Inhaltsverzeichnis:

1  Einleitung  

2  Geometrische Grundkonstruktionen  

2.1  Die Seitenhalbierende  

2.2  Die Mittelsenkrechte  

2.3  Das Lot  

2.4  Die Winkelhalbierende  

2.5  Die Mittelparallele  

2.6  Dreiecke  

2.6.1  Rechtwinklige Dreiecke  

2.6.2  Spitzwinklige Dreiecke  

2.6.3  Stumpfwinklige Dreiecke  

2.6.4  Gleichschenklige Dreiecke  

2.6.5  Gleichseitige Dreiecke  

2.6.6  Ähnlichkeitssätze  

2.6.7  Kongruenzsätze  

2.6.7.1  SSS  

2.6.7.2  SSW  

2.6.7.3  SWS  

2.6.7.4  WWS  

2.6.7.5  WSW  

3  Anlagen  

3.1  Konstruktionen  

3.2  Konstruktionsanleitungen  

4  Literaturverzeichnis  

1. Einleitung

Zunächst möchte ich Geometrische Grundkonstruktion erklären. Dazu gehe ich von den Wörtern Geometrie und Konstruktion aus.

Geometrie bedeutet im eigentlichen Sinne Erdmessung. Sie ist das Gebiet der Mathematik, das die gestaltlichen Gesetzmäßigkeiten und Größenbeziehungen an und zwischen Linien, Flächen und Körpern behandelt.

Die Konstruktion in der Mathematik ist die zeichnerische Darstellung einer Figur oder eines Körpers aus gegebenen Größen.

Also ist, um die Wörter wieder zusammenzusetzen, eine geometrische Grundkonstruktion eine zeichnerische Darstellung einer Figur oder eines Körpers, die sehr wichtig für die Be-handlung gestaltlicher Gesetzmäßigkeiten und Größenbeziehungen an und zwischen Linien, Flächen und Körpern.

Ich werde im Folgenden vor allem das Wesen und einige Anwendungen von bestimmten geometrischen Grundkonstruktionen, vor allem in Dreiecken, benennen und ihre Konstruk- tion erläutern.

2. Geometrische Grundkonstruktionen

Geometrische Grundkonstruktionen sind Seitenhalbierende, Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Lot und Mittelparallele.

2.1 Die Seitenhalbierende

Eine Seitenhalbierende einer Strecke ist jede Gerade, die diese Strecke nur in ihrem Mittelpunkt schneidet. Eine Seitenhalbierende in einem Dreieck ist die Gerade vom Mittelpunkt der Dreiecksseite zum ihr gegenüberliegenden Punkt. Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks treffen sich im Schwerpunkt (S) des Dreiecks.

2.2 Die Mittelsenkrechte

Die Mittelsenkrechte auf einer Strecke ist die Gerade, die durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft und mit ihr einen Winkel von 90° bildet. Die drei Mittelsenkrechten in einem Dreieck treffen sich im Mittelpunkt des Umkreises dieses Dreiecks.

2.3 Das Lot

Das Lot auf einer Geraden ist die von einem Punkt gezogene Gerade, die mit einer zweiten Geraden oder einer Ebene einen Winkel von 90° bildet. In einem Dreieck ist das Lot auf einer Seite durch den gegenüberliegenden Punkt die Höhe dieser Seite.

2.4 Die Winkelhalbierende

Die Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleich große Winkel. Im Dreieck ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Winkels mit den Winkelhalbierenden der Außenwinkel der anderen beiden Winkel.

2.5 Die Mittelparallele

Die Mittelparallele ist die Gerade, die zwischen zwei parallelen Geraden liegt und immer den gleichen Abstand zu beiden hat.

2.6 Dreiecke

Dreiecke sind ebene oder zweidimensionale Figuren, die von drei Seiten begrenzt werden und demnach drei Ecken haben. Sie lassen sich durch die Größe der Winkel und die Verhältnisse der Längen der Seiten einteilen. Wenn man sie nach der Größe des größten Winkeln einteilt, erhält man folgende Gruppen: rechtwinklige, spitzwinklige und stumpfwinklige Dreiecke. Diese Einteilung erfolgt nach der Größe des größten Winkels. Wenn man sie nach den Verhältnissen der Seiten einteilt, unterscheidet man gleichseitige, gleichschenklige und ungleichseitige Dreiecke. Bei gleichschenkligen Dreiecken sind 2 und bei gleichseitigen Dreiecken alle 3 Seiten gleich lang. Bei ungleichseitigen Dreiecken ist keine Seite so lang wie eine andere.

