Mathematik GLF

„Die Fibonacci-Folge“

 

 

  Von Bettina Munz

 

 

Inhaltsverzeichnis 

1. Inhaltsverzeichnis...  2

2. Einführung...  3

3. Leonardo Fibonacci...  3

4. Herleitung der Fibonacci-Folge...  4

5. Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt...  6

6. Beispiele für die Fibonacci-Folge... 

7. Quellenverzeichnis...  11

8. Anhang...  12

 

 

2.  Einführung 

„Fibonacci, Leonardo (um 1170 bis ca. 1240), italienischer Kaufmann und Mathematiker, der das mathematische Wissen des klassischen europäischen, arabischen und indischen Kulturkreises zusammentrug und durch Beiträge zur Algebra und Zahlentheorie ergänzte.“ (aus „Microsoft ® Encarta ® Enzyklopädie 2005 ©  1993-2004“ Microsoft Corporation (Virtuelles Lexikon), Eintrag „Fibonacci“).

Einen solchen Eintrag findet man, wenn man „Fibonacci“ in einem Lexikon nachschlägt.

Wer Fibonacci wirklich war und welche „Beiträge zur Algebra und Zahlentheorie“ er geleistet hat, möchte ich in der schriftlichen Ausarbeitung meiner GLF zum Thema „Die Fibonacci-Folge“ genauer darlegen. Zu Anfang werde ich auf die Biografie Fibonaccis näher eingehen, anschließend „seine“ berühmte Fibonacci-Folge am Modell einer Kaninchenpopulation herleiten, den Zusammenhang zum Goldenen Schnitt verdeutlichen und schließlich auf einige Beispiele der Anwendung der Fibonacci-Folge in heutiger Zeit eingehen.

 

3.  Leonardo Fibonacci 

Der italienische Kaufmann und Mathematiker Leonardo Fibonacci  („figlio di Bonacci“ bedeutet Sohn des Bonacci) wurde ungefähr um 1170 in Pisa geboren, weshalb er auch Leonardo von Pisa genannt wird. Da sein Vater als Zollbeamter im heutigen Bougie in Algerien tätig war, wurde Leonardo von einem maurischen Privatlehrer unterrichtet. Von ihm erlernte er das arabische Zahlensystem und die Grundlagen des kaufmännischen Rechnens. Er reiste viel und schrieb schließlich im Jahre 1202 sein „Liber abaci“ („Buch der Rechenkunst“), ein Werk, in dem er eben dieses Zahlensystem und deren Berechnung erklärte.

Diese Veröffentlichung ist auch heute noch von großer Wichtigkeit, da es in der damaligen Zeit zur Verdrängung der Römischen Zahlen geführt hat und dem heutigen Zahlensystem sehr ähnlich ist. Seine Bekanntheit erlangte Fibonacci jedoch hauptsächlich durch die „Fibonacci-Folge“, die der französische Mathematiker Edouard Lucas erst später nach ihm benannte.

Die Fibonacci Folge lautet

(0), 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,…

Sie bildet also jedes neue Folgeglied aus der Summe der beiden vorherigen Glieder.

Fibonacci veröffentlichte noch einige mehr Werke, von denen allerdings nur noch wenige existieren, außerdem gelang ihm zum Beispiel auch die Lösung der Gleichung dritten Grades

x³ + 2x² + 10x = 20

Gestorben ist Leonardo Fibonacci ungefähr 1240 in Pisa.

 

4.  Herleitung der Fibonacci-Folge

Fibonacci führte „seine Folge“ am Beispiel einer Kaninchenpopulation ein. Das in seinem Rechenbuch „Liber abaci“ veröffentlichte „Kaninchenproblem“ lautete wie folgt:

Man nimmt an, dass

I.  es ein Kaninchenpärchen (ein „Elternpärchen“) in einem eingezäunten Gebiet am 1. Januar eines Jahres gibt, welches

II.  ein weiteres (Kinder-) Kaninchenpärchen am 1. Februar und an jedem weiteren ersten Tag eines Monats wirft.

III.  Ferner nimmt man an, dass jedes neue (Kinder-) Kaninchenpärchen einen Monat lang zur Geschlechtsreife heranwächst, also selbst ein „Elternpärchen“ wird und dann selbst wiederum im dritten Lebensmonat und an jedem weiteren ersten Tag eines Monats auch ein (Kinder-)Kaninchenpärchen wirft.

