A refutation of the well-known

Russell-Paradox

Eine kritische Untersuchung logischer Bezüge

Stefan Weckbach

Abstract

In this article we showcase a possible solution for the established paradox

of Bertrand Russells "paradox of the barber". We understand and discuss

the paradox exclusively in the way in wich the mathematicians and

logicians did it at the time of its invention. Our solution goes without

changing or adding new axioms into the naïve set theory and is intuitively

traceable with usual everyday logic. We do not use any loopholes such as

the assumption that the barber has to be a woman or a boy without beard

growth or such that the barber lives in "Sevilla" and shaves himself in

"Barcelona" and so on. Also we discuss Kurt Gödels incompleteness

theorem and show that it can be applied to itself to solve Russells paradox.

Abstract

Wir präsentieren in diesem Beitrag eine mögliche Lösung des populären

Barbier-Paradoxons, welches von Betrand Russell 1918 explizit formuliert

wurde. Unsere Lösung kommt gänzlich ohne das Verändern oder

Hinzufügen neuer Axiome in die naive Mengenlehre aus und ist intuitiv

mit der uns gewohnten Standardlogik nachvollziehbar. Das Paradoxon

wird von uns so aufgefasst und diskutiert, wie es einst in der Zeit seiner

Entdeckung von den neuzeitlichen Mathematikern und Logikern

aufgefasst wurde ­ ohne Hinzunahme ungerechtfertigter Schlupflöcher

oder weiterer Annahmen (eine solche Annahme wäre beispielsweise, der

,,Barbier" sei eine Frau, anstatt ein Mann, er habe einen langen Bart etc.).

1

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Gewidmet Kurt Gödel und all jenen,

die mich mögen und dich ich mag

2

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© 2008-09 Stefan Weckbach

Second edition, revised January 2009

,,No rule without its exception."

If the above statement is true, then it comprehends all rules and exceptions in itself.

3

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INHALT

1 EINFÜHRUNG 1

2 VORAUSSETZUNGEN 3

3 STRUKTURELLE ANALYSE 4

4 BEWEIS 5

4.1 GEGENPRÜFUNG 7

5 UNBEWEISBARKEIT 10

6 WEITERE BETRACHTUNGEN ZUM MÖGLICHKEITSBEWEIS 13

7 E

RGEBNIS UND SCHLUSSBETRACHTUNG 15

LITERATURNACHWEIS 17

INDEX 18

4

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1 Einführung

,,You can define the barber as `one who shaves all those, and those only, who do not shave

themselves.′

The question is, does the barber shave himself?

"

Bertrand Russell, ,,The Philosophy of Logical Atomism" [1] 1

m Juni 1901 entdeckte der Philosoph und Mathematiker Bertrand Russell,

I einer der bedeutendsten Denker der Moderne und damals gerade im Begriff,

die Grundlagen der Mathematik durch die Arbeit an seinem Werk der

The
principles of mathematics

auf ein unumstößliches Fundament zu setzen, dass der

Logik innerhalb der Mengenlehre eine merkwürdige Grenze innewohnt, denn

ihm ging auf [2],

,,...dass eine Klasse manchmal Element ihrer selbst ist, manchmal wieder nicht.
Die Klasse der Teelöffel zum Beispiel ist nicht ein weiterer Teelöffel, aber die
Klasse der Dinge, die keine Teelöffel sind, ist eines der Dinge, die keine Teelöffel
sind. ... Dies brachte mich dazu, über die Klassen nachzudenken, die keine
Elemente ihrer selbst sind, und diese wiederum, so schien es, müssen eine weitere
Klasse bilden. Ich fragte mich, ob diese Klasse ein Element ihrer selbst ist oder
nicht. Wenn sie ein Element ihrer selbst ist, muss sie die definitorischen Merkmale
der Klasse besitzen, also das Merkmal, nicht ein Element ihrer selbst zu sein. Ist
sie kein Element ihrer selbst, darf sie nicht das definitorische Merkmal der Klasse
besitzen und muss deshalb ein Element ihrer selbst sein. Jede Alternative führt
also zu ihrem Gegenteil, und damit entsteht ein Widerspruch."

2

Dieser Widerspruch wird hinfort in der Mathematik und Logik nach seinem

Entdecker Bertrand Russell als ,,Russellsche Antinomie" bezeichnet.

Russell brauchte ein gutes Jahr, um sich vom Schock der Erkenntnis zu

erholen, dass gewisse Probleme der Selbstbezüglichkeit in der Mathematik nur

auf Kosten hinterhergeschobener Zusatzannahmen gelöst werden können, die

außerhalb des logischen Systems stehen. Als Russell 1902 dem deutschen

Mathematiker und Logiker Gottlob Frege seine Entdeckung brieflich mitteilte,

war Frege bis zum Äußersten schockiert, da er kurz davor stand, sein gerade

abgeschlossenes Werk

Grundgesetze der Arithmetik

veröffentlichen zu lassen.

Russells Mitteilung war für Frege ein vernichtender Schlag, denn seine gerade

vollendete Arbeit baute wesentlich auf der von Russell gerade dekonstruierten

Mengenlehre auf. Frege erholte sich im Gegensatz zu Russell nie mehr von

1 RUSSELL, Bertrand:

The Philosophy of Logical Atomism.

(1918) In:

The Collected Papers of
Bertrand Russell

, 1914-19, Vol 8., p. 228.

2 In: BARROW, John D.:

Die Entdeckung des Unmöglichen

(1999), S. 40.

---

diesem Schlag und verwarf die Verwirklichung seines geplanten dritten Bandes

der

Grundgesetze der Arithmetik

.

Russell und einige Mathematiker nach ihm wie beispielsweise Ernst Zermelo

und Abraham Adolf Fraenkel erledigten das Problem dadurch, dass sie es in

gewisser Hinsicht verboten. Russell selbst entwickelte die sogenannte

,,Typentheorie" in der er festlegte, dass Mengen einen höheren Typus haben

sollten als die darin enthaltenen Mengen. Damit war sichergestellt, dass Menge

und Element strikt voneinander getrennt werden konnten, obschon Russell mit

dieser Lösung selbst nicht zufrieden war, da sie sich nicht natürlich aus den

bisherigen Axiomen der Mengenlehre ergab.

Zermelo und Fraenkel hingegen entwickelten die nach ihnen benannte

,,Zermelo-Fraenkelsche Mengenlehre", die ebenfalls die Fallstricke von Russells

Paradoxon vermeidet, indem ein bestimmtes Axiom der Mengenlehre geeignet

modifiziert wurde. Keine dieser Anstrengungen war jedoch dazu geeignet, die

Widersprüche zu vermeiden, ohne von außen das System der Mengenlehre

einem künstlichen ,,Fine-Tuning" zu unterziehen. Obschon heute die Zermelo-

Fraenkelsche Mengenlehre weitestgehend akzeptiert ist, haben einige

Mathematiker auch heute noch ein schlechtes Gefühl im Zusammenhang mit

dem Begriff des Beweises. Denn das Paradoxon zeigt, dass bereits ein so simples

formales System wie die Mengenlehre in Widersprüche geraten kann. Und wenn

ein logischer Widerspruch möglich ist, so kann man daraus deduzieren, dass jede

beliebige Aussage wahr ist. Da die Mengenlehre heute als Grundlage der

gesamten Arithmetik angesehen werden kann, müssen sich diese Widersprüche

damit auch in der Arithmetik auffinden lassen.

