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GYMNASIUM P U L L A C H Kolleg 1995/97

Facharbeit aus dem Leitungskurs

M A T H E M A T I K

THEMA:

Die Ellipse als Kegelschnitt; Konstruktionsaufgaben

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Inhaltsverzeichnis

A. Die Ellipse als Kegelschnitt

3

A.1. Definition der Kegelschnitte

3

A.2. Die Dandelinischen Kugeln

4

A.3. Die Ellipse als Kegelschnitt

5

B. Konstruktionsaufgaben

6

B.1. Bezeichner

6

B.2. Einfache Aufgaben

7

B.2.1. Aufgabe 1

7

B.2.2. Aufgabe 2

9

B.2.3. Aufgabe 3

10

B.2.4. Aufgabe 4

10

B.3. Konstruktionen mit der ,,Eulerschen Affinität"

11

B.3.1. Die Ellipse als affines Abbild des Kreises

11

B.3.2. Aufgabe 14

12

B.3.3. Ellipsen und Tangenten

12

B.3.4. Aufgabe 8

13

B.3.5. Aufgabe 6

14

B.3.6. Aufgabe 7

16

B.3.7. Aufgabe 12

16

B.3.8. Aufgabe 13

17

B.3.9. Aufgabe 16

18

B.4. Konstruktionen mit der Relation b²=t0*y und a²=s*x

18

B.4.1. Herleitung

18

B.4.2. Aufgabe 9

19

B.4.3. Aufgabe 10

20

B.4.4. Aufgabe 11

21

B.5. Konstruktion mit der Reflexionseigenschaft der Ellipse

22

B.5.1. Nachweis

22

B.5.2. Aufgabe 15

23

B.5.3. Aufgabe 5

24

C. Literaturverzeichnis

25

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A. Die Ellipse als Kegelschnitt

A.1. Definition der Kegelschnitte

Der Schnitt eines geraden Doppelkreiskegels mit dem halben

Öffnungswinkel

(=Winkel zwischen Kegelachse a und Kegelmantel) mit

einer Ebene E wird als Kegelschnitt oder als Kegelschnittskurve bezeichnet.

Die Form dieser Kegelschnitte wird durch und dem Winkel zwischen der

Schnittebene E und der Kegelachse (0° 90°) bestimmt. Verändert man

den Abstand zwischen der Ebene E und dem Berührpunkt S der beiden

Kegelhälften, so vergrößert beziehungsweise verkleinert man den

Kegelschnitt (Abb 1).

,,Diese Kurven haben in Naturwissenschaft und Technik eine große

Bedeutung. Sie treten beispielsweise als Bilder eines Kreises bei einer

Zentralprojektion, als Querschnitte von Reflektoren und als Bahnkurven von

Himmelskörpern auf." [2; Seite: 181]

HINWEIS: Der Fall, daß die Schnittebene E durch den Punkt S geht, wird bei

folgenden Überlegungen ausgeschlossen, da als Schnittfigur entweder ein

Punkt oder eine bzw. zwei sich schneidende Gerade(n) entstehen.

Abb. 1 - Drei verschiedene Kegelschnitte [nach 1; Seite: 181]

Die senkrechte Projektion der Kegelachse auf die Ebene E ergibt die Gerade

e, die Schnittpunkte dieser Geraden mit dem Mantel nennt man A1 und

gegebenemfalls A3. Die Mantellinien m1 und m2 sind die Verbindungen

dieser Punkte mit S (Abb. 2). Schneidet e den Mantel nur einmal, ist m2 eine

Gerade aus dem Kegelmantel, die echt parallel zu e ist.

(Siehe Abb. 2 - Fall 1)

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- 4 -

A.2. Die Dandelinischen Kugeln

Nun existieren ein oder zwei Kugeln, die sowohl den Kegelmantel von Innen,

als auch die Ebene E berühren. Diese Kugeln nennt man die Dandelinischen

Kugeln1. Betrachtet man die Kugel(n) hinsichtlich ihrer Lage gegenüber der

Schnittebene und des Punktes S, kann man 3 Fälle unterscheiden (Abb. 2).

Abb. 2 - Schnitt an einer Ebene aufgespannt durch e, m1

Fall 1 tritt ein wenn =. Hierbei schneidet die Ebene nur einen Doppel-

kegel, da sie parallel zu einer Mantellinie m2 verläuft ( und sind die Z-

Winkel an den parallelen Geraden m2 und e).Es existiert nur eine

Dandelinische Kugel. Genauere Untersuchungen zeigen, daß es sich bei

der Schnittfigur um eine Parabel handelt.

