Gliederung

  Abschnitt Titel Seite  

1  Einleitung  3

2  Was ist das GPS  3

3  Leistungen des GPS  3

3.1  Anforderungen an das GPS  4

3.2  Der SPS (Standard Positioning Service)  4

3.3  Der PPS (Precise Positioning Service)  4

3.4  Offene Möglichkeiten für die Zukunft  5

4  Bestandteile des GPS  6

4.1  Das Raumsegment  6

4.2  Das Kontrollsegment  7

4.3  Das GPS-Nutzer Segment  7

5  Vierdimensionale Ortung mit dem GPS  8

5.1  Das Funktionsprinzip des GPS  8

5.1.1  Das WGS 84 (World Geodetic System 1984)  8

5.2  Ortung mit einem Satelliten bei synchronen  9

  Uhren  

5.3  Pseudo-Entfernungen  11

5.4  Ortung mit einem Satelliten bei asynchronen  11

  Uhren  

5.5  Ortung mit zwei Satelliten  13

5.6  Vierdimensionale Ortung  13

5.7  Berechnung der Geschwindigkeit  15

5.7.1  Bestimmung durch Ortsveränderung  15

5.7.2  Bestimmung durch den Doppler-Effekt  15

6  Anhang  17

6.1  Zusammenfassung  17

6.2  Literaturverzeichnis  18

6.3  Erklärung  18

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1Einleitung

In dieser Facharbeit soll das GPS (Globales Positionssystem) auf die mathematischen Berechnungen bei der Ortung hin untersucht werden. Aufgrund der Komplexität und der Vielzahl an Einflüssen, die bei der GPS-Ortung eine Rolle spielen, beschränke ich mich auf die dreidimensionale Positions- und die Geschwindigkeitsbestimmung. Außerdem soll die Funktionsweise und die Struktur des GPS deutlich werden. Ich wollte mich mit diesem Thema auseinandersetzen, weil es mich faszinierte, wie man mit 20000 Kilometer entfernt liegenden Satelliten seine Position inzwischen auf den Zentimeter genau bestimmen kann.

2 Was ist das GPS?

Das GPS ist ein satellitengestütztes Navigationssystem, dass vom Verteidigungsministeriums und dem Handelsministerium der

USA betrieben wird.

Es wird lediglich ein spezieller Empfänger, der für wenige Hundert Mark erhältlich ist, benötigt, um das System weltweit nutzen zu können. Das GPS gewinnt somit in der weltweiten Navigation immer mehr an Bedeutung, sodass es nicht bei Schiff- und Luftfahrt, sondern auch unter vielen privaten Benutzern Anwendung findet.

3 Leistungen des GPS

Navigationssysteme stellen in vielen Branchen unentbehrliche Hilfsmittel dar. Während für die Seefahrt zweidimensionale, verzögerte Positionsangaben hinreichend sind, verlangen militärische Anwendungen aber präzise Ergebnisse. Deshalb wurde schon eine Vielzahl von Navigationssystemen entwickelt. Das GPS ist wegen dessen Genauigkeit und Zuverlässigkeit zur Zeit das eindeutig dienlichste System.

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3.1Anforderungen an das GPS

Zu Beginn der sechziger Jahre waren die US-Streitkräfte, die Weltraumbehörde NASA und das amerikanische Handelsministerium an der Entwicklung eines einheitlichen, satellitengestützten Systems zur Positionsbestimmung interessiert. Es sollte folgende Anforderungen erfüllen:

• Verfügbarkeit der Signale auf dem gesamten Globus für eine unbegrenzte Anzahl gleichzeitig tätiger Nutzer

• Kontinuierliche Operation bei jedem Wetter

• Fähigkeit zum Empfang und zur Auswertung der Signale von Flugkörpern und Fahrzeugen, die sich schnell bewegen

• Hohe Genauigkeit und geringe Verzögerung der Zeitangabe und der dreidimensionalen Positionsbestimmung Das Verteidigungsministerium konkretisierte die Anforderungen, welche im Nachhinein weit übertroffen wurden und teilte dem System zwei Dienste zu.

3.2 Der SPS (Standard Positioning Service)

Der seit 1995 zivil nutzbare und kostenlos verfügbare Dienst des GPS ist der SPS. Es wurde eine horizontale Positionsgenauigkeit von 100 m und eine vertikale Genauigkeit von 156 m erwartet (mit 95%iger Wahrscheinlichkeit). Die Zeitinformationen sollten auf 340 ns genau sein. Aufgrund der weit besseren Ergebnisse hat das amerikanische Verteidigungsministerium das sogenannte Selective Availability Verfahren (S/A) eingeführt. Bis vor wenigen Jahren haben die Betreiber des GPS die Genauigkeit der Ergebnisse künstlich verschlechtert. Inzwischen wurde die Vereinbarung getroffen, das Verfahren vorerst nicht anzuwenden und nur im Falle eines militärischen Konflikts oder eines terroristischen Anschlags darauf zurückzugreifen.