Als schließlich Kurt Gödel [3]3 1931 durch seine berühmten zwei

Unvollständigkeitssätze zeigte, dass die Arithmetik tatsächlich entweder

widersprüchlich oder aber unvollständig sein muss, da es Aussagen innerhalb

dieses Systems gibt, die aus demselben heraus weder bewiesen noch widerlegt

werden können, empfand das die Gemeinschaft der Mathematiker als eine

weitere tiefe Niederlage.

Die hier präsentierte Lösung bezieht sich nicht auf die Russellsche Antinomie,

sondern auf das von Bertrand Russell zur allgemeinverständlichen

Verdeutlichung seiner Antinomie zugespitzte

Barbier-Paradoxon

. In diesem

Paradoxon erkennen wir alle wesentlichen Elemente der Russellschen Antinomie

wieder und können in einem weiteren Paper zeigen, dass die Russellsche

Antinomie ebenfalls auflösbar ist. Bevor wir das tun, stellen wir aber in diesem

Paper alle wesentlichen Merkmale unserer Lösung vor und beginnen zunächst

mit unserer Hauptthese:

T:

Der Barbier braucht sich selbst nicht zu rasieren, wenn er all
diejenigen und nur diejenigen rasiert, die sich nicht selbst rasieren

3 GÖDEL, Kurt:

On formally undecidable proposition of Principia mathematica

and related systems I

. (1931). In: Collected Works, Vol. I, pp. 145-195.

2

---

2 Voraussetzungen

Russells Barbier-Paradoxon lautet folgendermaßen: 4

Satz G:

Der Barbier rasiert all diejenigen, und nur diejenigen Männer aus

Satz G, die sich nicht selbst rasieren.

Um uns von den volkstümlichen, oftmals ausgeschmückten oder reduzierten

Varianten des Paradoxons abzugrenzen, geben wir hier die relevanten Grenzen

an, in denen Satz G zu verstehen ist:

<1>

Es wird eine Gesamtmenge G postuliert, die minimal eine und

maximal drei Untermengen enthalten kann (nämlich <4>, <5> und

<6>)

<2>

Alle Elemente der drei möglichen Untermengen seien Männer

<3>

Jeder Mann soll exakt einer und nur einer der beiden

Untermengen zugeordnet werden

<4>

Die erste Untermenge sei die Menge derjenigen Männer, die sich

selbst rasieren und sich daher nicht rasieren lassen (Untermenge I)

<5>

Die zweite Untermenge sei die Menge derjenigen Männer, die sich

nicht selbst rasieren und sich daher rasieren lassen (Untermenge

II)

<6>

Es gibt einen und nur genau einen Barbier unter den Männern

<7>

Dieser Barbier soll all diejenigen, und nur diejenigen Männer

rasieren, die sich nicht selbst rasieren

<8>

Der Barbier ist ein Mann (also keine Frau, kein Junge ohne

Bartwuchs, ein Mann der halb in Sevilla und halb in Barcelona

wohnt etc.)

<9>

Ausnahmslos alle Männer aus G sollen rasiert werden oder sich

selbst rasieren, auch der Barbier

Wir stellen nun die Eingangsfrage: Rasiert sich der Barbier selbst oder rasiert er

sich nicht selbst?

4 Im vorangestellten Motto dieses Papers war es Russells Ziel, durch präzise Definition

der Tätigkeit eines Barbiers die Unmöglichkeit aufzuzeigen, vor der die Mathematiker

damals standen, als sie versuchten, die Mengenlehre auf logisch unangreifbare

Prinzipien zurückzuführen. Wir verwenden hier für Satz G eine überschaubarere

Ausformulierung.

3

---

Zur Veranschaulichung sehen wir uns noch einmal Satz G an:

Satz G: A.)

Der Barbier rasiert all diejenigen, und nur diejenigen Männer

aus Satz G, die

B.)

sich nicht selbst rasieren.

Die erste Möglichkeit ist, dass der Barbier sich nicht selbst rasiert. Dann fordert

B.) jedoch von ihm, sich selbst zu rasieren. Also rasiert er sich selbst. Dann

fordert A.) jedoch wiederum von ihm, sich nicht selbst zu rasieren und so weiter.

Wir sehen also, dass beide Alternativen regelmäßig zu ihrem Gegenteil führen

und sich die Eingangsfrage dadurch nicht logisch entscheiden lässt. Zu einer

Entscheidung kommen wir erst, wenn wir die Struktur des Paradoxons näher

untersuchen. Und auch erst, wenn überhaupt eine Entscheidung möglich ist, was

wir im Folgenden Abschnitt untersuchen werden.

In Abschnitt 4 werden wir dann unsere These T beweisen. An diesen Abschnitt

schließt sich eine Betrachtung über die Unbeweisbarkeit in der Mathematik an.

Abschließend eine Zusammenfassung unserer Ergebnisse sowie deren

Bewertung.

3 Strukturelle

Analyse

Damit der Barbier tatsächlich nur und nur die Männer rasieren

kann

, die

sich nicht selbst rasieren,

ohne sich jedoch selbst rasieren zu müssen

, muss gelten:

(1) Keiner der vom Barbier potentiell zu rasierenden oder nicht zu

rasierenden Männer aus G darf andere Männer aus G rasieren, die sich

nicht selbst rasieren.*

* Ansonsten könnte der Barbier diese Männer nicht rasieren

(2) Da jedoch der Barbier selbst ebenso einer der von ihm potentiell zu

rasierenden oder nicht zu rasierenden Männer aus G ist, dürfte auch

er

gemäß (1) keine anderen Männer aus G rasieren, die sich nicht selbst

rasieren. Daher muss eine Ausnahme zu (1) gelten, damit er die anderen

Männer rasiert, die sich nicht selbst rasieren, sonst wäre T wäre falsch.

Diese Ausnahme wollen wir (2) nennen.

(3) Dass (2) eine Ausnahme von (1) ist, heißt nicht logisch zwingend, dass

dies die einzige Ausnahme von (1) sein muss. Damit G auflösbar ist,

müsste es eine zweite Ausnahme von (1) geben, die zugleich eine

Ausnahme von A.) impliziert. Diese zweite Ausnahme ist notwendig, da

jeder

innerhalb der Menge G rasiert wird, also auch unser Barbier. Die

zweite Ausnahme von (1) ist daher, dass keiner der Männer andere

Männer außer den Barbier rasieren darf. Diese zweite Ausnahme wollen

wir (3) nennen. Da (3) jedoch (2) widerspricht, wenn man (3) auf den

Barbier anwendet, kann der Barbier nicht Element von (3) sein. Das ist

einleuchtend, da der Barbier gemäß (2) tatsächlich keiner der Männer sein

4

---

kann, die ,,keine anderen Männer außer dem Barbier rasieren", wenn G

wahr sein soll. Er rasiert ja andere. Und dass andere ihn rasieren, ist, wie

wir noch sehen werden, völlig konsistent mit A).