Fall 2 ergibt sich, wenn >. Die Ebene schneidet aus ersichtlichen Gründen

beide Kegelhälften. e schneidet m1 und m2 je einmal auf verschiedenen

Kegelhälften. Es existieren zwei Dandelinische Kugeln, je eine auf jedem

Einfachkegel. Nun kann man zeigen, daß es sich bei dem Kegelschnitt

um eine Hyperbel handelt.

Fall 3 tritt auf, wenn <. e schneidet m1 und m2 auf einer Seite des

Doppelkegels. Daraus folgt unmittelbar, daß der daraus resultierende

Kegelschnitt eine ,,kreisähnliche", in sich geschlossene Figur sein muss.

1"Nach dem belgischen Festungsbaumeister und Mathematiker PIERRE GERMINAL DANDELIN,

1794-1847" [2, Seite: 182]

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- 5 -

Wie man auf der Skizze erkennt, gibt es zwei Dandelinische Kugeln auf

einer Seite des Einfachkegels, die die Ebene von beiden Seiten

berühren. ( A.3.)

A.3. Die Ellipse als Kegelschnitt

Betrachtet man oben aufgeführten 3.Fall, liegt die Vermutung nahe, daß es

sich bei dem Kegelschnitt um eine Ellipse handelt. Dies werde ich im

folgenden nachweisen.

Die Berührpunkte der Kugeln mit der Ebene heissen F1 und F2. P ist ein

beliebiger Punkt des Kegelschnitts. Die Berührpunkte von [SP

mit den zwei

Dandelinischen Kugeln sind B1 und B2. Nun gilt:

PF1 = PB1 (sich schneidende Tangentenabschnitte)

PF2 = PB2 ( " " )

PF1+ PF2 = PB1+ PB2 = B B

1 2 [vergleiche hierzu 2,182]

Da B B

1 2 bei einem beliebigen Punkt P immer konstant ist, ist die Summe der

Abstände aller Punkte des Kegelschnitts zu F1 und F2 konstant. Dies ist die

Definitionseigenschaft einer Ellipse.

Abb. 3 - Die Dandelinischen Kugeln [nach 2, Seite:182]

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B. Konstruktionsaufgaben

B.1. Bezeichner

Symbolik:

Kreis um M mit dem Radius r

K(M;r)

Lot von P auf die Gerade g (kann über P und g hinausgehen: L(P,g)

Abstand eines Punktes P von einer Geraden g:

d(P,g)

Parallelstreckung mit Achse a, Richtung r, Faktor k:

(a,r,k)

Es gilt: Geradentreue, Flächenverhältnistreue, Parallelentreue

Punkte die auf der Achse a liegen sind Fixpunkte.

Steht a senkrecht auf r, so spricht man von einer eulerschen Affinität.

Parallelstreckung einer Punktmenge P mit der Achse a, der Richtung r

und

dem

Faktor

k: P′=(a,r,k)(P)

Umkehrung einer Parallelstreckung

-1

Bezeichner werden wie folgt verwendet:

Abb. 4: Bezeichner

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- 7 -

Hinweise zu Abb. 4:

· a und b sind die beiden Halbachsen der Ellipse

· ein Kreis um A2 mit dem Radius a schneidet die x-Achse in F1 und F2

· MF1 = MF2 = e

· K1 ist ein Kreis um M mit dem Radius a

· K2 ist ein Kreis um M mit dem Radius b

· eine Tangente schneidet die x-Achse in S und die y-Achse in T

· t0=MT ; s=MS.

Grundkonstruktionen:

Es werden folgende Grundkonstruktionen als bekannt vorausgesetzt:

· Parallele zu Gerade durch Punkt;

· Lot durch Punkt auf Gerade

· Mittelsenkrechte zwischen zwei Punkten

· Mittelpunkt einer Strecke

Des weiteren wird vorausgesetzt, daß bei bekanntem a - A1,A3 und K1

nicht eigens konstruiert werden müssen und umgekehrt. Dasselbe gilt für

b,A2,A4,K2 und e,F1,F2

B.2. Einfache Aufgaben

B.2.1. Aufgabe 1

Gegeben: a=6; b=4

Gesucht: Punkte P1, P2, ...; F1, F2

F1 und F2

: Die Brennpunkte F1 und

F2 erhält man durch den Schnitt

von K(A2;r=a) und der x-Achse

P1

wird durch die ,,große" Papier-

streifenkonstruktion konstruiert.

