Fourierzerlegung. Mathematische und theoretische Grundlagen der Regelungstechnik


Studienarbeit, 2018
19 Seiten, Note: 1,3
Clemens Schmied (Autor)

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1 Einleitung
1.1. Problemstellung und Relevanz des Themas
1.2. Zielsetzung und Aufbau der Arbeit

2 Begriffe und Grundlagen
2.1. Fourier-Entwicklung
2.2. Approximationseigenschaften

3 Bearbeitung der Themenstellung
3.1. Fourierzerlegung eines Rechtecksignals
3.2. Berechnung einer Dreieckfunktion aus den Fourierkoeffizienten
3.3. Berechnung der Spektrallinien

4 Fazit und Zusammenfassung

Literaturverzeichnis

Anhang

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Periodische Funktion mit der Periode T

Abbildung 2: Approximation einer Rechteckfunktion mit n = 1, n = 5 und n = 500

Abbildung 3: Approximation einer Dreieckfunktion mit n = 1, n = 5 und n = 500

Abbildung 4: Grafische Darstellung der Spektrallinien

1 Einleitung

1.1. Problemstellung und Relevanz des Themas

Anwendungen zum Thema „Fourier“ kommen in der Praxis häufig zum Einsatz und stellen, ohne dass die wenigsten Menschen es bewusst wahrnehmen, einen festen Bestandteil in unserem alltäglichen Leben dar. Hierzu zählen zum Beispiel die Bereiche der Akustik (z. Bsp. Hören, Radio), Optik (z. Bsp. Sehen) oder der Elektrotechnik (z. Bsp. Fernsehen).

Dabei bilden Schwingungen die Grundlage für die genannten Anwendungsbereiche. Schwingungen zählen zu den Grundphänomenen der belebten und unbelebten Natur. Als Schwingung kann ein Vorgang beschrieben werden, dessen Merkmale sich mehr oder weniger regelmäßig wiederholen und dessen Richtung mit ähnlicher Regelmäßigkeit wechseln.[1] Kann der Verlauf einer Schwingung durch eine Sinus- oder Cosinusfunktion beschrieben werden, kann diese als harmonische Schwingung, auch Sinusschwingung genannt, bezeichnet werden. Werden harmonische Schwingungen überlagert, so erhält man wieder eine harmonische Schwingung mit derselben Frequenz, jedoch mit abweichender Amplitude und Phase. Durch die Überlagerung von harmonischen Schwingungen verschiedener Frequenzen kann man periodische Vorgänge erzeugen, die im Allgemeinen jedoch nicht sinusförmig sind.[2] Der französische Mathematiker und Physiker Jean-Baptiste de Joseph Fourier (1768-1830) erkannte 1822 in seinem Buch „Théorie analytique de la chaleuer“, dass sich periodische Funktionen in einfache Basisfunktionen zerlegen lassen und diese durch die Überlagerung harmonischer Schwingungen verschiedener Frequenzen beschrieben werden können.[3] Diese Ergebnisse werden heute als Fourier-Reihe bezeichnet.

1.2. Zielsetzung und Aufbau der Arbeit

Ausgehend vom Thema der Arbeit soll in dem folgenden Assignment das Thema „Fourierzerlegung“ behandelt werden, mit dem Ziel, theoretische Grundlagen zu definieren und die entsprechenden Aufgabenstellungen zu bearbeiten. Dazu ist es erforderlich, sich zunächst mit dem Numerikprogramm MATLAB[4] vertraut zu machen, um die Aufgabenstellungen wie gefordert zunächst programmieren und im Anschluss grafisch darstellen zu können.

Hierzu ist die Arbeit in vier Kapitel untergliedert. Um für die thematisierte Problemstellung einen Einstieg zu formulieren, werden in Kapitel 2 zunächst begriffliche Grundlagen theoretisch erläutert. Diese beziehen sich auf die Begriffe „Fourier-Entwicklung“ sowie „Approximationseigenschaften“.

Im Folgenden werden in Kapitel 3, dem Hauptteil der Arbeit, die gestellten Aufgaben bearbeitet. Dabei soll der Schwerpunkt auf der Programmierung der Quellcodes und der grafischen Darstellung der ausgewählten Funktionen liegen.

Die Untersuchung beenden wird Kapitel 4 mit einer Zusammenfassung der wichtigsten Erkenntnisse sowie einem Fazit.

2 Begriffe und Grundlagen

2.1. Fourier-Entwicklung

Um an die Ausführungen der Einleitung anzuknüpfen, soll nun erläutert werden, wie Netzwerke behandelt werden können, in denen die Spannungen und Ströme keine Sinusform aufweisen, jedoch trotzdem periodisch sind. Dabei kann jede nichtsinusförmige periodische Funktion mit der Periodendauer T in eine Fourier-Reihe entwickelt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Periodische Funktion mit der Periode T

Ein periodisches Signal x(t) der Periode T0

wobei k eine beliebige positive oder negative Konstante ist, kann in einer unendlichen Summe von sinus- und cosinusförmigen Komponenten zerlegt werden. Für diese gilt die folgende Darstellung:

Die Konstante stellt den zeitlichen Mittelwert der Funktion dar. Die Frequenzen der auftretenden sinusförmigen Teilschwingungen sind stets ganzzahlige Vielfache der kleinsten vorkommenden Kreisfrequenz. Die Schwingung mit n = 1 heißt Grundschwingung, die übrigen Teilschwingungen (n = 2, 3, …) heißen Oberschwingungen.[5] Das Ziel der Fourier-Entwicklung besteht somit darin, eine Funktion mittels trigonometrischer Funktionen darzustellen.[6]

