Brennweiten von Linsen

Physik-Praktikum

Geräte und Zubehör

- Lichtquelle mit Reiter

- Gegenstand mit Reiter

- Spanngestell für Linsen mit Reiter

- Abbildungsschirm mit Reiter

- Schiene zum Verschieben der Reiter mit Skala

- Sphärometer

- 2 verschiedene Linsen S 1 ,S 2

Bessel-Verfahren

Die durch Linsenfehler hervorgerufenen Änderungen der Brennweite sind gewöhnlich nicht sehr groß. Zu ihrer Messung macht man von einem Verfahren Gebrauch, bei dem die Messunsicherheit kleiner als bei der einfachen Messung von a und a’ ist.

Dieses Verfahren geht auf BESSEL zurück. Es geht davon aus, dass es für einen festen Abstand zwischen Gegenstand und Bild zwei Linseneinstellungen gibt, die jeweils ein scharfes reelles Bild liefern.

Die Größe e ist der Abstand zwischen den beiden Linsenstellungen, für die ( bei festem Gesamtabstand a ) jeweils ein scharfes vergrößertes (bzw. verkleinertes) Bild entsteht. Sie ist die Differenz zwischen den Positionen eines beliebigen Bezugspunktes an der Linse genauer zu messen als die Größen a’ und a, die ja jeweils von den Hauptpunkten ab zu messen sind.

Mit Messung der Größen a und e kann man die Brennweite f’ berechnen, vorausgesetzt, dass der Hauptebenenabstand h bekannt oder zu vernachlässigen ( nur bei dünnen Linsen ) ist.

Von einem Gegenstand G , der sich im Abstand a vor einem Schirm befindet, wird eine Linse solange bewegt, bis sich auf dem Schirm eine scharfe Abbildung ergibt ( Pos 1 ). Ist a groß genug, gibt es im allgemeinen eine zweite Position ( Pos 2 ), an der ebenfalls eine scharfe Abbildung auftritt.

Thema: Brennweite von Linsen

Physik-Praktikum

1.Bestimmung der Brennweite f

Die Brennweite f ( oder f’ ) beschreibt die Entfernung zwischen dem objektseitigen oder bildseitigen Hauptpunkt und dem objektseitigen oder bildseitigen Brennpunkt.

Der Brennpunkt F’ ist der Punkt auf der optischen Achse, in dem parallel zur optischen Achse einfallende Strahlen gesammelt werden. Aus dem Abstand e der beiden Positionen Pos 1 und Pos 2 und der Größe a lässt sich die Brennweite bestimmen (gemäß folgendem Zusammenhang ):

−

a 4

Beispiel: a = 100cm; e = 66,9cm −

=

f

400 cm

Bestimmung der Brechkräfte D

Die Brechkraft einer Linse oder eines Systems von Linsen ist definiert als :

Die gebräuchliche Einheit für die Brechkraft ist Dioptrie ( dpt ), 1 dpt = 1/ m. Beispiel: f =13,8 cm

1

Thema: Brennweite von Linsen

- Definition des Mittelwertes

Mittelwert

=

Beispiel: Linse 1, Mittelwert von f

σ der Messwerte

- Standardabweichung −

( ) 2

2

σ

− n

1

Beispiel: Linse 1

σ

≈ =

03 , 0 030331501 , 0

σ des Mittelwertes

- Standardabweichung x

Beispiel : Linse 1

Thema: Brennweite von Linsen

Berechnung unter der Annahme folgender Meßungenauigkeiten:

± = ∆

- mm a 1

± = ∆

- mm e 3

Der Größtfehler wird im allgemein nach folgender Formel berechnet :

ö æ ö æ

± = ∆

ç ç

F

ø è ø è

Ableitungen:

+

4a da

( )

df e ′ − = =

da 2

a

Diese Terme werden nun in die allgemeine Formel eingesetzt :

æ ç ± = ∆ f ç ø è

Beispiel : Linse 1

( ) ( )

ö æ

Thema: Brennweite von Linsen

Mittelwert f

Mittelwert x D1 = 7,23 dpt

σ

= =

Standardabweichung cm

025 , 0 024899799 , 0

Standardabweichung

02 , 0

cm

Standardabweichung

Standardabweichung

5

Größtfehlerabschätzung :

