Die Eignung der Sharpe Ratio zur Beurteilung von Investments


Diplomarbeit, 2008

87 Seiten, Note: 1,7


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Anhangsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

1 Problemstellung

2 Die Sharpe Ratio und ihre Bestandteile

3 Probleme der Sharpe Ratio
3.1 Konzeptionelle Probleme
3.1.1 Die Variablen als mögliche Fehlerquellen
3.1.1.1 Verteilungs- und Nutzenfunktionsanforderungen
3.1.1.2 Die Varianz als Risikomaß und Diversifikationseffekte
3.1.1.3 Die Überschussrendite
3.1.2 Die Marktphasenabhängigkeit als mögliche Fehlerquelle
3.2 Die Manipulierbarkeit der Sharpe Ratio
3.2.1 Strategien zur Manipulation der Sharpe Ratio
3.2.1.1 Manipulation mithilfe von Swaps
3.2.1.2 Manipulation mithilfe von Optionen
3.2.2 Manipulationsgestützte Maximierung der Sharpe Ratio
3.2.2.1 Allgemeines Maximierungsproblem
3.2.2.2 Optionsgestützte Maximierung der Sharpe Ratio

4 Alternativen zur Sharpe Ratio
4.1 Manipulationssichere Erweiterungen der Sharpe Ratio
4.2 Die Eignung klassischer Perfomancemaße

5 Fazit

Anhang

Literaturverzeichnis

Meiner Mutter

Ich danke ganz besonders dem Finanzierungslehrstuhl der Universität zu Köln für das Ermöglichen dieser Diplomarbeit und die sehr freundliche Unterstützung.

Des Weiteren danke ich meiner Betreuerin Kerstin Drachter für die Mithilfe bei der Ausarbeitung dieses sehr spannenden Themas und für die sehr gute und engagierte Betreuung.

Ich danke Herrn Jan-Carl Plagge, Index Development, Deutsche Börse AG Frankfurt a. M. für die besonders freundliche Einladung zu einem persönlichen Interview, alle damit verbundenen Informationsbereitstellungen und alle hierfür in Kauf genommenen Umstände.

Ich danke vielmals Christin Müller für die sehr herzliche Unterstützung während der gesamten Ausarbeitung der Diplomarbeit.

Ich danke Christian Atanassov und Jonas Nahry für die freundliche Unterstützung während der gesamten Ausarbeitung der Diplomarbeit.

Anhangsverzeichnis

Anhang 1: Zugrundeliegende Daten und Rechenschritte zur DAX-Untersuchung

Anhang 2: Berechnung von Schiefe, Wölbung und Jarque-Bera-Test

Anhang 3: Beweis der Manipulierbarkeit der Sharpe Ratio des DAXplus SR

Anhang 4: Berechnung der Sharpe Ratio bei dynamischer Maximierung

Anhang 5: Grafische Erläuterung der Manipulationstechnik

Anhang 6: Widersprüchliche Anlageempfehlungen der klassischen Performancemaße

Anhang 7: Interview mit dem Index Developer der Deutsche Börse AG

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Grafische Darstellung der Sharpe Ratio

Abbildung 2: Vergleich von schiefer, gewölbter und normaler Verteilung

Abbildung 3: Reduktion unsystematischer Risiken durch Diversifikation

Abbildung 4: Histogramme stetiger und diskreter E.ON-Renditen in EViews

Abbildung 5: Vergleich Umlaufsrenditen öffentl. Anleihen mit EURIBOR

Abbildung 6: Sharpe Ratios normaler (links) und Baisse-Phasen (rechts)

Abbildung 7: Wahrscheinlichkeiten für Überschussrenditen in Baisse-Phasen

Abbildung 8: Vorteilhaftigkeit höherer Sharpe Ratios in Baisse-Phasen

Abbildung 9: Unvorteilhaftigkeit durch Zinsanstieg

Abbildung 10: Trade-off zwischen Varianz- und Renditeeffekt

Abbildung 11: Manipulationsgrad in Abhängigkeit der Moneyness

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Sharpe Ratios von DAX und DAXplus SR

Tabelle 2: Portfolio-Sharpe Ratios mit DAX Russia

Tabelle 3: Gegenüberstellung der Probleme klassischer Performancemaße

Tabelle 4: DAX-Portfoliovergleich bei identischen Korrelationen

Tabelle 5: Formeln und Excel-Befehle zur Berechnung der Einzel- und Portfolio Sharpe Ratios

Tabelle 6: Rendite- und Varianzberechnungen am Beispiel des DAXplus SR

Tabelle 7: Kurse, Renditen und Sharpe Ratio des DAXplus SR

Tabelle 8: Unterschiedliche Rankings nach Sharpe-, Treynor- und Jensen-Maß

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zusätzliche Indizes

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Problemstellung

Bereits im Jahre 1966 veröffentlichte der Nobelpreisträger in Wirtschaftswissenschaften von 1990, William F. Sharpe, ein damals neues risikoadjustiertes Performancemaß, das er die Reward-to-Variability Ratio (später Sharpe Ratio) nannte.[1] Das Ziel der Erfindung der Sharpe Ratio war es, durch die gleichzeitige Berücksichtigung von Rendite und Risiko Investments einfacher miteinander vergleichen zu können. Die Sharpe Ratio musste dabei möglichst leicht berechenbar und kommunizierbar sein, um auch tatsächlich Anwendung in der Finanzwelt zu finden.

Da die Sharpe Ratio zu der Klasse der externen Performancemaße zählt, befasst sich die vorliegende Arbeit nicht mit internen Performanceindizien, wie z. B. der Vergütung der Fondsmanager, sondern mit den öffentlich zugänglichen Informationen des Invest- ments. Zu diesen Informationen zählen insbesondere die vergangene Rendite und das mit ihr verbundene Risiko. Da die Rendite durch das Eingehen hoher Risiken ebenso einfach zu steigern ist wie umgekehrt das Risiko zu senken ist, kann ein externes Per- formancemaß nur durch Berücksichtigung beider Faktor das Können eines Fondsmana- gers bewerten.

Seit einigen Jahren hat die Sharpe Ratio nicht zuletzt durch die Etablierung von Hedge- Fonds auch in Deutschland zunehmend an Popularität gewonnen.[2] Regelmäßig veröf- fentlichen Direktbanken und Internetfinanzportale, wie Finanztreff oder OnVista, die Sharpe Ratio verschiedener Anlagen und auch Tageszeitungen wie die Frankfurter All- gemeine Zeitung stellen regelmäßig ein Fondsranking auf Basis der Sharpe Ratio auf. Die den Privatanlegern nur bedingt zugänglichen[3] Hedge-Fonds veröffentlichen zudem in der Regel nicht ihre laufenden Werte, sondern lediglich die Sharpe Ratio als Gütekri- terium. Im Juni 2007 schuf die Deutsche Börse AG den neuen Performanceindex „DAXplus® Maximum Sharpe Ratio“ mit dem Ziel, bestimmte DAX-Unternehmungen auszuwählen und so zu gewichten, dass die Sharpe Ratio des Indexes maximal wird.[4]

Aufgrund der vermehrten Anwendung der Sharpe Ratio durch private und institutionelle Anleger gewinnt eine sorgfältige Analyse ihrer Eignung, Investitionsentscheidungen richtig zu treffen, immer mehr an Bedeutung.

