1 ± (- )

1 2 - 4 1 (- )

1

x

=

1 / 2

2 1

1 + 5

1 - 5

x =

61803398

,

1

...

x =

0

- 61803398

,

...

1

2

2

2

Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind häufig auftretende mathematische

Konstanten, x1 wird dabei als , x2 als ′ bezeichnet. und ′ sind miteinander eng

verwandt, was wir optisch schon durch die signifikant gleichen Dezimalstellen sehen.

Betrachten wir zunächst :

2

n

= + 1

n + 2

n +1

n

=

+

für n R

Diese Eigenschaft trifft ebenfalls auf ′ zu. Setzen wir für n=-1 ein, zeigt sich, dass die

Differenz zwischen und seinem Kehrwert ebenfalls 1 beträgt, d. h. die Dezimalstellen

sind identisch. So lässt sich eine Beziehung zwischen und ′ herleiten:

= -( -1

) = -( - )

1

Durch einfache Umformung der oben genannten Zusammenhänge erhalten wir

folgende mathematische Zusammenhänge:

+ 1

2

=

- 1

-1

=

-1

+ = 5

2.2 Geometrische Herleitung von

Die Zahl geht schon auf ein extrem altes Problem der Mathematik zurück, genauer

gesagt bis ins 4. Jahrhundert vor Christus: der griechische Mathematiker Euklid, der

---

4

Karl Friedrich Hofmann

LK Mathematik

Facharbeit: Die Zahl

sich eingehend mit Mittelpunkten von Strecken beschäftigt hatte, hob es um ca. 300 v.

Chr. aus seiner Wiege.

Gegeben sei eine Strecke AC der Länge x, die in einem Punkt B so geteilt wird, dass

das Verhältnis der kürzeren zur längeren Strecke das gleiche sei wie das Verhältnis der

längeren zur ganzen Strecke (siehe Abb. 1), also das gelte: AB : BC = BC : AC .

Abbildung 1

Bezeichnen wir (wie in Abb. 1) die Strecke BC als x, die Strecke AB wird als eine

Länge von 1 definiert sowie die komplette Strecke AC als x+1, so können wir eine

Gleichung aufstellen:

x + 1

x

=

x

x

1

x + 1

2

2

= x

- x

2

- x + x + 1 = 0

(- )

1

2

x - x -1 = 0

Diese Gleichung ergibt in seiner positiven Lösung (die negative Lösung ist zu

vernachlässigen auf Grund der Nichtexistenz einer ,,negativen Strecke").

Die Teilung einer Strecke im Verhältnis : 1 (wie oben gezeigt) wird als ,,Goldener

Schnitt" bezeichnet, die allgemeine Proportion : 1 als ,,Göttliche Proportion" und

analog dazu manchmal auch als ,,Goldene Zahl" oder auch ,,Göttliche Zahl".

Dieser ,,Goldene Schnitt" taucht vielfältig in Architektur, Kunst, Natur, sogar in der

Literatur und Musik auf und gilt als äußerst ästhetisches Verhältnis, wie empirische

Studien beweisen. Die sehr enge Verwandtschaft zwischen und dem Goldenen

Schnitt, bewegte sogar manche Mathematiker, nach dem griechischen tome

(schneiden) die Zahl mit abzukürzen, diese Variante hat sich jedoch nicht

durchgesetzt.

2.3 Approximationen von

ist eine irrationale Zahl, wie man an der Wurzel leicht sehen kann und was sich auch

trivial beweisen lässt. Nichtsdestotrotz kann man mittels natürlicher Zahlen

approximieren:

x 2 = x + 1

x = 1 + x

---

5

Karl Friedrich Hofmann

LK Mathematik

Facharbeit: Die Zahl

Setzen wir nun für das x in der Wurzel wieder 1 + x , setzen dort wieder ein etc., so

konvergiert für eine unendliche Zahl Wurzeln diese Darstellung gegen , d. h.:

= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ...

Analog zu einer anderen gültigen Definition für gibt es ein zweites einfaches

Approximationsverfahren:

x

1

- 1 =

+ 1

x

x

1

= 1 + x

Setzen wir nun (analog zur Wurzelapproximation) für das x im Nenner des Bruches

wieder x

1

= 1 +

ein, konvergiert auch diese Darstellung für unendlich viele Brüche

x

gegen :

1

= 1 +

1

1 +

1

1 +

1

1 + 1+...

Diese Darstellung einer Zahl durch einen unendlichen Bruch nennt man einen

Kettenbruch, in Kapitel 4 wird darauf näher eingegangen.

Kapitel 3 ­ Mathematische Anwendungen von

In diesem Abschnitt werde ich die verschiedenen Bereiche der Mathematik vorstellen,

in denen Verwendung findet und jene Anwendung erläutern.

