Distributionen als Lösungen von Anfangswertproblemen


Diplomarbeit, 2005

117 Seiten, Note: 1,3


Leseprobe

Diplomarbeit
vorgelegt dem Fachbereich Physik, Mathematik und Informatik der Johannes Gutenberg-Universität Mainz

Distributionen als Lösungen von Anfangswertproblemen

von Daphne von Harrach
2005

 

Inhaltsverzeichnis

1 Vektorwertige Distributionen. Träger, Konvergenz, Strukturaussagen ... 1
1.1 Der Raum der Distributionen D′(Ω, E) ... 1
1.2 Konvergenz in D′(Ω, E) ... 5
1.3 Das Strukturtheorem für Distributionen aus D′(Ω, E) ... 7

2 Vektorwertige Distributionen. Faltung, temperierte Distributionen, Laplace-Transformation ... 21
2.1 Die Faltung vektorwertiger Distributionen ... 21
2.2 Schwartz-Funktionen und temperierte Distributionen ... 31
2.3 Laplace-Transformation ... 43

3 Faltung und translationsinvariante Operatoren ... 61
3.1 Eigenschaften von Translation und Faltung ... 61
3.2 Stetigkeit und Differentiation in Distributionenräumen ... 63
3.3 Translationsinvariante Operatoren ... 66

4 Das Cauchy-Problem im Distributionensinn ... 75
4.1 Definition des Cauchy-Problems im Distributionensinn ... 75
4.2 Charakteristische Funktion und Resolvente vektorwertiger Distributionen ... 78

5 Abstrakt parabolische Distributionen ... 87
5.1 Charakterisierung abstrakt parabolischer Distributionen ... 87
5.2 Anwendung auf das klassische Cauchy-Problem ... 94

6 Beispiele und Anwendungen ... 101
6.1 Motivierendes Beispiel ... 101
6.2 Dasmild wohlgestellte Cauchy-Problem ... 104

 

Einleitung

Die vorliegende Arbeit befaßt sich mit der Anwendung der Theorie vektorwertiger Distributionen auf das Cauchy-Problem (Anfangswertproblem)

u′(t) = Au(t)                 (1)
u(0) = u0,                    (2)

wobei A : D(A)   E → E [die korrekte Formel ist in der Downloaddatei enthalten] ein abgeschlossener Operator auf einem Banachraum E und u0 ε E ein gegebener Anfangswert ist. Die gesuchte Lösung u(·) : R → E ist somit eine vektorwertige Funktion.

Diese Problemstellung ist motiviert durch die Tatsache, daß eine partielle Differentialgleichung wie beispielsweise die Wärmeleitungsgleichung

d/dt u = Δu = (d2/dx2u + d2/dy2 u), t≥ 0, u= u(x, y, t), x,y ε R (3)
[die korrekte Formel ist in der Downloaddatei enthalten]

mit der Anfangsbedingung

u(x, y, 0) = u0(x, y) (4)

als vektorwertige gewöhnliche Differentialgleichung aufgefaßt werden kann, indem man die Funktion u : R → E durch u(t) = u(x, y, t) und den Operator A : E → E entsprechend durch Au = uxx + uyy = Δu definiert. Der Banachraum E ist in diesem Fall der Raum L2(R2).

Wir nennen u(·) eine klassische Lösung des Cauchy-Problems für t ≥ 0, wenn u(·) eine Funktion ist, die stetig differenzierbar in t ist und die Gleichungen (1), (2) erfüllt, und wenn außerdem u(t) ε D(A) für t ≥ 0 erfüllt ist. Unter diesen Bedingungen ist die Funktion u(·, ·, ·) eine klassische Lösung von (3) und (4). Liegt der Raum der Anfangswerte u0, zu denen klassische Lösungen existieren, dicht in E, und hängen die Lösungen stetig von den Anfangswerten ab, so nennt man das Cauchy-Problem wohlgestellt (f¨ur die exakte Definition vgl. S.94, Definition 5.2.1).

