1. Die Kettenregel

1.1 Erklärung einer verketteten Funktion

Um die Kettenregel zu verstehen, muss man erst einmal wissen, was eine verkettete Funktion ist.

Als ein Beispiel für eine verkettete Funktion ist f(x) = cos (2x+5). Man trennt diese Funktion in zwei Funktionen ( innere und äußere Funktion) auf: Äußere Funktion: f(z) = cos z Innere Funktion: z(x) = 2x+5

Will man also die Funktion f(z)=u(z) mit einer zweiten Funktion z(x)= g(x) verketten, ersetzt man die Variable z mit g(x).

So entsteht die sogenannte verkettete Funktion: u ο g: f(x) = z(u(x)). Hierbei ist z die

äußere und u die innere Funktion.

Als Beispiel zur Berechnung einer solchen Funktion eignet sich f(x) = sin x²: f(z) = sin z ist die äußere Funktion und z(x)= x² ist die innere Funktion. Man berechnet diese Funktionen von innen nach außen, d.h. wenn man für x= 3 einsetzt, quadriert man die 3 und dann nimmt man den Sinus. f(x) = sin 9

Natürlich kann man auch mehr als zwei Funktionen miteinander verketten: Bsp:

f(x) = sin √tan x²

Diese Funktion besteht aus vier Funktionen. Es sind (von außen nach innen)

Die vollständige Zerlegung sieht wie folgt aus:

f(z) = sin z ∧ z(u) = √u ∧ u(v) = tan v ∧ v(x) = x²

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Zur weiteren Veranschaulichung noch ein Beispiel: f(x) = tan³ (x² + 2x)

f(x) = z³ ∧ z = tan u ∧ v = x² + 2x

Verdeutlichung der Vorgehensweise bei verketteten Funktion

Man schaut sich am besten zuerst die äußerste Funktion an. Sie steht am Ende der verketteten Funktion.

Danach arbeitet man sich zur nächstinneren Funktion vor. Als letztes folgt die innerste Funktion.

Es ist außerdem wichtig, dass man nach Möglichkeit eine geordnete Reihenfolge der Variablen wählt (z.B. a,b,c....u,v,w,z)

1.2 Erklärung Kettenregel

Mit den bisher bekannten Ableitungsregeln (Faktor-, Produkt- und Quotientenregel) kann man „einfache“ Funktionen differenzieren. Diese Ableitungsregeln reichen jedoch nicht mehr aus , wenn es darum geht verkettete Funktionen zu differenzieren. Man wird mit bisherigen Ableitungsregeln nicht die Funktion f(x) = sin (3x-4) differenzieren können. Um solch eine Funktion ableiten zu können benötigt man die Kettenregel. Um die Kettenregel anzuwenden, muss man die verkettete Funktion in zwei Funktionen trennen (in 1.1 beschrieben).

Man substituiert die innere Funktion (beispielsweise mit z). Nun wird die substituierte Variable in die (nächst-) äußere Funktion eingesetzt. ⇓

z (x)= u(x) ⇒ Innere Funktion

f(z) = g(z) ⇒ Äußere Funktion

Zwischen den Bezeichnungen besteht folgender Zusammenhang:

f(x) = g(z) = g(u(x))

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Die Ableitung der Funktion f(x) = g(u(x)) nach der Variablen x lässt sich dann mit Hilfe der Ableitungen der inneren und äußeren Funktion bilden.

dy

: Äußere Ableitung (Ableitung der äußeren Funktion f(z) = g(z))

du

: Innere Ableitung (Ableitung der inneren Funktion z(x) = u(x))

Die Ableitung einer verketteten Funktion erhält man also durch multiplizieren der äußeren und inneren Funktion.

Man kann die Kettenregel aber nur anwenden, wenn die äußere und innere Funktion differenzierbar sind.

Die Kettenregel kann man auch anwenden, wenn es mehrere verkettete Funktionen (z.B. 3, 4 ...) sind. Für einen solchen Fall lautet die allgemeine Form der Kettenregel:

(Beispiele für diesen Fall unter 1.3)

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1.3 Beispiele

I. f(x) = 3 * sin (5x)

Substitution : z(x) = 5 x

Äußere Funktion : Innere Funktion: dy Äußere Ableitung: = 3 * cos z = 3 * cos (5x)

dz

dz

Innere Ableitung = 5

dx

f’(x) = 3 * cos (5x) * 5 = 15 * cos (5x)

II. f(x) = sin² x

Substitution : z(x) = sin x

Äußere Funktion : Innere Funktion: dy Äußere Ableitung: = 2 z

dz

dz

Innere Ableitung = cos x

dx

f’(x) = 2 z * cos x = 2 * sin x * cos x

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III. f(x) = sin (4 cos² x 4 ) z = 4 u² ∧ u = cos v ∧ v = x ⁴ Substitution :

Äußere Funktion : 1.Innere Funktion:

2. Innere Funktion:

3. Innere Funktion:

dy

Äußere Ableitung: = cos z

dz

dz

1.Innere Ableitung = 8 u

du

du

2.Innere Ableitung = -sin v

dv

dv

3.Innere Ableitung = 4 x³

dx

f’(x) = cos (4cos² x 4 ) * 8 cos x 4 * (-sin x 4 ) * 4x³

IV. f(x) = sin³ 2x

z = sin u ∧ u = 2x Substitution : Äußere Funktion : f(z) = z³

1. Innere Funktion:

2. Innere Funktion:

dy

Äußere Ableitung: = 3 a²

dz

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dz 1.Innere Ableitung = cos b

du

du

2.Innere Ableitung = 2

dx

f’(x) = 6 sin² 2 x * cos 2x

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