Überlagerung von harmonischen Schwingungen


Seminararbeit, 2016

22 Seiten, Note: 1


Leseprobe

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Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung ... 3
2. Komplexe Zahlen ... 3
2.1. Definition ... 3
2.2. Komplexe Zahlen in kartesischer Darstellung ... 3
2.2.1. Addition und Subtraktion komplexer Zahlen in kartesischer Darstellung ... 4
2.2.2. Multiplikation komplexer Zahlen in kartesischer Darstellung ... 4
2.2.3. Konjugierte komplexe Zahlen ... 4
2.2.3.1. Betrag einer komplexen Zahl ... 4
2.2.4. Division komplexer Zahlen in kartesischer Darstellung ... 5
2.3. Komplexe Zahlen in trigonometrischer Darstellung ... 5
2.3.1. Umrechnung von der trigonometrischen in die kartesische Darstellung ... 5
2.3.2. Umrechnung von der kartesischen in die trigonometrische Darstellung ... 5
2.3.3. Multiplikation komplexer Zahlen in trigonometrischer Darstellung ... 6
2.3.4. Division komplexer Zahlen in trigonometrischer Darstellung ... 7
2.4. Komplexe Zahlen in Exponentialform ... 7
3. Additionstheoreme ... 8
3.1. Herleitung der Additionstheoreme ... 8
3.2. Summe zweier trigonometrischer Funktionen ... 9
4. Überlagerung von harmonischen Schwingungen ... 10
4.1. Definition einer harmonischen Schwingung ... 10
4.2. Darstellung einer harmonischen Schwingung im Zeigerdiagramm ... 11
4.3. Darstellung einer harmonischen Schwingung im Komplexen ... 12
4.4. Formen der Überlagerung ... 13
4.5. Überlagerung von harmonischen Schwingungen ... 15
4.6.
Anwendungsbeispiel aus der Elektrotechnik ... 19
5. Literaturverzeichnis ... 22

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1. Einleitung
Ich habe mich für das Thema "Überlagerung von harmonischen Schwingungen" entschieden, da es
ein breites Spektrum von Rechenvarianten, unter anderem die der komplexen Zahlen und
Trigonometrie, umfasst, welche wir schon im Seminarkurs behandelt haben, mich persönlich sehr
angesprochen hat und auf Grund von unterschiedlichen Themenbereichen äußert
abwechslungsreich wirkte.
Der Kern dieser Seminararbeit liegt natürlich in der Überlagerung von harmonischen Schwingungen,
doch um diese zu verstehen, kriegt der Leser zunächst Einblicke in die Rechengesetze der komplexen
Zahlen und Trigonometrie, die Definition und Darstellung harmonischer Schwingungen und die
unterschiedlichen Formen der Überlagerung.
2. Komplexe Zahlen
2.1. Definition
Mit Hilfe von Komplexen Zahlen wird der Zahlenbereich der reellen Zahlen erweitert, so dass man
unlösbare quadratische Gleichungen lösen kann. Leonhard Euler entwickelte eine Idee, welche von
Carl Friedrich Gauß vollendet wurde.
Er definierte
-1 = , als die imaginäre Eins, auch imaginäre Einheit genannt.
Somit ist zum Beispiel die Gleichung
= -4 lösbar:
= -4 oder
= --4
= -1 4 oder
= --1 4
= 2 oder = -2
2.2. Komplexe Zahlen in kartesischer Darstellung
Komplexe Zahlen haben die Form = + ,
wobei und reelle Zahlen sind. Man nennt den
Realteil und den Imaginärteil von und schreibt:
= ; =
.
Eine Komplexe Zahl kann in einem kartesischen
Koordinatensystem durch einen Zeiger dargestellt
werden. Die Spitze des Zeigers endet im Punkt ( | ).
Der Realteil wird der der x-Achse zugeordnet und der
Imaginärteil der y-Achse.
Beispiel:
= 2 + 2
reelle Achse
imaginäre Achse
1
2
1
2

4
= 2 + 2 ; = 2 ;
= 2
2.2.1. Addition und Subtraktion komplexer Zahlen in kartesischer Darstellung
Bei der Addition ist die Summe zweier komplexen Zahlen gleich der Summe der Realteile addiert mit
der Summe der Imaginärteile. Für zwei komplexe Zahlen
=
+
und =
+
gilt also:
+
= ( + ) + ( + )
Beispiel:
+
= (1 + 2 ) + (1 - ) = (1 + 1) + 2 + (-1) = 2 +
Bei der Subtraktion ist die Differenz zweier komplexen Zahlen gleich der Differenz der Realteile
addiert mit der Differenz der Imaginärteile. Für zwei komplexe Zahlen
=
+
und
=
+
gilt also: - = ( - ) + ( - )
Beispiel:
-
= (1 + 2 ) - (1 - ) = (1 - 1) + 2 - (-1) = 3
2.2.2. Multiplikation komplexer Zahlen in kartesischer Darstellung
Man bildet das Produkt aus zwei komplexen Zahlen und multipliziert die Klammern aus:
= ( +
) ( +
)
=
+ (
+
) +
= -1 = -1
=
+ (
+
) -
Also gilt:
= (
-
) + (
+
)
2.2.3. Konjugierte komplexe Zahlen
Wenn man den Zeiger einer komplexen Zahl an der reellen Achse spiegelt, so bekommt man den
Zeiger der konjugiert komplexen Zahl .
Konjugiert komplexe Zahlen haben als den selben Realteil,
unterscheiden sich aber im Vorzeichen des Imaginärteils:
=
= -
.
2.2.3.1. Betrag einer komplexen Zahl
Multipliziert man die Zahlen = + und = - so gilt:
=
-
=
+ .
Aus dem Satz des Pythagoras wissen wir,
+
=
. In unserem Fall ist die Länge des Zeigers
einer komplexen Zahl. Diese Länge wird auch Betrag | | einer komplexen Zahl genannt.
Es gilt also: | | =
+
= z und | | = = +

