Praktikumsbericht Mathematik. Lineare Gleichungssysteme in einer 8. Klasse (Gymnasium)


Praktikumsbericht / -arbeit, 2019
35 Seiten, Note: 1.7

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1 Klassensituation

2 Unterrichtete Stoffabschnitte

3 Sachanalyse

4 Mathematikdidaktische Aussagen zum Stoffabschnitt

5 Planung der Unterrichtsreihe

6 Ausführlicher Stundenentwurf mit Nachbereitung
6.1 Thema der Unterrichtsstunde
6.2 Ziele und Kompetenzschwerpunkte der Unterrichtsstunde
6.3 Situative Voraussetzungen
6.4 Mathematikdidaktische Vorbesinnung
6.5 Stundenverlaufsplan
6.6 Materialien
6.7 Reflektion

7 Zusammenfassung

8 Literaturverzeichnis

1 Klassensituation

Der Schwerpunkt der unterrichteten Stunden lag in der achten Klasse. Daher soll diese genauer in dem Bericht betrachtet werden.

Die achte Klasse besteht aus 30 Schüler_innen, welche das Gymnasium, bis auf eine Ausnahme, seit der fünften Klasse besuchen. Eine Schülerin kam im November 2018 neu in die Klasse und ist mittlerweile fest in den Klassenverband integriert. Ihre Muttersprache ist Englisch und sie lernt seit neun Monaten Deutsch. Aufgrund dessen wird über einen Nachteilsausgleich geredet. Das Verhältnis von Mädchen zu Jungen beträgt 3 zu 2, wobei an einem Tisch je zwei Personen des gleichen Geschlechts sitzen. Diese lang bestehende Sitzordnung wird durch den Klassenleiter nach den Winterferien durchmischt, da diese bei Gruppenarbeiten wiederholt zu Unmut führte. Durch eine neue Sitzordnung könnte wieder neuer Schwung in die Arbeitsatmosphäre kommen.

Der stabile soziale Zusammenhalt der Klasse wird vor allem bei Aktivitäten deutlich, in denen die gesamte Klasse ein gemeinsames Ziel vor Augen hat. Zu erwähnen sind hier der Crêpes Verkauf auf dem Weihnachtsmarkt der Schule, das Weihnachtswichteln in der Klasse vor den Ferien, sowie das kritische und reflektierte Auseinandersetzen mit Klassenproblemen in den Pausen und Klassenleiterstunden. In der Klasse ist ein gutes soziales Klima vorhanden und allgemein scheinen die Schüler_innen sehr lernerfahren.

In Bezug auf den Inhalt ist die Klassensituation zu Beginn des Schuljahres soweit, dass die Schüler_innen den Begriff der linearen Gleichungen und das Bearbeiten von Sachaufgaben kennen. Die Übertragung in ein mathematisches Modell bereitet wenigen Schüler_innen Probleme. Die linearen Funktionen werden anhand von Sachaufgaben eingeführt, in einer mathematischen Ebene weiter thematisiert und abschließend wieder auf Sachaufgaben angewendet. Dieses Schema wird bei den linearen Gleichungssystemen beibehalten. Das Erarbeiten von mathematischen Verfahren am Kalkül ist mit den Schüler_innen möglich.

Die Klasse weist nach Aussagen des Klassenleiters vor allem in der Mathematik eine sehr große Leistungsheterogenität auf, welche dem Leistungsstand eines Gymnasiums allerdings mehr als entspricht. Einige Schüler_innen fallen durch ihre schnelle Auffassungsgabe sehr auf, bearbeiten jedoch teilweise die Aufgaben nur stichpunktartig und arbeiten dadurch ungenau. Zum Teil schweifen diese Schüler_innen vom Thema ab und beschäftigen sich entweder mit anderen Mitschüler_innen (ablenkend, sowie helfend) oder anderen Themen am Platz.