[nach 1; Seite: 30]

1.

K(H1

x-Achse; r=a+b)

schneidet die y-Achse in H2

Abb. 5 Aufgabe 1

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- 8 -

2. K(H1, r=b) schneidet

[H1H2] in P1

P2

erhält man durch die ,,kleine" Papierstreifenkonstruktion. [nach 1, Seite 30]

1.

K(H3

y-Achse; r=a-b) schneidet die x-Achse in H4

2. K(H3, r=(a-b)+b=a) schneidet [H3H4 in P2

P3

: Konstruktion nach der ,,Gärtnermethode". [nach 1, Seite 30]

Nutzt die Eigenschaft, daß PF1+ PF2 = a

2

1. [H5H6] ist eine beliebige Strecke der Länge 2a

2.

T

[H5H6]

3. K(F1, r=H5TH5T) schneidet K(F2, r=H6T) in P3

P4:

Der Konstruktionsmechanismus von P4 ist eine direkte Folge der

Parameterdarstellung der Ellipse. Jeder Punkt P(x/y) der Ellipse ist auf

folgende Art darstellbar: x= a cos(w) ; y= b sin(w) (Siehe Abb. 4).

w ist der Winkel eines beliebigen Strahls von M aus, der K1 in H7 und

K2 in H8 schneidet. Die Parallelen zur x-Achse durch H8 und zur y-

Achse durch H7 treffen sich in P4. Da die x-Koordinate des Punktes P

nun gleich a cos(t) und die y-Koordinate gleich b sin(t) ist, muß der Punkt

auf der Ellipse liegen.

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B.2.2. Aufgabe 2

Gegeben: a=4; b=7

Gesucht: Einige Punkte; F1,F2; Kr1,Kr2

P1

: Konstruktion durch die Parameter-

konstruktion wie in Aufgabe 1

1. [M, H1 K1] schneidet K2 in H2

2. l(H1, x-Achse) schneidet l(H2, y-Achse)

in P1

P2,P3,P4:

Eine einfache Möglichkeit, die

Anzahl der konstruierten Punkte zu vervier-

fachen, bieten die Symmetrieeigenschaften

der Ellipse. Da die Ellipse in sich zu M Abb.6: Aufgabe 2 - P1-4; F1,F2

Punkt- und zu der X- und Y-Achse Achsen- symmetrisch ist, kann man

durch Kongruenzabbildungen einen Punkt auf 3 neue Punkte abbilden.

1. L(P1, y-Achse) schneidet K(M; r=MP1) in P3

2. L(P1, x-Achse) schneidet K(M; r=MP1) in P2

3. [P1M schneidet K(M, MP1) in P4

F1, F2:

Da a kleiner als b, liegen die Brennpunkte auf der y-Achse. Man

erhält sie, indem man diese Achse mit K(A1; r=b) schneidet.

Kr1, Kr2, Kr3, Kr4

(Abb. 7) sind die Mittelpunkte der sogenannten

,,Krümmungskreise". Diese Kreise helfen, schnell ein brauchbares Bild

der Ellipse zu erhalten. Konstruktion: [nach 1, Seite: 31/32]

H3 ist der Schnittpunkt von L(A1,x) und L(A2,y)

H4 ist der Schnittpunkt von L(A3,x) und L(A2,y)

H5 ist der Schnittpunkt von L(A1,x) und L(A4,y)

H6 ist der Schnittpunkt von L(A3,x) und L(A4,y)

Das Lot von H6 auf [H4H5] schneidet die x-Achse in Kr1 und die y-Achse in

Kr2. Das Lot von H3 auf [H4H5] schneidet die x-Achse in Kr3 und die y-

Achse in Kr4

Die Krümmungskreise sind nun

K(Kr1,r = Kr1 A3), K(Kr2,r = Kr2 A4), K(Kr3,r = Kr3 A1), K(Kr4,r = Kr4 A2)

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- 10 -

Abb. 7 - Aufgabe 2 - Krümmungskreise Abb. 8 - Aufgabe 3

B.2.3. Aufgabe 3

Gegeben: a=5; P(3/2)

Gesucht: b; F1,F2

b

erhält man durch die Umkehrung der in Aufgabe 1 verwendeten Methode

zur Konstruktion von P4 durch Parameterdarstellung der Ellipse.