Der Beleg, dass es sich um eine Fourier-Reihe handelt, wird durch den Beweis der Integraldarstellungen für die Fourierkoeffizienten erbracht. Hierfür wird zunächst die Funktion über eine gesamte Periode von 2π im Bereich -π bis π integriert, um die Koeffizienten ao, an sowie bn zu ermitteln. Nach Integration über die Periode ergeben sich folgende Koeffizienten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Zerlegung einer Funktion in Frequenzanteile wird als Fourieranalyse bezeichnet.[7] Die Fourierkoeffizienten können in der Praxis mit Programmen und Rechensystemen ermittelt werden, diese Methode wird schnelle Fourier-Transformation genannt und im Kapitel 3.3 noch ausführlicher betrachtet.

2.2. Approximationseigenschaften

Bei der Approximation von Funktionen sind häufig unendlichdimensionale lineare Räume von Interesse.[8] Diese Aussage trifft ebenfalls auf die oben aufgeführte Fourier-Reihe zu. So gelangt man zu der Erkenntnis, dass die Ausführung der Fourier-Reihe für ein Summenglied zu einer reinen Sinusfunktion führt. Wird nun die Anzahl der Summanden erhöht, findet eine Approximation an die Zielfunktion statt. Dies hat zur Folge, dass eine steigende Anzahl an Summanden zu einer immer genaueren Annäherung an die Funktion führt. Da diese Annäherung unbegrenzt fortgeführt werden könnte, wird die Approximation in der Praxis nach einer endlichen Anzahl an Summengliedern abgebrochen.

3 Bearbeitung der Themenstellung

Nachdem die theoretischen Grundlagen in Kapitelt 2 erörtert wurden, sollen nun verschiedene Aufgabenstellungen bearbeitet werden. Als Erstes wird die Fourier-Zerlegung eines Rechtecksignals bearbeitet, im Anschluss die Berechnung einer Dreieckfunktion und zum Abschluss die Berechnung der Spektrallinien.

3.1. Fourierzerlegung eines Rechtecksignals

Im ersten Teil soll zunächst ein M-File in MATLAB programmiert werden, welches iterativ mittels einer for-Schleife die Fourierzerlegung des periodischen Rechtechtsignals darstellt. Eine for-Schleife, auch als Zählschleife bekannt, kann dann verwendet werden, wenn die Anzahl der Durchläufe bekannt ist. Dazu wird immer eine Variable benötigt, welche zum Zählen verwendet wird.[9]

Ein Rechtecksignal, auch Rechteckschwingung genannt, bezeichnet ein periodisches Signal, das zwischen zwei Werten hin und herschaltet und in einem Diagramm, zum Beispiel bei der Messung mit einem Oszilloskop, über eine bestimmte Zeit einen rechteckigen Verlauf aufweist.[10] Da jedoch die Anzahl der cosinus- und sinusförmigen Komponenten in der Praxis auf eine endliche Anzahl begrenzt werden muss, kommt es zu Unstetigkeitsstellen. Dieses Verhalten wird als Gibbs´sches Phänomen bezeichnet.[11]

Folgende Funktion nennt man Rechteckschwingung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Rechteckschwingung besitzt somit die Fourier-Reihe

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es soll nun auf Grundlage von gegebenen Daten aus der Aufgabenstellung ein M-File programmiert werden, welches in drei Teile untergliedert wird:

1. Eingabe von Werte aus der Kommandozeile
2. Rechnung
3. Grafikausgabe.

In der folgenden Abbildung sind die Näherungen des Rechteckimpulses durch die ersten drei Glieder der zugehörigen Fourier-Reihe dargestellt. Man erkennt, dass die Näherung umso genauer wird, je mehr Glieder der Fourier-Reihe berücksichtigt werden.

[...]


[1] Vgl. Guicking (2016), S. 2.

[2] Vgl. Ulrich / Weber (2016), S. 1.

[3] Vgl. Kluge (2006), S. 1.

[4] MATLAB® ist ein eingetragenes Handelszeichen der Firma The Mathworks Inc.

[5] Vgl. Marinescu / Marinescu (2016), S. 388.

[6] Vgl. Knorrenschild (2014), S. 187.

[7] Vgl. Goebbels / Ritter (2018), S. 814ff.

[8] Iske (2018), S. 2.

[9] Vgl. Goll / Dausmann (2018), S. 266.

[10] Walitschek (2018), S. 5.

[11] Vgl. Hoffmann / Quint (2007), S. 48.

Ende der Leseprobe aus 19 Seiten

Details

Titel
Fourierzerlegung. Mathematische und theoretische Grundlagen der Regelungstechnik
Hochschule
AKAD University, ehem. AKAD Fachhochschule Stuttgart
Note
1,3
Autor
Jahr
2018
Seiten
19
Katalognummer
V445425
ISBN (eBook)
9783668820791
ISBN (Buch)
9783668820807
Sprache
Deutsch
Schlagworte
fourierzerlegung, mathematische, grundlagen, regelungstechnik
Arbeit zitieren
Clemens Schmied (Autor), 2018, Fourierzerlegung. Mathematische und theoretische Grundlagen der Regelungstechnik, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/445425

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