„Inhaltliches Denken vor Kalkül“ nach Susanne Prediger (2009): Vorstellung und Reflexion. Aufgabenstellungen zu einem Bild von Richard Paul Lohse


Referat (Ausarbeitung), 2010

17 Seiten, Note: 2,0


Leseprobe

1. „Inhaltliches Denken vor Kalkül“ – Verschriftlichung des Vortrags

Enorme Schwierigkeiten im Umgang mit Textaufgaben seitens der Schülerschaft liegen laut Prediger einerseits bei dem Erfassen der Situation, andererseits in der Wahl der für die Aufgabe zugehörigen Operation. Inhaltliche Verständnisprobleme sind, so die Autorin, hauptsächlich im sprachlichen Bereich verortet: SchülerInnen kennen die Bedeutung diverser Wörter nicht, vor allem sind unzureichende Kenntnisse von Wörtern der Lagebeziehungen (unter, über, auf, hinter ...) kritisch. Vorkenntnisse bezüglich des Sachzusammenhanges der in der Textaufgabe abgebildeten Situation können ebenso nicht immer bei allen SchülerInnen vorausgesetzt werden, so dass sich daraus weiterhin Probleme des elementaren Verständnisses der Ausgangssituation ergeben. Dies sind Prediger zufolge ungünstige Bedingungen um den mathematischen Gehalt von Textaufgaben zu verstehen.

Als unabdingbare Voraussetzung, um Sachsituationen adäquat mathematisieren zu können, sieht Prediger die so genannten „Grundvorstellungen“ mathematischer Begriffe und Operationen an.

Diese seien „inhaltliche Interpretationen mathematischer Objekte und ermöglichen, mathematische Begriffe oder Operationen zur Mathematisierung von Situationen zu nutzen“ (Prediger 2009, S. 218). Somit leisten sie einen beidseitigen Übersetzungsprozess zwischen mathematischer Sprache und Symbolik sowie der zugehörigen Sachsituation in der Realität.

Dass das inhaltliche Denken vor dem Kalkül stehe, bezeichne die Forderung nach dessen Stellung als Priorität, aber auch den zeitlichen Aspekt der Anordnung im Lehrgang der SchülerInnen. (Vgl. a.a.O., S. 223)

Ein anderes mathematikdidaktisches Modell ist das Operationsverständnis nach Gerster und Schultz (2004) nach dem Flexibilität im Umgang mit mathematischen Operationen dann gegeben ist, wenn der Übersetzungsvorgang zwischen drei Repräsentationsformen („konkrete Sachsituation“, „grafisch-modellhafte Darstellung“ und „symbolische Darstellung“ [analog zu: enaktiv – ikonisch – symbolisch]) beherrscht wird.

Prediger vereinigt diese zwei Modelle zu ihrem erweiterten Modell der Übersetzung zwischen Inhaltsebene und Kalkülebene. Die drei Repräsentationsformen, in ihrem Modell „abstrakte Grundvorstellung“, „grafische Darstellung“ und „Mustersituation“ genannt, dienen quasi als Brücke zwischen den zwei Verständnisebenen „inhaltlich“ und „formal“. Auch seien die sechs Übersetzungsvorgänge ein durchaus geeigneter Ansatzpunkt für eine Diagnose.

Die Relevanz inhaltlicher Grundvorstellungen wird, so Prediger, auch im Umgang mit Termen deutlich. Die einfache Warnung vor Umformungsfehlern leiste nicht mehr als eine kurzfristige Verdrängung (vgl. Prediger 2009, S. 228), eine nachhaltige Wirkung sei allerdings nicht gegeben, da es weiterhin an vorstellungsbasierten Kontrollmöglichkeiten mangele. Dementsprechend seien auch die allseits bekannte Kontrolle durch Einsetzen und das quadratische Schaubild zur ersten binomischen Formel nur sinnvoll, sofern diese inhaltliche Bedeutungen der Gleichwertigkeit zugrunde liegen würden.

Aspekte der Gleichwertigkeit führt sie in ihrem Text wie folgt ein:

Der Aspekt Umformungsgleichheit besagt, dass sich Terme eben durch Umformung ineinander überführen lassen.