3.1

in der Trigonometrie und die Goldenen Dreiecke

Die drei trigonometrischen Funktionen sin(x), cos(x) sowie tan(x) schneiden sich, wie

wir wissen, in folgenden Punkten (Periodizität wurde berücksichtigt):

sin x = tan x

S n

( / )

0 für n Z

1

( n

n

4 + )

1 (- )

1

sin x = cos x

S

für n Z

2

4

2

Eine genauere Darstellung sehen wir in Abb. 2 (Seite 6). Der dritte Schnittpunkt

jedoch, zwischen Cosinus und Tangens, ist bisher unbekannt.

---

6

Karl Friedrich Hofmann

LK Mathematik

Facharbeit: Die Zahl

sin x

cos x = tan x

tan x =

für cos x 0

cos x

sin x

cos x =

cos x

cos x

2

2

2

2

2

cos x = sin x

sin x + cos x = ;

1 cos x = 1 - sin x

2

- sin x + 1 = sin x

- sin x ; (- )

1

2

sin x + sin x -1 = 0

sin x = z

2

z + z -1 = 0

Abbildung 2

- 1 ± 5

z

=

1 / 2

2

5

-1

- (1 + 5)

z =

- 0 5

, = - 1 =

z =

= -

1

2

2

2

-1

sin x =

x = arcsin( -1

)

Die Lösung z = - liegt nicht im Definitionsbereich für den Arcus Sinus und ist daher

2

irrelevant. Die Lösung beschränkt sich auf das Intervall

- ; , da es ebenfalls einen

2

negativen Schnittpunkt gibt. Die zweite Koordinate bestimmen wir wie folgt

(ausgehend von Arbeiten am Einheitskreis mit r=1):

Ankathete :a ,

te

Gegenkathe :b ,Hypotenuse :c = 1

a

a

b

cos x =

=

= a

tan x =

c

1

a

b

a = a

a 2 = b

a = b

a 2 + b 2 = c 2 = 1

-1

a 4 + a 2 -1 = 0

a 2 = z

z

- 1 ± 5

=

1 / 2

2

z = -1

z = -

1

2

a = -1

a existiert für a R nicht negative

(

Wurzel )

2

S arcsin(-1

3

) -1

für oben

s

angegebene Intervall

Doch es gibt noch mehr Vorkommen von in der

Trigonometrie:

wir betrachten zwei gleichschenklige Dreiecke, deren

Schenkel und deren Basis 1 betragen und vice versa

(siehe li. Abb. 3):

Die Basiswinkel des roten Dreiecks betragen beide

2

(=72°), die des grünen Dreiecks (36°).

5

5

Diese beiden Dreiecke nennt man, analog zum Goldenen

Abbildung 3

Schnitt, die beiden Goldenen Dreiecke und auf Grund ihrer

---

7

Karl Friedrich Hofmann

LK Mathematik

Facharbeit: Die Zahl

signifikanten Seitenlängen bzw. Winkel können neue konstante Werte der

trigonometrischen Funktionen erfasst werden:

Rotes Dreieck:

=18°, =72°, a=0,5; Hypotenuse c=

2

2

2

c =a +b

2

- 0 5

, 2

2

= b

2

b = - 0 25

,

= + 1 - 0 25

,

= + 0 75

,

2

a

0 5

,

1

cos = cos 72° = cos

=

=

=

= sin = sin18° = sin

5

c

2

10

2

b

+ 0 75

,

sin = sin 72° = sin

=

=

= cos = cos18° = cos

5

c

10

Grünes Dreieck:

=54°, =36°, a=

, Hypotenuse c=1

2

2

2

2

c = a + b

2

1

2

-

= b

4

2

+ 1

3 -

3 -

b = 1 -

= 1 -

=

=

4

4

4

2

a

3

cos = cos 36° = cos

=

=

= sin = sin 54° = sin

5

c

2

10

3

b

3 -

cos = cos 54° = cos

=

=

= sin = sin 36° = sin

10

c

2

5

Mit diesen neu erlangten konstanten für einige Sinus- bzw. Cosinus-Werte lassen sich

über die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen weitere Werte, auch mit

schon bekannten Werten berechnen, wie beispielsweise so:

sin(a ± b) = sina cos b ± sin b cos a

sin 6° = sin

= sin(36° - 30 )

° = sin 36° cos 30° - sin 30° cos 36° =

30

3 -

3

1

3 3 -

3 3 - -

14

-

=

-

=

= cos 84° = cos

2

2

2 2

4

4

4

30

Diese Werte zeigen die besondere Signifikanz von in der Trigonometrie, weitere

ergeben sich aus den weiteren Additionstheoremen.