In Bezug auf die Arbeits- und Sozialformen sind die Schüler_innen Einzel-, Partner- und Gruppenarbeit in festen Vierergruppen gewohnt. Verständnis- und Lösungsfragen werden in erster Linie untereinander und mithilfe der Aufzeichnungen gelöst. Die Lehrkraft als Hilfe wahrzunehmen stößt auf keinen Widerstand. Die Arbeitsatmosphäre ist vor allem bei Plenumsgesprächen etwas unkonzentriert und laut. Es ist daher notwendig die Aufmerksamkeit einzufordern und auf Ruhe zu bestehen, bevor Redebeiträge von Schüler_innen oder den Lehrer_innen im Plenum wahrgenommen werden. Um das gegenseitige Zuhören in der Klasse zu fördern, werden Redebeiträge seitens der Lehrkraft kommentiert, allerdings nicht wiederholt. Am Ende der Reihe „Lineare Gleichungssysteme“ werden Tandempräsentationen gehalten, um die mathematische Kommunikation und das Zuhören zu fördern.

Anzumerken ist noch die Situation des Klassenraums, welcher sich in einem mobilen Ergänzungsbau befindet. Im Sommer wird es sehr warm, jedoch kommen bei geöffnetem Fenster störende Geräusche wie Flugzeuglärm und Pausengeräusche der angrenzenden Grundschule in das Klassenzimmer. Dieses ist mit einem ActivBoard inklusive zwei aufklappbaren Whiteboard Tafeln an dessen Seiten ausgestattet.

2 Unterrichtete Stoffabschnitte

Der Fokus der selbstständig erarbeiteten und durchgeführten Unterrichtsstunden lag in der achten Klasse. Bereits in der ersten Woche des Praktikums wurde die Möglichkeit geschaffen vor der Klasse zu stehen. In dem Grundkurs gab es aus zeitlichen Gründen in Hinblick auf die Prüfungsphase kaum eine Möglichkeit des selbstständigen Unterrichtens. Es wurden jedoch seitens der 24 Schüler_innen stets Hilfestellungen und Erklärungen entgegengenommen, welche im Rahmen der Prüfungsvorbereitungen an komplexen Anwendungsaufgaben stattfanden.

Für die folgenden Stunden wurden die Kompetenzen und die Einordnungen der Themen und Inhalte den aktuellen Rahmenlehrplänen Berlins für das Fach Mathematik für die Jahrgangstufen 1 - 10 (vgl. SenBJF 2015) und für die Oberstufe 11 - 13 (vgl. SenBJW 2014) entnommen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der IV. unterrichtete Stoffabschnitt „Lineare Gleichungssysteme“ in der achten Klasse gibt eine Einführung in die Schreibweisen, Darstellungsformen und Lösungsverfahren der linearen Gleichungssysteme mit zwei Variablen (vgl. SenBJF 2015, S. 28, 54).

Dazu gehören die Nummerierung der Gleichungen mit großen römischen Zahlen, die Verwendung verschiedener Variablen, das Erstellen der linearen Gleichungen und Gleichungssysteme aus einem Sachkontext, die routinierte Anwendung einzelner Schritte des Gleichsetzungs-, Einsetzungs- und Additionsverfahren, sowie die Durchführung einer Probe der Lösung. Auf die Reflektion der verwendeten Kontroll- und Lösungsverfahren und die Präsentation der verschiedenen Lösungswege im Tandem bzw. im Plenum wird besonders viel Wert gelegt. Dabei sollen formale Schreibweisen und eine gelungene mathematische Kommunikation gefördert werden (vgl. SenBJF 2015, S. 20, 21, 54).

Grundvoraussetzungen sind Kenntnisse aus dem Bereich der linearen Funktionen, die sichere Anwendung von Äquivalenzumformungen und Rechengesetzen bis in den Zahlenbereich der reellen Zahlen, sowie Erfahrung in Modellierungen von idealisierten Situationen. Diese basieren auf den Vorkenntnissen der proportionalen Zuordnungen, mit den unterschiedlichen Darstellungsformen und Eigenschaften, welche am Anfang der Sekundarstufe I behandelt werden. Bereits in der Grundschule wir das logische Denken durch das Erkennen, Beschreiben und Herstellen von Mustern und Zuordnungen gefördert (vgl. SenBJF 2015, S. 29, 53).