3.3 Der PPS (Precise Positioning Service)

Der PPS ist verschlüsselt und somit resistenter gegen Störsender und nur für das amerikanische Militär und

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besondersautorisierte Zivilanwender zugänglich. Der PPS sollte mit 95%iger Wahrscheinlichkeit eine horizontale Abweichung bis zu 22 m und eine vertikale Abweichung bis zu 27,7 m haben. Die Zeitinformationen sollten auf 200 ns genau sein.

Anmerkung: Die oben genannten Werte sind lediglich Zahlen, wie sie nur in den Anforderungen an das System genannt wurden. W ie viel Meter die Abweichungen von der wahren Position durchschnittlich in der Praxis beträgt, zeigt das folgende Diagramm:

3.4 Offene Möglichkeiten für die Zukunft

Das russische äquivalent zum GPS „GLONASS“ ( Global Navigation Satellite System) bietet ein alternatives, weitgehend identisches Navigationssystem. Leider sind kaum Informationen darüber verfügbar. Man weiß aber, dass es in höheren Breitengraden dem GPS sogar überlegen ist. Eine Kombination der beiden Systeme würde eine Verdoppelung an verfügbaren Navigationssatelliten und eine deutliche Verbesserung der erzielbaren Genauigkeit bedeuten. Man hat durch eine weitere Kombination der Korrekturmaßnahmen (DGPS und INS) schon eine Genauigkeit im Zentimeterbereich erzielt.

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4.1Das Raumsegment

Das Raumsegment wird von

24 Satelliten gebildet.

Sie kreisen zu viert jeweils auf einer von sechs einer Höhe von 20180 Kilometern um die Erde, sodass das System von jedem Punkt auf der Erde aus ohne durch politische Grenzen genutzt Seit insgesamt über 40 GPS-Satelliten Orbits Satellit wiegt etwa 1500 kg, ist bis zu 8 Meter breit und besteht aus

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über70000 Einzelteilen. Die Energieversorgung für Sender, Empfänger und Computer erfolgt über Solarkollektoren. Bis zum Ende der erwarteten Lebensdauer von 7 Jahren liefern sie über 700 Watt elektrische Energie.

4.2 Das Kontroll-Segment

Das Kontroll-Segment besteht aus der Haupt-Kontroll-Station auf der Falcon Air Force Base in Colorado Springs (USA) und vier Überwachungsstationen, die in der Nähe des Äquators positioniert sind. Diese Stationen haben die Aufgabe, Satellitenbahnen zu überwachen. Sie erhalten die dafür erforderlichen Informationen von den Satelliten und senden sie an die Haupt-Kontroll-Station, wo sie ausgewertet werden. Falls Änderungen Korrekturdaten an die Satelliten gesendet.

5 Positionsbestimmung mit dem GPS

In den folgenden Abschnitten sollen schrittweise die mathematischen Grundlagen für die vierdimensionale Ortung (Länge, Breite, Höhe, Zeit bzw. Geschwindigkeit) erläutert werden.

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5.1Grundlagen und Funktionsprinzip des GPS

Die Entfernung der Satelliten zum Empfänger wird über Signallaufzeiten berechnet. Es stellt sich aber zunächst die Frage, welcher Art die Signale sein müssen, die die Satelliten senden sollen. Daten von einem Satelliten können nur über elektromagnetische Wellen empfangen werden. Da den Satelliten die Position des Anwenders logischer Weise auch nicht bekannt ist, generieren die GPS-Satelliten in kurzen Intervallen einen Code, der u.a. die Sendungszeit, die genauen eigenen Positions- und Bahndaten und eine zufällige Bitabfolge ( Pseudo Random Noise Code) enthält. Die Satelliten senden den Code mit der definierten Länge von 1000 Mikrosekunden zu einer bestimmten Zeit. In genau dem gleichen Augenblick erzeugt der GPS-Empfänger diesen Code als Kopie. Da nun der Satelliten-Code die Strecke vom Satelliten zum Empfänger durchlaufen muss, trifft er zeitverzögert zur Code-Kopie beim Empfänger ein. Das Ausmaß der Verzögerung verhält sich proportional zur Entfernung. Aus den Daten kann der GPS-Empfänger dann die aktuelle Position berechnen. Allerdings wird das Ergebnis von mehreren Fehlerquellen verfälscht; z.B. durch Signalbrechungen in der Atmosphäre. Eine Zeitdifferenz von 5 ns würde z.B. schon zu einer Abweichung von etwa 1,52 Metern führen.

