Entwicklung, Struktur und Eigenschaften von Infinite
Impulse Response (IIR)-Operatoren im Vergleich mit
Finite Impulse Response (FIR)-Operatoren für die
digitale Bildverarbeitung

von: Steffen Petzold

Inhalt

Vorwort

1. Grundlagen

1.1. Die Bildmatrix 1
1.2. Signalbeschreibung (Bildbeschreibung) im Orts-, Ortsfrequenz- u. Z-Bereich 2

1.2.1. Beschreibung im Ortsbereich 2
1.2.2. Beschreibung durch Fourier- u. Z-Transformation 3

1.2.2.1. Die diskrete Fouriertransformation 3
1.2.2.2. Beschreibung im Z-Bereich und Z-Transformation 5

1.3. Ziele der digitalen Bildverarbeitung und die Bedeutung lokaler Operatoren 6
1.4. Struktur und Eigenschafen von FIR-Operatoren 7

1.4.1. Lokaler FIR-Operator und diskrete Faltung 7
1.4.2. Besonderheiten und Probleme bei der Faltung von Bildern mit lokalen Operatoren 9
1.4.3. Faltung (Filterung) im Orts- und Ortsfrequenzbereich 10

2. IIR-Operatoren

2.1. Struktur und Eigenschaften von IIR-Operatoren 12

2.1.1. Die Zweckmäßigkeit des Einsatzes rekursiver Operatoren in digitalen Bildbearbeitung 12
2.1.2. Definition und Klassifikation rekursiver Operatoren 12

2.1.2.1. Viertelebenen-Filter (Quarter-Plane (QP)-Filters) 13
2.1.2.2. Nichtsymmetrische Halbebenenfilter (Nonsymmetric Half-Plane (NSHP)-Filters) 13

2.2. Kausale rekursive QP-Filter 14

2.2.1. Struktur und Eigenschaften 14
2.2.2. Stabilität rekursiver QP-Filter 16

2.2.2.1. Sätze und Theoreme zur Stabilität 17
2.2.2.2. Test der Stabilitätsbedingungen 18

2.2.2.2.1. Test von HUANG-ANSELL 18
2.2.2.2.2. Stabilitätstest von ANDERSON und JURY 19
2.2.2.2.3. Stabilitätstest mit Hilfe von Abbildungen in der zweidimensionalen Z-Ebene 22

2.2.2.3. Beispiele zur Stabilitätsüberprüfung 22

2.2.2.3.1. Stabiles Filter 22
2.2.2.3.2. Instabiles Filter 25

2.2.2.4. Andere Stabilitätstests 27

2.3. Entwurf kausaler rekursiver QP-Filter 28

2.3.1. Allgemeine Bemerkungen zum Filterentwurf 28
2.3.2. Entwurfsverfahren für rekursive Filter erster und zweiter Ordnung 30
2.3.3. Ergebnisse und Erkenntnisse hinsichtlich der Anwendung des Optimierungsverfahrens aus 2.3.2. 35

2.3.3.1. Optimales Tiefpaßfilter 37
2.3.3.2. Breitband-Differenzierer 41
2.3.3.3. Lineares Hochpaßfilter 43

2.3.4. Andere Entwurfsverfahren im Überblick 45

2.3.4.1. Transformation der Optimierungsvariablen 45
2.3.4.2. Ermitteln von Näherungslösungen im Ortsbereich 46

2.4. Applikationen der behandelten Filter 48
2.5. Diskussion der Ergebnisse und Schlußfolgerungen für den Einsatz rekursiver Operatoren in der digitalen Bildverarbeitung 51

Anhang

Literaturverzeichnis

Vorwort

Die digitale Bildverarbeitung hat sowohl speziell in der medizinischen Diagnostik als auch allgemein in den verschiedensten technischen Bereichen eine große Bedeutung erlangt. Diese Bedeutung der Bildverarbeitung innerhalb der Kette des Bildentstehungsprozesses ist in der Adaption des „Rohbildes“ an visuelle Zielstellungen des Betrachters (Mensch) sowie in der Aufbereitung bzw. Modifikation der Bildinformation für ein automatisches Bildverarbeitungssystem zu sehen.

Für beide Zwecke stehen zum heutigen Zeitpunkt eine Anzahl von Hilfsmitteln zur Verfügung, die in den verschiedensten Bildverarbeitungsprogrammen implementiert sind. Da das Bild, welches zur Verarbeitung dem Rechner zugeführt wird, aus systemtheoretischer Sicht ein digitales Signal darstellt, ist die Systemtheorie der diskreten Signale und Systeme in vielen Fällen das Hilfsmittel zur Entwicklung von Werkzeugen der Bildverarbeitung. Eine wesentliche Gruppe solcher Werkzeuge sind lokale Operatoren (Filter). Dabei werden momentan fast ausschließlich nichtrekursive Systeme verwendet. Ziel der vorliegenden Arbeit soll es sein, das Wesen der rekursiven Operatoren zu untersuchen und ihren praktischen Nutzen für die Bildverarbeitung zu beurteilen. Dabei wurde auf Nachvollziehbarkeit der Ausführungen sowie die Relevanz des praktischen Einsatzes besonderer Wert gelegt. Dementsprechend erfolgte auch die Auswahl der Verfahren und Methoden, welche im Detail dargestellt sind. Zur Konsolidierung des Grundgedankens der praktischen Anwendbarkeit wurden zwei Tools rechentechnisch umgesetzt. Dies ist zum einen ein Optimierungsalgorithmus für den Filterentwurf sowie eine Routine zur Durchführung der Faltung mit rekursiven Operatoren im Bildverarbeitungs-Rahmenprogramm IPFRAME*. * vom Institut für Biomedizinische Technik / Fakultät Elektrotechnik der TU Dresden

1. Grundlagen

1.1. Die Bildmatrix

Ausgangspunkt der Betrachtungen ist das bereits digitalisierte Bild, welches in Form einer zweidimensionalen Rechteckmatrix mit rechteckigen, äquidistanten Basiszellen (Pixel) vorliegt. Der durch die Digitalisierung diskretisierte Definitionsbereich wird durch Pixelkoordinaten in Form eines Zahlenpaares (Spaltenindex m und Zeilenindex n) beschrieben. Die Zeilenzahl sei mit N, die Spaltenzahl mit M bezeichnet.

Abb. 1.1 [Abbildung in der Downloaddatei vorhanden] Wenn vorausgesetzt wird, daß zwischen den Pixeln kein Zwischenraum vorhanden ist, kann die Pixelausdehnung dem Pixelabstand (Rasterabstand, Gitterabstand) gleichgesetzt werden. Die geometrische Ausdehnung des Bildes läßt sich folgendermaßen berechnen : Ausdehnung in Zeilenrichtung: lM = ∆xm⋅M (1.1) Ausdehnung in Spaltenrichtung: lN = ∆xn⋅N (1.2) ∆xm Pixelabstand (Gitterabstand) der Bildspalten ∆xn Pixelabstand (Gitterabstand) der Bildzeilen Wichtig für die Beurteilung und Bearbeitung des Bildes ist die Analyse benachbarter Pixel, besonders in Hinblick auf die Objekterkennung. Bei der rechteckigen Basiszelle besteht nun das Problem, daß zwischen einer 4er-Nachbarschaft (zwei Pixel gelten als benachbart, wenn sie eine Kante gemeinsam haben) und einer 8er-Nachbarschaft (zwei Pixel gelten als benachbart, wenn sie eine Kante oder eine Ecke gemeinsam haben) unterschieden werden muß.

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