(4) Da der Barbier per Definition alle Männer aus G rasiert, die sich nicht

selbst rasieren, stellt er eine Ausnahme von Regel (1) dar. Die Ausnahme

(2) wird von der Regel unter (1) erzwungen, die selbst ja inklusive (2)

zwingend ist, wenn G wahr sein sollte (was wir ja zunächst annehmen

wollen). Zwingend ist aber zusätzlich für (1) auch, dass es eine weitere

Ausnahme dort geben muss, die eine Ausnahme von A.) für den Barbier

impliziert. Diese zweite Ausnahme ist die Ausnahme (3) und gleichzeitig

eine Ausnahme von (2). Denn: (2) lautet ,,keiner der Männer darf andere

Männer rasieren, außer der Barbier" und (3) lautet ,,keiner der Männer

darf andere Männer rasieren außer den Barbier". Die Ausnahme liegt also

im Wörtchen ,,den" ­ statt ,,der". Und diese Ausnahme (3) ist derart, dass

der Barbier ein einziges Mal

nicht

,,

all diejenigen, und nur diejenigen
Männer aus Satz G rasiert", die sich nicht selbst rasieren.

Dies ist jedoch

noch

nicht

der Kern unserer Lösung, er liegt, wie wir im Verlaufe sehen

werden, an einer anderen Stelle. Wir werden die Konsistenz von

Ausnahme (3) jedoch im weiteren Verlauf fundiert begründen.

(5) Die den Ausnahmen zugehörenden Mengen, auf die sich diese

Ausnahmen jeweils beziehen, sind für Ausnahme (2) die Menge

derjenigen Männer, die nicht der Barbier sind. Diese Menge wollen wir

(m2) nennen. Für Ausnahme (3) ist es ebenfalls die Menge derjenigen, die

nicht der Barbier sind. Diese Menge wollen wir (m3) nennen.

Die Ausnahmen (2) und (3) selbst bestehen jeweils aus ein und demselben

Element, nämlich dem Barbier. Die Elemente von (2) und (3) wollen wir

daher mit (2m) und (3m) bezeichnen. Es gilt also: (m2) = (m3) und es gilt

(2m) = (3m). Da sowohl (m2) und (m3) identische Elemente enthalten als

auch (2m) und (3m), muss es zumindest eine Vereinigungsmenge von

(m2) und (m3) mit (2m) und (3m) geben. Diese Vereinigungsmenge ist,

falls es möglich ist, dass (3) wahr ist, die Menge all derjenigen, die

nicht
nicht rasiert werden

. Und da es tatsächlich möglich ist, dass (3) wahr ist

(weil es

nicht

logisch unmöglich ist), braucht sich auch der Barbier nicht

selbst rasieren und bleibt trotzdem Element derjenigen Männer, die nicht

nicht rasiert werden ­ und rasiert zugleich all jene, die sich nicht selbst

rasieren. Im folgenden Abschnitt wird die letztgenannte Behauptung

detailliert bewiesen.

4 Beweis

Das Ergebnis unserer Überlegungen haben wir in Satz (6) einfließen lassen:

(6): A.)

Der Barbier rasiert alle diejenigen, und nur diejenigen Männer

5

---

aus G, die

B.)

sich nicht selbst rasieren

und C.)

die außer dem
Barbier keinen der anderen Männer rasieren.

Dieses Ergebnis (6) empfinden wir als nicht zufriedenstellend, da es erstens zu

künstlich und zu sperrig wirkt und zweitens nicht erkennen lässt, wo das

Kernproblem des Paradoxons liegt. Daher transformieren wir (6) wie folgt in (7)

um:

(7): A.)

Der Barbier rasiert alle diejenigen, und nur diejenigen Männer

aus G, die

D.)

nur und nur den Barbier rasieren.

Wir fragen jetzt bezüglich (7):

Wen

rasiert der Barbier nun eigentlich?

Dazu müssen wir analysieren, wer ,,nur und nur den Barbier rasiert".

Untermenge I, also diejenigen Männer, die sich selbst rasieren, können nicht

gemeint sein. Denn sie rasieren außer dem Barbier ja ebenfalls sich selbst. Der

Barbier jedoch kann auch nicht gemeint sein, denn er rasiert ja andere (und nicht

nur eventuell sich selbst). Wir sehen, dass es sich bei den Personen, die der

Barbier nun tatsächlich rasiert, um keine andere Personengruppe handelt, als um

,,diejenigen, die sich nicht selbst rasieren" aus Satz G, also B.). Allerdings nun

ohne die zwingende Einschränkung ,,alle diejenigen und nur diejenigen". Denn

diese Einschränkung haben wir nun

von A.) nach D.) weitergereicht

.

Für unsere Lösung ist das Verschwinden dieser Einschränkung aus A.)

jedoch zweitrangig. Selbst wenn man diese Einschränkung in A.) ließe, würde es

nicht logisch zwingend bedeuten,

dass sie sich auch auf den Barbier bezieht

.

Denn ebenso logisch möglich wäre, dass sich diese Einschränkung auf den Fall

bezieht, dass einer oder mehrere der Männer aus G eine ihrer Gesichtshälften

rasieren, während der Barbier gleichzeitig deren andere Gesichtshälften rasiert

etc. Dies wollen wir jedoch ausschließen, da es dem Geiste des ursprünglichen

Paradoxons zuwiderläuft.

Wir sehen also, dass es nicht nur möglich ist, den Zusatz ,,all diejenigen

und nur diejenigen" aus A.) anders zu verstehen, sondern dass diese

anscheinend auf den Barbier gemünzte Sentenz alleine und nur alleine im Auge

des Betrachters liegt. Und zwar, indem er voraussetzt, der Barbier müsse sich

tatsächlich auch rasieren. Da diese Forderung aber nirgends in Satz G explizit

vorkommt und es auch keinen Sinn machen würde, dies tatsächlich zu fordern ­

da sonst die Frage danach, ob der Barbier sich selbst rasiert oder nicht, absurd

wäre, ­ denken wir, dass es nicht zwangsläufig notwendig ist, sie implizit auf

den Barbier zu beziehen. Denn wie wir gesehen haben, gibt es erst

ohne

die von

uns in das Paradoxon hineingelesene Zwangsläufigkeit eine Lösung.

Wir können also guten Gewissens sagen, dass die,

6

---

P:

,,... die nur und nur den Barbier rasieren"

exakt diejenigen sind

,,... die sich nicht selbst rasieren"

Diese These wollen wir P nennen.

4.1 Gegenprüfung der These

Es gibt zwei Extremfälle, die wir kurz Gegenprüfen wollen.

Der erste Fall tritt ein, wenn alle Männer sich selbst rasieren. Diesen Fall wollen

wir a7.) nennen. Wenn a7.) eintritt, kann der Barbier keine anderen Männer mehr

rasieren. Denn es gibt dann keine Männer mehr, die ,,nur und nur den Barbier

rasieren" könnten, da sie D.) ja nicht mehr genügen. Jedoch, wenn dieses

Szenario eintritt, heißt das nicht zwangsläufig, dass die anderen ihn nicht mehr

rasieren dürften. Es heißt lediglich, dass der Barbier die anderen nicht mehr

rasieren kann und darf. Dafür kann und darf der Barbier sich gemäß D.) jetzt

aber selbst rasieren ­ falls kein anderer Mann dies übernimmt. Diese Ausnahme

wollen wir (4a) nennen. Und wenn (4a) tatsächlich eintritt, dann ist der Barbier

der einzige Mann, der ,,nur und nur den Barbier rasiert". Er

wäre

in gewissem

Sinne dann exklusiv in Satz (7) und gleichzeitig implizit in D.) enthalten. Damit

wäre er jedoch kein Barbier mehr, <6> wäre falsch und G wäre ebenso falsch.5

Den zweiten Fall wollen wir b7.) nennen. b7.) tritt ein, falls keiner der anderen

Männer sich selbst rasiert. Damit werden diese Männer dann alle vom Barbier

rasiert, D.) bleibt weiterhin gültig, weil <9> im Zusammenspiel mit D.) gilt. Und

weil <9> und D.) gelten, wird der Barbier in diesem Falle von anderen rasiert.