5.1.1 Das WGS-84 (World-Geodetic-System, 1984)

Es stellt sich die Frage, wie man eine Position beschreiben soll. Die geläufige Angabe durch Längen- und Breitengraden eignet sich leider nicht für Ortsangaben in der Atmosphäre. Außerdem kann man schlecht mit den indekadischen Werten rechnen.

Die Lösung des Problems stammt aus der Algebra: Man definiert ein Koordinatensystem, auf das sich alle betrachteten Objekte beziehen können. Eine Position kann dann in einer bestimmten Längeneinheit dreidimensional und eindeutig dargestellt werden.

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Fürdas GPS bildet das WGS-84 die Koordinatengrundlage. Der Ursprung des WGS-84 liegt im Massezentrum der Erde, also im Erdkern. Die X-Achse verläuft in positiver Richtung durch den Schnittpunkt von Äquator und Greenwich-Meridian. X- und

Y-Achse Ebene, Äquator liegt und die Z-Achse verläuft Nord- und Südpol. Das WGS-84 beinhaltet aber auch Daten, Oberfläche beschreiben, Abflachung an den Polen, was für Höhenangaben wird.

5.2 Ortung mit einem Satelliten bei synchronen Uhren

Wenn der GPS-Anwender das Signal eines Satelliten empfängt, erhält er folgende Informationen:

1) Die Signallaufzeit ?t beträgt die Differenz zwischen dem Zeitpunkt T S , zu dem das Signal im Satelliten erzeugt wurde und der Ankunftszeit T A :

∆ t = ( t A – t S )

2) Da sich das Signal mit Lichtgeschwindigkeit (c) ausbreitet, gilt für die Entfernung r vom Satelliten zum r = ∆ t c

Empfänger:

3) Die Position des Anwenders liegt also auf einer Kugel mit dem Radius r und dem Satelliten als Mittelpunkt. Da die Position des Satelliten im gesendeten Signal enthalten ist, kann man die Lage der Kugel im WGS-84 genau bestimmen. Mit

v , der zur Satellitenposition führt und dem

dem Ortsvektor s

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v v

Der Anwender empfängt das Signal eines Satelliten, der sich

gerade auf der Position (25718,7|-90486,2|26608832,7)

befindet und den Messungen nach 20230914,4 Meter vom

v

Anwender entfernt ist. Der Vektor r

den Anwender zeigt, sei bekannt, was aber in der Praxis

nicht der Fall ist. Nach der obigen Gleichung lässt sich

dann die Position des Anwenders berechnen.

 

−

 

7 , 25718



v

=



2 , 90486 r



−



20230695

Einsetzen in die Kugelgleichung:

−

     

7 , 25718



v

=



2 , 90486 x



−

     

20230695

⇒ Position des Anwenders: (0|0|6378137,0)

Wenn man nun die Daten des WGS-84 untersucht, erfährt man,

dass sich der Anwender auf dem Nordpol befinden muss.

5.3 „Pseudo-Entfernungen“

Das Ergebnis r aus 5.2 ist die sogenannte Pseudoentfernung.

Der Ausdruck weist darauf hin, dass diese zunächst

berechnete Entfernung mit gewissen Unsicherheiten behaftet

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ist.Die in den Empfängern berechnete Pseudoentfernung r p lässt sich mit folgender Gleichung ausdrücken: r p = geometrische Entfernung + Systemfehler inkl. S/A Die folgende Abbildung verdeutlicht den Auswirkungen der Systemfehler bei der Positionsbestimmung.

5.4 Ortung mit einem Satelliten bei asynchronen Uhren

In der Praxis weisen die Uhren von Empfänger und Satellit unakzeptable und unbekannte Zeitunterschiede auf, was, wie bereits genannt, zu starken Abweichungen führt. Da die präzisen Satellitenuhren untereinander synchron laufen, lässt sich das Problem mithilfe eines zweiten Satelliten lösen. Es lassen sich zunächst zwei Gleichungen analog zu

5.2 bestimmen:

(1) für die Entfernung r 1 zum 1.Satellit: r 1 = c ( t A – t S1 ) (2) für die Entfernung r 2 zum 2.Satellit: r 2 = c ( t A – t S2 ), wobei t A die gemeinsame, unbekannte Ankunftszeit und t S1 und t S2 genaue Startzeiten der Signale sind. Folgende Gleichungen kann man nun formulieren: c t S1 + r 1 = c t A (Umformung der 1. Gleichung)

c t S2 + r 2 = c t A (Umformung der 2. Gleichung) ⇒ c t S1 + r 1 = c t S2 + r 2 (gleichsetzen der Teilgleichungen) ⇒ r 1 = c(T S2 - T S1 )+r 2

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Umdie drei Unbekannten bestimmen zu können, muss man die Summe der Entfernungen durch eine andere Variable substituieren ( s = r 1 + r 2 ).

