Interdisziplinäre Arbeit

Das Integral

Oliver Rusterholz

21.02.2003

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Oliver Rusterholz

IDA

Das Integral

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung 3

2. Was ist ein Integral

4

2.1

Stammfunktion 4

2.2

Das bestimmte Integral

5

2.2.1

Berechnung 6

2.3

Das unbestimmte Integral

7

3. Die Geschichte und Anwendung des Integrals

8

4. Annäherungsmethoden 10

4.1

Rechtecke 10

4.1.1

Rechteck Links

10

4.1.2

Rechteck Mitte

11

4.1.3

Rechteck Rechts

12

4.2

Sehnentrapeze 13

4.3

Tangententrapeze 14

4.4

Simpson 15

5. Interview 17

6. Computerprogramm 19

6.1

Aufbau 19

6.2

Bedienung 22

7. Schlusswort 25

8. Inhalt der CD-ROM

26

9. Bibliografie 27

2

21.2.03

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Oliver Rusterholz

IDA

Das Integral

1. Einleitung

Ich werde meine obligatorische Arbeit über das Thema "Integral" schreiben. Grund-

sätzlich wollte ich sie im Fach Informatik machen und dort ein Computerprogramm

erstellen, welches die verschiedenen Annäherungsmethoden des Integrals grafisch

darstellt. In Absprache mit Herrn Hügli erweiterte ich das Konzept jedoch und es be-

inhaltete neu auch etwas über das Integral allgemein und dessen Geschichte. Der

Schwerpunkt liegt jedoch noch immer bei dem Programm. Ich beschreibe ebenfalls,

wie das Integral definiert ist und wie es ausgerechnet wird. Die Arbeit enthält ein In-

terview, welches ich mit einem Professor der ETH machte, der das Integral bei seiner

täglichen Arbeit immer wieder braucht. Ebenso ist natürlich die Beschreibung und

eine Bedienungsanleitung meines Programms vorhanden.

Ich persönlich interessiere mich für beide Gebiete, die diese Arbeit abdeckt. Ich pro-

grammierte schon früher Anwendungen in C++ und darum war mein erster Gedanke,

ein Programm zu erstellen. Auch die Mathematik finde ich interessant und bin immer

bereit etwas Neues zu lernen. Da wir ja in diesem Schuljahr die Analysis praktisch

nicht behandeln und ich an der Fachhochschule diese Sachen sowieso lernen muss,

finde ich das Thema in dieser Hinsicht sehr geeignet. Ich lerne also nicht nur etwas

dazu, was mich interessiert, sondern kann es später sicherlich auch einmal gebrau-

chen.

3

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Oliver Rusterholz

IDA

Das Integral

2. Was ist ein Integral

Es wird eine Funktion gesucht, die den Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer

Funktion und der x-Achse innerhalb eines Intervalls wiedergibt. Die Fläche unterhalb

der x-Achse wird dabei negativ gezählt. Diese Funktion heisst das Integral der Funk-

tion f.

Um zu verstehen, wie ein Integral berechnet wird, muss man zuerst wissen was eine

Stammfunktion ist. Diese wird im nächsten Kapitel beschrieben.

2.1 Stammfunktion

Zu einer gegebenen Funktion f soll eine Funktion F gefunden werden, von der f die

Ableitung ist. F heisst dann die Stammfunktion von f. Um ein Integral zu berechnen,

von dem die Funktion bekannt ist, braucht man die Stammfunktion dieser Funktion.

Bei einer Potenzfunktion bildet man die Stammfunktion folgendermassen:

1

1. Ableitung:

n

x

Stammfunktion:

n

1

+

x

n

+ 1

Beispiel:

2

f

(

x

) =

x

1 3

F

(

x

) =

x

3

F(x) ist aber nicht die einzige Stammfunktion zu f(x). Da beim Ableiten der Stamm-

funktion ein konstanter Summand verloren geht, gibt es nicht nur eine Stammfunktion

zu einer gegebenen Funktion, sondern unendlich viele. Dies wird dargestellt, indem

der Stammfunktion eine Konstante c hinzugefügt wird.

1

F

(

x

) =

x

3 +

c

3

Das hier beschriebene Vorgehen gilt nur für Potenzfunktionen. Hat man jedoch einen

Term, bei dem Winkel-, oder Logarithmusfunktionen vorkommen, gelten andere Re-

chenregeln, auf die ich aber nicht näher eingehe. Auch kann man dieses Verfahren

nicht anwenden, wenn die Variable x im Exponent steht.

4

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Oliver Rusterholz

IDA

Das Integral

2.2 Das bestimmte Integral

Gegeben sei eine Funktion y = f(x) und ein Intervall [a,b] im Definitionsbereich der

Funktion.

Ausgangspunkt für das bestimmte Integral ist das so genannte Flächenproblem:

Gesucht ist der Inhalt der "Fläche unter der Kurve", also der Fläche, die durch den

Funktionsgraphen und der x-Achse zwischen a und b eingeschlossen ist.

Die Bestimmung des Inhalts einer solchen krummlinig begrenzten Fläche erfolgt

durch Annäherung an die Fläche mit Rechtecken, deren Inhalt leicht zu bestimmen

ist:

[a,b] wird in n Teilintervalle der Länge x zerlegt. In jedem Teilintervall wird eine Stel-

le xi (z.B. die Intervallmitte) genommen und ein Rechtecke mit der Höhe f(xi) in die-

sem Teilintervall erstellt.