Was wir herausgefunden haben, ist bemerkenswert: Treffen a7.) sowie

(4a) zu, so existiert nur noch die

Untermenge I

. Trifft hingegen b7.) zu, so gibt es

nur noch

Untermenge II

. (4a) zeigt, dass der Barbier tatsächlich kein Element von

(3) sein kann. Es zeigt, dass es keine anderen Ausnahmen von (1) geben kann als

eben (2) und (3). Denn gäbe es (4a) wirklich, dann wären <6> und P falsch und

wenn <6> und P falsch wären, dann wäre auch G = (7) falsch. Mit dieser

Gegenprobe ist also bewiesen, dass (7) auch unter den Extrembedingungen, die

für den ursprünglichen Satz G eintreten könnten, immer noch logisch konsistent

ist und zu keinen Widersprüchen führt. Wir dürfen dabei nicht vergessen, dass

bei diesen Betrachtungen immer (2), (3), <6>, P, und <9> gilt.

Damit ist bewiesen, dass B.) = D.) ist, P zutreffen kann und das die

Annahme, das Paradoxon könne nicht logisch aufgelöst werden, nicht

vollständig richtig ist, da T wahr sein

kann

(

aber

nicht muss!

).

Quod erat

demonstrandum

.

5 Nimmt man an, (4a) wäre eine gültige Lösung, so lautet Russells Eingangsdefinition jetzt "man

kann einen Barbier definieren als einen ,der nur und nur sich selbst rasiert′", was offensichtlich

nicht stimmen kann. Das wäre keine sinnvolle Definition eines Barbiers, wohl aber eine geeignete

Definition eines arbeitslosen Barbiers. Man muss hier also zwischen 2 verschiedenen Definitionen

unterscheiden. Wenn man (4a) tatsächlich als mögliche Lösung innerhalb von (7) sehen möchte, so

muss dieser Unterschied innerhalb von (7) auch auffindbar sein. Man müsste dafür eine einzige

Ausnahme (5a) von P gestatten, die sich implizit auf den Barbier bezieht.

7

---

In der folgenden Abbildung 1 ist ein Mengendiagramm zu sehen, dass die

Verhältnisse grafisch darstellt, die ohne unsere Lösung für Satz G eintreten

müssen. Es ist zu sehen, dass es keine Schnittmenge gibt zwischen denen, die

rasiert werden und denen, die sich selbst rasieren. Wir würden davon ausgehen,

dass der Barbier (die rote Teilmenge) bezüglich Russells unauflöslicher Variante

des Paradoxons eigentlich in der Mitte auf der Grenzlinie der anderen Männer

sitzt, sich also zugleich selbst rasiert und auch nicht selbst rasiert. Das kann

jedoch nicht sein, so dass der Barbier komplett außerhalb der anderen Männer

steht. Die einzige Gemeinsamkeit mit den anderen Männern hat der Barbier nur

noch dadurch, dass er wie alle anderen ebenfalls ein Mann ist.

Abbildung 1: Die Menge aller Männer, die Männer sind, besteht aus 2 Teilmengen. Man

kann sich dabei vorstellen, dass beide Teilmengen in einem weiteren Kreis liegen, der die

Menge aller Männer umschließt.

Abbildung 2: Die Menge aller Männer, die

nicht nicht

rasiert werden.

8

---

Zu Abbildung 2: Dass der Barbier trotzdem nur und nur die Männer aus G rasiert, die

sich nicht selbst rasieren ­

ohne das der Barbier sich jedoch zwangsläufig selbst rasieren
müsste

, liegt daran, dass Satz

(7)

offenbar seine einzige Ausnahme von A.) produziert, wenn man
Satz (7) auf den Barbier selbst anwendet. Denn der Barbier kann dann nicht der Bedingung D.)
genügen, ohne dass die anderen Bedingungen verletzt werden.

In Satz G liegen also zwei versteckte Annahmen begraben, die so nicht zutreffen

müssen. Diese Annahmen sind im Einzelnen:

1. Keiner der anderen Männer kann / darf den Barbier rasieren

2. ,,alle diejenigen und nur diejenigen" muss sich notwendigerweise auf den

Barbier beziehen.

Punkt 2, ­ den wahren Knackpunkt des Paradoxons ­, werden wir weiter

unten kritisch hinterfragen. Wahr ist allerdings, dass 2. notwendigerweise

implizit

auf den Barbier zutreffen müsste, falls G

nicht

auflösbar sein soll.

Die

Ausnahme

von

Ausnahme (2)

steckt explizit in D.), denn ohne diese

Ausnahme wäre der Barbier nicht logisch möglich. Diese ,,doppelte" Ausnahme

lautet, dass es allen ,,

anderen

Männern verboten ist, andere Männer außer den

Barbier zu rasieren". Das ist Ausnahme (3). Wie wir bereits wissen, trifft (3)

aufgrund von D.) bis auf Ausnahme (4a) ­ die jedoch aufgrund von <6> nicht

zutreffen kann ­

nicht

auf den Barbier zu: Denn er rasiert andere.

(4a) jedoch wiederum wäre eine Ausnahme von (1), (2) und (3), aber leider auch

für P. Sie träte ein, wenn alle

anderen

Männer sich selbst rasieren

und

zudem den

Barbier nicht rasieren. (4a) lässt sich also so formulieren: ,,Der Barbier rasiert nur

und nur den Barbier" ­ damit würde er als einziger Mann in der Menge exakt

der Regel D.) genügen, könnte sich selbst aber aufgrund von <6> und P trotzdem

nicht rasieren.

Es gilt anzumerken, dass man logisch auch genau andersherum

argumentieren kann: Nämlich dass Ausnahme (2) die Ausnahme von (3) ist. Beide
Argumentationen sind wahr und ebenso konsistent

.

Wir fassen beide Ausnahmen noch einmal im Überblick zusammen:

(2) Keiner der Männer darf

andere

Männer rasieren, außer

der

Barbier.

(3) Keiner der Männer darf

andere

Männer rasieren außer

den

Barbier.

Das jeweils kursive Wörtchen ,,andere" enthält implizit jeweils die

komplementären Ausnahmen. So enthält (2) die ,,Ausnahme" (3), und (3) die

,,Ausnahme" (2).

Wir fassen nun (2) und (3) zu einer einzigen Aussage zusammen:

(23) Keiner der Männer außer der Barbier darf andere Männer außer den Barbier

rasieren.

9

---

Satz (23) besagt: Der Barbier darf nur und nur diejenigen rasieren, die ihn

rasieren. Rasiert kein anderer ihn

exklusiv und ausschließlich

, weil die anderen

sich alle

exklusiv und ausschließlich

selbst rasieren

und/oder

ihn einfach nicht

rasieren

wollen

, dann müsste der Barbier sich gemäß (4a) eben selbst rasieren,

was aber aufgrund von <6> nicht sein kann. Das ist ,,Ausnahme" (4a), für die nur

noch der Barbier alleine D.) erfüllen würde.

