Europa-Universität Viadrina Frankfurt (Oder)
Veranstaltung: „Einführung in die Finanzmathematik“
Fach: „Statistik und Ökonometrie“
WS 2004/2005, 7. Semester

Risikoquantifizierung mithilfe von Value-at-Risk -
Parametrische Methoden und Simulationsverfahren

von: Sergiy Ragulin

INHALTSVERZEICHNIS

1 EINFÜHRUNG 1

2 RISIKOMAßE FÜR VERSCHIEDENE FINANZINSTRUMENTE 2

2.1 Finanzinstrumente am Spotmarkt: Volatilität und LPM  2
2.2 Finanzinstrumente am Derivativmarkt: Greek letters  4
2.3 Finanzinstrumente am Fixed-Income-Markt: Duration und Konvexität 6
2.4 VaR als aggregierter Risiko-Maß 7

3 METHODEN DER VAR-BERECHNUNG  9

3.1 Vorgaben: Zeithorizont und Konfidenzniveau 9
3.2 Varianz-Kovarianz-Methode für Spot-Finanzinstrumente 10
3.3 Modellbildungsmethode für Derivativen  13

3.3.1 Delta-Normal-Approximation 13
3.3.2 Delta-Gamma-Approximation  14

3.4 Historische Simulation  15
3.5 Monte-Carlo Simulation 16
3.6 Vergleich der Berechnungsverfahren 17

4 BEISPIELE DER VAR-BERECHNUNG  18

4.1 Aktienkursrisiken eines Portfolios  18

4.1.1 Modellbildungsmethode 18
4.1.2 Historische Simulation  21
4.1.3 Monte-Carlo Simulation 22

4.2 Aktienkursrisiken eines Portfolios mit Optionen  22

4.2.1 Delta-Normal-Approximation 22
4.2.2 Historische Simulation  25
4.2.3 Monte-Carlo Simulation 26

4.3 Zinsrisiken eines Portfolios 27

4.3.1 Modellbildungsmethode 27
4.3.2 Historische Simulation  30
4.3.3 Monte-Carlo Simulation 31

5 ANALYSE DER BERECHNUNGSERGEBNISSE  33

6 FAZIT 35

ANHANG A. STATISTIK UND MATHEMATIK  IV

ANHANG B. R-QUELLCODE XIII

LITERATUR- UND VERWEISVERZEICHNIS XIV

 

1 EINFÜHRUNG

Es sind schon mehrere Jahre vergangen, seitdem ein neuer Aspekt der Unternehmensführung - Risk Management - entwickelt wurde. Unter Risiko im Sinne der Entscheidungstheorie versteht man die Wahrscheinlichkeit eines Verlustes (oder Nichteintretens eines Gewinns). Eine alternative Definition des Risikos ist die negative Abweichung der tatsächlichen Konsequenzen einer Entscheidung von geplanten Konsequenzen¹.

Die Unternehmenserwartungen stimmen mehr oder weniger oft mit der Realität nicht überein. Die Tätigkeit aller Gesellschaften ist also mit dem Risiko verbunden. Insbesondere im Falle der Banken, die die Finanzgeschäfte betreiben, haben Kreditrisiken sowie Marktrisiken eine große Bedeutung. Diese beiden Risiko-Arten entsprechen den zwei größten Richtungen der Banktätigkeit: Commercial Banking (Kreditgeschäfte) und Investment Banking (Operationen mit den Finanzinstrumenten auf den Finanzmärkten). Je mehr die Banken auf den Finanzmärkten agieren, desto größer ist die Notwendigkeit, die Marktrisiken zu erfassen und zu verwalten. Marktrisiken entstehen bei den unerwarteten Veränderungen von Marktparametern, die einen negativen Einfluss auf die Werte der Banken-Aktiva aufweisen. Im Rahmen dieser Arbeit werden Aktienkursrisiken und Zinsrisiken als die typischen Risikoarten auf dem Finanzmarkt beschrieben.

