Modellierung  des quadratischen Zuordnungsproblems  II

Inhaltsverzeichnis

1.  Einführung  1

2.  Beispiel.  1

3.  Grundmodelle des quadratischen Zuordnungsproblems  2

3.1.  Das Koopmans-Beckmann-Modell  2

3.1.1.  Die Annahmen des Koopmans-Beckmann-Modells  2

3.1.2.  Mathematische Formulierung.  3

3.2.  Varianten des Grundmodells  4

3.2.1.  Explizite Berücksichtigung der Zuordnungskosten.  4

3.2.2.  Symmetrie  4

3.2.3.  Überzahl an Standorten.  5

3.3  Beispiel  5

4.  Netzwerkbasierte Ansätze  5

4.1.  Charakteristika und Arten netzwerkbasierter Ansätze  5

4.2.  Der „große“ netzwerkbasierte Ansatz  5

4.2.1.  Aufbau der Linearisierung.  5

4.2.2.  Modellierung.  7

4.2.3.  Validität der Formulierung  8

4.2.4.  Beispiel  8

4.3.  Der „kleine“ netzwerkbasierte Ansatz.  9

4.3.1.  Aufbau der Linearisierung.  9

4.3.2.  Modellierung.  10

4.3.3.  Validität der Formulierung  11

4.3.4.  Beispiel  12

4.3.5.  Ergänzende Bemerkungen zur Bestimmung unterer Schranken.  12

4.4.  Beurteilung und Leistungsfähigkeit der Ansätze  13

5.  Zusammenfassung und Ausblick.  14

6.  Literaturverzeichnis  15

Modellierung des quadratischen Zuordnungsproblems III

Verzeichnis der Abkürzungen

bzgl.

bzw.

et al.

LP Lineares Problem

p. page

Verzeichnis der Tabellen

Tabelle 1: Entfernungsmatrix ............................................................................. 1 Tabelle 2: Transportintensitäten ......................................................................... 2

Verzeichnis der Abbildungen

Abbildung 1: Grundmodell des quadratischen Zuordnungsproblems ................ 3 Abbildung 2: Quadratisches Zuordnungsproblem mit Zuordnungskosten......... 4 Abbildung 3: Mathematische Formulierung des „großen“ Netzwerkes ............. 7 Abbildung 4: „Großes“ Netzwerk ...................................................................... 9 Abbildung 5: Mathematische Formulierung des „kleinen“ Netzwerkes .......... 10 Abbildung 6: „Kleines“ Netzwerk .................................................................... 12

Modellierung des quadratischen Zuordnungsproblems 1

1. Einführung

Das Zuordnungsproblem ist ein Problem der innerbetrieblichen Standortplanung, in dem es um die (kosten-)optimale Zuordnung von Organisationseinheiten zu Standorten geht. Ein vereinfachtes Problem ist das quadratische Zuordnungsproblem mit gleicher Anzahl von Organisationseinheiten und Standorten. Aufgrund der Nichtlinearität gehört es zur Klasse np-schwerer Probleme, deren Rechenaufwand bei steigender Variablenanzahl exponentiell ansteigt. Exakte Lösungen sind nur im begrenzten Umfang möglich. Approximationen der Optimallösung umfangreicherer Probleme ergeben sich durch Eingrenzung in obere und untere Schranken. Einen Approximationsversuch d urch graphentheoretische Ansätze zur Linearisierung des Problems unternehmen Ball et al. in dem dieser Arbeit zugrunde liegenden Artikel „ Net-

worked-based formulation of the quadratic assignment problem.“ ¹ Diese anwendungsorientierte Seminararbeit verdeutlicht anhand eines Beispiels die Problematik des quadratischen Zuordnungsproblems, gibt eine Übersicht über die Grundmodelle und beschäftigt sich intensiv mit der Formulierung des netzwerkbasierten Ansatzes.

2. Beispiel

Das folgende Beispiel soll zur Verdeutlichung der Zielsetzung des quadratischen Zuordnungsproblems dienen und die komplexe Formulierung der Modelle veranschaulichen.

In einem Dorf sollen eine Bäckerei, eine Mühle und ein Kornfeld aufgestellt werden. Zur Wahl stehen drei gleich große Standorte (Eins, Zwei und Drei), die jedes Gebäude aufnehmen können. Für die Errichtung der Bauwerke entstehen keine besonderen von der Lage abhängigen Kosten (z.B. für eine besondere Einebnung etc.). Tabelle 1 gibt die Entfernungen zwischen den Standorten wider.

¹ Ball et al. (1995)

² Quelle: eigene Darstellung

Modellierung des quadratischen Zuordnungsproblems 2

Zwischen den Einheiten werden Waren geliefert. Die Lieferwege und Mengen zeigt die folgende Tabelle 2.

Gesucht ist die optimale Positionierung der Mühle, des Getreidefeldes und des Bäckers in dem Sinne, dass die Transportkosten pro Periode minimal sind.

3. Grundmodelle des quadratischen Zuordnungsproblems 3.1. Das Koopmans -Beckmann-Modell

3.1.1. Die Annahmen des Koopmans -Beckmann-Modells

Die Grundannahmen des Modells der innerbetrieblichen Standortplanung (quadratisches Zuordnungsproblem) von Koopmans / Beckmann aus dem Jahre 1957 sind die folgenden:

• Zur Anordnung von Organisationseinheiten dient ein Standortträger mit n gleich großen potentiellen Standorten.

• Die anzuordnenden Organisationseinheiten sind gleich groß. Jeder Standort kann genau eine Organisationseinheit aufnehmen.

• Die Entfernungen zwischen den Standorten sind bekannt. Bei den Distanzangaben handelt es sich um die Entfernungen zwischen den M ittelpunkten zweier Standorte.

• Zwischen den Organisationseinheiten findet ein Warenaustausch statt. Die Höhe dieses Austausches pro Periode ist bekannt.

• Die Kosten der Warentransporte verhalten sich proportional zu Entfernung und Transportmenge. Der Übersichtlichkeit halber wird der Proportionalitäts-faktor 1 verwendet, so dass die Kosten dem Produkt aus Entfernung und Transportmenge entsprechen.

³ Quelle: Eigene Darstellung