Summiert man die Flächeninhalte der Rechtecke, so erhält man:

n

f

(

x

)*

x

i

i

=1

Dies liefert eine Näherung des Flächeninhalts. Zur Verbesserung der Näherung ver-

feinert man die Intervallzerlegung (n wird grösser, x wird kleiner). Existiert der

Grenzwert für n -> unendlich (oder x -> 0), so liefert dieser den wahren Flächenin-

halt:

n

lim

f

(

x

)*

x

i

n

(

x

0 )

i

=1

Der Grenzwert heisst "das bestimmte Integral von f von a bis b", in algebraischer

Form:

b

f

(

x dx

)

a

Die Funktion f(x) heisst Integrand, a und b sind die Integrationsgrenzen, der Buch-

stabe der nach dem d (in diesem Fall x) ist die Integrationsvariable.

5

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Das Integral

2.2.1 Berechnung

Beim Berechnen müssen zwei Arten unterschieden werden. Entweder die Funktion

ist bekannt oder es ist nur der Graph vorhanden. Ist nur der Graph vorhanden, muss

das Resultat, durch eine Methode, die noch genauer beschrieben werden, angenä-

hert werden.

Ist jedoch die Funktion des Graphen bekannt, kann mit Hilfe der Stammfunktion, das

bestimmte Integral genau ausgerechnet werden.

Hauptsatz der Differential ­ und Integralrechnung

Sei F(x) eine Stammfunktion von f(x), dann gilt für das Integral:

b f

(

x dx

)

= [

F

(

x

]

b

) =

F

(

b

) -

F

(

a

)

a

a

In Worten: bestimmtes Integral = Stammfunktion an der oberen Grenze minus

Stammfunktion an der unteren Grenze. Die Stammfunktion in eckigen Klammern ge-

schrieben, mit den Grenzen an der rechten Klammer, ist eine abgekürzte Schreib-

weise für F(b)-F(a).

Dazu ein Beispiel:

3

Es ist folgendes Integral zu berechnen

3

x dx

1

Der Integrand ist die Funktion

3

f

(

x

) =

x

1

Die Stammfunktion dazu ist

4

F

(

x

) =

x

4

Nach dem Hauptsatz

F

(3) -

F

)

1

( =

1

1

4

3 -

4

1 =

4

4

Lösung

20

Wie man sieht, ist es relativ einfach, das bestimmte Integral auszurechnen, wenn die

Stammfunktion zur Verfügung steht.

6

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Das Integral

Das unbestimmte Integral

Wie bereits im Kapitel Stammfunktionen beschrieben, gibt es zu einer Funktion f un-

endlich viele Stammfunktionen, wenn überhaupt eine Stammfunktion existiert. Die

Menge aller dieser Stammfunktionen nennt man das

unbestimmte Integral.

Beispiel:

2

f

(

x

) =

x

Nun hat jede Stammfunktion von f die Form:

1

F

(

x

) =

x

3 +

c

3

Das unbestimmte Integral von x2 hat nun die oben beschriebene Form, wobei c die

Integrationskonstante ist. Diese kann irgendeine reelle Zahl sein.

Man bezeichnet das unbestimmte Integral von f mit:

f

(

x dx

)

Diese Bezeichnung unterscheidet sich von der Bezeichnung des bestimmten Integ-

rals nur durch das Fehlen der Integrationsgrenzen. Es soll aber auf keinen Fall dar-

über hinwegtäuschen, dass es sich um etwas komplett anderes handelt. Das be-

stimmte Integral ist (sofern alle Angaben bekannt sind) eine Zahl, das unbestimmte

Integral eine Menge von Funktionen.

Das oben benutze Beispiel heisst nun komplett:

1

x

2

dx

=

3

x

+

c

3

7

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Das Integral

3. Die Geschichte und Anwendung des Integrals

Vor über 2000 Jahren hat Archimedes (287 ­ 212 v. Ch.)

Formeln zur Berechnung von Oberflächen und Volumen von

Körpern gefunden. Seine Methode der Integration war

bemerkenswert aussergewöhnlich, wenn man bedenkt, dass

weder die Algebra, die Funktionen und noch nicht einmal die

Dezimalzahlen erfunden worden waren.

Anschliessend passierte lange nichts

mehr, bis Leibniz (1646 ­ 1716) und

Newton (1642 ­ 1727) die Calculus

erfunden haben. Calculus, heute auch

Archimedes

Analysis genannt, ist ein Bereich der

Mathematik, welcher sich mit der

Analyse von Kurven beschäftigt. Calculus wird manchmal in

Differential- und Integralcalculus unterteilt. Leibniz war

derjenige, der das Integralzeichen

erfunden hat. Bevor er jedoch dieses Newton

Zeichen verwendete, schrieb er 1675

"omnia" vor den Term, der integriert werden sollte. Er brauchte

das Integralzeichen erstmals in einem unveröffentlichten

Manuskript. Ein paar Wochen später, platzierte er erstmals ein

"dx" nach dem Integralsymbol. Nochmals etwas später schlug

er in einem Brief an Henry Oldenburg, Sekretär der

königlichen Gesellschaft von England vor: "Utile erit scribi

Leibniz

pro omnia, ut om

l

=

nia

l

, id est summa ipsorum

l

" (Es wäre

nützlich statt omnia zu schrei

ben, so dass omnia l oder die

l

=

Summe aller l′s ist). Das Integralzeichen stellt ein langgezogenes S, welches für

Summe steht, dar. Newton war es, der die Schreibweise, bei der die Stammfunktion

in rechteckige Klammern gesetzt wird oder ein langer Strich geschrieben wird, erfun-

den hat. Die Integrationsgrenzen wurden zuerst nur in Worten angegeben. Euler war

der erste, der ein Symbol brauchte und die Grenzen mit den lateinischen Wörtern

ab

und

ad

auf Stützen schrieb. Das moderne Zeichen für das bestimmte Integral, wie wir

es heute noch brauchen, stammt von Jean Baptiste Fourier. Er schrieb es erstmals in

"Théorie analytique de la chaleur" 1822.1

Weiter wichtig in der Geschichte des Integrals sind folgende

Personen:

Gauss (1777 ­ 1855) erstellte die erste Integrationstabellen.