Die Beschäftigung mit linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen ist von fundamentaler Bedeutung für die Bearbeitung von Algorithmen und größeren Gleichungssystemen mit mehr als zwei und vor allem auch nichtlinearen Gleichungen. In der neunten Klasse werden quadratische Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen, ab der zehnten Klasse Gleichungssysteme mit drei Variablen behandelt (vgl. SenBJF 2015, S. 56).

In der Sekundarstufe II ist die Verwendung und Lösung von Gleichungssystemen eine Voraussetzung, um die Lagebeziehungen und Abstandsberechnungen von Geraden und Ebenen im Raum zu thematisieren (SenBJW 2014, S. 26).

Bemerkung für dieses und die folgenden Kapitel des Berichtes: Da der unterrichtete Schwerpunkt auf der Reihe der linearen Gleichungssysteme liegt, wird diese in den folgenden Kapiteln näher ausgeführt. Auf eine detaillierte Beschreibung der restlichen Unterrichtsthemen wird auf Anraten hin verzichtet.

3 Sachanalyse

Die linearen Gleichungssysteme sind der Dreh- und Angelpunkt der linearen Algebra. Diese ist aus der Aufgabe heraus, lineare Gleichungssysteme zu lösen, zu einem eigenständigen Gebiet der Mathematik entstanden. Diese Problemstellung ist in allen Gebieten der Mathematik und ihren Anwendungen präsent (vgl. Fischer 2014, S. IX).

Ein lineares Gleichungssystem setzt sich aus mehreren gleichzeitig zu erfüllenden linearen Gleichungen zusammen und lässt sich allgemein mit n Variablen und m Gleichungen als darstellen. Dabei sind eine Matrix, ein Spaltenvektor, deren Koeffizienten und je Elemente eines Körpers, meist aus sind, und Variablen. Die Problemstellung des Systems (3.1) lautet alle zu bestimmen, welche die Gleichung erfüllen. 𝕂 sei hierbei ein beliebiger Körper mit den Körpereigenschaften der reellen Zahlen (vgl. Bosch 2008, S. 119; Fischer 2014, S. 129).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine weitere Darstellungsform eines linearen Gleichungssystems mit n Variablen und m Gleichungen ist durch die erweiterte Koeffizientenmatrix, möglich. Der linke Teil der Matrix, welcher nur die Koeffizienten enthält, heißt einfache Koeffizientenmatrix. Diese Darstellungsform ist bei größeren Gleichungssystemen übersichtlicher und erlaubt nach Überführung in die Zeilenstufenform aufgrund der Eigenschaften der einfachen und erweiterten Koeffizientenmatrix Aussagen über die Lösbarkeit und Struktur des Lösungsraumes (vgl. Filler 2011, S. 30-31).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In dem Fall, dass der Spaltenvektor ist, nennt man das System (3.1) inhomogen. Das zu (3.1) gehörende homogene System lautet , für den Spaltenvektor gilt . Das Gleichungssystem ist quadratisch, wenn die Anzahl der Variablen der Anzahl der Gleichungen entspricht, also der Fall eintritt (vgl. Fischer 2014, S. 129).

Der Lösungsraum des linearen Gleichungssystems (3.1), d. h. für eine Matrix und einen Spaltenvektor ist definiert als folgende Menge Bei Betrachtung der dabei beschriebenen linearen Abbildung gilt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Lösungsraum ist entweder leer oder ein affiner Unterraum von . In dem Fall ist der Lösungsraum ein linearer Unterraum von .1 Dieser enthält stets die triviale Lösung und ist folglich nicht leer.