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2.2.4. Division komplexer Zahlen in kartesischer Darstellung
Möchte man komplexe Zahlen miteinander dividieren, muss man einen Trick benutzen. Und zwar
werden Zähler und Nenner des Quotienten mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners
multipliziert:
=
=
| |
2.3. Komplexe Zahlen in trigonometrischer Darstellung
Mit der trigonometrischen Darstellung ist durch die Winkelfunktionen eine weitere Darstellungsform
der komplexen Zahlen möglich.
Eine komplexe Zahl = + ist eindeutig durch die Länge
ihres Zeigers | | = und ihren Winkel zwischen der
positiven reellen Achse und ihrem Zeiger bestimmt. Mit den
Winkelfunktionen Sinus und Cosinus im rechtwinkligen Dreieck
ergibt sich die trigonometrische Darstellungsform einer
komplexen Zahl:
= + ; =
; =
-> =
+
= (
+
)
Der Winkel wird meistens im Gradmaß angegeben, kann aber auch im Bogenmaß angegeben
werden.
2.3.1. Umrechnung von der trigonometrischen in die kartesische Darstellung
Um von der trigonometrischen in die kartesische Darstellung zu kommen, rechnet man einfach die
komplexe Zahl aus und bekommt somit wieder die Form = + .
z = 2 (cos 60° + i sin 60°) Es gilt: cos 60° = und sin 60° =
.
z = 2
1
2
+ i
3
2
= 1 + 3 i
2.3.2. Umrechnung von der kartesischen in die trigonometrische Darstellung
· Komplexe Zahlen im ersten oder zweiten Quadranten
Um von der kartesischen in die trigonometrische Darstellung zu
kommen muss man zunächst | | = berechnen:
| | = = +
Um den Winkel zu bestimmen, nutzen wir den Cosinus:
= -> =
Beispiel: = 2 + 2
1
=
=
= | |
1
2
2
=

6
| | = = 2 + 2 = 2 2 und =
= 45°
-> = 2 2 (
45° +
45°)
· Komplexe Zahlen im dritten oder vierten Quadranten
Hierbei bestimmt man wie auch im ersten und zweiten
Quadranten zunächst | | = :
| | = = +
Um dieses Mal den Winkel zu bestimmen, verwenden wir einen
Hilfswinkel , wie man in der nebenstehenden Abbildung sehen
kann:
= -> =
-> = 360° -
Beispiel: : = 2 - 2
| | = = 2 + (-2) = 2 2 und = 360° -
= 315°
-> = 2 2 (
315° +
315°)
2.3.3. Multiplikation komplexer Zahlen in trigonometrischer Darstellung
Um die Formel für die Multiplikation komplexer Zahlen in trigonometrischer Darstellung herleiten zu
können, nutzt man die Additionstheoreme, auf welche ich im 3. Kapitel noch genauer eingehe.
Additionstheoreme:
( + ) = cos cos - sin sin
( + ) = sin cos + cos sin
=
(
+
) und = (
+
)
= (
+
) (
+
)
= (
+
+
+
)
=
-
+ (
+
)
= cos (
+
) +
(
+
)
Sprich: Das Produkt zweier komplexer Zahlen erhält man, indem man die Beträge der Zahlen
multipliziert und die Winkelgrößen addiert.
1
2
-1
-2
=

7
2.3.4. Division komplexer Zahlen in trigonometrischer Darstellung
Um die Formel für die Division komplexer Zahlen in trigonometrischer Darstellung herleiten zu
können, orientieren wir uns an der Division komplexer Zahlen in kartesischer Darstellung
(2.2.4.) und erweitern den Quotienten mit der konjugiert komplexen Zahl von . Bei
konjugiert komplexe Zahlen in der trigonometrischen Darstellung gilt, wie auch in der
kartesischen Darstellung, dass sich der Imaginärteil im Vorzeichen unterscheidet, also:
= (
+
) -> = (
-
)
=
(
+
) (
-
)
(
+
) (
-
)
=
(
-
+
-
)
=
+
+ (
-
)
Wie auch bei der Multiplikation nutzen wir jetzt wieder die Additionstheoreme um die Formel
zu vereinfachen.
Zudem wissen wir aus dem Phytagoras am Einheitskreis, dass
= 1 ist.
Daher gilt:
=
(
(
+
) +
(
+
)
Sprich: Den Quotienten zweier komplexer Zahlen erhält man, indem man die Beträge der
Zahlen dividiert und Winkelgrößen subtrahiert.
2.4. Komplexe Zahlen in Exponentialform
Um die Exponentialform von komplexen Zahlen herzuleiten, schauen wir uns die Potenzreihen
des Sinus, des Kosinus und der e-Funktion an.
Potenzreihen des Sinus und Kosinus:
cos =
(-1)
(2 )!
= 1 -
1
2!
+
1
4!
-
1
6!
+
sin =
(-1)
(2 + 1)!
= -
1
3!
+
1
5!
-
1
7!
+
Potenzreihe der e-Funktion:
Ende der Leseprobe aus 22 Seiten

Details

Titel
Überlagerung von harmonischen Schwingungen
Note
1
Autor
Jahr
2016
Seiten
22
Katalognummer
V339128
ISBN (eBook)
9783668290594
ISBN (Buch)
9783668290600
Dateigröße
1324 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Höhere Mathematik, Überlagerung, Schwingungen, Harmonische Schwingungen, Komplexe Zahlen
Arbeit zitieren
Luca Dürr (Autor), 2016, Überlagerung von harmonischen Schwingungen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/339128

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