− −

=

r

1

Wenn man das Ergebnis nun in die Ausgangsgleichungen einsetzt, erhält man auch die Systemzeit t A bzw. die UTC (Universal Time Coordinated). r 1 und r 2 beschreiben nun nahezu die geometrischen Entfernungen zu den Satelliten. Reflexionen am Boden und Verzögerungen in der Atmosphäre, die nur näherungsweise berechnet werden können tragen noch zu geringen Abweichungen bei.

5.5 Ortung mit zwei Satelliten

Bei der Positionsbestimmung mit einem Satellit liegt die gesuchte Position auf der Oberfläche einer Kugel. Wenn die Entfernungen zu zwei Satelliten sind, dann Position

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Schnittmengeder beiden Kugeln, die aus den Entfernungen r 1 und r 2 zu den jeweiligen Satelliten S 1 und S 2 resultieren. Die Schnittmenge beschreibt den Kreis s, auf dem sich der Anwender befindet:

v v v v v v

+ = ∧ + =

v und 2 v sind die Ortsvektoren zu S 1 und S 2 .

s s

1

5.6 Dreidimensionale Ortsbestimmung

Nimmt man einen

dritten hinzu, so erhält man zwei wobei wirkliche darstellt. Es werden also mindestens vier Satelliten um ein Ergebnis Position zu bekommen. Mithilfe allgemeinen Kugelgleichung ließe sich dann folgendes Gleichungssystem für die Entfernung r i zu den Satelliten 1 bis 4 formulieren:

2 = (x-x 1 ) 2 + (y-y 1 ) 2 + (z-z 1 ) 2

Die Positionen der Satelliten (x i ,y i ,z i ) und die Entfernungen zum Anwender können nach 5.4 berechnet werden. Die Position des Empfängers (x,y,z) lässt sich mit diesem nichtlinearen Gleichungssystem nicht lösen. Außerdem erfolgt die Positionsbestimmung mit fehlerhaften Messungen, sodass sich gar kein einheitlicher Schnittpunkt der Kugeln ergeben kann.

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Die Kugeloberflächen verlaufen nebenstehenden Schema neben der wirklichen Position her.

Die Position wird in der Praxis durch ein rechenintensives, iteratives berechnet. Dazu wird die eigene Position zunächst geschätzt. Die Pseudo-Entfernungen zu den jeweiligen Satelliten werden mithilfe der Messungen und der geschätzten Position durch Matrizen berechnet. Aus den Ergebnissen ermittelt man eine neue Position, die der Realität eher entspricht. Das Verfahren wird mit der neuen Position so lange wiederholt, bis sich Werte ergeben, die von einem gemeinsamen Schnittpunkt weiter abweichen. Das beste Ergebnis entspricht weitgehend der Realität.

5.7 Berechnung der Geschwindigkeit

5.7.1 Bestimmung durch Ortsveränderung

Preisgünstige GPS-Empfänger berechnen die eigene Geschwindigkeit mit der allgemeinen Geschwindigkeits- ∆

v ∆ gleichung:

t Mit den Positionen (x 1 ,y 1 ,z 1 ) und (x 2 ,y 2 ,z 2 ) zu den jeweiligen Zeitpunkten t 1 und t 2 ergibt folgende Formel:

   

=

v

Dass mehrere Positionen zur Berechnung gebraucht werden, hat den Nachteil, dass das Ergebnis eine Durchschnittsgeschwindigkeit der letzten Sekunden darstellt. Außerdem

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wirkensich Fehler bei der Positionsbestimmung auf die Berechnung aus.

5.7.2 Bestimmung durch Doppler-Frequenzverschiebung

Sehr genaue Ergebnis erhält man durch die Untersuchung der Frequenzverschiebung beim Empfang des Signals. Der

auftretende Doppler-Effekt elektromagnetischer Wellen: Je schneller sich Anwender und Sender nähern, desto mehr erhöht sich d ie empfangene Frequenz und je schneller sich Anwender und Sender voneinander entfernen, desto mehr verringert sie sich. Die Frequenzverschiebung verhält sich dabei proportional zur Geschwindigkeit.

