Raum und Zeit

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  Gliederung  

1.  Einleitung  

2.  Vektorielle Darstellung von Bewegungen  

2.1  Bewegungen im Raum  

2.2  Bewegungen in der Ebene  

2.3  Bewegungen in einer Richtung  

3.  Grafische Darstellung von Bewegungen  

3.1  Bewegungen in einer Richtung  

3.1.1  Gleichbleibende Geschwindigkeit  

3.1.2  Wechselnde Geschwindigkeiten  

3.2  Bewegungen in der Ebene  

3.3  Bewegungen im Raum  

4.  Vergangenheit Gegenwart Zukunft  

4.1  Relativitätstheorie  

4.2  Grafische Darstellung von  

  Vergangenheit Gegenwart und Zukunft  

5.  Quellenverzeichnis  

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1. Einleitung

Dieses Referat soll zeigen, wie man Bewegungen mit Hilfe von Vektoren und grafisch durch Schaubilder (Diagramme) darstellen kann. Die ersten Überlegun- gen zu diesem Problem stellte der Mathematiker Hermann Minkowski an, der in den Jahren von 1864 bis 1909 gelebt hat. Sein bedeutenster Schüler war Albert Einstein (1879 - 1955), der als Student in Zürich Mathematikvorlesungen bei Hermann Minkowski gehört hat. Albert Einstein ist bekannt als der Begründer der Relativititätstheorie und einer der wichtigsten Wissenschaftler des 20. Jahrhun- derts.

2. Vektorielle Darstellung von Bewegungen

2.1 Bewegungen im Raum

Die Wahrnehmungsfähigkeit des Menschen ist auf drei Dimensionen beschränkt: Länge, Breite und Höhe.

Will man die Bewegung eines Gegenstandes im Zeitablauf in diesen drei mögli- chen Dimensionen durch einen Vektor darstellen, so benötigt man dazu vier Ko- ordinaten:

drei Koordinaten (x 1, x 2 , x 3 ) geben an, wo sich der Gegenstand befindet. Diese drei Koordinaten bezeichnet man als Ortskoordinaten. Da sich der Gegenstand bewegt, wird mit der vierten Koordinate (t) angegeben, zu welchem Zeitpunkt sich der Gegenstand am Ort mit den Koordinaten (x 1, x 2 , x 3 ) befindet.

Der jeweilige Ort hängt also vom Zeitpunkt ab, d. h. die Ortskoordinaten sind ei- ne Funktion der Zeit:

f (t ) = (x 1 (t); x 2 (t); x 3 (t)),

oder in vektorieller Darstellung

(x 1 (t); x 2 (t); x 3 (t); t).

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2.2 Bewegungen in der Ebene

Bewegt sich ein Gegenstand nur in zwei Dimensionen, also z. B. in einer x 1 , x 2 - Ebene, so benötigt man für die Beschreibung der Bewegung nur die drei Koordi- naten:

(x 1 (t); x 2 (t); t).

2.3 Bewegung in einer Richtung

Für den einfachsten Fall, dass sich der Gegenstand nur in einer Richtung (eine Dimension) bewegt, reicht ein Vektor mit zwei Koordinaten aus:

(x 1 (t); t)

3. Grafische Darstellung von Bewegungen

Den zeitlichen Ablauf von Bewegungen kann man recht einfach mit Hilfe von Koordinatensystemen grafisch darstellen. In das Koordinatensystem werden dabei die Ortskoordinaten des Gegenstandes in Abhängigkeit vom jeweiligen Zeitpunkt eingetragen.

In Kapitel 2 wurde verdeutlicht, dass man für Bewegungen

in einer Richtung zwei Koordinaten

in der Ebene

im Raum

benötigt.

Das Koordinatensystem muss also jeweils eine Dimension (Achse) mehr haben, als Bewegungsrichtungen des Gegenstandes möglich sind. Dies liegt daran, dass man für die Variable t eine eigene Achse benötigt.

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3.1 Bewegungen in einer Richtung

Erfolgt die Bewegung eines Gegenstandes nur in einer Richtung, so kann man diese Bewegung durch ein zweidimensionales Koordinatensystem mit den Koor- dinaten (x 1 (t), (t) beschreiben.

Diagramm 1 zeigt die Bewegung eines Autos mit gleichbleibender Geschwindig- keit. Die grafische Darstellung wurde so gewählt, dass die x 1 -Achse in der Bewe- gungsrichtung des Autos liegt:

Diagramm 1

Die Linie g nennt man die Weltlinie des Autos. Die Koordinaten der Weltlinie g geben jeweils an, wo sich das Auto zu welchem Zeitpunkt befindet:

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die erste Koordinate gibt den Ort an und die zweite Koordinate den dazugehöri- gen Zeitpunkt.

Derartige Raum-Zeit-Diagramme werden nach dem in der Einleitung bereits ge- nannten Mathematiker Minkowski als Minkowski-Diagramme bezeichnet.