3.2

und die Fibonacci-Zahlen

Die Fibonacci-Zahlen gehen auf den Mathematiker Leonardo von Pisa (der Name

,,Fibonacci", unter dem er bekannt wurde, ist auf ,,Filius Bonacci" (also Sohn des

Bonacci) zurückzuführen) zurück, der im 12. u. 13. Jahrhundert lebte. Dieser wohl

größte Mathematiker des Mittelalters, der sich die Mathematik auf Handelsreisen in den

verschiedensten Ländern aneignete, schaffte es mit seinem mathematischen Werk

---

8

Karl Friedrich Hofmann

LK Mathematik

Facharbeit: Die Zahl

,,Liber Abaci", die indische Mathematik den Europäern näher zu bringen sowie das

arabische Ziffernsystem entgültig zu etablieren.

Heute findet der Name Fibonacci zumeist noch in einer rekursiv definierten Zahlenfolge

Verwendung:

a = ;

0 a = 1

0

1

a + a

= a

n

n +1

n +2

Die Zahlen dieser Folge werden heute allgemein als Fibonacci-Zahlen bezeichnet (die

n-te Fibonacci-Zahl werde ich hier der besonderen Kennzeichnung halber so schreiben:

Fib ) und entwickelt sich wie folgt:

n

Fib = ;

0 Fib = ;

1 Fib = ;

1 Fib = ;

2 Fib = ;

3 Fib = ;

5 Fib = ;

8 Fib = ;

13 Fib = 21 etc.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Die Fibonacci-Zahlen entsprangen ursprünglich einer Aufgabe aus seinem Buch ,,Liber

Abaci", in dem sie die Population einer Kaninchenzucht darstellten, sind jedoch größten

Teils ein mathematisches Phänomen und haben auch eine sichtliche Verbindung zu ,

wenn wir die verschiedenen Potenzen von betrachten:

2

= + 1

3

2

= + = + 1 + = 2 + 1

4

3

2

= + = 2 + 1 + + 1 = 3 + 2

5

4

3

= + = 3 + 2 + 2 + 1 = 5 + 3

6

5

4

= + = 5 + 3 + 3 + 2 = 8 + 5

etc.

Die Koeffizienten von sowie die zusätzlichen Summanden folgen offensichtlich den

Fibonacci-Zahlen, sodass man die Vermutung machen kann:

n = Fib + Fib

n

n 1

-

Beweis (durch Induktion):

Induktionsanfang: n=1

1 = Fib + Fib = 1 + 0 =

1

0

Induktionsannahme: n=k

k = Fib + Fib

k

k 1

-

Induktionsschluss: n=k+1

k +1

= Fib

+ Fib

k +1

k

k

= Fib

+ Fib

k +1

k

(Fib + Fib

= Fib

+ Fib

k

k -1 )

:

k +1

k

Fib

Fib

Fib + Fib

= Fib

k

k

+

-

k

k -1

k +1

Fib

Fib + Fib

k

-

= Fib

k

k -1

k +1

1

1

-1

Fib - + Fib

= Fib

-

= - = 1

k

k -1

k +1

Fib + Fib

= Fib

q.e.d .

k

k -1

k +1

---

9

Karl Friedrich Hofmann

LK Mathematik

Facharbeit: Die Zahl

Die letzte Aussage der Induktion ist die Definition der Fibonacci-Zahlen und somit ist

die Aussage bewiesen. Interessanterweise muss die gleiche Definition auch auf die

Potenzen von ′ zutreffen, da diese Zahl ja an die gleichen Bedingungen geknüpft ist

wie , wir werden in Kapitel 3.3 näher darauf eingehen. Die Sätze über die Potenzen

von sowie ′ lauten also:

n = Fib + Fib

n

n -1

n = Fib + Fib

für n N ;n 1

n

n -1

Interessant ist auch die Betrachtung des Quotienten einer Fibonacci-Zahl und der

Fib

vorangegangenen Fibonacci-Zahl:

i

für i < 1 , dieser scheint gegen einen

Fibi -1

bestimmten Wert zu konvergieren (wie in Abb.

4 zu sehen ist). Die grün eingezeichnete Linie

zeigt die offensichtliche Nähe zu an.

Vermutung:

Fib

lim

i

= ;i > 1

i Fibi -1

Beweis:

Der Abstand zweier sukzessiver dieser

Quotienten müsste gemäß der Konvergenz für i

Abbildung 4

gegen unendlich gegen Null streben und die konvergierende Folge sich bei einem Wert

x konsolidieren. Also:

Fib

Fib

Fib

Fib

lim

i 1

+

i

-

= 0

i

i 1

=

+

= x

i

Fib Fib

Fib

Fib

i

i 1

-

i 1

-

i

Fib

Fib

i

i 1

=

+

Fib

= Fib + Fib

i 1

+

i

i 1

Fib

Fib

-

i 1

-

i

Fib

Fib + Fib

i

i

i 1

=

-

Fib

Fib

i 1

-

i

Fib

Fib

Fib

i

= 1

i 1

-

i

+

= x

Fib

Fib

Fib

i 1

-

i

i 1

-

also

1

x = 1 + x

x =

q.e.d .