1. H1 ist der Schnittpunkt von L(P,x) und K1(M,r=a=5)

2. H2 ist der Schnittpunkt von L(P,y) und [H1,M]

3. [MH2] ist der Radius des von K2 a = MH2

F1, F2

sind die Schnittpunkte von K(A2,a) und der x-Achse, da b²+e²=a²

B.2.4. Aufgabe 4

Gegeben: b=4 ; P(4/3)

Gesucht: a

a

: Auf ähnliche Art, wie man bei Aufgabe 3 ,,b"

erhalten hat, konstruiert man nun ,,a"

Abb. 9 - Aufgabe 9

1. L(P, y-Achse) schneidet K(M; r=b) in H1

2. [MH1 schneidet l(P, x-Achse) in H2

3. [MH2] ist der Radius des Kreises K1 a = MH2

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B.3. Konstruktionen mit der ,,Eulerschen Affinität"

B.3.1. Die Ellipse als affines Abbild des Kreises

[vergleiche hierzu 2; Seite 193]

Ein Kreis mit der Gleichung

x² + y² = a²

mit a>b kann als das Bild einer Ellipse mit der Gleichung

x²

y²

+

= 1

a²

b²

bei orthogonaler Parallelstreckung (eulerschen Affinität) an der x-Achse mit

dem Faktor a aufgefaßt werden. Denn setzt man

b

x′=x, y′= a y,

b

dann geht die Ellipsengleichung in die Kreisgleichung über

Der Kreis K1 ist also durch eine affine Parallelstreckung (x,y, a ) der Ellipse

b

in Richtung der y-Achse im Verhältnis a entstanden. Da x und y aufeinander

b

senkrecht stehen, handelt es sich hierbei um eine ,,eulersche Affinität"

zwischen Kreis und Ellipse

Hinweis: Um eine Strecke c mit dem Faktor a zu

b

strecken, geht man folgendermaßen vor (Abb. 11):

An einem Ende der Strecke c wird unter einem

beliebigen Winkel eine Hilfsgerade h angetragen. An

diese trägt man nun von dem Schnittpunkt S

ausgehend die Strecken a und b an. Die Parallele zu

AC durch B schneidet [SC in C′. Die Dreiecke ASC

Abb. 10

und BSC′ sind ähnlich, deshalb gilt:

a

c

= ′ c′= a c (Strahlensatz).

b

c

b

Diese Einzelschritte einer solchen Streckung oder einer Parallel-

streckung eines Punktes (z.B. P′ = (x,y, a )(P) ) werden im weiteren Text

b

nicht mehr einzeln explizit aufgeführt, um die Übersichtlichkeit zu

verbessern.

---

- 12 -

B.3.2. Aufgabe 14

Gegeben: P(3/2.4); a:b = 5:4

Gesucht: a und b

P′ erhält man durch Parallelstreckung des

Punktes P an der y-Achse im Verhältnis 5:4.

(P′= (x,y, a )(P) )

b

Abb. 11 - Aufgabe 14

a: Dieser Punkt P′ muß nun auf dem Kreis

K1(M;r=a) liegen. [MP′] ist der Radius des Kreises K1 a=MP′

b: l(P;PP′) schneidet MP′ in H.

[MH] ist der Radius des Kreises K2 b=MH

B.3.3. Ellipsen und Tangenten

t ist nun die Tangente an eine Ellipse durch

den Ellipsenpunkt B(xE,yE). t′ ist die

Tangente an den Kreis K1(M;r=a) mit dem

Berührpunkt B′(xK1=xE,yK1). (B und B′

liegen also auf der selben Parallele zur y-

Achse)

Abb. 12 - Ellipse + Tangente

Zu beweisen ist nun, daß auch t durch (x,y, a ) in t′ übergeht.

b

Da zwei Geraden durch zwei Punkte eindeutig definiert sind und B durch

(x,y, a ) in B′ übergeht (vergl. B.3.1.), genügt es zu beweisen, daß sich t und

b

t′ auf der x-Achse im Fixpunkt S (bezüglich ) schneiden.