Cauchy (1789 ­ 1857) machte die Integrale auch im

komplexen Zahlenbereich anwendbar.

Riemann (1826 ­ 1866) und Lebesgue (1875 ­ 1941) brachten

das bestimmte Integral in eine logische Form, so wie wir es

heute auch noch brauchen.

Das Integral wird heute überall gebraucht. Oft geschieht dies Gauss

auch ohne dass wir das wissen. Ein gutes Beispiel hierfür ist

der Kilometerzähler im Auto. Dieser integriert den Weg, den das Auto zurücklegt. Ein

1 Earliest Uses of Symbols of Calculus

8

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Das Integral

anderes Beispiel ist der Stromzähler. Jede "kontinuierliche" Summation ist im Grunde

eine Integration. Weitere Anwendungen sind die Berechnung von Flächen, Rotati-

onskörpern, Volumen und vielem mehr. In der Physik wird das Integral z.B. in der

Raumfahrt gebraucht. Hier gibt es verschiedene Faktoren, wie den Luftdruck, die

kleiner werdende Gravitation, den Treibstoffverbrauch und damit den Verlust von

Gewicht, die es nötig machen, während dem Flug eine enorme Anzahl von kompli-

zierten Integralen zu berechnen.

Weiter wird das Integral auch in einem ganz anderen Gebiet gebraucht. Bei der Vor-

hersage des Bevölkerungswachstums werden bei komplexen Lösungen, welche

auch Katastrophen, sinkende Geburtenrate und mehr berücksichtigen, an irgendei-

nem Punkt Integrale benötigt.

9

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Das Integral

4. Annäherungsmethoden

Die Annäherungsmethoden werden dann gebraucht, wenn die Funktion des Gra-

phen, unter dem die Fläche zu bestimmen ist, nicht bekannt ist oder die Stammfunk-

tion nicht ausgerechnet werden kann. Nun kann man die Fläche nicht mit Hilfe der

Stammfunktion ausrechen, sondern muss zu den Annäherungsmethoden greifen.

Alle diese Methoden basieren grundsätzlich darauf, dass das Intervall in verschiede-

ne Teilintervalle unterteilt wird. Jedes dieser Teilintervalle ist gleich breit. Nun werden

Rechtecke oder Trapeze mit der Breite eben dieser Teilintervalle gebildet. Die Höhe

jedoch variiert je nach der gewählten Methode. Anschliessend werden die Flächen

der Rechtecke oder Trapeze addiert. Dies gibt der angenäherte Betrag der Fläche

unter der Funktion im Intervall.

In den folgenden Kapiteln werde ich die einzelnen Methoden genauer erklären und

auch aufzeigen, wie genau sie sind. Um die Genauigkeit zu messen, habe ich die

Funktion sin(x) genommen und den genauen Wert des Integrals mit meinem Ta-

schenrechner ausgerechnet. Anschliessend benutzte ich mein Programm und rech-

nete damit das Integral mit den verschiedenen Methoden und unterschiedlicher An-

zahl Teilintervallschritte aus. Jetzt bestimmte ich von den Werten die prozentuale

Abweichung zur genauen Lösung und stellte sie in einem Diagramm dar.

4.1 Rechtecke

Bei dieser Methode werden Rechtecke gezeichnet. Die Breite entspricht der eines

Teilintervalls, das wie oben beschrieben, gebildet wird. Es gibt 3 Varianten der

Rechteckmethode, bei der die Höhe unterschiedlich bestimmt wird.

4.1.1 Rechteck Links

Erklärung

Bei dieser Variante wird das Rechteck so hoch wie der Wert der Funktion am linken

Rand des Teilintervalls.

n

= Anzahl Teilintervalle

n

b

-

a

i

= i-ter Wert

A

z

*

f

(

a

+ (

i

- ))

1

z

=

f(x)

= Wert der Funktion bei x

n

i

=1

z

= Breite des Teilintervalls

a

= Start des Intervalls

b

= Ende des Intervalls

A

= Fläche

10

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Oliver Rusterholz

IDA

Das Integral

Genauigkeit

Rechteck Links

45

40

35

30

%
n

25

c
hung i

20

Abwei

15

10

5

0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Anz. Teilintervalle

Wie man sieht, ist dies eine recht ungenaue Methode. Der Fehler fällt erst bei 65

Teilintervallschritten unter 1%. Bei dem Maximum von 998 Teilintervallen, beträgt der

Fehler 0.0644%. Diese Methode ist also nur für eine grobe Annäherung geeignet.