Die letzte Aussage ist eine klare Definition von , damit ist die Aussage bewiesen.

Bisher kennen wir die Fibonacci-Zahlen nur rekursiv definiert: Fib + Fib

= Fib

.

n

n 1

+

n +2

Jahrhunderte lang war es ein großes Problem, die Fibonacci-Zahlen non-rekursiv zu

definieren, d. h. ohne sich auf ein Vorgängerglied der Folge zu beziehen. Der

französische Mathematiker Binet entwickelte dann um 1843 eine Möglichkeit, die

Fibonacci-Zahlen auch non-rekursiv zu berechnen, ausgängig von den Sätzen über die

---

10

Karl Friedrich Hofmann

LK Mathematik

Facharbeit: Die Zahl

Potenzen von und ′, in dem er wie folgend ein Fibonacci-Glied aus den beiden

Gleichungen entfernte:

n

= Fib + Fib

n

n -1

Addition

n

= Fib + Fib

- 1

n

n -1

( )

n

n

- = Fib - Fib

n

n

n

n

- = Fib -

: -

n

(

)

(

)

n

n

- = Fib

- = - - -1 = + -1 = 5

n

(

)

-

n

n

- = Fibn

5

Auch diese Gleichung können wir weiter vereinfachen und lediglich eine Konstante

(vorzugsweise ) gebrauchen:

= (- ( 1

- ) n

n

= (- )n

1 ( 1

- )n = (- )n

-n

1

= (- )-n

da gilt (- )-n

1

1

=

= (- )n

(- )

1

n

1

Dementsprechend ist die vereinfachte Formel für die Fibonacci-Zahlen:

n

- (- )-n

Fib =

n

5

Diese Formel nennt man auch (nach ihrem Begründer, dem französischen

Mathematiker Jacques Binet, der sie vermutlich 1843 entwickelt hatte) die ,,Formel von

Binet".

3.3 Die Lucas-Zahlen und die allgemeinen Formeln in
hyperbolischer Schreibweise

Der Mathematiker, der den Fibonacci-Zahlen ihren Namen gab, war der Franzose

Edouard Lucas. Selbst von dieser Zahlenfolge und der Zahl fasziniert, ging auch er

nähere Betrachtungen bezüglich und ′ ein, insbesondere beschäftigte er sich mit

der Addition ihrer Potenzen:

0

0

+ = 1 + 1 = 2

1

1

-1

+ = - = 1

2

2

+ = + 1 + + 1 = + 1 - ( - )

1 + 1 = 3

3

3

+ = 2 + 1 + 2 + 1 = 2 + 1 + 2 (- ( -1) + 1 = 2 + 1 - 2 + 2 + 1 = 4

etc .

Daraus lässt sich folgende Vermutung schließen:

Die Summe der Potenzen von und ′ sind immer Element der natürlichen Zahlen;

n

n

+ = x

für x N

Den Beweis können wir über die Sätze der Potenzen für bzw. ′ tätigen:

---

11

Karl Friedrich Hofmann

LK Mathematik

Facharbeit: Die Zahl

Beweis:

n

= Fib + Fib

n

n -1

n

= Fib + Fib

n

n -1

n

n

+ = Fib + Fib

+ Fib + Fib

n

n -1

n

n -1

n

n

+ = Fib + +

n

(

) 2 Fibn-1

n

n

+ = Fib + 2 Fib

q.e.d .

n

n -1

Die Fibonacci-Zahlen sind allesamt natürliche Zahlen, da die natürlichen Zahlen

bezüglich der Addition bzw. Multiplikation abgeschlossen sind, ist die Aussage

bewiesen.

n

n

n

L

-

+ = + -

n

( ) n

Die Summen der Potenzen von bzw. ′ nennt man nach ihrem Entdecker Lucas-

Zahlen und sie folgen in ihren Gesetzmäßigkeiten ebenso wie die Fibonacci-Zahlen, sie

besitzen lediglich andere Startglieder:

L = ;

2 L = 1

L + L

= L

0

1

n

n 1

+

n +2

Die Fibonacci- und Lucas-Zahlen lassen sich alle durch eine Formel zuverlässig

ausrechnen, diese Formel jedoch lässt sich wie folgt jedoch in eine andere Form

umwandeln.