Die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems kann anhand der Koeffizientenmatrix und deren Rang ermittelt werden. Der Spaltenrang der Matrix ist die maximale Anzahl der linear unabhängigen Spalten. Dieses entspricht der Dimension des Bildes der Matrix .

Die Dimension eines Lösungsraumes eines homogenen linearen Gleichungssystems errechnet sich nach der Dimensionsformel für Untervektorräume. Dabei werden die Dimensionen zweier komplementärer Untervektorräume addiert und ergeben die Dimension des übergeordneten 𝕂 - Vektorraumes . Im obigen Fall ist , also nach (3.4) ist und somit gilt Dabei entspricht , dem Spalten-, sowie Zeilenrang der Matrix (vgl. Bosch 2008, S. 46).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die allgemeine Lösung eines inhomogenen linearen Gleichungssystems kann mithilfe des dazugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem errechnet werden. Bei Betrachtung der erweiterten Koeffizientenmatrix wird der Matrix der Spaltenvektor als (n+1)-te Spalte hinzugefügt. Daher gilt, dass der Rang der Matrix entweder gleich dem Rang der Matrix , oder um eins größer ist, d. h.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dies ist abhängig davon, ob der (r+1)-te Koeffizient von gleich oder ungleich Null ist, also ob die Matrix unabhängige Zeilen besitzt.

Satz 1. Der Fall, dass der Lösungsraum aus (3.3) nicht leer ist, tritt genau dann ein, wenn der Rang der Matrix gleich dem Rang der Matrix ist, d. h.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beweis: Genau wie die obige beschriebene lineare Abbildung durch A

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

beschreibt eine lineare Abbildung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Seien die kanonischen Basen von bzw. von zu bzw. , so gilt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Im Bild der Abbildung kommt der Spaltenvektor vor.

Da das Bild von eine Teilmenge des Bildes von ist, gilt

rang(F)≤"rang"(F^') und somit rang(A)≤"rang"((A│b))

In dem Fall der Gleichheit gilt also auch, dass das Bild von gleich dem Bild von ist. Nach Definition der Abbildung kommt somit der Spaltenvektor im Bild von vor und der Lösungsraum ist somit nicht leer. □

Dieser Satz spielt für die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme eine fundamentale Rolle. Das Lösbarkeitskriterium besagt, dass ein lineares Gleichungssystem genau dann lösbar ist, falls der Rang seiner einfachen Koeffizientenmatrix mit dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix übereinstimmt.

Daraus folgt, wenn der Rang der einfachen Koeffizientenmatrix nicht mit dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix übereinstimmt, ist das lineare Gleichungssystem nicht lösbar. Es tritt dann der Fall ein, dass kleiner als ist. Das heißt die Matrix hat insgesamt unabhängige Zeilen und somit ist der (r+1)-te Koeffizient von ungleich Null. Dies führt jedoch zu einem Widerspruch in dem linearen Gleichungssystem, denn in der (r+1)-ten Zeile steht (vgl. Filler 2011, S. 34-35).

Durch die Schritte des Gauß-Algorithmus, welche Äquivalenzumformungen sind, können die einfache, sowie die erweiterte Koeffizientenmatrix in die Zeilenstufenform gebracht werden. Dabei ändert sich der Lösungsraum nicht.

Dabei sind mögliche Äquivalenzumformungen:

- das Vertauschen zweier Gleichungen,
- die Multiplikation einer Gleichung mit einer von Null verschiedenen, reellen Zahl,
- die Addition einer Gleichung zu einer anderen, oder
- die Kombinationen aus den obigen Umformungen (vgl. Filler 2011, S. 22).

Die Unveränderbarkeit des Lösungsraumes soll beispielhaft anhand der Multiplikation von links bewiesen werden (vgl. Bosch 2008, S. 126).

Satz 2. Seien Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten eine allgemeine lineare Gruppe m-ten Grades über . Für die dazugehörigen inhomogenen linearen Gleichungssysteme A∙x=b und S∙A∙x=S∙b gilt, dass sie dieselben Lösungen besitzen und somit t L_(A,b)=L_(SA,b) gilt.