4.1.2 Rechteck Mitte

Erklärung

Bei dieser Variante wird das Rechteck so hoch wie der Wert der Funktion in der Mitte

des Teilintervalls.

n

= Anzahl Teilintervalle

i

= i-ter Wert

n

z

*

i

+

z

* (

i

+ )

1

b

-

a

f(x)

= Wert der Funktion bei x

A

z

*

f

(

a

+

)

z

=

n

z

= Breite des Teilintervalls

i

=1

2

a

= Start des Intervalls

b

= Ende des Intervalls

A

= Fläche

11

21.2.03

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Oliver Rusterholz

IDA

Das Integral

Genauigkeit

Rechteck Mitte

0

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

-0.5

-1

-1.5

%

-2

in
g
n
u

-2.5

h
e
ic
w
b

-3

A

-3.5

-4

-4.5

-5

Anz. Teilintervalle

Diese Methode ist dafür, dass sie zur Gruppe der Rechteckmethoden gehört, er-

staunlich genau. Der Fehler fällt bei schon bei 5 Teilintervallen unter -1%. Beim Ma-

ximum von 998 Teilintervallen beträgt der Fehler nur noch -0.0000167%. Diese Vari-

ante nähert das Integral also schon recht genau an.

4.1.3 Rechteck Rechts

Erklärung

Bei dieser Variante wird das Rechteck so hoch wie der Wert der Funktion am rechten

Rand des Teilintervalls.

n

= Anzahl Teilintervalle

i

= i-ter Wert

n

b

-

a

f(zi)

= Wert der Funktion bei i

A

z

*

f

(

z

)

z

=

i

z

= Breite des Teilintervalls

n

i

=1

a

= Start des Intervalls

b

= Ende des Intervalls

12

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Oliver Rusterholz

IDA

Das Integral

Genauigkeit

Rechteck Rechts

0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-5

%

-10

in
g
n
u
h
e
ic
w
b

-15

A

-20

-25

Anz. Teilintervalle

Diese Variante ist wieder fast so ungenau, wie die Rechteck Links Methode. Der

Fehler fällt erst bei 64 Teilintervallen unter 1%. Bei 998 Teilintervallen beträgt er

-0.0643%. Auch diese Methode ist nur für eine grobe Annäherung geeignet.

4.2 Sehnentrapeze

Erklärung

Bei dieser Variante werden Trapeze gebildet. Die beiden Grundseiten bilden die linke

und rechte Seite des Teilintervalles und haben die Höhe des jeweiligen Funktions-

wertes an dieser Stelle.

b

-

a

y

+

y

y

+

y

y

+

y

-

n

= Anzahl Teilintervalle

0

1

1

2

A

+

+ ...

n

1

n

+

n

2

2

2

a

= Start des Intervalls

b

= Ende des Intervalls

b

-

a

=

(

y

+ 2

y

+ 2

y

+ ... + 2

y

+

y

)

yx

= siehe unten

2

0

1

2

n

1

-

n

n

y

y

0

y1

yn-1

2

yn

13

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Oliver Rusterholz

IDA

Das Integral

Genauigkeit

Sehnentrapeze

9

8

7

6

%
n

5

c
hung i

4

Abwei

3

2

1

0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Anz. Teilintervalle

Diese Variante ist sogar ein bisschen ungenauer als die Rechteck Mitte Methode.

Der Fehler fällt nach 6 Teilintervallen unter 1%. Bei 998 Teilintervallen beträgt er

noch 0.0000335%.

4.3 Tangententrapeze

Bei diesem Verfahren legt man, wie der Name schon sagt, Tangenten an den Gra-

phen der Funktion und bildet damit Trapeze. Um dies einfacher zu gestalten, bildet

man Trapeze nicht wie bei den Sehnentrapezen zwischen einem Teilintervall, son-

dern zwischen 2 Teilintervallen. Daher muss man nun für die Höhe der Trapeze mit

der doppelten Breite (oder mit 2) Teilintervallen rechnen. Dies ist auch der Grund,

weshalb hier eine gerade Anzahl Teilintervalle verlangt wird. Auch müssen nicht

mehr die Grundseiten der Trapeze mit in die Rechnung mit einbezogen werden, son-

dern es kann mit der Mittelparallele gerechnet werden.

n

= Anzahl Teilintervalle

b

-

A

a

2

(

y

+

y

+

y

+ ... +

y

)

a

= Start des Intervalls

1

3

5

n

1

-

n

b

= Ende des Intervalls

y

x

= siehe unten

y1

y3

yn-1

14

21.2.03

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Oliver Rusterholz

IDA

Das Integral

Genauigkeit

Sehnentrapeze

9

8

7

6

%
n

5

c
hung i

4

Abwei

3

2

1

0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Anz. Teilintervalle

Diese Methode ist ein bisschen ungenauer als die Tangententrapeze. Der Fehler fällt

bei 10 Teilintervallen unter 1%. Bei 998 Teilintervallen beträgt er noch 0.0000669%.

4.4 Simpson

Der Annäherungswert der Simpsonmethode wird aus den Näherungswerten der

Sehnentrapeze sowie den Näherungswerten der Tangententrapeze bestimmt. Da

nun aber doppelt so viele Sehnentrapeze wie Tangententrapeze verwendet werden,

muss der Näherungswert der Sehnentrapeze doppelt so stark gewichtet werden wie

der Näherungswert der Tangententrapeze. Daraus erhält man die Formel:

1

Sn

= Näherungswert der Sehnentrapeze

A

(2

S

+

T

)

3

n

n

Tn

= Näherungswert der Tangententrapeze

Genauigkeit

Simpson

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-0.1

-0.2

%
n

-0.3

ng i

c
hu

-0.4

Abwei

-0.5

-0.6

-0.7

Anz. Teilintervalle

15

21.2.03

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Oliver Rusterholz

IDA

Das Integral

Bei dieser Methode steigert sich die Genauigkeit enorm. Es ist erstaunlich, wie viel

aus den Werten der Tangenten- und Sehnentrapeze herausgeholt werden kann. Der

Fehler liegt nie unter 10 Prozent und ab etwa 200 Teilintervallen unterscheidet sich

das gerechnete Resultat nicht mehr von meinem angenäherten (bei 10 signifikanten

Stellen). Diese Methode kann also gut gebraucht werden, wenn ein Integral angenä-

hert werden muss, und das Resultat mit möglichst wenig Teilintervallschritten mög-

lichst genau sein sollte. Der Nachteil dieser Methode ist jedoch, dass sie sich aus

zwei anderen Methoden zusammensetzt und darum die hohe Genauigkeit mit einem

erhöhten Rechenaufwand kompensiert wird.