Wir definieren1:

x

-x

e - e

sinh x

2

x

-x

e + e

cosh x

2

Die Ähnlichkeit dieser Funktionen zu der Formel von Binet bzw. der Formel für die

Lucas-Zahlen ist signifikant, dementsprechend lassen sich diese wie folgt umdefinieren:

n - (- )-n

Fib =

n

5

n - (- )-

1 n -n

Fib =

n

5

n + -n

für n = 2k +

1

5

Fib =

n

für n ,k N

n - -n

für n = 2k

5

n

-n

n ln

(-n )

+

e

+

ln

e

2

=

=

cosh(n ln )

5

5

5

n

-n

n ln

(-n )

-

e

-

ln

e

2

=

=

(

sinh n ln )

5

5

5

Setzen wir nun in die bekannte rekursive Darstellung der Fibonacci-Zahlen ein, erhalten

wir folgende Gleichung:

1 Eine Definition wird folgend geschrieben: x y , x wird definiert als y.

---

12

Karl Friedrich Hofmann

LK Mathematik

Facharbeit: Die Zahl

2

Fib

=

cosh n ln

sinh n 1 ln

n +2

(

( ) )+

( + ) )

5

Jedoch ist diese Darstellung noch nicht korrekt, da ja nur Fibonacci-Zahlen, deren Glied

ungerade ist, über den Cosinus hyperbolicus definiert werden (s.o.) und vice versa nur

gerade Fibonacci-Glieder über den Sinus hyperbolicus definiert werden.

Sowohl C. hyperbolicus als auch S. hyperbolicus müssen in der Gleichung vorkommen,

da jeweils eines der zu addierenden Glieder gerade bzw. ungerade sein muss.

Dementsprechend muss auch das zu berechnende n-te Glied darauf überprüft werden,

ob es gerade oder ungerade ist und dementsprechend dann ggf. 1 hinzuaddiert

werden oder nicht. Zu Hilfe nehmen wir uns hier die Heaviside-Funktion:

;

0 x 0

H (x ) f (x ) =

;

1 x > 0

((- )n

H

1 ) prüft dementsprechend einen Wert, ob er gerade oder ungerade ist und ist

bei einer geraden Zahl 1, bei einer ungeraden Zahl dementsprechend 0, der Ausdruck

(( ) 1

1 +

- n

H

) ist bei einer ungeraden Zahl 1 und bei einer geraden Zahl 0.

Die komplette hyperbolische Darstellung der Fibonacci-Zahlen lautet demnach:

2

Fib

=

n

n

n H

n H

n 2

(cosh ( + ((- )1 ) ln)+ sinh( + ((- ) +

1 1 ln

+

) )

5

Auch für die Lucas-Zahlen existiert eine ähnliche hyperbolische Formel:

n + -n für n = 2k

L =

für n k N

n

,

n - -nfür n = 2k +

1

n

-n

n ln

(-n )

+

= e

+

ln

e

= 2 cosh(n ln )

n

-n

n ln

(-n )

-

= e

-

ln

e

= 2

(

sinh n ln )

L

= 2

n

n

n H

n H

n 2

(cosh( + ((- ) +

1 1 ln

sinh

1

ln

+

) )+ ( + ((- ) ) )

Die mathematische Anwendung der hyperbolischen Formeln ist von eher begrenztem

Nutzen, im Vergleich zur Formel von Binet bzw. ihrem Pendant für die Lucas-Zahlen

sind sie wesentlich länger und umständlicher, jedoch zeigen eine weitere interessante

Eigenschaft bezüglich der Fibonacci- u. Lucas-Zahlen, nämlich ihre direkte Abhängigkeit

zu der Summe der Funktionswerten der hyperbolischen Funktionen von zwei

aufeinander folgenden Vielfachen von ln (geometrischer Zusammenhang befindet

sich in Quelle 10).

Kapitel 4 ­ Kettenbrüche

In diesem Kapitel werde ich eine kurze Einführung in Kettenbrüche darstellen und

-ähnliche Konstanten über die Eigenschaften der Kettenbrüche entwickeln.

---

13

Karl Friedrich Hofmann

LK Mathematik

Facharbeit: Die Zahl

4.1 Definition und Einführung in Kettenbrüche

Ein Kettenbruch ist eine alternative Schreibweise zur konventionellen Bruch-, Wurzel-

oder Dezimaldarstellung einer Zahl. Ein generalisierter Kettenbruch sieht so aus:

b1

x = a +

0

b2

a +

1

b3

a +

2

...