Nur und nur

wenn die Männer den

Barbier rasieren, muss er sich nicht selbst rasieren. Jedoch,

nur und nur

wenn die

Männer sich

ausschließlich

selbst rasieren, rasiert sich der Barbier ebenfalls

ausschließlich selbst. Dies genau kann aber aufgrund von <6> nicht sein. Daher

wird er auch immer rasiert, solange <6> gilt.

Regel (7) erzwingt in Anwendung auf den Barbier also seine eigenen

Ausnahmen von den Ausnahmen (die Ausnahmen spielt quasi ,,über Bande"

wobei diese Bande der Barbier selbst ist). In anderen Worten: Der Barbier ist

Regel und Ausnahme zugleich. Das ist aber noch nicht alles, was das Paradoxon

an Überraschungen für uns bereit hält.

Das Paradoxon entstand dadurch, dass B.) von Russell

explizit

formuliert wurde.

Es hätte genügt, zu sagen ,,ein Barbier ist derjenige, der regelmäßig andere

Menschen rasiert". Damit wäre ebenso klar, dass er regelmäßig nur jene rasiert,

die sich nicht selbst rasieren. Aber es hängt nicht nur vom Verhalten des

Herrenfriseurs alleine ab, ob er all jene und nur jene rasiert, die sich nicht selbst

rasieren. Es hängt auch vom Verhalten der restlichen Männer ab, wie unter (1)

und zu Beginn von Abschnitt 4.1 gezeigt.

Wenn wir ,,alle diejenigen und nur diejenigen" aus A.) prinzipiell

anzweifeln können ­ was wir hier im Zuge unseres Beweises getan haben ­, so

können wir auch

ex falso

mit gleichem Recht (2) grundsätzlich anzweifeln und

damit gleichzeitig auch G insgesamt. Es gilt aber auch das Umgekehrte: Wenn

wir G insgesamt für wahr halten, dann müssen wir ebenfalls (2) und (3)

ex falso

für wahr halten. Wo liegt der Unterschied zwischen beiden Folgerungen und wie

sind sie entstanden? Diese Fragen werden wir nun diskutieren.

5 Unbeweisbarkeit

Die Wahrheit von G = (7) lässt sich prinzipiell nicht beweisen, da es sich

um eine Spielart der Gödelschen Unentscheidbarkeit handelt. Unser Argument

ist daher auch nicht, dass G zwingend wahr sein

muss

, sondern lediglich, dass G

zwingend wahr sein

kann

. Der Unterschied zwischen ,,muss" und ,,kann" ist der

Unterschied zwischen etwas, was nicht zwangsläufig auch existieren muss, nur

weil es logisch konsistent ist und etwas, was nur existieren

kann

,

wenn

es logisch

konsistent ist.

Gödels Unvollständigkeitstheoreme wurden von ihm nicht etwa

zwangsläufig so verstanden, dass er aus dem Widerspruch zwischen

Unvollständigkeit und Inkonsistenz letzteres annahm und ersteres verwarf.

10

---

Vielmehr war Gödel [4]6, als er beide Möglichkeiten gegeneinander abwägte, mit

seinen eigenen Worten der Auffassung, dass

,,

...

consistency with existence
manifestly presupposes the axiom that every mathematical problem is solvable.
Or, more precisely, it presupposes that we cannot prove the unsolvability of any
problem.".

Mit anderen Worten: Gödels Theorem sagt aus, dass sich nicht ad hoc

entscheiden lässt, ob eine formulierte mathematische Fragestellung sich

prinzipiell nicht lösen lässt. Alan M. Turing [5]7 demonstrierte genau dies 1936,

als er mit einer Gedankenkonstruktion namens ,,universelle Turing-Maschine"

zeigte, dass es unmöglich ist, im Voraus, - quasi ad hoc ­, zu entscheiden, ob

diese Maschine jemals ein eindeutiges Rechenergebnis liefern wird (ob sie

irgendwann anhält oder unendlich viele Möglichkeiten durchrechnen muss, weil

es unendlich viele Lösungen für eine Gleichung gibt oder eine unendlich lange

Lösung wie beispielsweise eine irrationale Zahl). Dies wiederum heisst nichts

anderes, als das wir schlicht und einfach nicht allwissend sind. Denn würden wir

jetzt

bereits wissen, was wir durch Turings Maschine (das kann auch irgendein

PC zuhause sein) erst übermorgen oder vielleicht sogar niemals berechnen

könnten, dann würden wir

jetzt

bereits

alles

wissen, was es prinzipiell überhaupt

zu wissen gibt. Denn wir wüssten dann auch bereits, dasjenige, was wir

übermorgen von da an über das nächste ,,übermorgen" wissen würden. Dass

dies nicht sein kann, liegt auf der Hand, ist aber paradoxerweise nicht immer im

Alltagsbewusstsein vorhanden. Denn unsere unbewussten Prämissen schließen

all das aus, was ihnen nicht entspricht. So ging es uns auch mit den zwei

Prämissen 1. und 2., die im Abschnitt 4.1 vorgestellt wurden.

Die Unauflöslichkeit von G unter den von uns am Anfang genannten

Voraussetzungen <1> - <9> lässt sich

nur und nur

,,beweisen", wenn wir von

vorneherein davon ausgehen, dass der Barbier innerhalb einer

Schnittmenge

von

,,rasiert sich selbst" und ,,rasiert sich nicht selbst" vorkommen müsste

und es
keine ,,Doppelgesichtigen" geben kann

. Eine solche Schnittmenge gibt es jedoch

für das Paradoxon, wie Russell [6]8 bereits 1903 beweisen konnte, nicht. Russells

,,Beweis" beweist jedoch

nicht

, dass seine

Prämisse

auch zwingend erforderlich

ist, der gemäß diese Schnittmenge notwendig ist, um das Paradoxon aufzulösen.

Denn wie wir gesehen haben, gibt es zu der Annahme, dass es eine solche

Schnittmenge mit genau einem Element, nämlich dem Barbier, geben müsse,

damit das Paradoxon auflösbar sei, ein Gegenbeispiel, welches wir in Form von

Satz (7) präsentiert haben.

6 GÖDEL, Kurt: On formally undecidable proposition of Principia mathematica

and related systems I. (1931). In: Collected Works, Vol. I, pp. 145-195.

7 TURING, Alan M.:

On computable numbers with an anpplication to the Entscheidungs-

problem

. (1937) In: Proc. London Math. Soc (2) 42 (1936 ­ 7), pp. 230-265; "correction",

ibid.

, 43

(1937), 544­546.

8 RUSSELL, Bertrand:

The principles of mathematics

, Cambridge (1903), §102.

