Die komplexen Zahlen der Mandelbrotmenge


Facharbeit (Schule), 2017
29 Seiten, Note: 2

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Danksagung

Abstract

1 Geschichte des Apfelmännchens
1.1 Begründung der Themenwahl
1.2 Zielsetzung der Arbeit

2 Mathematischer Hintergrund
2.1 Das Verfahren der Iteration
2.2 Die komplexen Zahlen
2.3 Die Gaußsche Zahlenebene
2.4 Definition der Mandelbrotmenge
2.5 Der Bezug zwischen der Mandelbrotmenge und den Juliamengen

3 Praktische Umsetzung der Mandelbrotmenge

4 Eigenschaften der Mandelbrotmenge
4.1 Das Mandelbrot dargestellt in der komplexen Ebene
4.2 Die Mandelbrotmenge und ihre Iterationsfolgen
4.3 Ist die Mandelbrotmenge wirklich zusammenhängend?
4.4 Besondere Strukturen in der Mandelbrotmenge
4.4.1 Tal der Seepferdchen
4.4.2 Satelliten
4.4.3 Spiralen

5 Verbesserung der grafischen Darstellung
5.1 Zoom
5.2 Farben
5.3 Antialiasing

6 Zusammenfassung und Ausblick

Quellen, Abbildungsnachweis und sonstige Hilfsmittel

Abbildungsverzeichnis

1 Juliamengen für z = −0, 5 + 0, 2i und z = 0 + 0, 5i

2 Juliamenge für z = 0, 1 + 0, 7i und z = 0, 1 − 0, 7i

3 Juliamenge für z ∈ M

4 Ausschnitte der Mandelbrotmenge, wobei der blaue Punkt links oben bei (−1, 4|0, 4i) und der blaue Punkt rechts unten bei (0, 2| − 0, 4i) liegt

5 Mandelbrot in schwarz-weiß und ohne Antialiasing

6 Beispiele für Selbstähnlichkeit in der Mandelbrotmenge

7 Mandelbrot dargestellt mit dem entsprechenden Feigenbaumdiagramm [5, S. 16]

8 Ergebnisfolge, wobei c Teil des Hauptkörpers

9 Ergebnisfolge, wobei c Teil des zweiten Satelliten von rechts zählend

10 Ergebnisfolge, wobei c Teil des dritten Satelliten von rechts zählend

11 Ein Seepferdchen aus dem Tal der Seepferdchen

12 Der größte Satellit der Mandelbrotmenge mit kleineren Satelliten

13 Eine Spirale aus dem Tal der Seepferdchen sehr stark Vergrößert

14 Ein Ausschnitt gezeichnet mit Antialiasing (oben) und ohne Antialiasing (unten)

Danksagung

Ich danke meinen Eltern, dass sie mich tatkräftig bei der Erstellung der folgenden Arbeit unterstützt haben.

Außerdem, möchte ich Peter Hofinger für sehr nütlichen seine Hilfestellungen bei der Erstellung meines Programms danken.

Zum Schluss danke ich noch Herrn Christoph Gräßl, dass er mich in das Themenfeld der Computergrafik eingeführt hat und für seine Anleitung während dem Schreiben.

Abstract

Diese Seminararbeit wird ihnen zuerst die mathematischen Grundkenntnisse vermitteln,um die Zusammenhänge in Bezug zur Mandelbrotmenge zu verstehen. Es werden diekomplexen Zahlen eingeführt und erklärt, wie man diese in der komplexen Ebene dar-stellt. Zusätzlich erfolgt noch eine kurze Erklärung zum Verfahren der Iteration, was es-sentiell für die Berechnung der Mandelbrotmenge und der Juliamengen ist. Danach wirdnäher auf die praktische Umsetzung meines Programms zur Berechnung der Mandelbrot-menge eingegangen. Dies ist nötig, weil die informatische Umsetzung doch komplexerist, als sie bei Betrachtung der Iterationsvorschrift der Mandelbrotmenge erscheint. Nachder Berechnung der Mandelbrotmenge werden noch ihre allgemeinen Eigenschaften, wieUmfang, Flächeninhalt und besondere Figuren im Randbereich angesprochen. Zuletztkommen Möglichkeiten, die Darstellung des Apfelmännchens mit Zoom, Farben oderAntialiasing zu erweitern.