Dieser generalisierte Kettenbruch findet man jedoch nur recht selten, da es auch eine

einfachere Form der Darstellung gibt. Einen Kettenbruch, für den gilt: b = 1 , nennt

i

sich einfacher Kettenbruch. Ein einfacher Kettenbruch kann wie folgt abgekürzt

geschrieben werden:

x = [a ;a ,a ,a

0

1

2

3

]

...

Eine jede rationale Zahl kann durch den folgenden Algorithmus in einen einfachen

Kettenbruch umgewandelt werden.

f (x ) = x ;x R mit W = Z und x + r = mit r R ist definiert als die nächste

f

x

+

niedrigere Ganzzahl zu x.

Dementsprechend gilt für x Q :

x = x + r1

1

-

r

=

-

r

+ r

1

11 2

1

-

r

=

-

r

+ r

etc

2

12

.

3

1

-

r

=

-

r

+ r

n 1

-

1

n 1

-

n

r =

n

rn

x = [x ; 1-

-

-

r

r

r

r

1

, 12,..., 1

n 1

-

, n ]

x = a0

1-

rk = a

k N ,k 0

k

Jede rationale Zahl kann in einen endenden einfachen Kettenbruch (d. h. umgewandelt

werden, da die rationalen Zahlen bezüglich der Addition abgeschlossen sind, d. h.

gehört x zu den rationalen Zahlen, so ist auch r1 rational usw.

Wenn x Q , dann ist a Z sowiea N ;k N ,k 0 . Ein Beispiel für diesen

0

k

Algorithmus findet sich im Anhang.

Ist x dagegen eine irrationale Zahl, so kann sie nicht in einen endenden einfachen

Kettenbruch umgewandelt werden, sondern in einen unendlichen Kettenbruch. Jedoch

nähert sich ein einfachen Kettenbruch mit einer wachsenden Zahl an Gliedern immer

näher an x an, dementsprechend wird der Kettenbruch mit n Gliedern auch als n-ter

Konvergent zu x bezeichnet (wobei man hier beim ersten und nicht beim ,,nullten"

Glied zu zählen beginnt), man kann auf diese Weise auch sehr bequem rationale

---

14

Karl Friedrich Hofmann

LK Mathematik

Facharbeit: Die Zahl

Approximationen zu irrationalen Zahlen bestimmen. Je höher der Betrag eines Gliedes

eines simplen Kettenbruches ist, desto größer ist die Annäherung an die darzustellende

Zahl.

c =

; ,...,

lim

=

n

[a a

a

0

1

n ]

c

x

wenn x Q

n

n

Ist eine irrationale Zahl jedoch die Lösung einer quadratischen Gleichung, so

wiederholen sich irgendwann die Glieder des Kettenbruchs2. Durch unseren

Algorithmus erhalten wir z. B.:

2 = [ 2

;

1 2

, 2

, 2

, 2

,

]

,... [ ;

1 2]

Einen derartigen Kettenbruch nennt man einen periodischen einfachen Kettenbruch.

Mit Kettenbrüchen lässt sich nicht sonderlich komfortabel rechnen, sie sind eher in der

reinen Zahlentheorie interessant, lediglich die Addition u. Subtraktion ganzer Zahlen ist

kein Problem:

[a ;a ,a ,...

; , ,...

,

0

1

2

]± n = [a ± n a a

0

1

2

]für n a Z

0

4.2

als Kettenbruch

Den Kettenbruch von kennen wir schon aus Kapitel 2.3, es ist = [ ;

1 ]

1 . Dieser

Kettenbruch ist extrem signifikant, es ist der einfachste vorstellbare unendliche

Kettenbruch zusammen mit seinem Verwandten

1

- = - 1 = [ ;

0 ]

1 . Da der

Kettenbruch zu ab dem ersten Glied ausschließlich aus Einsen besteht, konvergiert

der jeweils n-te Konvergent zu langsamer als der entsprechende Konvergent zu

jeder anderen Zahl, d. h. die Differenz zwischen und seinem n-ten Konvergenten ist

größer als die Differenz zwischen jeder anderen Zahl und ihrem n-ten Konvergenten.

Auf Grund der langsamen Approximation durch Kettenbrüche wird auch als die

irrationalste Zahl bezeichnet.

Rechnet man die n-ten Konvergenten zu zu einem konventionellen Bruch hoch, so

erhalten wir folgende Ergebnisse:

3

5

8

Fibn+2

c = ,

2 c = ,c = ,c = ...

c =

1

2

3

4

2

3

5

n

Fibn 1+

Wie man klar sehen kann, folgen die n-ten Konvergenten zu dem Quotienten zweier

sukzessiver Fibonacci-Zahlen (siehe Kapitel 3.2).