Den Anlass der aktuellen Diskussion um die Frage nach der Eignung der Sharpe Ratio bieten neben ihrer wachsenden Popularität auch verschiedene kritische Arbeiten. So finden Goetzmann/Ingersoll/Spiegel/Welch (2007) diverse Möglichkeiten, insbesondere die Sharpe Ratio von Hedge-Fonds systematisch durch Derivateeinsatz zu manipulie- ren.[5] Eine empirische Untersuchung von Scholz/Wilkens (2006) hat ergeben, dass die Sharpe Ratio schlecht diversifizierter Fonds in Baisse-Phasen zu hoch beurteilt wird.[6] Aufgrund der noch sehr jungen praktischen Anwendung der Sharpe Ratio lassen sich bislang keine wissenschaftliche Beiträge finden, die einen Überblick über alle Defizite der Sharpe Ratio geben.

Das Ziel dieser Arbeit ist es, die Eignung der Sharpe Ratio als risikoadjustiertes Per- formancemaß kritisch zu hinterfragen. Hierzu werden wissenschaftliche Kritiken, öf- fentliche Kontroversen und vom Verfasser beobachtete Defizite theoretisch analysiert und teilweise empirisch geprüft. Zudem werden alle Probleme bezüglich ihrer prakti- schen Relevanz untersucht, indem jeweils die Perspektive eines Investors eingenommen wird. Jedoch ist das Ziel der vorliegenden Arbeit nicht, von der Anwendung der Sharpe Ratio oder anderer Performancemaße abzuraten, sondern lediglich Investoren und Ana- lysten im Umgang mit diesen Performancemaßen zu sensibilisieren.

Das folgende Kapitel bietet zunächst eine Einführung in die Sharpe Ratio und ihre Wur- zeln in der Portfoliotheorie, um die Basis für das Verständnis der in Kapitel 3 vorge- stellten Probleme zu schaffen. Das dritte Kapitel teilt sich dabei zum einen in die kon- zeptionellen Probleme der Sharpe Ratio und zum anderen in solche Probleme, die die Sharpe Ratio durch Manipulationen erzeugt. Zu den konzeptionellen Problemen zählen alle Verzerrungen der Sharpe Ratio aufgrund der Abweichung von ihrer Normalvertei- lungsannahme, aufgrund nicht berücksichtigter Diversifikationseffekte, aufgrund unter- schiedlicher oder fehlerhafter Bestimmung der Überschussrendite und aufgrund von negativen Marktentwicklungen (Baisse-Phasen). Als Manipulationsprobleme werden im zweiten Teil des dritten Kapitels zunächst Manipulationsstrategien mittels Derivate vor- gestellt und anschließend allgemeine Überlegungen zur systematischen Maximierung der Sharpe Ratio abgeleitet. Das vierte Kapitel zeigt im ersten Teil mögliche manipula- tionssichere Sharpe Ratios und kritisiert ihre praktische Anwendbarkeit. Im zweiten Teil werden die anderen klassischen Performancemaße der Sharpe Ratio kritisch gegenüber- gestellt und untersucht, ob sie die hier vorgestellten Probleme lösen können.

2 Die Sharpe Ratio und ihre Bestandteile

Die Sharpe Ratio misst die Rendite einer Anlage über dem risikolosen Zins (Überschussrendite) pro eingegangenes Risiko. Damit wird als Rendite nur die Entlohnung für das zusätzliche und freiwillig eingegangene Risiko berücksichtigt. Denn den Teil der Gesamtrendite, der dem risikolosen Zins entspricht, hätte der Investor auch ohne jedes Risiko durch eine Anlage in ein risikoloses Wertpapier erhalten können. Dadurch wird die Überschussrendite um das mit ihr verknüpfte Risiko bereinigt bzw. standardisiert und mit anderen Rendite-Risiko-Kombinationen vergleichbar gemacht. Die Grundformel der Sharpe Ratio bzw. ex post Sharpe Ratio lautet:[7]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

als Standardabweichung der Überschussrendite, jeweils der i-ten Anlage. Erst knapp drei Jahrzehnte später präsentierte Sharpe (1994) eine ex ante Sharpe Ratio, die sich nur dahingehend von der ex post Sharpe Ratio unterscheidet, dass sie erwartete Renditen und damit auch eine erwartete Standardabweichung statt tatsächlichen Parametern ver- wendet.[8]

Die Sharpe Ratio dient als ein Maß, um verschiedene Investments leichter miteinander vergleichen zu können. Die Beurteilung eines Investments ohne Vergleichsalternativen ist hingegen mit der Sharpe Ratio wesentlich schwieriger, da sie lediglich einer ordinalen Skalierung (Ranking) dient und deshalb nur das Vorzeichen der Sharpe Ratio eine Interpretation zulässt. Ist das Vorzeichen negativ, so bedeutet dies, dass die Anlage trotz eines Risikos nicht mehr als die risikolose Anlage erwirtschaften konnte.

Die Begriffe „Rendite“ und „Risiko“ scheinen auf den ersten Blick eindeutige Begriffe zu sein. Doch bei genauerer Betrachtung zeigt sich eine begriffliche Unschärfe, die als Nährboden für die immer noch andauernde Kontroverse über die richtige Wahl der relevanten Parameter dient.

Wenn man einen Fonds A mit einer durchschnittlichen Rendite von 15 % und einer Standardabweichung von 10 % sowie einen Fonds B entsprechend mit 17 % Rendite und der gleichen Standardabweichung annimmt, ist die zu treffende Anlagewahl simpel.

Die Wahl wird hierbei auf Fonds B fallen.[9] Doch sobald die Standardabweichung des Fonds A auf 8 % bei sonst identischen Werten fällt, ist die Entscheidung auf den ersten Blick nicht mehr schlüssig. Fonds B hat zwar noch immer eine höhere durchschnittliche Rendite, doch dafür auch ein höheres Risiko. Immer wenn die Rendite und zugleich das Risiko eines Fonds größer oder kleiner sind als jene einer Alternativanlage, ist ein Vergleich mithilfe der Sharpe Ratio sinnvoll. Bei einem risikolosen Zinssatz von 4 % erzielt Fonds A eine Sharpe Ratio von (15 %-4 %)/8 % = 1,375 und Fonds B eine Sharpe Ratio von (17 %-4 %)/10 % = 1,3. Nun ist Fonds A Fonds B vorzuziehen, da dieser pro Einheit Risiko mehr Überschussrendite erwirtschaftet.