Einige wichtige Gesetzmäßigkeiten gelten für alle Dreiecke. So liegt der größte Winkel immer der größten und der kleinste Winkel immer der kleinsten Seite gegenüber. Die Summe zweier Seiten muss immer größer als die dritte Seite sein. Die Summe der Innenwinkel beträgt immer 180°. Der Flächeninhalt berechnet sich für alle Dreiecke aus dem Halbprodukt der Grundseite und ihrer Höhe (A = ½ · g · h). Die Höhe einer Seite in einem Dreieck ist das Lot auf der Seite vom ihr gegenüber liegenden Punkt.

Auch kann man jedes Dreieck mit Hilfe der Trigonometrie berechnen, auf die ich hier nicht weiter eingehen möchte. Besondere Punkte in jedem Dreieck sind ...

a) ... der Mittelpunkt M des Umkreises. Der Umkreis eines Dreiecks ist der Kreis, auf dessen Peripherie alle Eckpunkte des Dreiecks liegen. In diesem Punkt treffen sich die 3 Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten treffen.

b) ... der Schnittpunkt H der drei Höhen auf den Dreiecksseiten.

c) ... der physikalische Schwerpunkt S des Dreiecks in welchem sich die drei Seitenhalbierenden der Dreiecksseiten treffen.

d) ... der Mittelpunkt W des Inkreises mit dem Radius ρ, der alle Dreiecksseiten in je einem Punkt berührt.

e) ... die Mittelpunkte der drei Ankreise, von denen jeder je eine Seite und die Verlängerungen der beiden anderen Seiten berührt. Sie sind die Schnittpunkte der Winkelhalbieren- den der Innen- und Außenwinkel.

2.6.1 Rechtwinklige Dreiecke

Rechtwinklige Dreiecke sind Dreiecke, deren größter Winkel (allgemein als γ bezeichnet) ein rechter Winkel ist d.h. γ = 90° beträgt. Diesem Winkel liegt die größte Seite gegenüber, die Hypothenuse genannt und allgemein als Seite c bezeichnet. Die folgenden Formeln zur Berechnung von rechtwinkligen Dreiecken basieren auf der Grundlage eines Dreieckes

∆ABC mit den folgenden Winkeln: Winkel BAC = α, Winkel CBA = β und dem Winkel ACB = γ = 90° (rechter Winkel). Die an den rechten Winkel grenzenden Seiten werden Katheten genannt. Die Höhe h auf der Hypothenuse teilt sie in die Hypothenusenabschnitte p und q, wobei p der Kathete a und q der Kathete b zugeordnet ist. Die Höhe einer Kathete ist jeweils die andere Kathete.

Rechtwinklige Dreiecke haben besondere Eigenschaften und Berechnungsmöglichkeiten gegenüber anderen Dreiecken. Eine davon ist der sogenannte Pythagoräische Lehrsatz, der fälschlicherweise dem mathematisch interessierten griechischen Philosophen Pythagoras von Samos und seiner Schule zugeschrieben wurde. Pythagoras lebte von ca. 580 v. Chr. bis ca. 496 v. Chr. „Sein“ Lehrsatz sagt aus, dass die Summe der Quadrate über den Katheten genauso groß ist, wie das Quadrat über der Hypothenuse (c² = a² + b²). Auch weitere Sätze gelten am rechtwinkligen Dreieck und nur dort. Zum Beispiel die Kathetensätze des Euklid: Sie besagen, dass das Quadrat über einer Kathete genauso groß ist, wie das Rechteck, das aus dem zur Kathete gehörigen Hypothenusenabschnitt und der Hypothenuse (a² = c · p und b² = c · p). Der Höhensatz des Euklid sagt aus, dass das Produkt der Hypothenusenabschnitte das Quadrat der Höhe über der Hypothenuse ergeben (h² = p · q).

2.6.2 Spitzwinklige Dreiecke

Als spitzwinklige Dreiecke bezeichnet man alle Dreiecke, in dem jeder Winkel kleiner als 90° ist.

2.6.3 Stumpfwinklige Dreiecke

Stumpfwinklige Dreiecke sind Dreiecke, deren größter Innenwinkel größer als 180° ist. Bei ihnen liegen 2 Höhen, nämlich die auf den Schenkeln des stumpfen Winkels, außerhalb des Dreiecks.

2.6.4 Gleichschenklige Dreiecke

Bei gleichschenkligen Dreiecken sind zwei Seiten gleich lang. Wenn die Grundseite genauso lang ist, handelt es sich gleichzeitig um ein gleichseitiges Dreieck. Die Höhe auf der Grundseite teilt ein gleichschenkliges Dreieck in zwei gleich große rechtwinklige Dreiecke. Wenn man diese Teildreiecke mit der Satzgruppe des Pythagoras und der Satzgruppe des Euklid berechnet, kann also auch das gleichschenklige Dreieck berechnet werden.