Zu beachten ist, dass in der klassischen Mechanik, einem Teilgebiet der Physik, anders als bei Raum-Zeit-Diagrammen - die hier vorgestellt werden - die horizon- tale Achse (hier also die x 1 -Achse) als Zeitachse (also als t-Achse) verwendet wird.

3.1.1 Gleichbleibende Geschwindigkeit

Aus dem Verlauf einer Weltlinie in einem Raum-Zeit-Diagramm kann man auch die Geschwindigkeit ablesen, mit der sich der Gegenstand bewegt:

Geschwindigkeit = Weg / Zeit.

In Diagramm 1 ist eine gleichbleibende Geschwindigkeit dargestellt, mit der sich das Auto ausgehend vom Koordinatenursprung bewegt. Nach 30 Sekunden hat es

30 Meter zurückgelegt. Die Geschwindigkeit beträgt also 1 m / sec.

Die Gleichmäßigkeit der Geschwindigkeit erkennt man daran, dass die Weltlinie eine Gerade darstellt, d. h. eine gleichbleibende Steigerung hat.

Bewegt sich ein Gegenstand überhaupt nicht, so ergibt sich eine senkrechte Welt-

linie. Dies zeigt Diagramm 2

t in sec

7 Der Hase befindet sich zu allen Zeitpunkten am gleichen Ort, er ruht also. Bewegt sich ein Gegenstand nur innerhalb eines bestimmten Zeitraumes, so ergibt sich z. B. folgende Weltlinie:

Diagramm 3

Die Weltlinie in Diagramm 3 stellt dar, dass der Gegenstand zunächst 10 Sekun- den ruht, in den nächsten 10 Sekunden sich um 10 m gleichmäßig entlang der x 1 - Achse bewegt und danach wieder ruht.

Unterschiedliche gleichbleibende Geschwindigkeiten werden im nachfolgenden

Diagramm 4 dargestellt.

Weltlinien bei konstanter Geschwindigkeit

30

25

20

t in sec

15

10

5

0

0

8

Diagramm 4 zeigt drei Weltlinien von drei Gegenständen, die sich ausgehend vom Koordinatensprung entlang der x 1 -Achse mit gleichbleibender Geschwindig- keit bewegen.

Die Weltlinie g stellt die gleichbleibende Geschwindigkeit 1m / sec vor. Diese Bewegung kennen wir schon aus Diagramm 1.

Der Gegenstand mit der Weltlinie h hat sich dagegen nach 30 sec erst um 15 m bewegt. Seine Geschwindigkeit beträgt also 15/30 m / sec, d.h. 0,5 m / sec.

Die Weltlinie k zeigt eine Bewegung von 30 m in nur 15 sec, also eine gleich- bleibende Geschwindigkeit von 30/15 m / sec, d. h. 2 m / sec.

Die Bewegung mit der Weltlinie h ist also nur halb so schnell wie g, während k doppelt so schnell wie g ist.

Als Ergebnis kann man also festhalten, dass die durch eine Weltlinie dargestellte Geschwindigkeit in einem Raum-Zeit-Diagramm umso schneller ist, je flacher die Linie verläuft.

3.1.2 Wechselnde Geschwindigkeiten

Im vorigen Abschnitt wurde gesagt, dass der Anstieg einer Weltlinie die Ge- schwindigkeit angibt, mit der sich der Gegenstand bewegt. Wechselt der Gegens- tand seine Geschwindigkeit, so muss sich also der Anstieg seiner Weltlinie verän-

dern. Dies ist im folgenden Diagramm 5 zu sehen

Weltlinie eines Sektkorkens

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Die Weltlinie g in Diagramm 5 zeigt die im Koordinatensprung beginnende Be- wegung eines Gegenstandes entlang der x 1 -Achse, die zunächst langsam beginnt, dann sehr schnell wird, danach wieder langsamer, bis sie schließlich zum Still- stand kommt.

Es könnte sich also um einen Sektkorken handeln, der aus der unter Druck ste- henden Sektflasche abgeschossen und nach einer gewissen Zeit durch den Luft- widerstand abgebremst wird.

3.2 Bewegungen in einer Ebene

Um Bewegungen in einer Ebene ( zwei Dimensionen) darzustellen benötigt man - wie in 2.2 bereits erwähnt - ein dreidimensionales Koordinatensystem:

(x 1 (t); x 2 (t); t).

Im nachfolgenden Diagramm 6 wird eine bogenförmige Bewegung eines Lö-

wen in der x 1 , x 2 -Ebene gezeigt:

Die Weltlinie g beschreibt diese bogenförmige Bewegung in der x 1 , x 2 -Ebene. Sie steigt, beginnend vom Ausgangspunkt der Bewegung horizontal in Richtung der t-Achse aus der Ebene auf. Je stärker der Anstieg ist, umso schneller ist wiederum die Bewegung in der Ebene.