In diesem Fall kann die Geschwindigkeit mithilfe der Frequenzverschiebung bestimmt werden, weil die Bewegung des Senders, also des GPS-Satelliten bekannt ist. Für einen ruhenden Empfänger und einen bewegten Sender gilt:

f

E 1

I )

c (Die Bedeutungen der Formelzeichen werden am Ende des Abschnitts erklärt.) Da alle Werte der linken Teilgleichung bekannt sind, lässt sich die, durch die Satellitenbewegung verursachte Frequenz-

f − ±

verschiebung Für einen ruhenden Sender und einen bewegten Empfänger gilt:

( )

f

E

⇔

II)

v

Die Frequenz f E setzt sich folgendermaßen zusammen:

− ± =

III)

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Wennman nun f E2 in der II.Gleichung substituiert und f E1

nach der I.Gleichung berechnet, erhält man eine lösbare

Gleichung für die Geschwindigkeit:

 

v

E

IV)

Beispiel:

Folgende Daten seien gegeben:

- Empfangene Frequenz: 1575440658 Hz

- Geschwindigkeit des Satelliten: 3889 m⋅s -1

- Gesendete Frequenz: 1575420000 Hz (Konstante)

- Lichtgeschwindigkeit: 2,9979⋅10 8 m⋅s -1 (Konstante)

- Der Anwender nähert sich dem Satelliten.

Daraus ergibt sich:

−

⋅

1 9

=

f

E 1

⇒

f

E 1

Einsetzen in die IV.Gleichung:

 

− − −

= ⇒

v 2

E

≈ ⇒

v 50

E

Die Geschwindigkeit des Anwenders muss somit etwa 180km/h

betragen.

Erklärung der Formelzeichen:

f E vom Empfänger gemessene Frequenz

f S vom Sender abgestrahlte Frequenz

v E Geschwindigkeit des Empfängers

v S Geschwindigkeit des Senders

c Lichtgeschwindigkeit

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Beiallen Gleichungen gilt das obere Vorzeichen beim Annähern, das untere Vorzeichen beim Entfernen von Empfänger und Sender voneinander.

6 Anhang

6.1 Zusammenfassung

Insgesamt ist festzustellen, dass das Grundprinzip des GPS (Ortung durch Laufzeitmessungen) im Vergleich zu anderen modernen Navigationssystemen sehr einfach und leicht verständlich ist. Allerdings führen die Ungenauigkeiten bei den Messungen dazu, dass aufwendige mathematische Berechnungen, die in dieser Facharbeit nicht behandelt werden konnten, durchgeführt müssen. Mathematische Lernschwerpunkte bei dieser Facharbeit lagen bei mir im Bereich der Vektorrechnung (bei Kugeln) und im Bereich der Geschwindigkeitsbestimmung mittels Frequenzverschiebungen.

Abschließend kann ich sagen, dass für mich die Erarbeitung dieser Facharbeit sehr informativ und interessant war.

6.2 Literaturverzeichnis

Fachliteratur:

1) Thaller, G.E., Satelliten im Orbit - Nachrichten, Fernsehen und Telefonate aus dem Weltall, Poing 1999

2) Strobel, J., GPS - Global Positioning System, Poing 1995

3) Bachmann, P., Handbuch der Satellitennavigation /

GPS Technik – Geräte – Anwendung, Stuttgart 1993

Abbildungen:

- Abb. 3.1, 4.2: Quelle 1

- Abb. 4,3, 4,4: Quelle 2

- Abb. 4.1, 4.5: Quelle 3

- Die anderen Abbildungen habe ich selber erstellt

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Internet:

- Homepage der GPS-Hauptkontrollstation: http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/gps/gps_ftoc.html

- Publizierte Facharbeit über das GPS : http://home.vr-web.de/benji/gps.htm

- Garmin-GPS-Empfänger Webseite: www.garmin.com (Stand der Angaben: April 2001)

Hilfsmittel:

- Personal Computer mit Windows 98 mit Scanner und Drucker

- Textverarbeitung Microsoft Word 2000

- Grafikbearbeitungsprogramm Paint Shop Pro 5.0

- Geometrieprogramm Euklid DynaGeo 2.0

6.3 Erklärung

Ich erkläre hiermit, dass ich die vorliegende Facharbeit ohne fremde Hilfe angefertigt und nur die im Literaturverzeichnis angeführten Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.