Beweis:

Tangentengleichung Kreis durch Punkt B′(x , y ) :

K1

K1

x x + y y

0

1

- a² = (I) [nach 1; Seite: 15]

K1

K

Tangentengleichung Ellipse durch Punkt B(x , y ) :

E

E

x x

a

+ ² y y

²

- a² = 0 (II) [nach 1; Seite: 33]

E

b

E

( )

I = (I )

I x x

K1

+ y y

1

- a²

a²

= x x

E

+ y y - a²

K

b²

E

a²

x x

K1

+ y y

1

= x x

E

+ y y

K

b²

E

---

- 13 -

Es gilt: x =

;

x

a

y

1

= y

E

K

K1

b

E

x x

a

+ y y = x x a

+ ² y y

E

b

E

E

b²

E

y y

a

= y y y = 0

E

b

E

y in (I): x x + y 0

²

0

1

- a =

K1

K

a²

x =

S

( a²

/ 0)

x

q. e. d.

t t′

=x

K1

E

xK1

Aufgrund dieser Eigenschaft der Ellipse ergibt sich eine sehr effiziente

Möglichkeit Tangenten an Ellipsen zu konstruieren. (Siehe Aufg. 8)

B.3.4. Aufgabe 8

Gegeben: a=3; b=2; P(7/6)

Gesucht: Tangente von P an die Ellipse

Alle vorgegebenen Elemente,

also der Punkt P(7/6) und die

noch nicht konstruierte Ellipse

werden im Verhältnis a in

b

Richtung y-Achse gestreckt. Der

Punkt P geht über in den Punkt

P′(6/ a 7). Das Bild der Ellipse

b

ergibt, wie in B.3.1. bewiesen,

Abb. 13 - Aufgabe 8

den Kreis K1(M, r=a=3).

Da die gesuchte Tangente t durch den Punkt P geht, verläuft auch die

Bildtangente t′ an K1 durch den Punkt P′ (B:3.3.). Mit Hilfe des Thaleskreises

über [MP′] konstruiert man die Tangente t′.

T′ schneidet die x-Achse in S. S ist ein Fixpunkt bezüglich der oben

vollzogenen Streckung; deshalb ist SP die Tangente von P an die Ellipse.

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- 14 -

B.3.5. Aufgabe 6

Gegeben: a=5; b=3; Geraden x=3; y=1,5; 3x-5y-3=0

Gesucht: Schnittpunkte mit den Geraden

Hinweis: Die Konstruktion der vorgegebenen Geraden wird hier nicht explizit

geschildert.

Schnittpunkt mit x=3: (Abb. 14)

Da der Kreis K1 durch eine Streckung der

Ellipse in y-Richtung hervorgegangen ist,

schneidet die senkrechte Gerade g: x=3

K1 mit dem selben Abstand zur y-Achse

wie die Ellipse.

Man konstruiert den Punkt unter Zuhilfe-

nahme der Parameterdarstellung der

Ellipse.

Abb.14 - Aufg.6 - x=3

(siehe B.2.1. - P4)

g schneidet K1 in H1.

[MH1 schneidet K1 in H2.

S1 ist der Fußpunkt des Lotes von H2 auf g

S2 erhält man analog, wobei man für H1 den anderen Schnittpunkt von

K1 und g verwendet

Schnittpunkt mit y=1,5:(Abb. 15)

Da der Kreis K2 durch eine Stauchung

der Ellipse in x-Richtung entstanden ist,

schneidet die waagrechte Gerade g:

y=1,5 K2 mit dem selben Abstand zur x-

Achse wie die Ellipse.

Man konstruiert den Punkt unter Zuhilfe-

nahme der Parameterdarstellung der

Ellipse.

Abb.15 - Aufg.6 - y=1,5

g schneidet K2 in H1

[MH1 schneidet K2 in H2.

S1 ist der Fußpunkt des Lotes von H2 auf g

---

- 15 -

S2 erhält man auch hier analog, wobei man für H1 den anderen

Schnittpunkt von K2 und g verwendet.

Schnittpunkt mit 3x-5y-3=0 (Abb. 16)

Unmittelbar aus B.3.1. und der

Geradentreue der Parallelstreckung folgt,

daß der Schnittpunkt einer Ellipse mit einer

Geraden die selbe x-Koordinate wie der

Schnittpunkt der Bildgerade mit dem Bild der

Ellipse, also dem Kreis K1 hat.

g′=(x,y, a )(g). Diese erhält man, indem man

b

einen beliebigen Punkt der Gerade durch Abb.16 - Aufg.6 - 3x-5y-3=0

in P′ überführt und mit dem

Schnittpunkt von g mit der x-Achse (Fixpunkt bezüglich ) verbindet.

Die Schnittpunkte S1′ und S2′ der Gerade g′ mit K1 müssen nun den selben

Abstand zur y-Achse haben wie S1 und S2.

Fällt man nun die Lote von S1 und S2 auf die x-Achse, so schneiden diese

die Gerade g in S1 und S2. Da diese gleichzeitig auf der Ellipse liegen,

handelt es sich hierbei um die gesuchten Schnittpunkte.