1 Geschichte des Apfelmännchens

„Wolken sind keine Kugeln, Berge keine Kegel, Küstenlinien keine Kreise. Die Rinde ist nicht glatt - und auch der Blitz bahnt sich seinen Weg nicht gerade.“ - Benoît Mandelbrot Alles ist rau. Die Rinde eines Baumes genauso, wie die Prozellanteller von denen sieEssen. Rauichkeit steht in einer gewissen Weise für das Extremum von Komplexität.Benoît Mandelbrot, machte es sich zur Aufgabe in rauen und extrem komplexen Ge-bilden mathematische Regelmäßigkeiten zu finden. Seine beiden Onkel waren bereitsbekannte Mathematiker, die Benoît in Mathematik unterwiesen. Nach Ende des zweitenWeltkriegs, sagte ihm einer seiner beiden Onkel, dass wenn er im schon erforschten Feldder Iteration reeller Funktionen etwas neues und unerforschtes finden würde, ist seineKarriere gesichert. Als Mandelbrot dies versuchte fand er nichts, wie schon alle Mathe-matiker seit Gaston Maurice Julia und Pierre Fatou, welche circa eine Generation vorihm lebten. Mit Hilfe des Computers gelang ihm der Durchbruch. Er stellte die Gauß-sche Ebene im Computer dar und iterierte anstatt mit reellen zahlen, mit komplexenZahlen, und konnte so die Iterationsverhalten von Funktionen darstellen. Dabei fand erdie Mandelbrotmenge.

1.1 Begründung der Themenwahl

„Das Ziel der Wissenschaft ist es immer gewesen, die Komplexität der Welt auf simple Regeln zu reduzieren.“ - Benoît Mandelbrot Dies ist den Mathematikern in Form des Apfelmännchens definitiv gelungen, denn Mandelbrotmenge ist beschränkt durch ein einziges simples Kriterium. Auf diese Weise entsteht, durch einfachste mathematische Operationen eine extrem komplexe mathematische Figur. Der Kontrast zwischen der Einfachheit der Erstellung und der unendlichen Komplexität ist faszinierend.

1.2 Zielsetzung der Arbeit

Diese Arbeit, soll in erster Linie den Weg von einer Rekursionsvorschrift zur Mandelbrotmenge erläutern und die zum Verständnis nötigen mathematischen Kenntnisse von komplexen Zahlen vermitteln. Anschließend wird erklärt, wie man die Darstellung, mithilfe von Farben, Zoom und besserer Auflösung weiter verbessern kann. Außerdem wird meine praktische Umsetzung behandelt.

2 Mathematischer Hintergrund

2.1 Das Verfahren der Iteration

Für die Iteration braucht eine Iterationsvorschrift und einen Anfangswert. Im Beispiel der Berechnung des Mandelbrotes, heißt die Iterationsvorschrift

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei der Anfangswert z0 = 0 ist und c für eine komplexe Zahl steht. Wollen wir nachc iterieren, muss der Anfangswert für z in die Iterationsvorschrift eingesetzt eingesetztwerden und das erhaltene Ergebnis kann nun wieder als neuer Wert für zn in die Ite-rationsvorschrift eingesetzt werden. Durch vielmalige Wiederholungen dieses Vorgangs,können unter anderem Annäherungen an gesuchte Werte bestimmt werden. Um eineRegelmäßigkeit erkennen zu können, sind oft viele tausende Iteration nötig, jedoch mussdie Iteration irgendwann abgebrochen werden. Sollte bis zum Zeitpunkt des Abbruchs,bei Betrachtung der Ergebnisreihe, kein Verhaltensmuster erkennbar sein, muss man vonchaotischem Verhalten ausgehen, oder den Grenzwert zum Abbrechen des Iterationsvor-gangs erhöhen. Beim Iterieren können insgesamt vier Verhaltensweisen auftreten:

- Konvergenz: Die Ergebnisse nähern sich einem Grenzwert an. Die Differenzen zwischen den Ergebnissen der aufeinanderfolgenden Iterationsschritte werden immer kleiner, bis sie sich schließlich nur noch um Bruchteile vom Grenzwert unterscheiden. Der Vorgang kann abgebrochen werden wenn, wenn der Wert die gewünschte Genauigkeit erreicht hat.
- Divergenz: Die Ergebnisreihe strebt in das Unendliche. Es existiert folglich kein Grenzwert.
- Periodisches Verhalten: Die Ergebnisse schwanken zwischen verschiedenen Werten.
- Chaotisches Verhalten: Die Werte zeigen keine erkennbare Regelmäßigkeit.