16

21.2.03

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Oliver Rusterholz

IDA

Das Integral

5. Interview

Ich interviewte für diese Arbeit Prof. Dr. Gaudenz Danuser. Gaudenz Danuser ist seit

Februar 2001 Assistenzprofessor für Zellbiomechanik am Laboratorium für Biome-

chanik der ETH Zürich.

Gaudenz Danuser wurde 1969 in Bern geboren, wo er die Grundschulen besuchte

und nach der Matura am Konservatorium ein Musikstudium aufnahm. 1988 wechsel-

te er an die ETH Zürich. Er erhielt 1993 das Diplom als Verm. Ing. ETH und schloss

1997 sein Studium mit einer Doktorarbeit in Computer Vision ab. Die Zeit zwischen

Herbst 1997 und Sommer 1999 verbrachte er als Postdoktorand am Marine Biologi-

cal Labratory in Woods Hole, Massachusetts. Nach Abschluss seiner Arbeiten in den

USA gründete er als Oberassistent am Laboratorium für Biomechanik die Bio-Micro-

Metrics Group. Diese leitet er auch nach seinem Ruf zum Assistenzprofessor an das

Departement für Materialwissenschaften.

Gaudenz Danuser und seine Gruppe beschäftigen sich mit der mechanischen Model-

lierung von dynamischen Prozessen im Zytoskelett. Ziel ist es, Veränderungen der

Zellarchitektur als Folge von biochemischen Eingriffen zu quantifizieren um damit

Grundlagen für verschiedene Anwendungen in der Biotechnologie zu schaffen.1

Ich hielt dieses Interview am 14.2.2003 an seiner Arbeitstelle am Laboratorium für

Biomechanik.

Hieltest du es für nötig solche Sachen wie das Integral am Gymi zu lernen, obwohl
du zuerst ans Konsi gingst?

Musik und Mathematik sind ja bekanntermassen sehr ähnlich. Sogar im Hirn ist der

mathematische und der musische Teil sehr nahe beieinander und sogar verknüpft.

Persönlich war das nicht eine Frage des Brauchens sondern des Interesses.

Ich war am Gymi einer der ersten, der an einem Versuchsprojekt zwei Kernfächer

auswählen konnte. Bei mir war das Mathematik und Musik und ich hatte diese beiden

Fächer bis zu 20 Stunden pro Woche. Aus diesen Gründen fand ich es sehr interes-

sant und es machte mir auch Spass sie zu lernen.

War die Mathematik für dich schwer zu erlernen?

Nein, überhaupt nicht. Ich musste in der Mathematik und auch der Physik fast nichts

lernen und machte während dem Gymi auch primär Musik anstatt etwas für die

Schule zu tun.

Musstest du die verschiedenen Annäherungsmethoden des Integrals auch mal ler-
nen?

Zum verstehen des Integrals haben sie mir wohl mal die Methode mit den Trapezen

gezeigt. Das weiss ich aber nicht mehr so genau. Solche Sachen mit Computerpro-

grammen zu lösen haben wir an der ETH begonnen. Ich war auch einer der ersten

Jahrgänge, die mit Computer arbeiteten.

1 ETHZ Who′s Who: Gaudenz Danuser

17

21.2.03

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Oliver Rusterholz

IDA

Das Integral

Benutzt du heute manchmal solche Annäherungsmethoden und wenn ja, wie?

Ja, natürlich. Um solche Probleme zu lösen, hat man heute fertige Softwaretools, die

das ganz gut machen. Man übergibt diesem Tool einfach seine Daten, die ja die 1.

Ableitung der Stammfunktion sind, und dieses rechnet anschliessend das Integral

aus. Es gibt jedoch auch Fälle, in denen diese Tools versagen und dann bleibt nichts

anderes übrig, als selbst eine Software zu schreiben.

Wo benutzt du das Integral?

Das klassischste Beispiel in der Biomechanik ist das Suchen von Kräften. Man kennt

die Beschleunigung sowie die Position und sucht anschliessend die Kräfte, die auf

etwas wirken.

In meinem speziellen Gebiet, der Zellbiomechanik, ist es so, dass wir das ganze mit

Zellen machen. Wir haben es hier noch einfach, da man die Trägheit der Zellen ver-

nachlässigen kann, weil sie fast keine Masse haben. Dadurch hat man nur noch die

Viskosität, die die Zellen am Bewegen hindert. Wir messen nun die Bewegung der

Zellen und versuchen mittels Integrieren herauszufinden, welche Kräfte wirken. Das

geschieht folgendermassen: Wir nehmen ein paar Kräfte an, integrieren sie an-

schliessend um auf die simulierte Bewegung der Zellen zu kommen. Diese Verglei-

chen wir nun mit der Realität. Nun integrieren wir den Fehler, den unsere Annahme

noch hat wieder und passen damit unsere angenommenen Kräfte an. Dies geschieht

solange, bis der Fehler möglichst klein oder sogar weg ist und wir so die Kräfte, die

auf die Zellen wirken, kennen.