Die Konzeption der Sharpe Ratio entspringt der Portfoliotheorie[10] von Harry M. Mar- kowitz (1952), die erstmals die Bildung optimaler Portfolios von der Rendite und der Standardabweichung abhängig machte. Beide Ansätze unterliegen der Annahme, dass ein risikoloses Wertpapier zum Zins [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] am Markt existiert. Risikolos bedeutet hier, dass die Varianz bzw. die Standardabweichung der Rendite der risikolosen Anlage null ist. Der Zusammenhang zwischen der Portfolioselektion nach Markowitz (1952) und dem Performancemaß nach Sharpe (1966) leitet sich wie folgt her:

Die erzielbare Rendite eines Anlegers, der in ein riskantes Portfolio r und eine risiko- lose Anlage[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] investiert, entspricht gerade den gewichteten Renditen seiner Anlagen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] , wobei r Ges i f die durchschnittliche Rendite des Gesamtportfolios ist und Ges w der in das riskante Portfolio investierte Anteil. Durch Umformung folgt aus (2):[11]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit der assoziierten Varianz der Gesamtrendite:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da per Annahme die Rendite der risikolosen Anlage keinem Ausfallrisiko unterliegt, ist ihre Varianz null und lediglich die riskante Anlage findet Einzug in die Varianz des Gesamtportfolios. Die quadratische Wurzel über alle Terme in Gleichung (4) führt zu:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten [12]. Der Anteil des riskanten Portfolios im Gesamtportfolio entspricht dem Verhältnis von Gesamtportfolio- zu Portfoliorisiko (der Investitionsan- teil in das riskante Wertpapier sinkt mit ihrer Abweichung voneinander). Wenn nun das Gewicht w aus (3) durch das Verhältnis der Risiken ersetzt wird, ergibt sich folgende Rendite-Risiko-Kombination:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die durchschnittliche Rendite des Gesamtportfolios besteht einerseits aus der Rendite der risikolosen Anlage [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Jedes zusätzlich eingegangene Risiko durch die Investition in das riskante Portfolio wird darüber hinaus durch die sogenannte [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten](V rGes ) multip- liziert mit dem (Markt-)Preis des Risikos (Sharpe Ratio). Die Sharpe Ratio ist deshalb der (Markt-)Preis des Risikos, da sie angibt, um wie viel Prozentpunkte die Rendite einer Anlage steigt, wenn das Risiko um einen Prozentpunkt erhöht wird.

In einer ex ante Betrachtung mit erwarteter riskanter Rendite E(r) und unter der Annahme, dass das riskante Portfolio aus optimal[13] gewichteten Wertpapieren des Marktes besteht (Marktportfolio), entspricht Gleichung (5) der Kapitalmarktlinie und ihre Steigung ist gerade die maximal erzielbare Sharpe Ratio.[14] Rechnerisch entspricht dieser Punkt einer Maximierungsfunktion der Sharpe Ratio. Das bedeutet, dass auf diesem Markt und unter der Annahme eines bestimmten risikolosen Zinses kein anderes Portfolio existiert, das eine höhere Rendite pro Einheit Risiko generiert.[15] Grafisch stellt sich die maximale Sharpe Ratio als steilste Verbindungslinie zwischen risikoloser Anlage und allen erreichbaren Portfolios dar (Vgl. Abbildung 1).

Wir haben nun anschaulich gesehen, dass es, gegeben einen fixen Zins für einen Markt, eine maximale Sharpe Ratio gibt. Diese ist gerade dort zu finden, wo die vergütete Ren- dite über dem risikolosen Zins je Einheit Risiko am größten wird bzw. wo die Kapital- marktlinie am steilsten verläuft. Unter der Annahme arbitragefreier Märkte gibt es dem- nach nur genau eine Portfoliostruktur, die die Sharpe Ratio maximiert.[16] Ceteris paribus sind auf diesem Markt keine höheren Sharpe Ratios aus Aktien generierbar.[17]

Abbildung 1: Grafische Darstellung der Sharpe Ratio

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: eigene Darstellung

Das Marktportfolio mag zwar für einen risikoneutralen Anleger optimal sein, doch risi- koaverse und risikofreudige Anleger sind hierbei noch nicht unmittelbar berücksichtigt. Je risikoaverser ein Anleger ist, desto stärker wird seine Portfoliogewichtung zugunsten der risikolosen Anlage ausfallen. Nur unter der Bedingung, dass ein Anleger tatsächlich einen Teil seines Vermögens in das risikolose Wertpapier investieren bzw. unbegrenzt einen Kredit zum risikolosen Zins erhalten kann, ist genau diese Wertpapiergewichtung innerhalb des Marktportfolios auch für andere Risikoneigungen optimal.[18] In diesem Falle wird die Struktur des Marktportfolios beibehalten und der Anleger entscheidet nur noch über die Aufteilung seines Vermögens in risikolose Anlage und Marktportfolio. Sein individuelles Gesamtportfolio liegt dann entweder auf der Kapitalmarktlinie zwi- schen der risikolosen Anlage und dem Marktportfolio oder rechts vom Marktportfolio, falls er über 100 % in das Marktportfolio (kreditfinanziert) investiert. Damit wird die Frage nach der Gewichtung der einzelnen Titel im Marktportfolio von der Frage der Risikoneigung separiert. Jeder Investor erhält demnach eine faire und proportionale Vergütung für das eingegangene Risiko und deshalb bleibt hier die Sharpe Ratio (da auf einer Gerade liegend) immer gleich.

Zusammenfassend sollte dieser kurze Exkurs in die Portfoliotheorie folgende Punkte verdeutlichen, die für das weitere Verständnis der Sharpe Ratio und der damit verbundenen Probleme wichtig sind:

1) die Sharpe Ratio setzt eine risikolose Anlagemöglichkeit voraus,
2) die Sharpe Ratio setzt arbitragefreie Märkte voraus und
3) die Sharpe Ratio lässt keine Rückschlüsse auf die Risikoneigung eines Anlegers zu.

3 Probleme der Sharpe Ratio

Nachdem das vorhergehende Kapitel die Sharpe Ratio und ihre Eigenschaften vorge- stellt hat, soll dieses Hauptkapitel die Probleme der Sharpe Ratio identifizieren und ihre Ursachen analysieren. Diese Probleme werden vor dem Hintergrund der Frage fokus- siert, ob diese Defizite potentiell dazu führen können, dass die Sharpe Ratio ihre Exis- tenzberechtigung verliert.