Fibonacci stellte nun die Frage „Wie viele (Kinder- und Eltern) Kaninchenpärchen leben nach n Monaten, wenn zu Beginn ein junges Paar lebte?”

Den Wachstumsbestand nach einem Jahr (n=13) kann man in einer Tabelle darstellen:

Monate	Anzahl Elternkaninchenpärchen	Anzahl Kinderkaninchenpärchen	Anzahl aller Kaninchenpärchen
1. Januar	1	0	1
1. Februar	1	1	2
1. März	2	1	3
1. April	3	2	5
1. Mai	5	3	8
1. Juni	8	5	13
1. Juli	13	8	21
1. August	21	13	34
1. September	34	21	55
1. Oktober	55	34	89
1. November	89	55	144
1. Dezember	144	89	233
1. Januar (nächsten Jahres)	233	144	377

Ergebnis: Nach einem Jahr gäbe es 233 (Eltern-) Kaninchenpärchen, 144 (Kinder-) Kaninchenpärchen, also 377 Pärchen (754 Kaninchen) insgesamt. Für die Beantwortung der Frage, wie viele Kaninchen nach n Monaten leben, muss man eine allgemeine Vorschrift, also eine Folge finden, die die Berechnung jedes einzelnen Folgeglieds ermöglicht: Wie bereits gesagt bildet sie jedes neue Folgeglied aus der Summe der beiden vorherigen Glieder.

F_n=f_n-1 + f_n-2  für alle n є N, n ≥ 2

Dabei gilt für die Anfangsglieder f₀=0 und f₁=1. 

Folgen mit dieser Rekursionsvorschrift werden allgemeine Fibonacci-Folgen genannt. 

Daraus folgt: Fibonacci-Folge F_n= 0, 1, 1, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … 

Die Glieder der Fibonacci-Folge werden Fibonacci-Zahlen genannt.

Edouard Lucas (siehe 2. Leonardo Fibonacci) „taufte“ diese Folge „Fibonacci-Folge“. Dieser Tat zu Ehren benannte man wiederum nach ihm die „Lucas-Folge“, eine Folge mit derselben Rekursionsvorschrift, bei der die Anfangsglieder f₀=1 und f₁=3 sind. 

Daraus folgt: Lucas-Folge L_n= 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, … 

Bei diesen rekursiven Vorschriften lassen sich die Folgenglieder allerdings nur anhand der jeweils vorherigen berechnen.

Deshalb suchte man nach einer expliziten Folge, die dieses Wachstum beschreibt:

F_n=

Dabei gilt: 

 und

Man fand diese explizite Folge erst 1843, man nennt sie „Formel von Binet“ nach dem französischen Mathematiker Jacques-Phillipe-Marie Binet (1786 – 1856).

 

5.   Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt

Dividiert man zwei aufeinander folgende Glieder der Fibonacci-Folge, so bemerkt man schnell, dass sich der Quotient für große n dem Wert 1,61803398… annähert. Dieser Wert wird auch Goldener Schnitt  genannt.

Laut Definition ist „Der Goldene Schnitt (lat. sectio aurea) [ist] ein bestimmtes Verhältnis zweier Zahlen oder Größen. Es beträgt etwa 1:1,618. […] Weitere verwendete Bezeichnungen sind stetige Teilung und göttliche Teilung (lat. proportio divina).“ (Quelle: www.wikipedia.org)

Hier die Quotienten aus den ersten 12 (bzw. 13) Fibonacci-Zahlen

Nenner	Zähler	Verhältnis	Abweichung        zu  in %
f1=1	f2=1	1,000000	-38,1966
f2=1	f3=2	2,000000	23,6068
f3=2	f4=3	1,500000	-7,2949
f4=3	f5=5	1,666667	3,00566
f5=5	f6=8	1,600000	-1,11456
f6=8	f7=13	1,625000	0,43052
f7=13	f8=21	1,615385	-0,16374
f8=21	f9=34	1,619048	0,06265
f9=34	f10=55	1,617647	-0,02392
f10=55	f11=89	1,618182	0,00914
f11=89	f12=144	1,617977	-0,00349
f12=144	f13=233	1,618056	0,00133