Beweis: Sei Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

- Wird die Matrix von links an A∙x=b multipliziert ergibt sich S∙A∙x=S∙b und somit ist .Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
- Vice versa: Sei Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
- Wird die Matrix S^(-1) von links an S∙A∙x=S∙b multipliziert ergibt sich A∙x=b und somit ist . Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Lösungen eines linearen Gleichungssystems ändern sich durch wie in (3.7) beschriebenen, elementaren Äquivalenzumformungen der erweiterten Koeffizientenmatrix (A│b) nicht und (A│b) kann in die Zeilenstufenform gebracht werden. Dabei wirken diese Umformungen separat auf die einzelnen Spalten von (A│b) , d. h. auf die einfache Koeffizientenmatrix , sowie auf den Spaltenvektor b . Es gilt demnach S∙(A│b)=(SA │Sb) für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (vgl. Bosch 2008, S. 126).

Ziel der Umformungen in die Zeilenstufenform, also des Gauß-Algorithmus, ist es, Gleichungen so mit den Äquivalenzumformungen zu manipulieren, dass die dadurch entstehenden neuen Gleichungen möglichst wenig Variablen besitzen und die Lösung leicht abzulesen ist. Dabei können die Variablen ggf. umnummeriert werden und die Koeffizienten der Matrix so umgeformt werden, dass die gesetzt werden für . Es ergibt sich folgende in die Zeilenstufenform gebrachte erweiterte Koeffizientenmatrix

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Auch in diesem Fall gilt die Äquivalenz: Der genau dann, wenn ist. Das inhomogene lineare Gleichungssystem ist genau dann nach dem Lösbarkeitskriterium lösbar, wenn in der obigen Zeilenstufenform gilt

Bei der erweiterten Koeffizientenmatrix (3.8) kann die ( )-te bis -te Zeile weggelassen werden, da es sich nach dem Lösbarkeitskriterium um Nullzeilen handeln muss. Somit lässt sich das manipulierte Gleichungssystem darstellen als

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Zusammenhang zwischen den Lösungsräumen der homogenen und inhomogenen linearen Gleichungssysteme soll durch folgenden Satz verdeutlicht werden.

Satz 3. Für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten sei Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten eine partikuläre Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems A∙x=b . Es gilt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]


1 Auf eine Einführung der Körper und Räume bzw. Unterräume wird an dieser Stelle verzichtet. Nachweise dazu lassen sich in Bosch 2008, Kapitel 1, sowie in Fischer 2014, Kapitel 1 finden.

Ende der Leseprobe aus 35 Seiten

Details

Titel
Praktikumsbericht Mathematik. Lineare Gleichungssysteme in einer 8. Klasse (Gymnasium)
Hochschule
Humboldt-Universität zu Berlin  (Mathematik)
Veranstaltung
Praxissemester
Note
1.7
Autor
Jahr
2019
Seiten
35
Katalognummer
V470150
ISBN (eBook)
9783668950931
ISBN (Buch)
9783668950948
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Sachanalyse, Lineare Gleichungen, Lineare Gleichungssysteme, 8. Klasse, Gymnasium, Mathematik, Mathematik Didaktik, Unterrichtsentwurf
Arbeit zitieren
Johanna Jerye (Autor), 2019, Praktikumsbericht Mathematik. Lineare Gleichungssysteme in einer 8. Klasse (Gymnasium), München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/470150

Kommentare

  • Noch keine Kommentare.
Im eBook lesen
Titel: Praktikumsbericht Mathematik. Lineare Gleichungssysteme in einer 8. Klasse (Gymnasium)


Ihre Arbeit hochladen

Ihre Hausarbeit / Abschlussarbeit:

- Publikation als eBook und Buch
- Hohes Honorar auf die Verkäufe
- Für Sie komplett kostenlos – mit ISBN
- Es dauert nur 5 Minuten
- Jede Arbeit findet Leser

Kostenlos Autor werden