3.1 Konzeptionelle Probleme

In diesem Abschnitt werden jene Probleme der Sharpe Ratio näher betrachtet, die bei ihrer regulären Anwendung entstehen können. Dem gegenüber stehen die in Kapitel 3.2 analysierten Probleme der Manipulierbarkeit der Sharpe Ratio, die hingegen nur durch die Einbindung eines Fondsmanagers als dritte Partei entstehen können, der auf eine Verzerrung der Sharpe Ratio bewusst abzielt.

3.1.1 Die Variablen als mögliche Fehlerquellen

Am Anfang der Analyse der Sharpe Ratio-Defizite steht die genaue Betrachtung der einzelnen Variablen und ihr individueller Beitrag zu einer Verzerrung der Sharpe Ratio. Zugleich dient dieser Abschnitt einer vertiefenden Erklärung statistischer und finanzma- thematischer Zusammenhänge, die für das weitere Verständnis unabdingbar sind.

3.1.1.1 Verteilungs- und Nutzenfunktionsanforderungen

Die Sharpe Ratio nutzt zur Performancemessung die ersten zwei Momente der Vertei- lung. Das erste Moment ist das Moment um Null bzw. die durchschnittliche (Über- schuss-)Rendite und das zweite Moment ist das Moment um den Mittelwert der Rendite bzw. die Standardabweichung. Investoren bewerten dabei steigende Renditen als für sie positiv (Nichtsättigung) und hohe Varianzen als für sie negativ (Risikoaversion).

Höhere Momente wie die Schiefe (engl.: Skewness) oder die Wölbung (engl.: Kurtosis) der Verteilung der Renditen werden durch die Sharpe Ratio nicht berücksichtigt, die von einer normalverteilten Streuung der (Überschuss-)Renditen ausgeht. Die Annahme einer normalverteilten Streuung ohne Schiefe und Wölbung ist oftmals eine Abstraktion von der Wirklichkeit und dann problematisch, wenn der Nutzen eines Investors von der genauen Verteilung der Rückflüsse abhängt. Sollten beispielsweise einige wenige Ren- diten sehr hoch, aber dafür der Großteil der Renditen gering oder moderat sein, ist die tatsächliche Verteilung der Renditen rechtsschief.[19] Trotz dieser Rechtsschiefe berück- sichtigen die Parameter durchschnittliche Rendite und Standardabweichung aber nicht diese Verteilungsanomalien, sondern weisen trotzdem dieselben Werte wie bei normal- verteilten Renditen auf.[20]

Ein klassisches Beispiel für rechtsschiefe Verteilungen ist die Einkommensverteilung eines Landes. Obwohl die meisten Jahreseinkommen annahmegemäß zwischen 20.000 € und 40.000 € liegen (BRD), liegt das Durchschnittseinkommen nicht bei 30.000 e, sondern bei ca. 35.000 €, da einige wenige Einkommen sehr hoch sind und andererseits geringe Einkommen nach unten mit 0 € begrenzt sind.

Abbildung 2: Vergleich von schiefer, gewölbter und normaler Verteilung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: eigene Darstellung

Die Abbildung 2 vergleicht den Fall einer symmetrischen Verteilung bzw. Normalver- teilung mit dem Fall einer rechtsschiefen und einer gewölbten Verteilung. Sollte die Wölbung wie im grafischen Beispiel eine spitze Struktur aufweisen (starke Wölbung bzw. leptokurtisch), so konzentrieren sich die Rückflüsse weniger auf die Mitte, son- dern verteilen sich stärker auf die Enden (engl.: „fat tails“). Somit steigt die Wahr- scheinlichkeit, dass ein Investor besonders niedrige und besonders hohe Rückflüsse vereinnahmt. Der Nutzen eines risikoneutralen Investors sinkt deshalb mit der Stärke der Wölbung, ähnlich einer Erhöhung der Varianz. Ebenso sinkt der Investornutzen, falls die Schiefe unter Null sinkt (Linksschiefe). Als gedankliche Stütze dient die Regel, dass jedes ungerade Moment (Rendite, Schiefe) positiv von einem Investor bewertet wird und jedes gerade Moment (Varianz, Wölbung) negativ.

Zusammenfassend ist Folgendes festzuhalten: Die Sharpe Ratios unterschiedlicher An- lagen können identisch sein, obwohl einzelne wenige Renditen besonders hoch sind (rechtsschief) und/oder obwohl die meisten Renditen nicht unmittelbar um die Mitte schwanken (gewölbt).[21] Im Umkehrschluss ist der Mittelwert-Varianz- bzw. /1-Ansatz nur dann sinnvoll, wenn die tatsächliche Renditeverteilung durch die ersten beiden Momente ausreichend abgebildet wird. Dies ist der Fall, wenn die Renditen normalver- teilt sind oder wenn der Investor eine quadratische Nutzenfunktion hat.

Nachdem die Normalverteilungsprämisse für den Mittelwert-Varianz-Ansatz bereits analytisch und grafisch begründet wurde, bleibt die nähere Betrachtung der alternativen Prämisse einer quadratischen Nutzenfunktion. Während bei Vorliegen einer Normalverteilung die Nutzenfunktion der Investoren irrelevant ist, ist bei der Annahme einer quadratischen Nutzenfunktion die Verteilung der Renditen irrelevant.

Ob der Nutzen eines Investors einer quadratischen Nutzenfunktion der allgemeinen

Form[22] [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]als Endvermögen des Investors, a als

Konstante und als Grad der Risikoaversion, folgt, ist durch einen Abgleich des Investorverhaltens mit folgenden vier Bedingungen zu prüfen:

1) Ein höheres Vermögen wird einem niedrigeren vorgezogen (U´(W) > 0),
2) Mit steigendem Vermögen nimmt der Nutzenzuwachs ab (U´´(W) < 0),
3) Die absolute Risikoaversion fällt mit steigendem Vermögen (-U´´(W)/U´(W) ”0),
4) Die relative Risikoaversion fällt mit steigendem Vermögen[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten][23]

Die erste Bedingung ist plausibel und unbedingte Voraussetzung des /1-Prinzips. Auch die zweite Bedingung ist sehr realitätsnah. Die dritte Bedingung hingegen wird allge- mein als unrealistisch betrachtet, da mit steigendem Vermögen von einer konstanten

Risikoaversion auszugehen ist, und führt deshalb oftmals zur Ablehnung der quadrati- schen Nutzenfunktion. [24]

Sollten schlussendlich Normalverteilung und quadratische Nutzenfunktion des Investors abzulehnen sein, ist der Mittelwert-Varianz-Ansatz unzureichend und es müssen entwe- der weitere Momente berücksichtigt oder alternative Ansätze herangezogen werden.