2 laut Quelle 5

---

15

Karl Friedrich Hofmann

LK Mathematik

Facharbeit: Die Zahl

4.3

-verwandte Zahlenfolgen und ihre Kettenbrüche

Analog zu gibt es jedoch auch ähnliche Zahlen, die ähnlich signifikante Kettenbrüche

besitzen:

[ ;22],[ ;3 ]3,[ ;44],etc.,[n;n]

Erinnern wir uns an die Definition von und die Ableitung ihres Kettenbruchs daraus,

so können wir einen Rückschluss auf die konventionelle Darstellung auch dieser

Kettenbrüche ziehen:

1

x = 1 +

x = [ ;

1 ]

1

x

1

x = n +

x = [n;n]

n N ,n 0

x

1

x = n +

x

x

2

x = nx + 1

- nx - 1

2

x - nx -1 = 0

2

n ± n + 4

x

=

1 / 2

2

Auch hier macht (ähnlich wie bei ) lediglich die positive Lösung bezüglich des

Kettenbruchs Sinn.

n + n 2 + 4

Die Zahlen der Folge S =

= ; nennt man die ,,Silbernen Zahlen"

n

[n n]

2

(analog zur ,,Goldenen Zahl" ). Die Silbernen Zahlen sind demnach die Zahlen, die um

n größer sind als ihr Kehrwert.

Doch die Silbernen Zahlen haben weitere mathematische Verwandte: ist definiert als

die Zahl, deren Quadrat um 1 größer ist als sie selbst. Analog dazu gibt es Zahlen,

deren Quadrat jeweils um n größer sind als sie selbst. Ein simples Beispiel wäre n=2.

2

x = x + n

2

x - x - n = 0

1 ± 1 + 4n

x

=

1 / 2

2

Beschränken wir uns auch hier wieder lediglich auf die positive Lösung, so können wir

auch hier einen Kettenbruch bilden:

---

16

Karl Friedrich Hofmann

LK Mathematik

Facharbeit: Die Zahl

2

x = x + n

: x

n

x = 1 +

x

n

x = 1 +

n

1 +

n

1 +

n

1 +

n

1 + ...

Hier können wir keinen simplen Kettenbruch benutzen, da hier explizit der Zähler der

verschiedenen Teilbrüche angegeben werden muss (außer beim Sonderfall

n = 1 x = ).

Aus diesen beiden Kettenbrüchen jedoch zeigt sich eine erhebliche Signifikanz und es

lassen sich weitere generelle Aussagen über die Kettenbruchentwicklung von

quadratischen Gleichungen machen. Betrachten wir zunächst die allgemeine

quadratische Gleichung:

2

ax + bx + c = 0

: a

a ,b ,c 0

2

b

c

b

c

x + x + x = 0

= p; = q

a

a

a

a

2

x + px + q = 0

Für die quadratische Gleichung, deren positive Lösung ist, gilt: p ,q = 1

- . Die

quadratische Gleichung, deren Lösung die Silbernen Zahlen sind, hat folgende

Bedingung: q = - ,

1 p Z . Und die letzte Folge derer Zahlen, deren Quadrat um den

-

Wert einer natürlichen Zahl größer ist als der Ausgangswert, hatte die Bedingung:

p = - ,

1 q Z .

-

Durch die Eigenschaften der diesen Folgen zugeordneten Kettenbrüche lässt sich

aussagen:

2

x - px - q = 0

p ,q N ; p ,q 0

q

x = p +

q

p +

q

p +

q

p +

q

p +

q

p + p +...

Dieser Kettenbruch ist sehr signifikant und seine Lösung auch immer korrekt,

Definitionslücken entstehen nicht, solang wir innerhalb der Menge der natürlichen

Zahlen bleiben:

- p ± p 2 + q

4

x

=

p ,q N

1 / 2

2

Zur Lösung einer derartigen quadratischen Gleichung ist der Kettenbruch ein recht

passables Iterationsverfahren, dass sich auch leicht mit Computern umsetzen lässt.

---

17

Karl Friedrich Hofmann

LK Mathematik

Facharbeit: Die Zahl

Kapitel 5 ­ Schlussbemerkung

Die Kenntnis von ist anscheinend trotz ihres häufigen Vorkommens in

verschiedensten Bereichen der Mathematik recht gering, die Quellenbeschaffung

gestaltete sich leider nicht besonders einfach, da selbst die Universitätsbibliothek

Bremen über kein Buch verfügt, was die Eigenschaften von und die verschiedenen

Bereiche der Mathematik ausreichend abdeckt. Während meiner Arbeit war ich

ausschließlich auf Quellen aus dem Internet angewiesen, die fast allesamt in Englisch

verfasst sind, dementsprechend ist es möglich, dass manche Übersetzungen eventuell

missglückt sind. Außerdem machte es erhebliche Mühe, seriöse Seiten mit wahren

Informationen von Privat-Homepages mit Fehlinformationen zu trennen (so war die

falsche Information, dass jede reelle Lösung einer algebraischen Gleichung als

einfacher periodischer Kettenbruch darstellbar sei, durchaus in meinen Planungen

eingebaut worden).