Beschreibungsgleichheit ist dann gegeben, wenn zwei verschiedene Terme denselben Sachverhalt beschreiben können.

Die Einsetzungsgleichheit gibt vor, dass Kombinationen eingesetzter Zahlen zu gleichen Ergebnissen führen.

Von diesen drei Formen sind Beschreibungsgleichheit und Einsetzungsgleichheit inhaltliche Repräsentationen der abstrakten Grundvorstellungen und haben somit Priorität als auch zeitlichen Vorrang vor der rein kalkülorientierten Umformungsgleichheit.

Letztere soll nach Kirsch nicht als formales Manipulieren sondern inhaltliche Überlegungen sollen „durch kräfteschonende formale Operationen ersetzt werden“ (Kirsch 1991).

Malle (1993) empfiehlt die sukzessive Einführung der Umformungsregeln situativ über mehrere Jahre verteilt, beginnend mit dem Distributivgesetz als wichtigste Voraussetzung.

Ein möglicher Lernweg nach Prediger (2009) und Malle (1993) kann sich wie folgt gestalten: Beginnend mit der Rückgewinnung inhaltlicher Bedeutsamkeit, werden beschreibungsgleiche Terme entdeckt sowie die Eingebundenheit der Einsetzungsgleichheit in die Beschreibungsgleichheit.

Es folgt eine inhaltsbezogene Ausführung indem beschreibungsgleiche Terme gefunden werden und die Gleichwertigkeit durch Konstruktion oder Bild dargestellt wird.

Die Entwicklung des Kalküls verläuft über den Schritt, dass rechnerische Möglichkeiten für die Gleichwertigkeit entdeckt werden und daraufhin Termumformungsregeln formuliert werden.

Schließlich sollen Bezüge zum inhaltlichen Denken gewahrt werden, daher bietet es sich an das Kalkül am Inhalt zu überprüfen und umgeformte Terme auch als einsetzungs- und beschreibungsgleich zu deuten.

Zu guter Letzt ermöglichen inhaltlich bezogene Aufgaben in der Klassenarbeit eine sinnvolle Diagnose des Lernstandes.

Für solche Lernwege biete sich laut Prediger das Prinzip der fortschreitenden Schematisierung nach A. Treffers (1983) an, welches besagt, dass sich der Stand des Lernfortschrittes nicht in der Komplexität der Aufgaben, sondern in Hinsicht auf den Grad der Schematisierung und Verkürzung der Rechenschritte widerspiegeln soll.

2. Material

2.1 Motivation für die Wahl des Materials

Für den Einstieg in die Materie schlägt unter anderen Autoren auch Prediger (vgl. Prediger 2009) als Ausgangspunkt eine Situation aus der Lebenswelt der SchülerInnen vor.

Ich ging davon aus, dass sich der Kunstunterricht in der Schule – im Gegensatz zum Mathematikunterricht – einer allgemeinen Beliebtheit erfreut. Des weiteren zeichnet sich das Fach Kunst durch eine höhere Handlungsorientierung aus, wobei alle Schüler aktiv werden können.

Auch erregt das Bild durch seine Farbvielfalt ein gewisses Aufsehen und ist vermutlich ansprechend für die Schüler. Zudem besteht es aus geometrischen Formen, Rechtecke in symmetrischer Anordnung, deren Seitenlängen sich auseinander herleiten (a ist doppelt so lang wie b, etc.).

Das Bild besteht aus den Komplementärfarben, die gegebenenfalls im Kunstunterricht schon Thema waren und somit können SchülerInnen die Ergebnisse des Fachs Kunst im Mathematikunterricht mit einbringen. Fächerübergreifender Unterricht wäre dementsprechend ebenso möglich.

Die Handlungsorientierung bei diesem Material beginnt auch schon in der Vorbereitungsphase, da die Schüler selbst das Gesamtbild in die Einzelteile zerlegen (was ich im Seminar aus zeitlichen Gründen ausließ), mit denen sie zu einem späteren Zeitpunkt Teile des Gesamtkunstwerks nachbilden sollen.