Weitere bekannte Anwendungen des Iterationsverfahrens sind das Heronverfahren, zurBerechnung von Quadratwurzeln und das Newtonverfahren zur Berechnung von Nullstel-len von nicht linearen Funktionen, wobei bei beiden eine exakte Bestimmung der Wertenicht möglich ist, sondern nur Annäherungen errechnet werden können. [3, S. 59] [1, S.9] [4, S.7 ff.]

2.2 Die komplexen Zahlen

Mit der Menge der reellen Zahlen R, ist es nicht möglich die Wurzel aus einem negativen Radikanden zu ziehen, da jede reelle Zahl quadriert einen positiven Wert ergibt. So ist die Gleichung −9 = x2 nicht mit konventionellen Mitteln lösbar. Aus diesem Grund wurde eine imaginäre Zahl i definiert.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mit Hilfe dieser imaginären Zahl kann man die obige Gleichung weiter vereinfachen:−9 = x2

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Definition 2: Ein Term in der Form a + b · i, wobei a, b ∈ R, ist eine komplexe Zahl. a stellt dabei den Realteil, und b den Imaginärteil dar. Die Menge der komplexen Zahlen, wird mit C notiert.

Bei jeder reellen Zahl beträgt der Imaginärteil 0, sodass man diese folgendermaßen darstellen kann: x + 0 · i, x ∈ R [2, Kapitel 1.2]

2.3 Die Gaußsche Zahlenebene

Die bisher bekannten reellen Zahlen, lassen sich einfach mit Hilfe einer Gerade veran-schaulichen. Diese Gerade wird in der komplexen Ebene, als reelle Achse bezeichnet, dadort die reellen Teile der komplexen Zahlen abzulesen sind. Um die Menge der komple-xen Zahlen darzustellen, wird der imaginäre Teil der jeweiligen komplexen Zahl, wie ineinem kartesischem Koordinatensystem, nach oben angetragen. Die Gaußsche oder auchkomplexe Ebene, ist also ein Mittel um komplexe Zahlen darzustellen. In Folge dessen,wird auch das Mandelbrot in der komplexen Ebene dargestellt. [2, Kapitel 1.4]

2.4 Definition der Mandelbrotmenge

Die Mandelbrotmenge ist die Darstellung der Menge aller komplexer Zahlen C, die eingesetzt in die iteriert mit der Vorschrift

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

nicht in das Unendliche divergieren, wobei der Startwert z0 = 0 ist und c die jeweilige komplexe Zahl in der komplexen Zahlenebene darstellt. Die Menge der komplexen Zahlen, für die obiges gilt, nennen wir M. [3, Kapitel 3.7.1]

2.5 Der Bezug zwischen der Mandelbrotmenge und denJuliamengen

Juliamengen werden sehr ähnlich wie die Mandelbrotmenge berechnet, nämlich mit der Iterationsvorschrift

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei man nicht nach c iteriert, sondern nach z. Das heißt c ist nun konstant und z istder Punkt in der komplexen Ebene, der eingesetzt wird. Divergiert die Folge für einenAnfangswert, ist dieser Punkt in der komplexen Zahlenebene nicht Teil der Juliamen-ge. Ändert man c, so erhält man eine andere Juliamenge. Ein weiterer Zusammenhangzwischen Juliamengen und der Mandelbrotmenge ist, dass man nur eine holomorpheJuliamenge erhält, wenn man einen Wert für c wählt, der Teil der Mandelbrotmengeist. Ist c ∈ M, so erhält man keine zusammenhängende Juliamenge mehr, wie in Abbil-dung 3 zu sehen ist. Man kann sogar noch weiter gehen, denn je nach dem zu welchemSatelliten oder Bereich der Mandelbrotmenge die komplexe Zahl gehört, kann man Aus-sagen über das Aussehen der Juliamenge für dieses z treffen. Benoît Mandelbrot führtedie Mandelbrotmenge ursprünglich auch zu diesem Zweck ein. So kann man wie in denAbbildungen 1 und 2 zu sehen ist, weitere Aussagen über das Aussehen der Juliamen-gen getroffen werden. In Abbildung 1 verändert sich die Juliamenge in ihrem Aussehennur leicht, da die Zahlen, die für z eingesetzt wurden beide Teil des Hauptkörpers desApfelmännchens sind. In Abbildung 2, ist die Juliamenge an der imaginären Achse ge-spiegelt, da links z Teil des größten Satelliten über dem Hauptkörper und rechts z Teildes größten Satelliten unten am Hauptkörper ist. In unseren Fällen ist c = 0. [6, S. 137]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Juliamengen für z = −0, 5 + 0, 2i und z = 0 + 0, 5i