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- 16 -

B.3.6. Aufgabe 7

Gegeben: a=6; b=4; Gerade g: y=0,3x

Gesucht: Tangente parallel zu g

Die Bildtangente t′=(x,y, a )(t) an K1 ist parallel zu g′=(x,y, a )(g)

b

b

(Parallelentreue der eulerschen Affinität).

g′: =(x,y, a )(g) (Konstruktion wie in B.3.5.)

b

t′ Das Lot l(M;g′) schneidet K1 in B.

Die Parallele zu g′ durch B ist nun die Bildtangente t′, die durch -1 in die

gesuchte Tangene t übergeht.

S ist der Schnittpunkt von t′ mit der x-Achse. (Fixpunkt gegenüber ).

t ist die Parallele zu g durch S

Abb: 17 - Aufgabe 7

B.3.7. Aufgabe 12

Gegeben: a=5; b=3

Gesucht: In die Ellipse ist ein Quadrat einzubeschreiben

Aus den Symmetrieeigenschaften der Ellipse ergibt sich, daß das gesuchte

Quadrat zu M punktsymmetrisch und damit dessen Kanten zu x und y-Achse

parallel sein müssen.

Die Ecken aller Quadrate mit diesen Eigenschaften ,,laufen" auf der Funktion

y=±x. Findet man einen Schnittpunkt eines Astes dieser Funktion mit der

Ellipse, kann man durch Achsen und Punktspiegelungen die anderen

Eckpunkte des Quadrats ermitteln.

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g: y=x

g′: =(x,y, a )(g)

b

(Konstruktion wie in B.3.5.)

H ist der Schnittpunkt von K1 und g′.

g′ schneidet nun K1 mit dem selben

Abstand zur y-Achse wie die Gerade g

die Ellipse.

P1 ist der Schnittpunkt von

l(H,x-Achse) und g.

Die Punkte P2 und P4 erhält man als Abb 18 - Aufgabe 12

Achsenspiegelungen von P1 an X und Y-Achse, P3 ist das

Punktspiegelbild von P1 am Zentrum M

Diese Punkte liegen auf der Ellipse (Symmetrieeigenschaft der Ellipse) und

haben von X und Y-Achse gleichen Abstand. Deshalb ist das Viereck

P1P2P3P4 ein Quadrat, dessen Eckpunkte auf der Ellipse liegen.

B.3.8. Aufgabe 13

Gegeben: a=5; b=3

Gesucht: In die Ellipse ist ein Rechteck einzubeschreiben,

dessen Seiten sich wie 2:1 verhalten

Auch hier ergibt sich aus den Symmetrieeigenschaften der Ellipse, daß das

gesuchte Rechteck zu M punktsymmetrisch und dessen Kanten zu x und y-

Achse parallel sein müssen.

Die Ecken aller Rechtecke mit

diesen Eigenschaften, dessen

Seiten sich zudem wie 2:1 verhalten,

,,laufen" zum Beispiel auf der

Funktionen y=±½x.

Die Konstruktion der Schnittpunkte

dieser Funktion mit der Ellipse

verläuft völlig analog zu der

Abb. 19 - Aufgabe 13

Konstruktion von Aufgabe

12

(B.3.7.), natürlich mit veränderter Gerade g=½x.

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- 18 -

B.3.9. Aufgabe 16

Gegeben: a:b = 3:2; Tangente t: y=- 2 x+4

3

Gesucht: a und b; Berührpunkt B

Da das Verhältnis a:b bekannt ist, kann man

leicht die Bildgerade g′=(x,y, a )(g)

b

ermitteln.

t′:=(x,y, a )(t)

b

Abb. 20 - Aufgabe 16

(vergleiche B.3.5. - Konstruktion von g′)

B′ ist Berührpunkt dieser Gerade mit dem Kreis K1. ( Winkel SB′M=90°)

B′:DerThaleskreis über [MS] schneidet g′ in B′

Nach B.3.3. muß dieser Punkt den gleichen Abstand zur y-Achse haben wie B

B: l(B′; x-Achse) schneidet die Tangente t in B

a: [MB′] ist der Radius von K1, deshallb ist a = MB′

b: l(B; y-Achse) schneidet [MB′] in H

[MH] ist der Radius von K2, deshalb ist b = MH

B.4. Konstruktionen mit der Relation b²=t0*y und a²=s*x

B.4.1. Herleitung

Der obere Ast einer Ellipse hat in dem Ellipsenpunkt P(x0/y0) die Steigung

b²x

f′(x )