2.6.5 Gleichseitige Dreiecke

Gleichseitige Dreiecke haben drei gleich lange Seiten. Außerdem haben sie nur Winkel mit 60°, da alle Winkel gleich groß sein müssen und die Innenwinkelsumme 180° beträgt. Um die Gradzahl gleichmäßig auf alle Winkel zu verteilen, muss man die 180° durch die Anzahl der Winkel teilen, was in diesem Fall bedeutet, dass alle Winkel 60° betragen müssen (α =

β = γ = (180° : 3) = 60°).

2.6.7 Kongruenzsätze

Kongruenzsätze sagen, welche Stücke eines Dreiecks gegeben sein müssen um es eindeutig konstruieren zu können. Die gegebenen Stücke können nur entweder Seiten oder Winkel sein. Die Kongruenzsätze werden so genannt, welche die 3 gegebenen Stücke sind, zum Beispiel Seite - Winkel - Seite. Aber diese Bezeichnung wird abgekürzt: man sagt z.B. SWS. Daraus ergeben sich folgende Kongruenzsätze: SSS, SWS, SSW, WWS und WSW. Alle nach der gleichen Konstruktionsanweisung konstruierten Figuren sind kongruent oder auch deckungsgleich, das heißt, sie können durch Spiegelung, Drehung oder Verschiebung ineinander umgewandelt werden.

2.6.7.1 SSS

- die 3 Seiten sind gegeben 2.6.7.2 SWS

- 2 Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel sind gegeben

2.6.7.3 SSW

- 2 Seiten und der Winkel, der der größeren Seite gegenüberliegt sind gegeben

2.6.7.4 WWS

- 2 Winkel und eine Seite sind gegeben

2.6.7.5 WSW

- eine Seite und die anliegenden Winkel sind gegeben

2.6.6 Ähnlichkeitssätze WWW

Bei diesem Satz sind die drei Winkel gegeben. Da die Seiten des Dreiecks unterschiedlich sein können, sind die erhaltenen Dreiecke nur ähnlich, d.h., sie können durch Strec??kung oder Stauchung der Seiten ineinander umwandeln. Ähnliche Dreiecke können auch kongru- ent sein.

3.2 Konstruktionsanleitungen

Mittelpunkt einer Seite bzw. Mittelsenkrechte

(1) Als erstes ist von den Endpunkten der Seite A und B je ein Kreisbogen zu zeichnen, der einen Radius hat, der größer ist als die Hälfte der Seite.

(2) Für die Mittelsenkrechte sind die Schnittpunkte der Kreisbögen zu verbinden; für den Mittelpunkt der Seite reicht es, wenn nur der Schnittpunkt mit der Seite einzuzeichnen. Seitenhalbierende

(1) Zunächst ist der Mittelpunkt der Seite zu ermitteln (siehe oben). (2) Die Verbindung von einem gegebenen Punkt zu diesem Mittelpunkt ist die Seitenhalbierende. Winkelhalbierende

(1) Es ist zuerst ein Kreisbogen vom Scheitelpunkt S zu zeichnen, der die Schenkel g und h schneidet.

(2) Von den Schnittpunkten S 1 und S 2 ist nun je ein Kreisbogen zu zeichnen, der einen Radius hat, der größer ist als die Hälfte der Seite. Die Gerade, die durch die beiden Schnittpunkte dieser Kreisbögen verläuft, ist die Winkelhalbierende. Lot

(1) Hier ist zuerst der Zirkel am Punkt P anzusetzen, durch den das Lot verlaufen soll. (2) Von dort aus ist ein Kreisbogen zu zeichnen, der die Gerade g an zwei Punkten schneidet.

(3) Nun ist von diesen Schnittpunkten je ein Kreisbogen zu zeichnen, der einen Radius hat, der größer ist als die Hälfte des Abstands der beiden Schnittpunkte. (4) Jetzt kann man den gegebenen Punkt über einen der beiden neuen Schnittpunkte bis zur Geraden verbunden werden. Diese Linie ist das Lot vom Punkt P auf der Geraden g.

Mittelparallele

Gegeben sind die Geraden g und h (g || h).

(1) Zuerst gibt man sich einen beliebigen Punkt P vor, der weder auf einer der Geraden, noch zwischen ihnen liegt.