( ) ( )

ö æ

± = ∆

f

1

± = ∆

f

1

Thema: Brennweite von Linsen

Mittelwert

Mittelwert

σ

= =

Standardabweichung cm

Standardabweichung − D

034 , 0

cm

Standardabweichung

Standardabweichung

Größtfehlerabschätzung :

( ) ( )

ö æ

ç

± = ∆

f

ç

2

è

(

± = ∆

0

f

2

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Linsenkombination S 1 + S 2 :

Mittelwert

Mittelwert

σ

≈ =

Standardabweichung cm

Standardabweichung

045 , 0

cm

Standardabweichung

Standardabweichung

Größtfehlerabschätzung :

( ) ( )

ö æ

∆

f kombi

ø è

( )

± ≈ ± = + ± = ∆

f kombi

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4. Berechnungen unter Annahme „dünner Linsen“

a)effektive Brennweite

Für zwei „dünne Linsen“ mit den Brennweite f 1 und f 2 mit einem Abstand d lässt

sich eine effektive Brennweite f 1 + f 2 der Linsenkombination bestimmen :

∗

Daraus folgt unter Annahme sich berührender Linsen : d = 0

∗ ∗ f f

68 , 19 842 , 13

cm cm

= f +

2 1

b) Größtfehlerabschätzung

ö æ

æ ç ± = ∆ F ç è ø ø è

− −

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ö æ

ç ç ± = ∆

ç Þ

F ç ç ç ø è

Nach dem Einsetzen unserer Werte ergibt sich:

ö æ

ç ç

± = ∆

Þ

ç

F

ç ç ø è

= − + − = ∆

Þ

F

= ∆

Þ

cm F 06 , 0

Daraus ergibt sich nun für die effektive Brennweite der Linsenkombination

± = ∆ +

16 , 8

cm f

2 1

Beim Vergleich mit der gemessenen Brennweite zeigt sich ein Unterschied von ca. 0,46cm, der sich auf statische Fehler bzw. zufällige Fehler wie z.B. ungenaues Ablesen oder unkontrollierbare Störungen zurückführen lässt.

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Warum man den Abstand d der Hauptebene berechnen muß

Die Annahme, der Abstand betrage Null ist nicht richtig, da sich der errechnete

Wert vom gemessenen unterscheidet. Es ist also anzunehmen, dass es einen

Abstand d gibt.

Berechnung des Abstandes d :

∗

∗

68 , 19 842 , 13

cm cm

=

Þ

68 , 19

cm d

Man darf d nicht vernachlässigen, weil man in der Theorie von „unendlich

dünnen“ Linsen ausgeht und dieses in der Praxis nicht zu verwirklichen ist.

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5.Krümmungsradien und Brechungsindex

Berechnung von r :

2

h a

+ =

r

2 6

h

( ) ( )

=

Þ

r

1

≈ = ≈ =

Þ Þ

07 , 72 0701433 , 72 73 , 100 7318294 , 100

mm mm r mm mm r

1

Berechnung des Brechungsindex :

( )

1 1 r

207 , 7 073 , 10

cm cm

=

n

1

Daraus ergibt sich : n 1 = 1,52

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Vergleich mit Kronglas

Der Brechungsindex von Borkkronglas beträgt 1,51 ( aus Stöcker, Taschenbuch der

Physik ) . Aufgrund der Messungenauigkeit können wir davon ausgehen, dass es sich bei

den Linsen um Borkkronglas handelt.

Herleitung der Formel

2

h a

+ =

r

2 6

h

Gleichung :

+

1.

2

h

Das Verhältnis der Winkelhalbierenden zur Seitenhalbierenden ist 3:1.

Daraus folgt die Aufteilung von d in 2/3:

2 = 2.

d s

3

Mit Verwendung des Satz des Pythagoras :

2 ö æ

3.

ø è

4 2

Wenn man nun die Gleichungen 2 und 3 in 1einsetzt erhält man :

3

=

r

∗ ∗ ∗

2 4 9 2 2

2

h h h h

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=

Þ

r

6 2

h

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