0

= -

0

a²y0

d.h. auch alle Tangenten zu der Ellipse durch diesen Punkt haben die

Steigung:

b²x

m = -

0

t

a²y 0

Um den x-Abschnitt t der Tangente zu erhalten, setze ich mt in y=mx+t0 ein:

y = mx + t0

b²x

y = -

0 x + t

a²y

0

0

Löst man die Ellipsengleichung nach x auf so erhält man x

a

=

b² - y² . Will

b

man in obiger Gleichung t erhalten, so muß man einen Punkt, durch den die

---

- 19 -

Tangente verläuft, einsetzen. Setzt man nun also x=x

2

0= a

b² - y und y=y

b

0

0

so erhält man:

b²x

t = y

0

+

x

0

a²y0

b a²

2

² ² (b² -

)

b

y

t = y

0

+

0

0

a²y0

(b² - y2 )

t = y

0

+

0

0

y0

b²

t = y +

- y

0

0

y

0

0

b

t = ²

0

y

In B.3.3. haben wir bewiesen, daß die obige

Tangente die x-Achse in S( a² /0) schneidet. Somit

x0

a²

ist s = MS =

x0

Abb 21 - geometrische

Veranschaulichung

B.4.2. Aufgabe 9

Gegeben: a=6; Tangente y= 1 x-5

2

Gesucht: b; Berührpunkt B

a²

a

Es gilt: s =

x = a

x

0

s

0

Man erhält also den x-Abstand des

Berührpunktes indem man a im

Verhältnis a staucht.

s

x0: An einer Hilfsgerade h (x-Achse), die

durch M verläuft, wird s und a

angetragen.

Die Parallele zu A1S′ durch A1′

schneidet die x-Achse in H1.

Abb 22 - Aufgabe 9

Nach dem Strahlensatz ist

x = a a =

1 (vergleiche B.3.1. - Hinweis)

0

s

MH

P: Das Lot von H1 auf die x-Achse schneidet t in B.

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- 20 -

b: [H1B schneidet K1 in H2.

l(B; y-Achse) schneidet [MH2] in H3

[MH3] ist der Radius des Kreises K2, b = MH3 .

B.4.3. Aufgabe 10

Gegeben: b=4; Tangente:

y = - 16

20

15 x + 3

Gesucht: a; Berührpunkt B

b²

b

Es gilt: t =

y

0 = b

0

y

t

0

0

Man erhält also den y-Abstand des

Berührpunktes, indem man b im

Abb. 24 - Aufgabe 10

Verhältnis b staucht (vergl. Aufgabe 9 -B.4.2.).

t0

y0 An einer Hilfsgerade h(y-Achse), die durch M verläuft, wird t0 und b

angetragen.

Die Parallele zu A2T′ durch A2′ schneidet die y-Achse in H1.

Nach dem Strahlensatz in b b = MH1 = y

t0

0

B: Das Lot von H1 auf die y-Achse schneidet t in B

a: [H1B schneidet K2 in H2.

l(B; x-Achse) schneidet [MH2 in H3

[MH3] ist der Radius des Kreises K1, a = MH3

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- 21 -

B.4.4. Aufgabe 11

Gegeben: Tangente x+2y-12=0; B(4;4) Tangente

Gesucht: a und b

a²

Es gilt: s =

a = s x

x

0

0

Hilfskonstruktion: Halbkreis über einer Strecke der Länge x+s

Die Randpunkte dieser Strecke heißen X0′ und S′

M′ teilt [X0′ S′] daß M′S′ = s

Das Lot auf [X0′ S′] durch M′ schneidet den Halbkreis in A1′.

Das Dreeick X0′ S′ A1′ ist nach dem Satz über den Thaleskreis rechtwinklig,

2

so daß nun nach dem Höhensatz gilt: A1M

′ ′ = x s

A1M

′ ′ = x s = a

0

0

Der Kreis K1(M; r=a) schneidet l(B; x-Achse) in H1

l(B; y-Achse) schneidet [MH1] in H2

[MH2] ist der Radius des Kreies K2 b = MH2

Abb. 24 - Aufgabe 11

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- 22 -

B.5. Konstruktion mit der Reflexionseigenschaft der Ellipse

B.5.1. Nachweis

Abb 25 - Reflexionseigenschaft der Ellipse

Behauptung: In jedem Ellipsenpunkt B wird der Winkel F1BF2 von der

Ellipsennormalen n halbiert.