(2) Dann fällt man das Lot von diesem Punkt auf die Gerade, die von ihm weiter entfernt ist. Die Schnittpunkte des Lots mit den Geraden heißen A und B. ______

(3) Zuletzt konstruiert man die Mittelsenkrechte auf der Strecke AB. diese Mittelsenkrechte ist dir Mittelparallele m der Geraden g und h. Kongruenzsätze SSS

Gegeben sind die Längen der Seiten als a, b und c. (1) Zunächst wird die Strecke a gezeichnet. Die Endpunkte lauten B und C. (2) Die Seite b hat die Endpunkte C und A. Der Punkt A liegt also im Abstand b von C entfernt. Somit liegt er mit dem Radius b auf dem Kreis um C. es wird also ein Kreis um C mit dem Radius b geschlagen. (3) Entsprechend schlägt man um B einen Radius a.

(4) Die beiden Kreise schneiden sich in zwei Punkten, von denen einer frei ausgewählt werden kann. Dieser Punkt ist der Punkt A, weil er die richtige Entfernung zu B und zu C ______ ______

hat. Die Strecke AB hat die Länge c und die Strecke AC hat die Länge b. Somit sind alle Punkte gefunden. SWS

Gegeben sind die Längen zweier Seiten a und c und der eingeschlossene Winkel β. (1) Zunächst wird ein Winkel β an zwei freien Schenkeln gezeichnet. Der Scheitelpunkt ist B.

(2) Dann wird ein Kreis um B mit dem Radius a geschlagen und dort wo er den Schenkel a schneidet, befindet sich der Punkt C.

(3) Der Punkt A befindet sich entsprechend am Schnittpunkt, wo der Schenkel c den Kreis um B mit dem Radius c schneidet.

WSW

Gegeben ist die Seite c, sowie die zwei anliegenden Winkel α und β. (1) Es wird die Strecke c mit den Endpunkten A und B abgetragen.

(2) Es wird der Winkel α in A und der Winkel β in B abgetragen. (3) Wo die jeweiligen Schenkel der Winkel sich schneiden, befindet sich der Punkt C. WWS

Gegeben sind die Winkel γ und α und die Seite c.

Diese Konstruktion ist besonders einfach, wenn bedacht wird, dass die Innenwinkelsumme in einem Dreieck immer 180° beträgt. Da zwei Winkel gegeben sind, ist der dritte Winkel zu berechnen und mit diesem kann man das Dreieck mit dem WSW - Verfahren erstellen. Daher wird auch die Konstruktion nicht weiter erläutert. Wenn jedoch das Dreieck rechtwinklig (γ = 90°), kann man wie folgt vorgehen: (1) Zunächst zeichnet man die Seite c.

(2) Dann trägt man den Winkel α ab, und erhält den freien Schenkel b. (3) Nun kann man den Satz des Thales nutzen. Er heißt: „Liegt eine Seite eines Dreiecks auf dem Durchmesser eines Kreises, so ist der dieser Seite gegenüberliegende Winkel

ein rechter Winkel.“ Dieser rechte Winkel ist γ. Die gegenüberliegende Seite c die soll nun der Durchmesser des Kreises sein. Um den Kreis zeichnen zu können, braucht man seinen Radius. Da der Radius die Hälfte des Durchmessers ist, muss man die Seite c halbieren, d.h. den Mittelpunkt der Seite konstruieren (siehe oben). Um diesen Mittelpunkt zeichnet man jetzt den Kreis mit dem Radius ½c.

(4) Am Schnittpunkt des Kreises mit dem freien Schenkel b erhält man den Punkt C. SSW

Gegeben seien zwei Seiten b und c, sowie der Winkel β. (1) Zunächst wird die Seite c mit den Eckpunkten A und B gezeichnet.

(2) Dann wird in B der Winkel β mit einem freien Schenkel abgetragen.

(3) Um A wird anschließend ein Kreis mit dem Radius b geschlagen, und hier können verschiedene Fälle auftreten:

1. Schneidet der Kreis den freien Schenkel nicht, so kann es kein Dreieck mit diesen Angaben geben.

2. Berührt der Kreis den freien Schenkel, so ist der Berührpunkt der gesuchte Punkt C. 3. Schneidet der Kreis den Schenkel zwei mal, so gibt es zwei verschiedene Dreiecke mit diesen Angaben. In diesem Fall braucht man eine weitere Größe, um das Dreieck eindeutig zu beschreiben.

4. Literaturverzeichnis

Bertelsmann Discovery - Das Universallexikon auf CD - Rom Bertelsmann Lexikon Verlag - Das neue Taschenlexikon in 20 Bänden VEB Bibliographisches Institut Leipzig - Handlexikon in zwei Bänden Serges Medien, Köln - Schule 99, Grundstock des Wissens

Ich erkläre hiermit, dass ich die Facharbeit ohne fremde Hilfe angefertigt und nur die im Literaturverzeichnis angegebenen Quellen und Hilfsmittel genutzt habe. Frankfurt (Oder), den