(Werte aus www.wikipedia.org, Eintrag „Goldener Schnitt“)

Der Goldene Schnitt ist eine irrationale Zahl. Sie lässt sich am leichtesten durch eben diese Division zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen darstellen:

 
(Grafiken aus www.wikipedia.org, Eintrag „Fibonacci-Folge“)

 

6.  Beispiele für die Fibonacci-Folge

Aus dem eben beschriebenen Zusammenhang zwischen dem Goldenem Schnitt und der Fibonacci-Folge ergeben sich erstaunlich viele Beispiele für die Fibonacci-Folge in unserem alltäglichen Leben.

Der Goldene Schnitt findet sich fast überall in den für uns als „richtige“, „normgerechte“ Proportionen wieder. Dabei stößt man auch vielmals auch auf unsere Fibonacci-Zahlen.

 

Hier Auswahl an Beispielen:

In der Architektur kann man den Goldenen Schnitt bis in der Antike zurückverfolgen.

Die Verhältnisse von Flächen in der Cheops-Pyramide und bei der Vorderfront des Parthenon-Tempels auf der Athener Akropolis stimmen nach heutigen Berechnungen mit dem Goldenen Schnitt überein.

 „

Parthenon-Tempel mit fünf angenommenen Goldenen Rechtecken angeordnet nach Art einer Goldenen Spirale“ (Quelle www.wikipedia.org)

• Astronomie: Die Umlaufzeiten von manchen Planeten und deren Monde teilen sich im Verhältnis des Goldenen Schnitts. Dies soll die Umlaufbahn stabilisieren.
• In der Musik empfinden wir Tonabfolgen, also Melodien erst dann als konstant und klar, wenn das Verhältnis der Schwingungsfrequenzen stimmt (=„Intervall“). Diese werden auch zum Teil vom Goldenen Schnitt bestimmt.
• Die Kunst besteht im übertragenen Sinne fast nur aus dem Goldenen Schnitt. Sie wird äußerst beeinflusst von Ästhetik und Proportionswahrnehmung des Künstlers. Obendrein wurde durch den bewussten Bruch mit dem Goldenen Schnitt Kunstgeschichte geschrieben!

• Die Botanik zeigt die meisten Beispiele des Goldenen Schnitts. Blütenstände und Blattanordnung verlaufen in so genannten „Fibonacci-Spiralen“.  

Sonnenblume mit 34 und 55 Fibonacci-Spiralen. (Quelle www.wikipedia.org)

 

„Anordnung von Blättern im Abstand des Goldenen Winkels von oben betrachtet. Das Sonnenlicht wird optimal genutzt“ (Quelle www.wikipedia.org)

 

Fichtenzapfen mit 5, 8 und 13 Fibonacci-Spiralen. (Quelle

• Auch im menschlichen Körper finden sich die Fibonacci-Zahlen!
  Die Proportionen des menschlichen Körpers erforschte schon Leonardo da Vinci.
  Sie prägen bis heute unser Schönheitsbild mehr, als es irgendein Modetrend kann!

 

Menschliche Proportionen nach Vitruv von Leonardo da Vinci (1492)
(www.wikipedia.org)

Nun wissen wir, dass die Fibonacci-Zahlen ein fester Bestandteil unseres Lebens sind, aber welchen Nutzen können wir aus dieser Entdeckung ziehen?

• Im Instrumentenbau werden die Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt bewusst eingesetzt, sie sollen zum Beispiel dem Resonanzkörper von Streichinstrumenten besonderen Klang bringen.
• Sowohl der Komponist Béla Bartóks als auch die Rock-Band Tool bedienten sich in ihren Kompositionen der Fibonacci-Folge. Sie ließen die Motive (Bartóks) und Silben der Strophentexte (Tool) im entsprechenden Rhythmus erklingen.
• Im technischen Bereich werden die Proportionen des Goldenen Schnitts unter anderem beim Papierformat („DIN A4“), bei Fernsehbildern und PC-Monitoren eingesetzt.
• Über eine umstrittene Anwendung der Fibonacci-Zahlen wird derzeit im Börsengeschäft diskutiert. Die Fibonacci-Konjunkturzyklen sollen angeblich Schwankungen der Vergangenheit nicht nur erklären, sondern die der Zukunft sogar vorhersagen können!