Das Ganze machen wir ebenfalls mit Chromosomen. Wir messen während deren

Teilung die Positionen und Bewegungen und versuchen anschliessend Kräfte so zu

modellieren und zu integrieren, bis wir ans Reale kommen.

Weisst du auch etwas über den geschichtlichen Hintergrund des Integrals?

Ich weiss, das Newton als erster die Integralrechnung entwickelte. Er hat das übri-

gens auch so gebraucht wie wir das heute noch brauchen, mit der Beschleunigung

und den Kräften. Das steht auch in seiner Principia Mathematica. Auch sehr wichtig

für das Integral war Riemann. Er war derjenige, der den Übergang von der Summen-

bildung zur wirklichen Integralrechung vollzog.

18

21.2.03

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Oliver Rusterholz

IDA

Das Integral

6. Computerprogramm

6.1 Aufbau

Das Programm ist komplett in der Sprache C++ geschrieben. Ich benutze zum pro-

grammieren die Anwendung Visual C++ von Microsoft.

Ich verzichte darauf, den ganzen Quellcode diesem Dokument beizufügen, da er zu

lang ist. Er ist jedoch auf der CD vorhanden. Ein paar wichtige Codeausschnitte wer-

de ich dennoch kurz zeigen.

Code zur Methode Rechteck Links:

for(int i = 1; i <= funct_param.iAnz_Int; i++)

{

x = funct_param.dUG + (i-1) * step;

inside += pop->Val();;

}

result = step * inside;

Das Schlüsselwort "for" leitet eine Schleife ein. Bevor diese Schleife startet, wird die

Variable i auf 1 gesetzt, anschliessend wird bei jedem Durchlauf i um eins erhöht

(i++) bis i nicht mehr kleiner gleich der Variable funct_param.iAnz_Int (Anzahl Inter-

valle) ist. Innerhalb der Schleife wird der x-Wert ausgerechnet, der die Höhe des

Rechteckes bestimmt. Anschliessend wird der y-Wert (Wert der Funktion bei diesem

x-Wert) mit dem vorhergehenden addiert. Ist die Schleife beendet, werden die ad-

dierten Werte (in der Variable inside) mit der Teilintervallbreite multipliziert und so die

Fläche der Rechtecke ausgerechnet. Wie man erkennt, ist dieser Codeteil die ge-

naue Umsetzung der Formel, die im Kapitel 4.1.1 beschrieben wurde.

Code zur Methode Rechteck Mitte:

for(i = 0, inside = 0; i <= (funct_param.iAnz_Int-1); i++)

{

x = (((funct_param.dUG + (i*step)) + (funct_param.dUG + ((i

+ 1) * step))) / 2);

inside += pop->Val();

}

result = step * inside;

Auch dieser Codeauschnitt entspricht er Formel, welche im Kapitel 4.1.2 beschrieben

wurde. Der Unterschied zu oben besteht nur darin, das der x-Wert, der die Höhe des

Rechteckes bestimmt, anders berechnet wird.

Code zur Methode Rechteck Rechts:

for(i = 1, inside = 0; i<= funct_param.iAnz_Int; i++)

{

x = funct_param.dUG + i * step;

inside += pop->Val();

}

result = step * inside;

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Oliver Rusterholz

IDA

Das Integral

Dieser Ausschnitt ist der einfachste. Er entspricht der in Kapitel 4.1.3 beschriebenen

Formel.

Code zu Sehnentrapeze:

for(i = 0, inside = 0; i <= funct_param.iAnz_Int; i++)

{

double x_i = funct_param.dUG+(i*step);

double term_i = 0;

if(i==0)

{

x = funct_param.dUG;

term_i = pop->Val();

}

if(i!=0 && i!=funct_param.iAnz_Int)

{

x = x_i;

term_i = 2*pop->Val();

}

if(i == funct_param.iAnz_Int)

{

x = funct_param.dOG;

term_i = pop->Val();

}

inside += term_i;

}

result = (step/2) * inside;

Auch hier wird genau die Formel umgesetzt, die in Kapitel 4.2 beschrieben ist. Zuerst

wird auch wieder eine Schleife durchlaufen. Spezialfälle stellen der erste und der

letzte x-Wert dar. Diese beiden werden einmal, alle anderen zweimal gezählt. Ist die

Schleife beendet, wird noch die Teilintervallbreite durch 2 dividiert und anschliessend

mit den addierten Werten multipliziert.

Code zu Tangententrapeze:

if(funct_param.iAnz_Int % 2 == 0)

{

for(i = 1, inside = 0; i <= funct_param.iAnz_Int; i = i + 2)

{

double term_i = 0;

x = funct_param.dUG+(i*step);

inside += pop->Val();

}

result = 2 * inside * step;

}

else

{

SetDlgItemText(hwnd, IDC_TT, "Gerade Anzahl Intervalle!");

}

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Oliver Rusterholz

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Das Integral

Hier wird zuerst überprüft, ob die Anzahl Teilintervalle auch eine gerade Zahl ist. Ist

dies nicht der Fall, wird abgebrochen und eine Meldung ausgegeben. Ist sie jedoch

eine gerade Zahl, wird nach der Formel von Kapitel 4.3 gerechnet.

Code zu Simpson

if(funct_param.iAnz_Int % 2 == 0)

{

result = (2*sehne+tangente)/3;

SetDlgItemText(hwnd, IDC_SR, gcvt(result, 10, buffer));

}

else

{

SetDlgItemText(hwnd, IDC_SR, "Gerade Anzahl Intervalle!");

}

Auch hier wird wieder zuerst überprüft, ob die Anzahl Teilintervalle gerade ist. Ist dies

nicht der Fall, wird wieder eine Meldung ausgegeben. Stimmt dies jedoch, wird das

Integral anhand der Simpson-Regel ausgerechnet. Diese ist im Kapitel 4.4 näher be-

schrieben. Es wird hier die Formel verwendet, die sich aus den beiden (und das ist

auch der Vorteil) bereits gerechneten Näherungswerten zusammensetzt.