Die inhaltliche Arbeit an dem Thema hat mir sehr viel Freude bereitet, es war sehr

interessant, Einblicke in bisher mir unbekannte Bereiche der Mathematik wie den

Fibonacci-Zahlen oder den Kettenbrüchen zu bekommen und den Bezug zu

herzuleiten. Leider konnte ich einige Themen, die ich ebenfalls in meiner Facharbeit

erwähnen wollte (z. B. Pisot-Vijayaraghavan-Konstanten oder die Lehmer-Konstante),

auf Grund ihres zu hohen Anspruchs nicht verwenden, was jedoch beweist, dass

durchaus ernste mathematische Forschung auch unter der Verwendung von

betrieben wird.

Der fehlende Praxisbezug von (bis auf die kurze Erwähnung bezüglich des Goldenen

Schnittes ist der Praxisbezug auf den ersten Blick nicht zu erkennen) hat mich

persönlich nicht gestört, kann jedoch eventuell die behandelnden Themen eventuell

etwas trocken erscheinen lassen.

Insgesamt brachte das Arbeiten an der Facharbeit durchaus Spaß und es war

interessant, sich ein Thema über mehrere Wochen selbst anzueignen und es didaktisch

zu präsentieren. Diese Art des Erarbeitens eines Themas ist meines Erachtens

wesentlich anspruchsvoller als konventionelle Klausuren, bildet jedoch einen recht

guten Kontrast dazu, ist abwechslungsreich und bietet einen kleinen Einblick in

wissenschaftliches Arbeiten.

---

18

Karl Friedrich Hofmann

LK Mathematik

Facharbeit: Die Zahl

Anhang

A. Quellenangaben

[1] http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/lucasNbs.html

[2] http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/index.html

[3] http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html

[4] http://archives.math.utk.edu/articles/atuyl/confrac/intro.html

[5] http://mathworld.wolfram.com/ContinuedFraction.html

[6] http://goldennumber.net/

[7] http://pauillac.inria.fr/algo/bsolve/constant/cntfrc/cntfrc.html

[8] http://pauillac.inria.fr/algo/bsolve/constant/gold/gold.html

[9]

http://www.fh-

kaernten.ac.at/~pester/Stoecker/daten/part_3a/node62.htm#SECTION0032100000000

0000000

[10]

http://www.fh-

kaernten.ac.at/~pester/Stoecker/daten/part_3a/node59.htm#SECTION0031100000000

0000000

[11] http://www.flash.net/~mherk/contfrac.htm

[12]

http://jwilson.coe.uga.edu/emt669/Student.Folders/Frietag.Mark/Homepage/Goldenrati

o/goldenratio.html

[13] http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/propsOfPhi.html

[14] http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/cfINTRO.html

[15] http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibmaths.html

[16] http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibFormula.html

[17] http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi2DGeomTrig.html

---

19

Karl Friedrich Hofmann

LK Mathematik

Facharbeit: Die Zahl

B. Beispiel für die Entwicklung eines Kettenbruchs

214

56

1

1

1

x =

x = 2 +

x = 2 +

x = 2 +

x = 2 +

79

79

79

23

1

1 +

1 +

56

56

56

23

1

1

1

x = 2 +

x = 2 +

x = 2 +

1

1

1

1 +

1 +

1 +

10

1

1

2 +

2 +

2 +

23

23

3

2 +

10

10

1

1

x = 2 +

x = 2 +

x = [

]3

,

3

,

2

,

2

,

1

;

2

1

1

1 +

1 +

1

1

2 +

2 +

1

1

2 +

2 +

10

1

3 +

3

3

---

20

Karl Friedrich Hofmann

LK Mathematik

Facharbeit: Die Zahl

C. Einverständniserklärung

Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig

angefertigt, keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel benutzt und

die Stellen der Facharbeit, die im Wortlaut oder im wesentlichen Inhalt

aus anderen Werken entnommen wurden, mit genauer Quellenangabe

kenntlich gemacht habe.

Verwendete Informationen aus dem Internet sind der Lehrkraft

vollständig auf beiliegender CD-ROM zur Verfügung gestellt worden.

Ort, Datum

:

Name in Druckschrift :

Unterschrift

:

Hiermit erkläre ich, dass ich damit einverstanden bin, wenn die von mir

verfasste Facharbeit der schulinternen Öffentlichkeit zugänglich gemacht

wird.

Ort, Datum

:

Name in Druckschrift :

Unterschrift

:

---