11

---

Der Knackpunkt von Satz G, also ,,alle diejenigen und nur diejenigen", impliziert

nicht logisch zwingend, dass diese Ausformulierung sich auf die Menge aller

Männer einschließlich Barbier und gleichzeitig

auch

auf etwa die

,,doppelgesichtig" Rasierten bezieht. G schließt also nicht explizit aus, dass die

Bedingung ,,alle diejenigen und nur diejenigen" lediglich zur Vermeidung der

,,doppelgesichtig" Rasierten führt oder auf die Vermeidung abzielt, dass andere

Männer andere vollständig rasieren (denn das würde wiederum (1) und (3)

verletzen). Damit bräuchte diese heikle Formulierung dann nicht auf den Barbier

bezogen werden. Zumindest einer der beiden Auslegungen dieser Bedingung ist

jedoch zwingend. Welche Auslegung das jedoch ist, können wir uns aussuchen,

denn das ist gemäß Gödel [3] innerhalb von G nicht entscheidbar. Es ist

deswegen innerhalb von G nicht entscheidbar, weil innerhalb von G diese

Information völlig fehlt. Sie müsste von außerhalb kommen oder explizit in Satz

G formuliert sein.

,,All diejenigen und nur diejenigen" definiert also eine Menge, von der aber

unklar ist, ob

sie

vollständig ist

. Wir resümieren an dieser Stelle also, dass sich

die logische Unauflösbarkeit von G auch durch Bertrand Russell nicht beweisen

ließ. Da alle bisherigen mathematisch-logischen Diskussionen über dieses

Paradoxon lediglich mit Verweis auf Russells ,,Beweis" konstatieren, dass der

Barbier aufgrund der fehlenden Schnittmenge logisch unmöglich sei,

argumentieren wir, dass sich sowohl die Wahrheit als auch die Unwahrheit von

G aufgrund von Gödels Arbeiten prinzipiell nicht im Sinne eines

Standardbeweises beweisen lässt. Damit ist aber gleichzeitig in Verbindung mit

unserem Gegenbeispiel ausgesagt, dass G logisch wahr sein

kann

(wichtig dabei

ist, dass damit nicht bewiesen werden kann, dass G wahr sein

muss

).

Der Punkt ist also der: Russell behauptet, der Barbier könne nicht existieren,

kann dies aber nicht logisch konsistent beweisen. Was wir jedoch ganz

offensichtlich beweisen können, ist, dass aufgrund von Gödels Arbeiten die

Unentscheidbarkeit unserer Frage beide Möglichkeiten möglich sein lässt. Dies

ist deshalb so, ­ und nun kommen wir zum vielleicht interessantesten Punkt ­,

weil, wie wir gerade gesehen haben, nicht klar ist, ob die Aussage ,,all diejenigen

und nur diejenigen"

unvollständig

oder

inkonsistent

ist. Vollständig

und

in

konsistent wäre diese Aussage ja nur, wenn es

kein Gegenbeispiel

in Form von

Satz (7) gäbe. Daher

kann

sie

unvollständig aber

konsistent

sein. Und was an ihr

zumindest unvollständig sein kann, haben wir bereits aufgezeigt: nämlich dass

,,nur und nur diejenigen" sich zwar auf das Szenario der ,,doppelgesichtig"

Rasierten beziehen kann, aber nicht auf den Barbier selbst. ,,alle diejenigen und

nur diejenigen" muss als Sammelbecken aller logischen Bezüge aufgefasst

werden, für die diese Sentenz gelten kann. Damit G weiterhin unentscheidbar

bleibt, muss gelten, dass diese Menge der Bezüge nur ein Element enthält,

nämlich den Barbier. Dies ist jedoch, wie wir gezeigt haben,

nicht

zwingend

der

Fall, da es nicht explizit formuliert wurde.

Der Grund dafür, warum die Arithmetik nach Gödels Arbeiten nicht als

inkonsistent eingestuft wurde, war, dass die Arithmetik offenbar sehr genau

funktioniert und sich aus ihr überprüfbare Aussagen über die Welt ableiten

lassen. Diese Aussagen können zum Beispiel in der Physik oftmals mit hoher

12

---

Genauigkeit bestätigt werden und legen höchstwahrscheinlich nahe, dass dieses

System konsistent ist. Dass einzige ,,Axiom", was wir offensichtlich zusätzlich

durch Aufstellung von (7) in das System G mit ,,hineingebracht" haben, ist, dass

wir schlicht die von Gödel aufgefundene Unentscheidbarkeit, die ja bereits im

Paradoxon enthalten war,

auf sich selbst angewendet haben

. Mit anderen Worten:

Kann G wahr sein, dann kann auch problemlos (3) wahr sein und umgekehrt.

Die These dieses Papers nimmt genau das an.

Cattabriga [7]9 [8]10 [9]11 [10]12 hat durch mehrere Arbeiten aufgezeigt, dass

Gödels Theorem selbst nur unter bestimmten Bedingungen

vollständig

ist.

Nämlich dann, wenn man genau wie bei unserer Lösung bestimmte Prämissen

voraussetzt, die sich dann gegenseitig bestätigen. Gödels Arbeiten sind aber

trotzdem nach wie vor gültig, denn sie zeigen, dass Wahrheit und Beweisbarkeit

von logischen Verknüpfungen von eben jenen Prämissen abhängt, von denen der

Wahrheitssuchende ausgeht. Wie hinlänglich demonstriert, können diese

Prämissen oftmals ausgewählt werden. Insbesondere dann, wenn das zu

untersuchende System keine klaren Grenzen hat, also selbstbezüglich

strukturiert ist. Die Wahrheit ist dann, dass dieses System seine Wahrheit je nach

gewählten Prämissen unerbittlich selbst ,,zusammenbaut". Gödel zeigte also mit

seinen Theoremen auf, dass es nicht nur auf die eventuelle Wahrheit eines

Inhaltes ankommt, sondern diese Wahrheit auch erstaunlicherweise von den

formalen Beziehungen der einzelnen Elemente dieses Inhaltes abhängt (also von

der formalen Beziehung untereinander).

6

Weitere Betrachtungen zum Möglichkeitsbeweis

Ob G mit dieser prinzipiellen Einschränkung der Unbeweisbarkeit wahr

ist oder nicht, liegt also merkwürdigerweise im Auge des Betrachters. Ein

unbelasteter Betrachter, der das Paradoxon das erste Mal vor sich hat, denkt für

gewöhnlich zunächst derart, dass er annimmt:

1. Der Barbier kann tatsächlich existieren

2. Der Barbier rasiert all diejenigen und nur diejenigen, die sich nicht selbst

rasieren

9 CATTABRIGA, Paola (2008):

Observations concerning Gödel′s 1931

, University of Bologna,

Italy [zitiert 15.12.2008] Art des Zugriffs: http://arxiv.org/pdf/math/0306038.

10 CATTABRIGA, Paola (2006):

Beyond Undecidable

, University of Bologna, Italy [zitiert

15.12.2008] Art des Zugriffs: http://arxiv.org/pdf/math/0606713.

11 CATTABRIGA, Paola (2007):

How to release Frege′s system from Russell′s antinomy

,

University of Bologna, Italy [zitiert 15.12.2008] Art des Zugriffs:

http://arxiv.org/math/0705.0901

12 CATTABRIGA, Paola (2006):

Beyond Uncountable

, University of Bologna, Italy [zitiert

15.12.2008] Art des Zugriffs: http://arxiv.org/pdf/math/0312360.