Allgemein

Nicht der ganze Code ist von mir programmiert worden. Ein Teil, der so genannte

Parser, habe ich von jemand anderem, da so etwas zu programmieren sehr kompli-

ziert, schwierig und zeitraubend ist. Die Aufgabe des Parsers besteht, grob gesagt,

darin, die Funktion die der Benutzer eingibt, in ein für den Computer ausführbares

Format umzuwandeln. Dies ist ein kompliziertes Unterfangen, da der ganze String

(die Zeichenkette, die man als Funktion eingibt) auseinander genommen und analy-

siert werden muss. Dies ist auch der Grund, warum Eingabefehler hier nicht abge-

fangen werden können. Der Code des Parsers sieht das nicht vor und er ist zu kom-

pliziert um darin selber etwas programmieren zu können.

Gerechnet wird jeweils auf 10 signifikante Stellen. Dies ist von Windows so gegeben.

Wollte man genauere Resultate, würde dies einen erhöhten Programmieraufwand

nach sich ziehen.

Ich habe in verschiedenen Büchern zwei Varianten gefunden, wie die Fläche unter

der x-Achse zu behandeln ist. Entweder man rechnet immer nur mit dem Betrag der

Fläche oder man subtrahiert die Fläche unter der x-Achse. Ich entschied mich für die

zweite Variante, da auch mein Taschenrechner und ein Mathematikprogramm auf

dem Computer so rechnet.

Ein Problem für mein Programm gab es, wenn die berechnete Fläche Null ist. Da ein

Computer augrund seiner Architektur nie ganz genau rechnet, kann es vorkommen,

dass der Computer 123.2547834e-16 statt 0 anzeigt. Diesen Fehler habe ich beho-

ben, indem ich alle Zahlen die kleiner als +-10e-12 sind, gleich 0 setze. Dies ist eine

zu verantwortende Lösung, da ja am Resultat nichts geändert wird und ich nur Fehler

des Computers behebe.

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Oliver Rusterholz

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Das Integral

6.2 Bedienung

Um das Programm zu starten, muss man auf integral.exe doppelklicken. Anschlies-

send öffnen sich zwei Fenster wie unten abgebildet.

Das linke Fenster mit dem Namen "Konsole" dient zur Eingabe der Daten. Dort wer-

den auch die gerechneten Werte der verschiedenen Methoden angezeigt.

Im rechten Fenster wird die Funktion, sowie die gewählte Methode gezeichnet.

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Oliver Rusterholz

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Das Integral

Konsole

Das Fenster "Konsole" ist in 4 Bereiche unterteilt.

Anzeige:

Hier kann gewählt werden, welche Annäherungsmethode angezeigt werde soll. Das

Resultat sieht man dann im Grafik-Fenster.

Funktion:

Hier muss unter "Funktion" die Funktion eingegeben werden. Es müssen dabei ge-

wisse Regeln beachtet werden:

· Grundsätzlich ist der Term wie in einem graphischen Taschenrechner (ohne

RPN) einzugeben.

· Die Grundrechenarten können mit den Tasten + für Addieren, - für Subtrahieren,

* für Multiplizieren und / für Dividieren eingegeben werden.

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Oliver Rusterholz

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Das Integral

· Die Konstante PI kann als PI eingegeben werden (Bsp. 2*PI*x), wer die Euler-

sche Zahl verwenden will, muss exp(1) (= e1) verwenden.

· Hochzahlen müssen mit ^ eingeben werden (Bsp. x^2 = x2 oder 5^x = 5x)

· Es müssen folgende Wörter für die verschiedenen Funktionen verwendet wer-

den:

sin() Sinus

cos()

Cosinus

tan() Tangens

asin()

Arcus-Sinus

acos()

Arcus-Cosinus

atan()

Arcus-Tangens

exp()

Exponentialfunktion = ex

log()

Logarithmus naturalis Funktion

abs() Absolutwert

sqrt() Quadratwurzel

· ACHTUNG! Hier werden Eingabefehler NICHT abgefangen. Es muss also darauf

geachtet werden, bei der Eingabe keine Fehler zu machen.

Weiter muss bei "Unter- und Obergrenze" die Unter- bzw. Obergrenze des Intervalls

eingegeben werden. Hierbei ist zu beachten, dass die beiden Grenzen nicht den

gleichen Wert haben dürfen und innerhalb -999 und +999 liegen müssen.

Zuletzt muss noch die Anzahl Teilintervalle eingegeben werden. Dieser Wert muss

zwischen 1 und 999 liegen. Hier gilt natürlich, je grösser dieser Wert ist, desto höher

ist die Genauigkeit. Um die Annäherungsmethoden anschaulich darzustellen, em-

pfiehlt es sich jedoch einen kleinen Wert zu wählen.

Gerechnet

Hier stehen die gerechneten Werte für die 7 Annäherungsmethoden. Die Formeln

dafür sind weiter vorne in dieser Arbeit beschrieben.

Koordinatensystem

Hier kann man die Grösse des Koordinatensystems eingeben. Der Wert bedeutet die

Anzahl Schritte, die die jeweilige Achse von der Mitte aus macht.