Man kann diese Problemstellung verallgemeinern, indem man die Funktion u(·) als Distribution und die Ableitung in (1) als distributionelle Ableitung auffaßt. Dies motiviert die Formulierung eines schwächeren Begriffs der Wohlgestelltheit mit Hilfe der Theorie vektorwertiger Distributionen. Eine Differentialgleichung der Form

(D − A)U = F, (5)

wobei D die Ableitung im Distributionensinne und F, U vektorwertige Distributionen bezeichnen, und in der (D − A) ein translationsinvarianter Operator ist, läßt sich äquivalent als Faltung

P * U = F. (6)

mit P = δ′  x  idE − δ x A [die korrekte Formel ist in der Downloaddatei enthalten] schreiben. Die Distribution P besitzt genau dann eine Faltungsinverse S, wenn (6) eine sogenannte Lösung im Distributionensinne besitzt und diese gegeben ist durch U = S∗F. Existiert zu jeder rechten Seite F eine solche Lösung U, und hängt diese stetig von F ab, so nennt man das betrachtete Cauchy-Problem wohlgestellt im Distributionensinne (vgl. S.75, Definition 4.1.1).

Die vorliegende Arbeit befaßt sich zunächst eingehend mit den Eigenschaften vektorwertiger Distributionen. Als Zugang zur Theorie vektorwertiger Distributionen wurde hier der Ansatz von Hector O. Fattorini gewählt, den dieser in Kapitel 8 von [FAT] darlegt. Die Besonderheit dieses Ansatzes besteht darin, daß als Testfunktionen nur Funktionen auf R oder auf Teilmengen Ω  R  [die korrekte Formel ist in der Downloaddatei enthalten] betrachtet werden. Dies ermöglicht den Beweis des Strukturtheorems, welches besagt, daß eine Distribution lokal stets als höhere Ableitung einer stetigen Funktion aufgefaßt werden kann. Dieses Resultat ist fundamental für die folgende Theorie, da es die Rückführung von Aussagen über Distributionen auf Aussagen über stetige Funktionen ermöglicht.

Eine besondere Schwierigkeit bereitet der Begriff der Stetigkeit in Distributionenräumen. Da diese im allgemeinen nicht metrisierbar sind, ist Stetigkeit nicht äquivalent zu Folgenstetigkeit. Diese Vorbetrachtung motiviert die Definition von Netzen, mit Hilfe derer eine äquivalente Charakterisierung topologischer Stetigkeit möglich ist (vgl. [WER], S.425, Satz B.2.3).

Das erste Kapitel dient der Definition von Grundbegriffen. Zunächst wird der Raum D(Ω) der Testfunktionen eingeführt. Dann wird der Raum D′(Ω, E) der Distributionen auf D(Ω), die in einen Banachraum E abbilden, betrachtet. Zentrales Ergebnis des ersten Kapitels ist das Strukturtheorem für Distributionen aus D′(Ω, E).

Im zweiten Kapitel wird die Faltung vektorwertiger Distributionen mit Hilfe des Strukturtheorems als höhere Ableitung der Faltung stetiger Funktionen definiert. Es wird gezeigt, daß diese Definition der Faltung im skalarwertigen Fall mit derjenigen von Wolfgang Walter in [WAL] übereinstimmt. Als nächstes werden der Schwartz-Raum S der schnellfallenden Testfunktionen sowie der zugehörige Raum der temperierten Distributionen S′(E) eingeführt. Der Raum S′(E) ist ein dichter Teilraum von D′(E), für dessen Elemente nun ein zweites und stärkeres Strukturtheorem gilt: Eine Distribution aus S′(E) ist sogar global eine höhere Ableitung einer stetigen und zudem langsam wachsenden Funktion. Schließlich wird die Laplace-Transformation für Distributionen definiert. Auch hier können unter Verwendung des Strukturtheorems die Eigenschaften der Laplace-Transformation stetiger Funktionen ausgenutzt werden.