Das Prozess des Risk Management gliedert sich in der Praxis in drei Komponenten: Risikoidentifikation, Risikoquantifizierung und Risikosteuerung (Risiko-Management im engeren Sinne). Bei Risikoidentifikation untersucht man, welche Risiken überhaupt entstehen und welche davon im Weiteren als Objekt des Risk Management betrachtet werden. Bei der Risikoquantifizierung werden die Risiken in eine (oder mehrere) Messzahl erfasst. Nachdem man die Risiken quantifiziert hat, werden die Maßnahmen (Risikodiversifizierung, Hedging usw.) entwickelt, die der Risikoreduzierung dienen.

Die vorgelegte Arbeit wird den Problemen der Quantifizierung der Marktrisiken gewidmet. Dieser Teil des Risk Management stellt eine Menge der Alternativen in Messzahlen- und Messtechnikenauswahl dar. Das Ziel der Arbeit ist, die Zusammenhänge des universalen Risikomaßes VaR mit den anderen Kennzahlen zu ermitteln und diese in verschiedensten Berechnungstechniken darzustellen. Als praktisches Instrument für VaR-Berechnung wurde der statistische Packet „R“ benutzt.

Es wird weiter gezeigt, welche übliche Risikoquantifikatoren existieren und in welchen Situationen (für welche Finanzinstrumente) sie verwendet werden sowie warum die Risk Manager den Value-at-Risk präferieren (Abschnitt 2). Im Abschnitt 3 werden die populären Berechnungsmethoden für VaR veranschaulicht und ihre Vor- und Nachteile gegenüber einander diskutiert. Im Abschnitt 4 werden die erwähnten Techniken an den ausgewählten Beispielportfolios angewendet. VaR wird hier mit so einem Konzept ermittelt, bei dem die charakteristische alternative Risikokennzahl an der VaR-Berechnung teilgenommen hat. Damit lässt sich besser den Zusammenhang zwischen VaR und anderen Maßen erkennen. Im Abschnitt 5 werden die Ergebnisse der Berechnungen zusammengefasst und analysiert. Die sperrige Information, die allerdings für diese Arbeit relevant ist, wird im Anhang A gesammelt. Hier werden die statistischen Grundlagen und einige komplizierte Methoden erklärt. Die Programmierungscodes zur VaR-Berechnung beim PC wurden im Anhang B beigefügt.

2 RISIKOMAßE FÜR VERSCHIEDENE FINANZINSTRUMENTE

2.1 Finanzinstrumente am Spotmarkt: Volatilität und LPM

Spot-Instrumente sind die Finanzinstrumente, die ein reales Finanzmarkt vertreten und als Underlying eines Derivaten auftreten können. Das sind z.B. Aktien, Währungen, Commodities (Börsenwaren), Edelmetalle usw. Diese Instrumente charakterisieren sich dadurch, dass ihre Preiskurse schwanken im Zeitablauf, und aufgrund dessen die Renditen als relative Preisänderungen entstehen.

[Formel in der Downloaddatei vorhanden] Als herkömmlicher Risiko-Parameter für Spot-Instrumente wird in der Portfolio-Theorie die Volatilität der Renditen, d.h. die Neigung zur Veränderung, betrachtet. Als Volatilitätsmaß hat Harry Markowitz zum ersten Mal die Varianz der Renditen um den Mittelwert verwendet².

[Formel in der Downloaddatei vorhanden]

bei der kontinuierlichen Verteilung von Renditen³ Die Annahme der bestimmten Verteilung der Rendite ist ziemlich restriktiv. Deswegen benutzt man für die Berechnung der Varianz die Beobachtungen aus Vergangenheit. Die Güte dieses Ansatzes ist allerdings von der Repräsentativität der Stichprobe abhängig. Die empirische Varianz zeigt die quadrierte Differenz zwischen dem tatsächlichen Wert der Rendite und dem Mittelwert.