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Mit Hilfe einer vektoriellen Darstellung kann man die unterschiedlichsten Formen von Bewegungen darstellen.

Als weiteres Beispiel wird in Diagramm 7gezeigt, welche Bewegung mit der Vek- tordarstellung (10 cos (t);10 sin (t); t)

im Bogenmaß für t = 0, ... 4,5 beschrieben wird

t

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3.3 Bewegungen im Raum

Diagramm 8 zeigt die Bewegungen eines Schmetterlings im Raum, d. h. in

drei Dimensionen.

Hier wird die Flugbahn des Schmetterlings gezeigt. Da dieser in drei Richtungen fliegt (links, rechts, hoch/runter), benötigt man zur Beschreibung des Fluges die Koordinaten (x 1 (t), x 2 (t) x 3 (t), t). Man kann in Diagramm 8 jedoch keine vierte Dimension einzeichnen. So beschreibt Diagramm 8 zwar genau die Koordinaten des Fluges, d. h. die Orte, die der Schmetterling anfliegt. Es ist jedoch nicht zu erkennen, wann er sich an welchem Ort befindet.

Dreidimensionale Bewegungen können also nur vektoriell in der Form

(x 1 (t); x 2 (t); x 3 (t) ;t)

erfasst werden.

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4. Vergangenheit, Gegenwart, Zukunft

4.1 Relativitätstheorie

Der Mathematiker und Physiker Albert Einstein hat sich sehr intensiv mit physi- kalischen Systemen beschäftigt, die sich mit sehr hohen Geschwindigkeiten rela- tiv zueinander bewegen. Wesentliche Erkenntnis seiner Forschung ist die soge- nannte Relativitätstheorie. Sie besagt, dass sich Gegenstände nicht schneller be- wegen können als das Licht.

Die Geschwindigkeit des Lichtes beträgt etwa 300.000 km/sec, wenn es sich um einen luftleeren Raum handelt (sog. "Vakuum"). Da auch Licht eine Materie ist, wird sie bei Vorhandensein von Luft abgebremst. Das Licht bewegt sich dann al- so langsamer.

Insgesamt ist Licht das schnellste, was es überhaupt gibt. Damit man sich eine Vorstellung von der Geschwindigkeit des Lichtes machen kann, sei darauf hinge- wiesen, dass die Entfernung von der Erde zum Mond etwa 384.000 km beträgt. Das Licht benötigt für diese weite Strecke also nur etwas über eine Sekunde.

Im Diagramm 9 wird die Weltlinie g eines Lichtsignals dargestellt, dass sich in Richtung der x 1 -Achse ausbreitet.

Die Zeit wird wiederum auf der t-Achse in Sekunden gemessen. Die Entfernung auf der x 1 -Achse wird in sog. "Lichtsekunden" (Ls) abgetragen. Eine Lichtsekun- de ist die Strecke, die das Licht in einer Sekunde zurücklegt, im luftleeren Raum also ca. 300.000 km.

Diagramm 9

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Die Gerade g stellt die Weltlinie des Lichtsignals dar.

In Abschnitt 3.1.1 (vgl. Diagramm 4) wurde gesagt, dass eine gleichförmige Be- wegung um so schnell ist, je geringer der Anstieg derWeltlinie. Dieses bedeutet in Diagramm 9, dass die Weltlinie, die unterhalb von g verläuft, eine Bewegung be- schreiben würde, die schneller als das Licht ist. Dies ist aber nicht möglich. Also müssen sämtliche Bewegungen oberhalb der Weltlinie g liegen.

4.2 Grafische Darstellung von Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft

Einen Punkt in einem Raum-Zeit-Diagramm bezeichnet man auch als "Ereignis".

Nachfolgendes Diagramm 10 zeigt ein dreidimensionales Koordinatensystem,

das Vorgänge in der x 1 , x 2 -Ebene beschreibt:

Hier sind die Weltlinien von Lichtsignalen dargestellt, die einen Doppelkegel bil- den. Da kein Ereignis "schneller" sein kann als das Licht, befinden sich alle mög- lichen Ereignisse, die von A aus erreicht werden können, innerhalb des oberen Kegels (positive-t-Richtung). Im übertragenen Sinne spricht man von dem oberen Kegel auch als "Zukunft" von A. Entsprechend stellt das Innere des unteren Ke-

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gels die "Vergangenheit" von A dar. Die "Gegenwart" von A wird durch das Äu-

ßere des Doppelkegels beschrieben.

Die Begriffe "Vergangenheit", "Gegenwart" und "Zukunft" wurden hier weiter

gefasst als in der Umgangssprache.

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5. Quellenverzeichnis:

LS Analytische Geometrie mit linearer Algebra

Leistungskurs S. 76 - 77 Ernst Klett-Verlag