Schiefe und/oder gewölbte Verteilungen sind in der Praxis jedoch häufiger zu beobach- ten als Normalverteilungen.[25] Die Probleme, die hieraus resultieren können, sind Fehl- entscheidungen in der Wahl der Anlage. Wird eine Anlage aufgrund einer geringfügig höheren Sharpe Ratio bevorzugt, so kann die Entscheidung für den betrachteten Investor dennoch fehlerhaft sein, wenn die andere Anlage dafür stark rechtsschief oder sehr flachgipfelig ist.

Ein vielmals vorgeschlagener Ansatz zur approximativen Berücksichtigung nicht nor- malverteilter Renditen ist der Value-at-Risk-Ansatz[26] (VaR-Ansatz). Alexander/Baptista (2003) zeigen in ihrem Aufsatz anhand empirischer Daten, dass die auf dem VaR- Ansatz aufbauende Reward-to-VaR-Ratio und die Sharpe Ratio identische Empfehlun- gen bezüglich der Wahl zwischen zwei Anlagen geben, falls eine Normalverteilung der Renditen vorliegt. Im umgekehrten Falle nicht normalverteilter Renditen mit fetten En- den oder im Falle einer beliebigen Verteilung führt die VaR-Ratio zu einer anderen Empfehlung als die Sharpe Ratio. Der VaR-Ansatz ist laut Alexander/Baptista (2003) dann vorzuziehen, wenn sich der Investor bzw. der Fondsmanager mit einem „Wert im Risiko“ und damit einer stochastischen Sichtweise zufrieden gibt. Beispielsweise kann ein Investor anstelle der Gesamtvarianz eines Portfolios nur das Risiko in Betracht zie- hen, dass eine bestimmte Rendite unter 95-prozentiger Wahrscheinlichkeit nicht unter- schritten wird.

Andere gebräuchliche Ansätze neben dem VaR-Ansatz zur Berücksichtigung höherer Momente stellen der Drawdown- und der Lower Partial Moments-Ansatz[27] dar. Diese drei Ansätze versuchen, die Unzulänglichkeiten der Varianz zu kompensieren.

Zu den wesentlichen Kritikpunkten bezüglich der Varianz zählt, dass 1) sie als zweites Moment nicht-normalverteilte Renditen ignoriert,

2) sie positive Renditen ebenso stark gewichtet wie negative Renditen[28] und

3) dass die Varianz systematische wie auch unsystematische Risiken misst.

Der erste Kritikpunkt bezieht sich auf die Konzeption der Sharpe Ratio als solche und wurde vorangehend bereits näher analysiert. Die Kritik an der Tatsache, dass die Vari- anz positive wie auch negative Abweichungen vom Mittelwert gleichermaßen berück- sichtigt, ist in der Literatur weit verbreitet.[29] Der Index-Developer der Deutsche Börse AG, Jan-Carl Plagge, hingegen sieht diese Kritik als unbegründet an, da er annimmt, „dass für einen Investor bereits die Fluktuation der Kurse an sich unerwünscht ist“[30]. Trotz allem werden oftmals als mögliche Alternativen der bereits erwähnte VaR- Ansatz, der Lower Partial Moments-Ansatz oder das Drawdown-Risiko[31] genannt, die das Hauptaugenmerk auf Verlustrisiken legen.

Nach Ansicht des Verfassers ist jedoch diese Kritik für die Frage nach der Eignung der Sharpe Ratio bis auf den Fall von Hedge-Fonds[32] unberechtigt, da alle Vergleichsanla- gen gleichermaßen ein zu hohes Risiko durch die Mitberücksichtigung positiver Rendi- ten aufweisen.

Dem dritten Kritikpunkt bezüglich des systematischen und unsystematischen Risikos kommt in der Praxis, wie im nächsten Kapitel dargelegt, eine hohe Bedeutung zu.

3.1.1.2 Die Varianz als Risikomaß und Diversifikationseffekte

In Kapitel 2 wurde für das Risiko des Gesamtportfolios folgende Notation eingeführt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese geht implizit davon aus, dass die Varianz des Gesamtportfolios wiederum von den Varianzen und Kovarianzen der Einzelanlagen bestimmt wird. Um die für die Sharpe Ratio relevante Varianz des Gesamtportfolios näher zu analysieren, wird im Folgenden zunächst die Varianz einer Einzelanlage bestimmt. Ausgehend von diesem Ergebnis erfolgt eine Überleitung zur Varianz eines Portfolios. Anhand dieser Vorgehensweise wird gezeigt, welchen Risiken eine Einzelanlage unterworfen ist und welche Bedeutung diese Risiken für ein diversifiziertes Portfolio haben.

Die Rendite einer Einzelanlage ist gemäß Sharpe (1963) durch eine marktunabhängige Rendite [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], eine anteilig [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] von der Marktrendite [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] abhängige Rendite und einem [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] unternehmensindividuellen Störterm [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] in einem Single-Index-Modell vollständig ab- gebildet:[33] [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Die im Rahmen der Kritik an dem Risikomaß Varianz wichtige Erkenntnis hier ist, dass die Rendite einer Einzelanlage einerseits vom Markt und andererseits vom Unterneh- men selbst abhängt. Deshalb ergibt sich auch die Varianz zu: [34]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da die Rendite annahmegemäß durch ein lineares System in der langen Frist beschrie- ben werden kann, wird der Störterm 0 (engl.:„white noise“) als reine Zufallsabweichung hinzugezogen. Aus diesem Grund ist sein Erwartungswert per Konstruktion null, hat keine erkennbare Korrelation zur Marktrendite und deshalb auch keine Kovarianz mit ihr.[35] Die Gleichung (7) veranschaulicht, dass das Renditerisiko einer Einzelanlage an- teilig vom Marktrisiko [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]und einem unternehmensindividuellen Risiko[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] abhängt.

Das Marktrisiko wird aufgrund der Tatsache, dass es exogen vorgegeben ist, auch als systematisches Risiko und das unternehmensindividuelle Risiko konträr als unsystema- tisches Risiko bezeichnet. Beispiele für systematische Risiken sind Änderungen des Marktzinses oder der allgemeinen wirtschaftlichen und politischen Lage. Die unsyste- matischen Risiken beinhalten hingegen wirtschaftliche Änderungen, die nur die betrach- tete Unternehmung betreffen.[36]

Um nun zu beweisen, dass bei der Hinzunahme einer Einzelanlage zu einem wohl diversifizierten Portfolio das unsystematische Risiko irrelevant ist, kann die Portfoliovarianz in Abhängigkeit von der Anzahl der Anlagen bestimmt werden. Die Varianz eines Portfolios entspricht der Varianz der anteilig gewichteten Einzelrenditen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nach einfacher Umformung wird diese zu:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da der Faktor a eine Konstante ist, ist ihre Varianz null. Da die Summe der gewichteten bi ,j dem bP des Portfolios entspricht, folgt weiter:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zur Vereinfachung, aber dennoch ohne verfälschende Wirkung für die Beweisführung, kann nun angenommen werden, dass der Anleger alle Anteile w seiner Einzelanlagen gleich wählt (sogenannte „naive Diversifikation“). Damit ergibt sich für jeden Anteil: wi = wj = w = 1/ N , für N Einzelanlagen. Somit kann (9) umgeschrieben werden zu:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

als durchschnittliche Varianz des Störterms.[37] Anhand dieser Schreibweise der Portfoliovarianz wird nun deutlich, dass sie eine fallende Funktion der Anzahl Einzelanlagen ist (Vgl. Abbildung 3). Anders ausgedrückt bedeutet dies, dass ein Anleger das unsystematische Risiko fast vollständig eliminieren kann, wenn die Anzahl der Einzelanlagen im Portfolio sehr groß wird.[38] Das systematische marktbedingte Risiko hingegen bleibt von der Stärke der Diversifikation unberührt.