[Formel in der Downloaddatei vorhanden]

Die unerwartet niedrige Renditen (negative Differenz) charakterisieren das Risiko der Investition, die unerwartet höhe Renditen werden als Chance bei der Investition interpretiert⁴. In der Portfolio-Theorie wird bei der Portfolio-Selektion fast immer die so genannte mean-variance-Methode verwendet. Also die höhere erwartete Rendite ist besser als niedrigere, und die niedrigere erwartete Varianz ist besser als höhere. D.h. im Bezug auf Risiko streben die Investoren nach Vermeiden der extremen Werte der Rendite, oder nach Reduzierung der Varianz. Die Unbequemlichkeit bei der Varianz-Berechnung bereitet der zweite Grad dieses Parameters, was die andere im Vergleich zum Mittelwert Dimension hat. Deswegen benutzt man oft auch die Standardabweichung [Formel in der Downloaddatei vorhanden], die in derselben Dimension wie Erwartungswert liegt und damit leichter interpretiert werden kann⁵.

Alternativer Ansatz betrachtet das Streben der Investoren nach Vermeiden nicht beliebiger extremen Werte der Renditen, sondern nach Vermeiden der Werte, die unter dem Mittelwert liegen (eigentliches Risiko). Dafür wurde die Idee entwickelt, die Semi-Varianz statt Varianz (entsprechend Semi-Standardabweichung statt Standardabweichung) als Risiko-Maß zu benutzen. Also bei der Berechnung werden nur die negativen Differenzen als Streuung betrachtet⁶. Man verwendet als Vergleichsmaß am häufigsten den Mittelwert der Renditen, aber auch risikolosen Zins oder Zinssatz gleich Null. Alle mögliche Semi-Risiko-Maße (mit alternativen Referenzwerten) werden aggregiert unter dem Begriff lower partial moments (LPM) behandelt. Man spricht über Semi-Standardabweichungen als über first-order lower partial moments und über Semi- Varianzen als über second-order lower partial moments⁷.

In der Portfolio-Theorie kann man die Parallele zwischen LPMs und Portfolio-Selektion finden. So ist der Zusammenhang zwischen lower partial moments und stochastic dominance criteria (entsprechender Ordnung) zu merken⁸. Vereinfachte Interpretation – man wählt das Portfolio mit dem niedrigsten lower partial moment. Die Idee, nur die extremen Werte in der Richtung nach unten zu berücksichtigen, vereinigt die Interpretation von Semi-Varianz und VaR als Risiko-Maße⁹. In der im Abschnitt 1 angegebenen Definition des Risikos ist nicht nur die (negative) Abweichung vom Erwartungswert wichtig, sondern auch die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses. Beide diese Gedanken sind in VaR mit einbegriffen.

2.2 Finanzinstrumente am Derivativmarkt: Greek letters

[...]

1 Vgl. Hartmann-Wendels/Pfingsten/Weber, 2000, Bankbetriebslehre, 2. Aufl., Springer, S. 541. In Anlehnung an Müllhaut 1980, Einführung in die BWL der Banken, S. 188

2 Vgl. Elton/Gruber/Brown/Goetzmann, Modern portfolio theorie and investment analysis, 6th ed., 2003, S. 46 ff.

3 f(Ri) – Dichtefunktion der Renditen. Ausführlichere Information über Verteilungen s. im Anhang A

4 Vgl. Hartmann-Wendels/Pfingsten/Weber, a.a.O., S. 541

5 Vgl. Green, Econometric analysis, 5th ed, 2003, Prentice Hall, S. 848

6 Vgl. Elton/Gruber/Brown/Goetzmann, a.a.O., S. 48

7 Vgl. ebenda, S.248 ff.

8 Vgl. Ingersoll, Jr., Theory of financial decision making, 1987, Rowmann & Littlefield, S. 71 ff.

9 Gemeinsame Probleme des VaR und der Semi-Standardabweichung wurden ausführlich im Beitrag von Guthoff/Pfingsten/Wolff diskutiert. Vgl. Guthoff/Pfingsten/Wolff. Der Einfluss einer Begrenzung des VaR oder des LPMOne auf die Risikoübernahme. In: Credit Risk und VaR-Alternativen. S. 111 ff.