13

---

3. Es kann keine Ausnahme vom gerade gedachten Punkt 2. geben

4. Der Barbier gehört daher implizit selbst zwingend zu der in 2. explizit

definierten Menge

5. Es gibt keine Lösung und daher sind die Punkte 1. ­ 3. bewiesenermaßen

unwahr

Punkt 5. ist aber ebenso unbeweisbar wie die Wahrheit von Satz G, und genau

deshalb ist unsere anfängliche These T

T:

Der Barbier braucht sich selbst nicht zu rasieren, wenn er all
diejenigen und nur diejenigen rasiert, die sich nicht selbst rasieren

wahr.

Im Übrigen suggeriert 2., dass der Barbier die Menge G definiert, indem

er sie in zwei Hälften spaltet (wir beziehen uns hier auf Satz G und nicht auf Satz

(7)). Nichts spricht jedoch dagegen, dass die Menge G sich selbst in zwei Hälften

spaltet. Mit anderen Worten: Im ersten Fall wird in Satz G die Menge G durch

die vom Barbier zu rasierenden Männer definiert, also durch die Perspektive der

Männer auf den Barbier, der damit zunächst einmal außerhalb steht. Im zweiten

Fall wird die Menge dadurch definiert, dass keiner der Männer mit Ausnahme

des Barbiers andere Männer rasiert, die sich nicht selbst rasieren ­ was ein

eklatanter Widerspruch ist. Das wäre dann die Perspektive des Barbiers auf die

Männer einschließlich sich selbst. Die erste Mengendefinition suggeriert, den

Barbier als Element nicht mit zu enthalten, eben

weil

der Barbier lediglich ein

Mann ist wie alle anderen Männer. Die zweite Mengendefinition scheint ihn

mitzuenthalten, eben

weil

er alle Nicht-Selbstrasierer einschließlich sich selbst

rasieren soll

und

er ein Mann ist. Merkwürdigerweise hängt die Entscheidung für

eine der Mengendefinitionen jedoch davon ab, ob wir dem Barbier eine

Existenzberechtigung zusprechen oder nicht und die Entscheidung über die

Existenzberechtigung des Barbiers hängt wiederum davon ab, für welche der

beiden Perspektiven wir uns entscheiden. Eine Entscheidung hängt also offenbar

von nichts weiterem ab als von einer anderen Entscheidung. Wir werden diese

merkwürdige Feststellung weiter unten noch analysieren.

Warum ist nun für (7) plötzlich beides wahr, die erste Mengendefinition

wie auch die zweite? Dies liegt daran, dass der Barbier Element der Menge mit

der Eigenschaft ,,Männer" ist

und

er ebenso Element der Menge mit der

Eigenschaft ,,rasieren sich nicht selbst". Was wir also unbewusst schlussfolgern,

wenn wir G das erste Mal vorgesetzt bekommen ist: ,,Wenn der Barbier zur

Menge der Männer gehört, so muss er auch entweder zur Menge der Nicht-

Selbstrasierer gehören oder aber zur Menge der Selbstrasierer. Und wenn das so

ist so muss er auf jeden Fall irgendwie rasiert werden, was paradox ist". Wir

haben gesehen, dass dieses ,,und wenn das so ist, dann..." nicht zwingend

logisch ist, denn was wir sahen war, dass der Barbier widerspruchslos zu beiden

Mengen gehören kann, sowohl zur Menge der männlichen Personen als auch zur

Menge derer, die in den Genuss einer Rasur kommen. Dadurch haben wir eine

Eigenschaft der Männer herausgearbeitet, die auf keine offensichtliche Art und

14

---

Weise aus dem ursprünglichen Satz G hervorgeht. Diese Eigenschaft ist

Ausnahme (3). In gewissem Sinne darf also keiner der Männer ein professioneller

Barbier sein, außer eben der Barbier selbst.

7

Ergebnis und Schlussbetrachtung

as Rechtfertigen der möglichen Existenz des Barbiers aus der Annahme der

D Wahrheit von Satz G heraus sieht auf den ersten Blick wie eine

tautologische Aussage aus, denn ,,unter der Annahme, dass der Barbier existiert,

ist es möglich, dass er auch existiert" mutet tautologisch an. Aber tautologisch

sind unsere Überlegungen nicht, denn die erste Annahme ist eine logische, die

zweite eine existenzielle: Es ist logisch möglich, dass der Barbier existiert, und

daher ist es möglich, dass er auch tatsächlich existiert. Die Unterscheidung

zwischen logisch und existenziell ist wichtig, denn nicht alles, was logisch zu

existieren vermag,

muss

auch tatsächlich existieren.

Um pauschal zu entscheiden, welche speziellen Beschreibungen, die wir

uns auszudenken vermögen, tatsächlich auch logisch sind, müssten wir die

Grenzen der Logik vollständig überblicken können. Das würde in einem

gewissen Sinne bedeuten, allwissend zu sein und die Logik und ihre internen

Verknüpfungen durch all das hindurch, was tatsächlich zu existieren vermag, zu

überblicken. Auch müssten wir dafür davon ausgehen, dass den zu

untersuchenden Dingen klare und exklusive Eigenschaften zugesprochen

werden können, die unabhängig von unseren Projektionen oder von anderen

Eigenschaften sind. Und dafür müssten wir vollständiges Wissen darüber

besitzen, was in uns selbst und allgemein existiert und was nicht existiert. Gödel

hat jedoch gezeigt, dass wir ein solch vollständiges Wissen nicht haben können.

Dafür bräuchten wir einen Standpunkt außerhalb der Logik, den wir ­ nehmen

wir einmal mystische Erlebnisse aus ­, in der Regel nicht besitzen. Dieser

Standpunkt müsste außerhalb der Logik sein, weil die Logik uns nicht pauschal

sagen kann, was prinzipiell existieren und nicht existieren kann. Ob ein Ding

klare, endliche und vor allem ein für allemal

unveränderliche

Eigenschaften

besitzt, kann selbst in der Quantenphysik, wie wir sie heute kennen, nicht mehr

vorausgesetzt werden.

Bezogen auf Satz G haben wir herausgefunden, dass es dort nicht der Fall

sein muss, dass keiner der Männer den Barbier rasiert. Und dieses Ergebnis

entspricht der Feststellung, dass es nicht unbedingt der Fall sein muss, dass die

Wendung ,,alle diejenigen und nur diejenigen" sich zwingend auf den Barbier

bezieht. Das ist die berühmte Falsifikationsthese gemäß Karl Popper. Wir sahen,

dass die brenzlige Frage danach, wer oder was den Barbier rasiert eine Frage ist,

die eine ganz natürliche Antwort gefunden hat. Für unsere Diskussion hier

können wir auf jeden Fall sagen, dass unsere Widerlegung logisch konsistent ist

und dass es daher auch logisch konsistent ist, dass das Paradoxon zumindest auf

der logischen Ebene durchführbar gelöst werden kann.

15

---

,,

Eine Entscheidung hängt also offenbar von nichts weiterem ab als von einer
anderen Entscheidung

." Wir beginnen jetzt, zu verstehen, was damit gemeint ist,

denn diese letztere Entscheidung ist ganz offensichtlich eine

Unterscheidung

:

Nämlich die zwischen aktiver und passiver Negation: Nicht alles, was logisch

inkonsistent erscheint, muss deswegen auch nicht-existent sein. Ebenso muss

nicht alles, was logisch konsistent erscheint, auch zwangsläufig existieren. Durch

Hereinholen einer Negation mittels D.) haben wir jene aktive Negation B.), die

Russell uns in den Weg gestellt hat, in allen Fällen wieder rückgängig gemacht.