1. Auch zur Verschlüsselung kann die Fibonacci-Folge benutzt werden. Das genaue Prinzip ist mir allerdings nicht bekannt. In dieser Funktion hat die Fibonacci-Folge auch im Bestseller „Sakrileg“ von Dan Brown ihren großen Auftritt!

7.  Quellenverzeichnis 

„Fibonacci and Lucas Numbers“, Verner E. Hoggatt, Jr,  1969

„Microsoft ® Encarta ® Enzyklopädie 2005 ©  1993-2004“ Microsoft Corporation (Virtuelles Lexikon), Eintrag „Fibonacci“

www.wikipedia.org, Eintrag „Fibonacci-Folge“ & Eintrag „Der Goldene Schnitt“

„FIBONACCI UND DER GOLDENE SCHNITT“, Johannes Becker, Februar 2004 (von www.uni-giessen.de/~g013)

http://www.bogen-gmbh.de/unser_know-how_.html („Beispiel eines Fibonacci-Zyklus“)

http://www.boerse-online.de/wissen/lexikon/boersenlexikon/index.html?action=descript& buchstabe=F& begriff=Fibonacci+%281%29

http://www.sdk.org/lexikon_inhalt.php?id=11 („Fibonacci Konjunkturzyklen“)

http://www.math-edu.de/Mathegarten/Mathe_Musik/mathe_musik.html#Fibonacci-Zahlen%20in%20der%20Musik (Fibonacci-Zahlen in der Musik)

„Sakrileg“, Dan Brown, 2004, Illustrierte Ausgabe

 

8.    Anhang

Mathematik GLF

 „Die Fibonacci-Folge“

Von Bettina Munz

 

Gliederung:

Kurzbiografie

Fibonacci-Folge

Verwandschaft mit dem Goldenen Schnitt

Beispiele zur Fibonacci-Folge

Kurzbiografie

  1170 in Pisa geboren à „Leonardo von Pisa"

  maurischer Privatlehrer à arabisches Zahlensystem & kaufmännische Berechnungen „Lernen durch Reisen“

  1202 „Liber abaci“ (“Buch der Rechenkunst”)

  Folgen: Verdrängung der Römischen Zahlen, Ähnlichkeit mit dem heutigen Zahlensystem

Fibonacci-Folge

Man nimmt an, dass

IV.  es ein Kaninchenpärchen (ein „Elternpärchen“) in einem eingezäunten Gebiet am 1. Januars gibt, welches

V.  ein weiteres (Kinder-) Kaninchenpärchen am 1. Februar und an jedem weiteren ersten Tag eines Monats wirft.

VI.  Ferner nimmt man an, dass jedes neue (Kinder-) Kaninchenpärchen einen Monat lang zur Geschlechtsreife heranwächst, also selbst ein „Elternpärchen“ wird und dann selbst wiederum im dritten Lebensmonat und an jedem weiteren ersten Tag eines Monats auch ein (Kinder-)Kaninchenpärchen wirft.

  VII.   

Monate	Anzahl Elternkaninchenpärchen	Anzahl Kinderkaninchenpärchen	Anzahl aller Kaninchenpärchen
1. Januar	1	0	1
1. Februar	1	1	2
1. März	2	1	3
1. April	3	2	5
1. Mai	5	3	8
1. Juni	8	5	13
1. Juli	13	8	21
1. August	21	13	34
1. September	34	21	55
1. Oktober	55	34	89
1. November	89	55	144
1. Dezember	144	89	233
1. Januar	233	144	377

1170 in Pisa geboren à „Leonardo von Pisa"

maurischer Privatlehrer à arabisches Zahlensystem (1,2,3,…) & kaufmännische Berechnungen

„Lernen durch Reisen“

1202 „Liber abaci“ (“Buch der Rechenkunst”)

Folgen: Verdrängung der Römischen Zahlen (I, II, III, IV,…), Zahlensystem mit Ähnlichkeiten im heutigen Zahlensystem

 Fibonacci-Folge

à Beispiel „Kaninchenproblem“ (siehe Arbeitsauftrag Rückseite)

a.    Rekursive Folge:

F_n=f_n-1 + f_n-2  für alle n є N, n ≥ 2, (Allgemeine Fibonacci-Fogen)

MitAnfangsglieder f₀=0 und f₁=1 à Fibonacci-Folge F_n= 0, 1, 1, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

Mit Anfangsglieder f₀=1 und f₁=3 à Lucas-Folge L_n= 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, …

b.  Explizite Folge: („Formel von Binet“ nach Jacques-Phillipe-Marie Binet)

F_n=  Dabei gilt:  und   

Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt

Der Quotient von zwei aufeinander folgenden Fibonacci-Zahlen strebt dem Wert 1,61803….

à entspricht dem „Goldenen Schnitt“ =1,61803398… (= best. Verhältnis zweier Zahlen oder Größen)

Beispiele zur Fibonacci-Folge und zum Goldenen Schnitt

Im Alltag (durch Proportionen):

• Architektur
• Astronomie
• Musik
• Kunst
• Botanik
• Anwendung:
• Instrumentenbau
• Kompositionen in der Musik, Bilder in der Kunst
• Technischer Bereich (TV-, Foto-, Monitorformate)
• Börsenvorhersagen
• Verschlüsselung

Fibonacci-Folge

F_n=f_n-1 + f_n-2  für alle n є N, n ≥ 2

Dabei gilt für die Anfangsglieder f₀=0 und f₁=1.

Folgen mit dieser Rekursionsvorschrift werden allgemeine Fibonacci-Folgen genannt.

Daraus folgt: Fibonacci-Folge F_n= 0, 1, 1, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … 

Dieselbe Rekursionsvorschrift, aber Anfangsglieder f₀=1 und f₁=3

Daraus folgt: Lucas-Folge L_n= 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, …

Expliziten Folge: 1843, man nennt sie „Formel von Binet“ (Jacques-Phillipe-Marie Binet)

F_n=  Dabei gilt:  und  

Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt

Laut Definition ist „Der Goldene Schnitt (lat. sectio aurea) [ist] ein bestimmtes Verhältnis zweier Zahlen oder Größen. Es beträgt etwa 1:1,618. […]
Weitere verwendete Bezeichnungen sind stetige Teilung und göttliche Teilung (lat. proportio divina).“ (Quelle: www.wikipedia.org)

Nenner	Zähler	Verhältnis	Abweichung        zu  in %
f1=1	f2=1	1,000000	-38,1966
f2=1	f3=2	2,000000	23,6068
f3=2	f4=3	1,500000	-7,2949
f4=3	f5=5	1,666667	3,00566
f5=5	f6=8	1,600000	-1,11456
f6=8	f7=13	1,625000	0,43052
f7=13	f8=21	1,615385	-0,16374
f8=21	f9=34	1,619048	0,06265
f9=34	f10=55	1,617647	-0,02392
f10=55	f11=89	1,618182	0,00914
f11=89	f12=144	1,617977	-0,00349
f12=144	f13=233	1,618056	0,00133

(Werte aus www.wikipedia.org, Eintrag „Goldener Schnitt“)

Beispiele für die Fibonacci-Folge 

1.  Architektur 2.  Astronomie 3.  Musik (=„Intervall“) 4.  Kunst 5.  menschlichen Körper 6.  Anwendungen: 7.  Instrumentenbau 8.  Kompositionen („Tool“) 9.    technischen Bereich (DIN A4, TV, PC-Monitore) 10.  Börsengeschäft 11.  Verschlüsselung	„Parthenon-Tempel mit fünf angenommenen Goldenen Rechtecken angeordnet nach Art einer Goldenen Spirale“ (Quelle http://www.wikipedia.org/)
Botanik  Fichtenzapfen mit 5, 8 und 13 Fibonacci-Spiralen. (Quelle http://www.wikipedia.org/)  „Anordnung von Blättern im Abstand des Goldenen Winkels von oben betrachtet. Das Sonnenlicht wird optimal genutzt“ (Quelle http://www.wikipedia.org/)	Sonnenblume mit 34 und 55 Fibonacci-Spiralen. (Quelle http://www.wikipedia.org/)   Menschliche Proportionen nach Vitruv von Leonardo da Vinci (1492) (http://www.wikipedia.org/)