Diese Schreibweise der Portfoliovarianz macht aber noch eine weitere wichtige Eigen- schaft deutlich: Sobald ein Anleger bereits ein mehr oder weniger gut diversifiziertes Portfolio hält, wird das unsystematische Risiko einer Neuanlage durch ihre Hinzunahme fast komplett wegdiversifiziert. Aus diesem Grund ist dieses Risiko für ihn irrelevant und deshalb die Sharpe Ratio (für ihn individuell) zu niedrig ausgewiesen.

Abbildung 3: Reduktion unsystematischer Risiken durch Diversifikation

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: eigene Darstellung

Die Erkenntnis, dass das unsystematische Risiko bei wohl diversifizierten Anlagen fast gänzlich verschwindet, bedeutet im Umkehrschluss, dass dieses Risiko für einen Anleger nur in Ausnahmenfällen entscheidungsrelevant sein darf. Um zu prüfen, wann dies der Fall ist, und um die Bedeutung dieses Effekts für einen Anleger zu hinterleuchten, sind zunächst alle eventuellen Szenarien zu modellieren:

1) Der Anleger hält noch keine Anlagen und entscheidet über eine Einzelanlage,
2) der Anleger hält noch keine Anlagen und entscheidet über ein Portfolio oder
3) der Anleger hält mehrere Anlagen und entscheidet über jedwede Zusatzanlage.

Im ersten und sicherlich seltensten Szenario stellt die Varianz als Risikomaß kein Prob- lem dar, da der Anleger sehr wohl daran interessiert sein wird, welche unternehmensin- dividuellen Risiken die Einzelanlage birgt. Beispielsweise möchte er wissen, welche Rückflüsse die Daimler-Aktie pro Einheit „Daimler-Risiko“ erwarten lässt. Einem er- gebnisorientierten Anleger ist dabei gleich, welcher Anteil des Gesamtrisikos auf Marktentwicklungen und welcher auf Daimler-Entwicklungen zurückzuführen ist.

Das zweite Szenario beschreibt ebenfalls einen seltenen Fall. Dieser tritt nämlich nur bei der ersten Investition im Leben oder bei einer Folgeinvestition ein, wenn vorher alle Anlagen liquidiert wurden. In diesem Szenario interessiert sich der Anleger ebenfalls für das unsystematische Risiko, aber weniger als im ersten Fall, denn das unsystemati- sche Risiko eines Portfolios wurde bereits durch Diversifikation mehr oder weniger stark eliminiert.

Das dritte Szenario beschreibt den empirisch relevantesten Fall. Der Investor besitzt bereits entweder eine Einzelanlage oder ein Portfolio und entscheidet über die Hinzu- 14 nahme einer Einzelanlage oder eines Portfolios. Dies ergibt vier mögliche Kombinatio- nen. Für alle vier Kombinationen ist die Varianz und damit die Berücksichtigung des unsystematischen Risikos problematisch. Wenn man trotz der eindeutigen Problematik eine Abstufung vornehmen möchte, so ist der Fall einer besitzenden Einzelanlage unter Hinzunahme einer Einzelanlage am wenigsten problematisch, da das unsystematische Risiko nur geringfügig wegdiversifiziert wird.[39] Die zu erwartende größte Fehlentscheidung auf Grundlage der Sharpe Ratio ergibt sich aber, wenn ein Investor bereits ein wohl diversifiziertes Portfolio hält und erst durch die Hinzunahme einer Anlage oder Anlagen sein Gesamtportfolio „perfekt“ diversifiziert.

Dieser exemplarische Extremfall soll versinnbildlichen, dass hier das entscheidende Gütekriterium für die Sharpe Ratio die vorliegende Diversifikation nach Hinzunahme der neuen Anlage ist.

Um eine zweifelsfreie Entscheidung auf Basis der Sharpe Ratio treffen zu können, müsste ein Anleger zunächst die alternativen Anlagen in sein Portfolio aufnehmen und anschließend die Portfolio-Sharpe Ratios berechnen. Auch der Index-Developer der Deutsche Börse AG, Jan-Carl Plagge, weist in einem Interview mit dem Verfasser darauf hin, dass Fehlentscheidungen die Folge von Sharpe Ratio Rankings sein können, da sie Diversifikationseffekte mit bestehenden Anlagen vernachlässigt.[40]

Man vermutet an dieser Stelle bereits, welche weiteren technischen Probleme eine kor- rekte Entscheidung im Gegensatz zum unkomplizierten Vergleich der Einzelanlagen- Sharpe Ratios, beispielsweise aus Internetfinanzportalen, mit sich bringt. Hierzu müss- ten nicht nur identische Zeitreihenperioden des alten Portfolios und der neuen Anlage vorliegen, sondern es müssten zudem die Kovarianzen zwischen jedem Titel der Altan- lage und der neuen Anlagen berechnet werden. Das folgende empirische Beispiel ver- deutlicht diese Problematik.

Die Untersuchung

Als Altanlage des Investors wurde der DAXglobal® Russia Performance Index (DAX Russia) der Deutsche Börse AG gewählt.[41] Dieser internationale Index spiegelt in etwa die Marktentwicklung in Russland wider, da er mindestens zehn große russische Werte gemäß ihrer Marktkapitalisierung beinhaltet und deshalb als wohl diversifiziert betrach- tet werden kann. Dem Investor stehen zwei Alternativen zur Wahl: der DAX® Perfor- mance Index[42] (DAX) und der DAXplus® Maximum Sharpe Ratio Germany Perfor- mance Index[43] (DAXplus SR). Erstgenannter setzt sich aus 30 großen deutschen Aktien (sogenannte „blue chips“) gemäß ihrer Marktkapitalisierung zusammen und kann eben- falls als wohl diversifiziert und als mit dem russischen Markt schwach negativ korreliert angesehen werden (Korrelationskoeffizient = -0,21)[44]. Letztgenannter Index basiert auf dem DAX und versucht über eine optimale Gewichtung der Aktien, die Sharpe Ratio quartalsweise zu maximieren. Seine Korrelation mit dem DAX Russia beträgt +0,11. Zur Vereinfachung der Untersuchung wurden jeweils die Performanceindizes gewählt, deren Werte bereits um zwischenzeitliche Cashflows, wie z. B. Dividenden, bereinigt sind. Alle drei Indizes sind über Zertifikate von Banken (z. B. die ABN Amro) exakt nachgebildet und darüber hinaus durch ständige zeitgleiche Veröffentlichungen der Gewichte durch die Deutsche Börse AG auch problemlos eigenhändig duplizierbar. Aus diesem Grund sind alle drei Anlagen tatsächlich investierbar und die Untersuchung rea- litätsnah. Zudem können keine Verzerrungen aus Wechselkursrisiken entstehen, da die Anlagen in Euro notieren.[45] Eventuell anfallende Transaktionskosten und Gebühren wurden der Vereinfachung halber außer Acht gelassen.