Die aktive Negation ist in vielen Fällen der Mathematik das Kernstück eines

Beweises. Eine

reductio ad absurdum

, also eine passive Negation ist eher die

Ausnahme im digitalen System der Mathematik. Gödel hat diese passive

Negation in seinen Unentscheidbarkeitstheoremen ausgenutzt, um treffend zu

folgern, dass Vollständigkeit und Konsistenz nicht beide zugleich

ausnahmslos

auf die Mathematik zutreffen können. Dass es für unser Thema abschließend

keinen wasserdichten Beweis geben kann, liegt an Gödels [3] Sätzen. An diesen

Sätzen liegt es aber auch, dass Einsichten nicht nur und nur durch einen Beweis

zustande kommen können, sondern auch durch eine Falsifikation.

Russell erkannte, dass seine Definition eines Barbiers schlichter Unsinn

ist. Warum auch sollte ein Barbier sich entweder prinzipiell

nicht

selbst rasieren

oder aber prinzipiell von anderen Männern rasiert werden oder aber überhaupt

gar nicht erst existieren können? Das widerspricht unserer Alltagserfahrung

gänzlich, mit deren Hilfe wir leicht etliche Gegenbeispiele in Erfahrung bringen

könnten, indem wir einen Barbier suchen, der andere und sich selbst zu rasieren

pflegt. Aus unserer Alltagserfahrung heraus würden wir einen Barbier zunächst

schlicht als denjenigen definieren, ,,der andere berufsmäßig rasiert und sich

selbst rasiert". Die Russellsche Definition ist wegen der Worte ,,nur und nur

diejenigen" im Zusammenhang mit ,,die sich nicht selbst rasieren" jedoch nicht

alltäglich. Das Nicht-Alltägliche liegt darin, dass in Satz G

explizit

etwas

formuliert wird, was in unserer Alltagserfahrung bereits

implizit

enthalten ist:

Nämlich die Tatsache, dass wenn man andere (berufsmäßig) rasiert, diese zu

rasierenden Personen sich nicht gleichzeitig selbst rasieren können. Diese explizit

formulierte Bedingung B.) in Satz G führt also in letzterer Auflösung dazu, dass

wir ausgleichend eine

implizite

Bedingung D.) abschöpfen können, die das

Paradoxon auflösen kann. Denn: ,,Explizit" bedeutet oftmals nichts anderes für

uns, als ,,exklusiv und ausschließlich". Und ,,implizit" bedeutet dann für uns das

Gegenteil. Jedoch, wenn etwas

explizit

ist, so kann es durchaus etwas sehr

Inklusives

an und neben sich haben.

Was ist nun die Antwort auf Sein oder Nichtsein des Barbiers und auf

Russells Frage

,,The question is, does the barber shave himself?"

? Die Antwort

ist, dass nicht alle Dinge, die paradox erscheinen, deswegen auch

ausschließlich

paradox sein

müssen.

16

---

Literaturnachweis

[1]

RUSSELL, Bertrand:

The Philosophy of Logical Atomism.

(1918). In:

The Collected Papers of Bertrand Russell

, 1914-19, Vol 8., p. 228.

[2]

BARROW, John D.:

Die Entdeckung des Unmöglichen

(1999), S. 40.

[3]

GÖDEL, Kurt:

On the completeness of the calculus of logic.

(1929). In:

Collected Works

Vol I, Publications 1929-1936. Oxford University Press,

New York, 1986, pp. 60-101.

[4]

GÖDEL, Kurt:

On formally undecidable proposition of Principia
mathematica and related systems I

. (1931). In:

Collected Works

Vol.

I, Publications 1929-1936. Oxford University Press, New York, 1986, pp.

145-195.

[5]

TURING, Alan M.:

On computable numbers with an anpplication to
the Entscheidungsproblem

. (1936) In:

Proc. London Math. Soc

(2) 42

(1936 ­ 7), pp. 230­ 265; "correction",

ibid.

, 43 (1937), 544­546.

[6]

RUSSELL, Bertrand:

The principles of mathematics

, Cambridge

University Press (1903), Chapter X, The Contradiction, § 102.

[7]

CATTABRIGA, Paola (2008):

Observations concerning Gödel′s 1931

,

University of Bologna, Italy [zitiert 15.12.2008] Art des Zugriffs:

www.arxiv.org/pdf/0306038.

[8]

CATTABRIGA, Paola (2006):

Beyond Undecidable

, University of

Bologna, Italy [zitiert 15.12.2008] Art des Zugriffs:

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[9]

CATTABRIGA, Paola (2007):

How to release Frege′s system from
Russell′s antinomy

, University of Bologna, Italy [zitiert 15.12.2008]

Art des Zugriffs: www.arxiv.org/pdf/math/0705.0901.

[10]

CATTABRIGA, Paola (2006):

Beyond Uncountable

, University of

Bologna, Italy [zitiert15.12.2008] Art des Zugriffs:

www.arxiv.org/pdf/math/0312360.

E-Mail address: 121112@gmx.org

17

---

Index

A

I

a7.) 8

inklusive 9

Abraham Adolf Fraenkel 2

Inkonsistenz

12

abschöpfen

17

aktive Negation

17

K

Alltagserfahrung

17

Arithmetik

13

Karl Popper

16

Ausnahme

4, 5

Klasse

1

ausschließlich 11

konsistent 10

Axiom

14

Kurt Gödel 2

B

L

Barbier

4

Lösung 5

Barbier-Paradoxon

2

B

M

ARROW, John D 18

Bertrand Russell 1

Mengendiagramm

8

Beweis 6

Mengenlehre 2

Beweisbarkeit

14

Möglichkeitsbeweis 14

Beyond Uncountable

18

Beyond Undecidable

18

N

C

Nicht-Selbstrasierer

15

CATTABRIGA, Paola 18

P

D

passive Negation

17

Philosophy of Logical Atomism

18

Definition

17

Physik

14

doppelgesichtig

6

Prämisse 12

Principia Mathematica

1

E

Projektionen

16

Eigenschaften

16

Element

1

Q

Entscheidung

15, 17

Quantenphysik

16

Ernst Zermelo 2

ex falso 11

R

explizit 11

reductio ad absurdum 17

F

Regel (7)

11

RUSSELL, Bertrand 18

Falsifikationsthese

16

Russellsche Antinomie 1

formalen Beziehungen

14

S

G

Satz G 3

Gedankenkonstruktion 12

Schnittmenge

8

Gödelschen Unentscheidbarkeit

11

Selbstbezüglichkeit 1

Gottlob Frege 1

Selbstrasierer

15

Grenzen

14

Struktur 4

Grundgesetze der Arithmetik

1

Strukturelle Analyse 4

H

T

Hauptthese 3

tautologisch

16

Teilmenge

8

18

---

These T 4

V

transformieren

6

Vereinigungsmenge

5

Typentheorie 2

versteckte Annahmen

9

vollständig 13

U

unendlich 12

W

Unentscheidbarkeit

11

Wahrheit

14

universelle Turing-Maschine 12

Widerspruch

15

Untermengen 3

Unterscheidung 17

unveränderlich

16

Z

Unvollständigkeit

12

Zermelo-Fraenkelsche Mengenlehre 2

Unvollständigkeitstheoreme, Gödels

12

19

---