Beweis: (nach 2, Seite: 197/198)

Die Ellipsennormale in B ist die zur Ellipsentangente in B orthogonale

Gerade. Die Strecke [F1B] wird über B hinaus bis zum Punkt F2′ so

verlängert, daß gilt F F

1 2′ = 2a. Die Winkelhalbierende t von Winkel

F2BF2′ ist auch die Mittelsenkrechte von F2F2′, denn das Dreieck F2BF2′

ist gleichschenklig. Die Gerade t enthält außer B keinen weiteren

Ellipsenpunkt, denn für Qt mit QB gilt aufgrund der Dreiecks-

ungleichung: QF1+ QF2 = QF1+ QF2′ > BF1+ BF2′ = 2a.

Daher ist t die Ellipsentangente in B. Sie halbiert den Winkel F2BF2′, also

halbiert die Normale n in B auch den Winkel F1BF2. q.e.d.

Als Anwendung dieser Eigenschaft ergibt sich, daß ein von F1 ausgehender

Strahl an der Ellipse so reflektiert wird, daß er durch F2 ,,weiterläuft".

,,Diese Eigenschaft erklärt auch die Bezeichnung ,,Brennpunkt" für F1 bzw.

F2; denn gehen bei einem elliptischen Spiegel von einem der Brennpunkte

Licht oder Wärmestrahlen aus, so vereinigen sich diese nach der Reflexion

in dem anderen Brennpunkt." [3, Seite: 178]

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- 23 -

B.5.2. Aufgabe 15

Gegeben: F2, Tangente

Gesucht: a und b

F1

: erhält man indem man F2 an der y-Achse spiegelt

F1′

erhält man indem man F1 an der Tangente spiegelt

K(F1,r=beliebig) schneidet t in H1 und H2

K(H1,r) schneidet K(H2,r) in F1 und F2′

B

liegt auf [F2,F1′] und der Tangente

Nun gilt:

F1BH1=F1′BH1

(Winkeltreue der Achsenspiegelung)

F2BH2=F1′BH1

(Scheitelwinkel)

F1BH1=F2BH2

d.h. der Punkt B liegt auf der Ellipse mit den Brennpunkten F1 und F2, deren

Tangente im Punkt B gleich t ist.

a:

Da F B

1 + F B

2 = a

2 gilt (Definition der Ellipse) und F B

1 = F1B

′ (Längentreue

der Achsenspiegelung) gilt 2a = 1

F B + F2B = 1

F B

′ + BF2 = F2 1

F ′.

Wenn

T

der MittelPunkt von [F2F1′] ist, so ist F2T = a.

b

= a² - e² Konstruktion nach Satz des Pytagoras am rechten Winkel

F2MA4

Abb. 26 - Aufgabe 15

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- 24 -

B.5.3. Aufgabe 5

Gegeben: a=5; e=3

Gesucht: b; Tangente in PE

F1,F2

: K(M;r=e) schneidet die x-Achse

in F1 und F2.

b

:

K(F1;r=a) schneidet y-Achse in A2.

MA2 = b da: A2MF1=90° und

a²=e²+b² (Pythagoras)

Abb. 27 - Aufgabe 5

[A3′A1′] ist eine beliebige Strecke der

Länge 2a

T ein beliebiger Punkt innerhalb von [A3′A1′]

P

liegt auf dem Schnittpunkt von K(F2;r=A3′T) und K(F1; r=A1′T )

(Gärtnerkonstruktion)

Verlängert man [F1P] um PF2 erhält man als neuen Endpunkt F2′

t ist das Lot von P auf [F2;F2′]

H1 liegt auf t und x-Achse

H2 liegt auf t und y-Achse

Es gilt:

F2′PH1= F P

2 H1 (gleichschenkliges Dreieck PF2F2′ und t[F2F2′)]

F1PH2 = F2′PH1 (Scheitelwinkel)

F P

2 H1 = F1PH2 t ist die Tangente durch P an die Ellipse.

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- 25 -

C. Literaturverzeichnis

[1]

Demmig, Richard, Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel,

Nauheim: Demmig, 31977

[2]

Scheid, Harald, Elemente der Geometrie,

Heidelberg, Berlin, Oxford: Spektrum, Akad. Verl., 21996

[3]

Kroll, Wolfgang, Lehr und Arbeitsbuch: Differentialrechnung 2,

Bonn: Dümmler, 1986

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