Der Vergleich der logarithmierten Monatsrenditen[46] und der Varianzen für 2007 des DAXplus SR und des DAX ergab folgendes Ergebnis:[47]

Tabelle 1: Sharpe Ratios von DAX und DAXplus SR

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Eigene Berechnung

Diese Werte beruhen auf den logarithmierten Kurssteigerungen eines jeden Monats (Monatsschlusskurse) abzüglich des jeweiligen 1-Monats EURIBOR[48]. Der DAXplus SR wies mit 21 % eine höhere Jahresüberschussrendite als der DAX mit 16 % auf, aber mit 12 % Standardabweichung auch eine höhere Volatilität als der DAX (11,7 %). An- hand des Vergleichs der Sharpe Ratios würde jeder Investor den DAXplus SR dem DAX vorziehen (1,74 > 1,37). Diese Entscheidung ist hingegen nur dann richtig, wenn der Investor noch keine Anlage(n) hält. Wenn der Investor bereits 50 % seines verfügbaren Vermögens in den DAX Russia investiert hat und die anderen 50 % zur Anlage in eine dieser zwei Alternativen verwendet, raten die Sharpe Ratios der möglichen Portfolios zu einer anderen Entscheidung. Ein gleichgewichtiges Portfolio aus DAX Russia und DAXplus SR weist eine Sharpe Ratio von 1,83 auf und ein Portfolio aus DAX Russia und dem DAX eine Sharpe Ratio von 1,91.

Tabelle 2: Portfolio-Sharpe Ratios mit DAX Russia

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Eigene Berechnung

Unter Berücksichtigung der Altanlage hat sich die Entscheidung eindeutig umgekehrt und der Investor präferiert nun die Anlage in den DAX. Erst eine genauere Analyse der Einzelwerte gibt Aufschluss darüber, welcher Faktor der Grund dafür ist.

Zwar hat das Portfolio mit dem DAXplus SR nach wie vor eine höhere Überschussren- dite, doch ist aufgrund des Diversifikationseffekts die Varianz des DAX-Portfolios nun wesentlich stärker gesunken als die des DAXplus SR-Portfolios. Die Ursache des star- ken Absinkens des DAX-Portfoliorisikos liegt darin begründet, dass der Korrelations- koeffizient zwischen DAX Russia und DAX mit -0,21 wesentlich kleiner ist als der zwischen DAX Russia und DAXplus SR mit +,011. Der Grund für die höhere Korrela- tion zwischen dem DAX Russia und dem DAXplus SR ist darin zu suchen, dass beide sehr ähnlich konzipiert und gemanaged werden, da sie aus maximal 30 Titeln mit dem Ziel der Performancesteigerung auswählen. Der DAX hingegen ist auf 30 Titel festge- schrieben und wird nicht gemanaged, sondern die Gewichtung der Titel basiert auf den Marktkapitalisierungen der Unternehmen.

Um zu beweisen, dass die Korrelation die Ursache für den Diversifikationseffekt ist, kann man den Korrelationskoeffizienten zwischen DAX Russia und DAXplus SR in die Kovarianz des DAX-Portfolios einsetzen. Dadurch sinkt die Sharpe Ratio des DAX- Portfolios auf 1,63 und damit deutlich unter jene des DAXplus SR-Portfolios mit 1,83.[49] Dieses Zahlenspiel zeigt außerdem, dass nur im Falle gleicher Korrelationen mit den betrachteten Anlagen ihre Sharpe Ratios tatsächlich ein richtiges Ranking aufstellen.

Obwohl in Verkaufsprospekten die „maximale“ Sharpe Ratio des DAXplus SR als entscheidendes Beurteilungsmaß postuliert wird und auch der Index-Developer des DAXplus SR die Entlohnung seines Indexes als „höchstmögliche und faire Entlohnung für das übernommene Risiko“[50] bezeichnet, hat diese Untersuchung bewiesen, dass das Urteil „faire Entlohnung“ subjektiv von der Portfoliostruktur des Investors abhängt und die Sharpe Ratio mit der Varianz als Risikomaß in nur wenigen Sonderfällen als korrektes Maß herangezogen werden kann.

Sharpe (1966) erkannte diese Problematik der Diversifikationseffekte damals noch nicht. Er merkt in seinem Urwerk lediglich an, dass die Sharpe Ratio für ex post Analy- sen besser geeignet sei als für ex ante Analysen, da sie die tatsächliche Volatilität von Störtermen berücksichtigt (unsystematisches Risiko). In einer ex ante Betrachtungen hingegen ist der Störterms nicht relevant, da er durch die Konstruktion des Single- Index-Modells als nicht existent angenommen wird. Sollte seine Rendite oder Volatilität im Vorhinein bekannt sein, wäre er keine Zufallsvariable mehr, sondern ein fester Fak- tor eines Index-Modells.[51] Ferner identifiziert er die Treynor Ratio als geeigneteres Maß für ex ante Analysen, da diese nur systematische Risiken misst. Erst 34 Jahre später beschreibt er die Sharpe Ratio als ungeeignet für Investoren, die bereits Anlagen hal- ten.[52]

Generalisierte Sharpe-Regel

Die traditionelle Sharpe-Regel lautet bekanntlich: „Wähle diejenige Anlage mit der höchsten Sharpe Ratio.“ Das obige DAX-Beispiel konnte zeigen, dass bei Anwendung dieser Regel Fehlentscheidungen die Folge sein können. Dowd (2000) erkennt diese Diversifikationsproblematik, indem er die Korrelation zwischen Wertpapieren als ihre generelle Ursache identifiziert. Seine generalisierte Sharpe-Regel lautet: „Wähle die neue Anlage so, dass die Sharpe Ratio des Portfolios steigt.“[53] Er demonstriert einen Vergleich zwischen traditioneller und generalisierter Sharpe-Regel, wonach die Sharpe Ratio einer neuen Anlage zu gering ausfällt, falls diese mit der Altanlage negativ korre- liert ist und zu hoch ausfällt, falls sie positiv miteinander korreliert sind.