Im dritten Kapitel wird die Stetigkeit von Operatoren zwischen Distributionenräumen, beispielsweise des Ableitungsoperators, untersucht. Es wird gezeigt, daß ein translationsinvarianter Operator, der stetig bezüglich der Topologie von Distributionenräumen ist, in seiner Anwendung auf eine Distribution äquivalent ist zu deren Faltung mit einer operatorwertigen Distribution. Mit diesem Resultat läßt sich eine zeitinvariante Differentialgleichung stets äquivalent als Faltungsgleichung darstellen.

Im vierten Kapitel wird der Begriff des wohlgestellten Cauchy-Problems im Distributionensinne f¨ur die Gleichung P * U = F definiert. Hierbei wird der im dritten Kapitel definierte Begiff der Stetigkeit auf Distributionenräumen verwendet, so daß die Bedingung der stetigen Abhängigkeit der Lösung U von der rechten Seite F im Distributionensinne formuliert werden kann. Dieser neu eingeführte Wohlgestelltheitsbegriff ist äquivalent zur Existenz einer Faltungsinversen S zu P. Um diejenigen Distributionen zu charakterisieren, die eine solche Faltungsinverse besitzen, werden unter Verwendung der Laplace-Transformation die charakteristische Funktion sowie die Resolvente einer Distribution definiert. Die gesuchte Faltungsinverse S zu P ist gerade die inverse Laplace-Transformierte der Resolvente von P und existiert genau dann, wenn die Resolvente in einer sogenannten logarithmischen Region der komplexen Halbebene existiert und dort polynomiell beschränkt ist. Weiterhin stimmt für einen abgeschlossenen Operator die hier definierte Resolvente im Distributionensinne mit der Resolvente im klassischen Sinne überein.

Das fünfte Kapitel befaßt sich mit einer speziellen Klasse von Distributionen, den sogenannten abstrakt parabolischen Distributionen. Deren Besonderheit besteht darin, daß ihre Faltungsinverse zugleich eine C-Funktion ist. Es wird gezeigt, daß das klassisch wohlgestellte Cauchy-Problem ein Spezialfall des wohlgestellten Cauchy-Problems im Distributionensinne ist, und daß sich Regularitätsaussagen für letzteres Problem auf den klassischen Fall übertragen.

Das sechste Kapitel stellt ein Anwendungsbeispiel f¨ur den Begriff der Wohlgestelltheit im Distributionensinne dar. Es wird ein System partieller Differentialgleichungen, das nicht im klassischen Sinne wohlgestellt ist, mittels Fourier- Transformation analysiert. Dieses motiviert in natürlicher Weise die Formulierung eines anderen schwachen Wohlgestelltheitsbegriffs, des Begriffs des mild wohlgestellten Cauchy-Problems. Es kann nun gezeigt werden, daß dieser Begriff und der des wohlgestellten Cauchy-Problems im Distributionensinne äquivalent zueinander sind. Die Wohlgestelltheit im Distributionensinne stimmt also mit einem weiteren, bereits bekannten Wohlgestelltheitsbegriff überein.

[...]


Ende der Leseprobe aus 117 Seiten

Details

Titel
Distributionen als Lösungen von Anfangswertproblemen
Hochschule
Johannes Gutenberg-Universität Mainz  (FB Mathematik, Physik und Informatik)
Note
1,3
Autor
Jahr
2005
Seiten
117
Katalognummer
V148786
ISBN (eBook)
9783640594542
ISBN (Buch)
9783640864973
Dateigröße
1082 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Distributionen, Lösungen, Anfangswertproblemen
Arbeit zitieren
Daphne von Harrach (Autor), 2005, Distributionen als Lösungen von Anfangswertproblemen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/148786

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