Durch diese Vorbereitung setzen sich die SchülerInnen schon vor den eigentlichen Aufgaben mit dem Objekt auseinander und verinnerlichen Struktur und Beschaffenheit der zu mathematisierenden Situation.

Die Einzelteile des Bildes ermöglichen es später im Lehrgang, selbst Bildteile nachzulegen um so einen handelnden (enaktiven) Zugang herzustellen.

Die Idee zu diesem Material fand ich im Internet auf einer online publizierten Broschüre zum Thema „Vorstellungen aufbauen“ (vorm Walde/Geus 2007). Einige meiner Ansicht nach sinnvolle Aufgaben zum Einstieg übernahm ich in mein Material, teilweise leicht verändert, andere Aufgaben erstellte ich selbst.

2.2 Analyse der Aufgaben

1. Aufgabe:

„ Die Variablen am Rand bezeichnen die Längen, die im Bild vorkommen. Mit den Variablen kann man auch zusammengesetzte Längen ausdrücken. Die Länge des ganzen Bildes ist zum Beispiel

a + b + c + c + b + a oder anders geschrieben 2a + 2b + 2c. Erkläre beide Terme!“[1]

Die erste Aufgabe soll zur Einleitung in die Situation dienen: die Längendarstellung durch Variablen wird erwähnt, ebenso die Möglichkeit der Zusammensetzung von Teillängen zu einer Gesamtlänge. Ein Beispiel zeigt eine Möglichkeit auf und reißt den Aspekt der Gleichwertigkeit an: durch zwei äquivalente Terme wird die Länge einer Seite des Bildes angegeben, worauf der erste Arbeitsauftrag folgt, diese beiden Terme zu erklären.

Dieser Auftrag setzt auf einfachem Niveau der Beschreibungsgleichheit, auch auf einer relativ niedrigen Stufe der Termverkürzungen (im Sinne der Fortschreitenden Schematisierung nach Treffers) an. Die Aufgabenstellung ist rein inhaltsbezogen, dementsprechend auch die Herleitung der beiden Terme. Diese sind direkt am Material ersichtlich und eine Erklärung der Äquivalenz kommt ebenso ohne einen Übergang auf die Kalkülebene aus.

[...]


[1] (vorm Walde/Geus 2007)

Ende der Leseprobe aus 17 Seiten

Details

Titel
„Inhaltliches Denken vor Kalkül“ nach Susanne Prediger (2009): Vorstellung und Reflexion. Aufgabenstellungen zu einem Bild von Richard Paul Lohse
Hochschule
Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt am Main  (Institut für Didaktik der Mathematik)
Veranstaltung
Rechenschwäche in der Sek I
Note
2,0
Autor
Jahr
2010
Seiten
17
Katalognummer
V295473
ISBN (eBook)
9783656935575
ISBN (Buch)
9783656935582
Dateigröße
482 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Mathematik, Mathematikdidaktik, Anwendungsbeispiele, Aufgaben, Referat, Ausarbeitung, Richard Paul Lohse, Susanne Prediger, Grundvorstellungen, Rechenschwäche, Dyskalkulie, Mathematik und Kunst, Kunst
Arbeit zitieren
Robert Kolb (Autor), 2010, „Inhaltliches Denken vor Kalkül“ nach Susanne Prediger (2009): Vorstellung und Reflexion. Aufgabenstellungen zu einem Bild von Richard Paul Lohse, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/295473

Kommentare

  • Noch keine Kommentare.
Im eBook lesen
Titel: „Inhaltliches Denken vor Kalkül“ nach Susanne Prediger (2009): Vorstellung und Reflexion. Aufgabenstellungen zu einem Bild von Richard Paul Lohse



Ihre Arbeit hochladen

Ihre Hausarbeit / Abschlussarbeit:

- Publikation als eBook und Buch
- Hohes Honorar auf die Verkäufe
- Für Sie komplett kostenlos – mit ISBN
- Es dauert nur 5 Minuten
- Jede Arbeit findet Leser

Kostenlos Autor werden