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Juliamenge für z = 0, 1 + 0, 7i und z = 0, 1 − 0, 7i

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3: Juliamenge für z ∈ M

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3 Praktische Umsetzung der Mandelbrotmenge

Für die Berechnung am Computer reicht aber die bereits bekannte Iterationsschrift noch nicht aus. Denn um das Apfelmännchen am Computer zu berechnen, müssen der Realteil, und der Imaginärteil separat voneinander berechnet werden, da der Computer nicht von Haus aus mit komplexen Zahlen rechnen kann. Dazu muss die Iterationsvorschrift folgendermaßen umgeformt werden: Zuerst teilen wir alle komplexen Zahlen vollständig ihre reellen und imaginären Teile auf:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Obiges setzen wir in zn+1 = z2 n+ c, ein:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Danach teilen wir schlussendlich die Gleichung in eine Gleichung für den reellen Teil und eine für den imaginären Teil auf.

1. Reeller Teil: xn+1 = x2 n− (yn)2 + a

2. Imaginärer Teil: yn+1i = (2xnyn + b)i [3, S. 120]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4: Ausschnitte der Mandelbrotmenge, wobei der blaue Punkt links oben bei(−1, 4|0, 4i) und der blaue Punkt rechts unten bei (0, 2| − 0, 4i) liegt.

Um nun Werte für a und b einsetzen zu können, müssen diese Werte für jeden Pixelvorher exakt bestimmt werden. In Abbildung 4 ist ein Ausschnitt der Mandelbrotmen-ge zu sehen, worin die blauen Punkte je für einen Pixel stehen. Anhand dieser Grafik werde ich erklären, wie man a berechnet. Zuerst brauche ich den Abstand zwischen zweiBildpunkten. Um diesen zu berechnen, muss der Zahlenbereich, der abgebildet werdensoll durch die Anzahl der Pixel geteilt werden. Im obigen Beispiel beträgt die Streckec = 1,6 und die Anzahl der Pixel in der Horizontalen beträgt 9. Ich teile also 1,6 durch 9 und erhalte den Schritt von einem Pixel zum Anderen, was der Strecke d entspricht. Um a für die dritte Pixelreihe, von links zählend, zu berechnen multipliziere ich nun den Abstand der Pixel mit 3. Da mein Ausschnitt nicht bei 0, sondern weiter links auf der reellen Achse beginnt, addiere ich die Linke Grenze des Ausschnitts.

Für ein Bild der Auflösung 875x500, bei Betrachtung des oben abgebildeten Ausschnitts, betragen a und b für das Pixel mit der Koordinate (300;200)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um diesen Punkt auf Zugehörigkeit zur Mandelbrotmenge zu überprüfen, setzen wir für a und b obige Werte und wir beginnen bei xn = 0 und yn = 0 zu iterieren. Um zu überprüfen, ob die Ergebnisfolge gegen unendlich strebt, nehme ich den Betrag der Summe aus den Ergebnissen des letzten Iterationsschritts. Ist dieser größer als 2, wird diese Iterationsfolge divergieren.

Um sicherzustellen, dass das Apfelmännchen nicht verzerrt erscheint, habe ich die linkeGrenze bei16 gesetzt, und die untere bei 1, sodass ich ein Verhältnis von 16 : 9 erhalte.

Möchte ich ein anderes Seitenverhältnis erzeugen, so setzte ich einfach die linke Grenzedes Ausschnitts bei Breite Höhe. Dies gilt nur für Darstellungen ohne Vergrößerung. Mankann mit dieser Vorgehensweise ein Ergebnis, wie in Abbildung 5zu sehen ist, erzielen.

[...]

Ende der Leseprobe aus 29 Seiten

Details

Titel
Die komplexen Zahlen der Mandelbrotmenge
Note
2
Autor
Jahr
2017
Seiten
29
Katalognummer
V425393
ISBN (eBook)
9783668725072
ISBN (Buch)
9783668725089
Dateigröße
1604 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Fraktal, Imaginäre Zahlen
Arbeit zitieren
Samuel Brunner (Autor), 2017, Die komplexen Zahlen der Mandelbrotmenge, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/425393

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