Die ausgewählte Annäherungsmethode wird angezeigt, sobald man im Bereich An-

zeige die gewünschte Methode ausgewählt hat. Die gerechneten Resultate erschei-

nen nachdem man auf den Button "Berechnen" gedrückt hat.

Das Programm besteht noch aus weiterem Fenster, dem Grafikfenster. In diesem

wird der Graph der Funktion sowie die ausgewählte Annäherungsmethode gezeich-

net. Hier kann nichts verändert werden ausser der Grösse des Fensters selbst.

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Oliver Rusterholz

IDA

Das Integral

7. Schlusswort

Das Erstellen dieser Arbeit und das Programmieren haben mir eine Menge Spass

gemacht und viele lehrreiche Stunden gebracht. Für mich stand am Anfang klar das

Programm im Vordergrund. Je mehr ich aber an dieser Arbeit schrieb, desto grösser

wurde sie. Schlussendlich hat sie jetzt schon fast den Umfang einer ganzen IDA oh-

ne ein zusätzliches Programm. Ich habe mir anfangs nicht vorgenommen, so viel zu

schreiben, ich habe aber auch nichts dagegen, jetzt wo es so ist.

Ich wusste schon vor dieser Arbeit, dass man mit dem Integral "die Fläche unter der

Kurve" ausrechnen kann. Jetzt ist mir aber auch noch bekannt, wie das genau geht

und wie das Integral definiert ist. Auch dass mir jetzt die verschiedenen Annähe-

rungsmethoden bekannt sind ist sicher ein Vorteil, da diese in den Schulen meistens

gar nicht oder nur teilweise behandelt werden. Das Interview war ebenfalls sehr inte-

ressant. Ich arbeitete zwar 2 Jahre am selben Ort wie mein Interviewpartner, doch

wusste ich eigentlich nie so genau was er macht. Das lag jedoch auch daran, dass

es ein nicht wirklich einfaches Thema ist, mit dem er sich beschäftigt. Er konnte mir

erzählen wo das Integral wirklich gebraucht wird, und damit war es nicht mehr nur

eine trockene Materie "ohne Anwendung".

Es ging aber nicht alles so, wie ich mir das erwünscht oder vorgestellt hatte. Über die

geschichtlichen Hintergründe der Annäherungsmethoden konnte ich fast nichts er-

fahren. So entschloss ich mich einfach, etwas über die Geschichte des Integrals all-

gemein zu schreiben. Hier war es dann nicht mehr so schwierig, geeignetes Material

zu finden, da ja bekannt ist, welche Personen bei der "Erfindung" des Integrals invol-

viert waren. Das war jedoch der einzige grössere Punkt, den ich nicht so machen

konnte, wie ich wollte. Sonst kann man sagen, dass diese Arbeit eigentlich immer

rund gelaufen ist. Ich hatte auch nie Zeitprobleme, da ich mich mehr oder weniger an

meinen vorgegebenen Zeitplan hielt und auch keine Computerabstürze oder ähnli-

ches passiert sind.

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Oliver Rusterholz

IDA

Das Integral

8. Inhalt der CD-ROM

Die CD-ROM befindet sich in einer Papiertasche, aufgeklebt auf dem Karton zuhin

terst.

Wir die CD-ROM in ein CD-Laufwerk eingelegt, wird mein Programm automatisch

gestartet.

Der Inhalt der CD-ROM gestaltet sich folgendermassen:

/Programm/intergal.exe

Dies

ist

die Anwendung die ich programmiert habe

/Programm/Code/Integral.cpp

Der Code meines Programms ohne den Parser-Teil

Integral.dsw

Eine Projektdatei, nötig um das Projekt zu öffnen

Integral.dsp

Eine Projektdatei, nötig um das Projekt zu öffnen

mathexpr.cpp Der Code des Parsers

mathexpr.h

Die Definitionen des Parsers

resource.h

Die Definitionen des Dialogfensters

Ressources.rc Der Aufbau des Dialogfensters

Icon1.ico

Das Icon des Programms

/Dokument/IDA.pdf

Die komplette Facharbeit als PDF Datei

/IDA_oL.pdf

Die Facharbeit ohne Logbuch als PDF Datei

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Oliver Rusterholz

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Das Integral

9. Bibliografie

Knerr, Richard: Mathematik, Eine faszinierende Wissenschaft

Frankfurt am Main: Goverts Krüger Stahlberg Verlag GmbH, 1973

Streckeisen, Paul: Algebra und Analysis II / Integralrechnung I

AKAD Kursmaterial

Grosses Handbuch der Mathematik

Köln: Buch und Zeit Verlags M.B.H, 1967

Wissensspeicher Mathematik

Berlin: Volk und Wissen Verlag GmbH, 1996

Mathematik / Formeln, Regeln, Merksätze

München: Compact Verlag, 1998

Louis, Dirk: C/C++

München: Markt & Technik Verlag, 2000

Toth, Viktor / Louis, Dirk: Visual C++ 6

München, Markt & Technik Verlag, 1999

Integrals at work

http://integrals.wolfram.com/about/uses

History of Integration

http://integrals.wolfram.com/about/history

Calculus

http://mathworld.wolfram.com/Calculus.html

Integral Approximation

http://www.smithandbyford.com/Integral/S&B%20Integral%20Approximation.htm

ETHZ ­ Who′s Who: Gaudenz Danuser

http://www.verw.ethz.ch/cgi-win/Who.exe/ws7?ID=1599&lang=dt

Näherungsweise Berechnung von Integral

http://sites.inka.de/picasso/Wenz/integral.htm

Earliest Uses of Symbols of Calculus

http://members.aol.com/jeff570/calculus.html

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