[...]


[1] Vgl. Sharpe (1966), S. 122 f.

[2] Vgl. Zimmermann (1999), S. 109.

[3] Hedge-Fonds sind Privatanlegern direkt nur über Privatplatzierungen oder indirekt über Zertifikate zu- gänglich.

[4] Vgl. Interview mit Jan-Carl Plagge der Deutsche Börse AG, Frage 2 (siehe Anhang).

[5] Vgl. Goetzmann/Ingersoll/Spiegel/Welch (2007), S. 1503ff.

[6] Vgl. Scholz/Wilkens (2006), S. 1277.

[7] Vgl. Sharpe (1966), S. 123.

[8] Vgl. Sharpe (1994), S. 2. Im Folgenden wird zur Verkürzung „Sharpe Ratio“ anstelle von „ex post Sharpe Ratio“ verwendet, solange nichts anderes geschrieben steht.

[9] Kapitel 3.1.1.2 zeigt später, dass aufgrund des Diversifikationseffektes dies nicht immer zutrifft.

[10] Vgl. Markowitz (1952), S. 77 ff.

[11] Vgl. Trautmann (2006), S. 150.

[12] Dies gilt nur falls Leerverkäufe bzw. hier kreditfinanzierte Käufe ausgeschlossen sind.

[13] Ein Portfolio aus optimal gewichteten Wertpapieren entspricht der maximalen Rendite-Risiko- Kombination des riskanten Portfolios bei gegebenem risikolosen Zins, i. e. die Maximierung der Sharpe Ratio.

[14] Vgl. Sharpe (2000), S. 154.

[15] Vgl. Breuer/Gürtler (1999), S. 276.

[16] Vgl. Sharpe (2007), S. 103.

[17] In Kapitel 3.2 wird gezeigt, dass diese Aussage bei Manipulationen ungültig ist.

[18] Vgl. Breuer/Gürtler (1999), S. 276.

[19] Insbesondere logarithmisch-normalverteilte Renditen sind oft rechtsschief; vgl. Eisele (2003), S. 58.

[20] Vgl. Breuer/Gürtler/Schuhmacher (2006), S. 7 ff.

[21] Für eine tiefere Analyse und beispielhafte Werte siehe: Breuer/Gürtler/Schuhmacher (2006), S. 6 ff.

[22] Vgl. Memmel (2003), S. 7 ff.

[23] Absolute und relative Risikoaversionen werden durch das Arrow/Pratt-Maß gemessen. Vgl. Schmid/Trede (2006), S. 242.

[24] Vgl. Breuer/Gürtler/Schuhmacher (2004), S. 141, sowie Reinschmidt (2006), S. 18.

[25] Vgl. Albrecht/Maurer (2005), S. 101.

[26] Vgl. Alexander/Baptista (2003), S. 93f.

[27] Der Drawdown-Ansatz misst den Abstand eines Kurses vom historischen Höchststand und der LPMAnsatz misst den negativen Abstand von einer wählbaren Ziel- oder Mindestrendite. Vgl. Eling/Schuhmacher (2006), S. 7f.

[28] Vgl. Burke (1994), S. 56, und Hollidt (1999), S. 88.

[29] Vgl. Albrecht/Maurer (2005), S. 114, sowie Ohlms (2007), S. 173.

[30] Vgl. Interview zwischen Jan-Carl Plagge (Deutsche Börse AG) und dem Verfasser, Frage 7.

[31] Vgl. Burke (1994), S. 56.

[32] Vgl. Kap. 3.2.1 sowie Kap. 4.1 (Manipulation).

[33] Vgl. Sharpe (1963), S. 281, und Reinschmidt (2006), S. 24.

[34] Für eine detailliertere mathematische Herleitung der Varianz vgl. Elton et al. (2007), S. 135.

[35] Der Störterm ist annahmengemäß normalverteilt mit: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

[36] Vgl. Elsenhuber (2003), S. 58.

[37] Vgl. Elton et al. (2007), S. 138.

[38] Alternativ zur Erhöhung der Anzahl der Titel im Portfolio ist die Diversifikation auch über die Beimischung sehr unterschiedlicher Titel zu erreichen, wobei perfekt korrelierte Titel (! = +1) keine Diversifikation bedeuten und perfekt negativ korrelierte Titel (! = -1) vollständige Diversifikation.

[39] Die einzige Ausnahme ist, dass beide Anlagen perfekt negativ korreliert sind.

[40] Vgl. Interview zwischen Jan-Carl Plagge (Deutsche Börse AG) und dem Verfasser, Frage 7.

[41] Vgl. Deutsche Börse AG (2007), S. 1.

[42] Vgl. Deutsche Börse AG (2007a).

[43] Vgl. Deutsche Börse AG (2007b), S. 1.

[44] Die Korrelationen sind gemäß der Formel 15 in Tabelle 5 im Anhang berechnet (Kurse: Bloomberg).

[45] Vgl. zu dieser Problematik Kap. 3.1.1.3.

[46] Logarithmierte Renditen werden in der Praxis bevorzugt (vgl. Interview mit Jan-Carl Plagge der Deutsche Börse AG). Eine theoretische Begründung findet sich zudem in Kap. 2.1.3.

[47] Grundlage bilden Monatsschlusskurse, Quelle: Bloomberg.

[48] Vgl. für EURIBOR-Sätze: Deutsche Bundesbank (2008) und für die Begründung, warum 1-Monats- EURIBOR-Sätze genommen wurden: Kap. 3.1.1.3 sowie Bruns/Meyer-Bullerdiek (2003), S. 519.

[49] Vgl. hierzu die Formeln 11, 14 und 15 in Tabelle 5 und Berechnung in Tabelle 4 im Anhang.

[50] Interview zwischen Jan-Carl Plagge (Deutsche Börse AG) und dem Verfasser, Frage 3.

[51] Vgl. Sharpe (1966), S. 128.

[52] Vgl. Sharpe (2000), S. 154.

[53] Sinngemäß aus dem Englischen übersetzt. Vgl. Dowd (2000), S. 213 (Eq. 3).

Ende der Leseprobe aus 87 Seiten

Details

Titel
Die Eignung der Sharpe Ratio zur Beurteilung von Investments
Hochschule
Universität zu Köln  (Seminar für Allg. BWL und Finanzierungslehre)
Note
1,7
Autor
Jahr
2008
Seiten
87
Katalognummer
V114081
ISBN (eBook)
9783640143948
ISBN (Buch)
9783640144051
Dateigröße
982 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Eignung, Sharpe, Ratio, Beurteilung, Investments
Arbeit zitieren
Felix Zimmermann (Autor:in), 2008, Die Eignung der Sharpe Ratio zur Beurteilung von Investments, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/114081

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