Karl Friedrich Hofmann
LK Mathematik
Facharbeit: Die Zahl
1
Inhaltsverzeichnis
KAPITEL 1 EINLEITUNG
2
KAPITEL 2 DIE ZAHL
3
2.1 M
ATHEMATISCHE
H
ERLEITUNG VON
3
2.2 G
EOMETRISCHE
H
ERLEITUNG VON
3
2.3 A
PPROXIMATIONEN VON
4
KAPITEL 3 MATHEMATISCHE ANWENDUNGEN VON
5
3.1
IN DER
T
RIGONOMETRIE UND DIE
G
OLDENEN
D
REIECKE
5
3.2
UND DIE
F
IBONACCI
-Z
AHLEN
7
3.3 D
IE
L
UCAS
-Z
AHLEN UND DIE ALLGEMEINEN
F
ORMELN IN
HYPERBOLISCHER
S
CHREIBWEISE
10
KAPITEL 4 KETTENBRÜCHE
12
4.1 D
EFINITION UND
E
INFÜHRUNG IN
K
ETTENBRÜCHE
13
4.2
ALS
K
ETTENBRUCH
14
4.3
-
VERWANDTE
Z
AHLENFOLGEN UND IHRE
K
ETTENBRÜCHE
15
KAPITEL 5 SCHLUSSBEMERKUNG
17
ANHANG
18
A.
Q
UELLENANGABEN
18
B.
B
EISPIEL FÜR DIE
E
NTWICKLUNG EINES
K
ETTENBRUCHS
19
C.
E
INVERSTÄNDNISERKLÄRUNG
20
Karl Friedrich Hofmann
LK Mathematik
Facharbeit: Die Zahl
2
Kapitel 1 Einleitung
Die Zahl
geht, ebenso wie die Kreiszahl , auf das mathematische Erbe der alten
Griechen zurück. Ausgangspunkt zur Herleitung von
war ein geometrisches
Phänomen, dass heute unter dem Namen ,,Goldener Schnitt" oder auch ,,göttliche
Proportion" bekannt ist. Später dann fand man auch in anderen mathematischen
Bereichen das Vorkommen der Zahl
, so beispielsweise bei den Fibonacci-Zahlen oder
in der Trigonometrie.
Die Zahl
spielt heute durch ihre enge Verwandtschaft zum Goldenen Schnitt auch in
der nichtmathematischen Kultur eine beträchtliche Rolle, ähnlich wie bei ihrer
entfernten Konstantenverwandten
existieren zahlreiche halbesoterische
Vereinigungen, die sich mehr der Faszination der Zahl selbst gewidmet haben als ihren
mathematischen Anwendungsbereichen.
Meine Motivation für dieses Thema war, dass mich die vielen verschiedenen Bezüge zu
den unterschiedlichsten mathematischen Strukturen fasziniert haben und ich diese
Mannigfaltigkeit in dieser Facharbeit darstellen wollte. Die Mathematik der Zahl
ist
zwar in der Anwendung nur sehr stark eingeschränkt, jedoch ist ihr Vorkommen sehr
häufig vorhanden. Die Facharbeit wird sich größtenteils auf die verschiedenen
mathematischen Bereiche, in denen
vorkommt, konzentrieren, um die Facharbeit
genügend von den anderen beiden Themen ,,Fibonacci-Zahlen" (Astrid Dierkes) sowie
,,Goldener Schnitt" (Stephanie Kurz) abzugrenzen, jedoch werden auch diese
angesprochenen Themen in der Facharbeit behandelt werden, auch da sie die
bekanntesten Anwendungsmöglichkeiten für die Zahl
sind.
Karl Friedrich Hofmann
LK Mathematik
Facharbeit: Die Zahl
3
Kapitel 2 Die Zahl
Dieses Kapitel soll dem Leser die Definition der Zahl
vermitteln sowie einzelne
Eigenschaften von
und ' vorstellen.
2.1 Mathematische Herleitung von
Gesucht wird eine Zahl, deren Quadrat um 1 größer ist als sie selbst.
...
61803398
,
0
2
5
1
...
61803398
,
1
2
5
1
1
2
)
1
(
1
4
)
1
(
)
1
(
1
,
1
,
1
2
4
0
1
)
1
(
1
2
1
2
2
/
1
2
2
/
1
2
2
-
-
=
+
=
-
-
-
±
-
-
=
-
=
-
=
=
-
±
-
=
=
-
-
+
-
+
=
x
x
x
c
b
a
für
a
ac
b
b
x
x
x
x
x
x
Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind häufig auftretende mathematische
Konstanten, x
1
wird dabei als
, x
2
als
' bezeichnet. und ' sind miteinander eng
verwandt, was wir optisch schon durch die signifikant gleichen Dezimalstellen sehen.
Betrachten wir zunächst
:
R
n
für
n
n
n
n
+
=
+
=
+
+
1
2
2
1
Diese Eigenschaft trifft ebenfalls auf
' zu. Setzen wir für n=-1 ein, zeigt sich, dass die
Differenz zwischen
und seinem Kehrwert ebenfalls 1 beträgt, d. h. die Dezimalstellen
sind identisch. So lässt sich eine Beziehung zwischen
und ' herleiten:
)
1
(
)
(
1
-
-
=
-
=
-
Durch einfache Umformung der oben genannten Zusammenhänge erhalten wir
folgende mathematische Zusammenhänge:
5
1
1
1
1
2
=
+
=
-
=
+
-
-
2.2 Geometrische Herleitung von
Die Zahl
geht schon auf ein extrem altes Problem der Mathematik zurück, genauer
gesagt bis ins 4. Jahrhundert vor Christus: der griechische Mathematiker Euklid, der
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Facharbeit: Die Zahl
4
sich eingehend mit Mittelpunkten von Strecken beschäftigt hatte, hob es um ca. 300 v.
Chr. aus seiner Wiege.
Gegeben sei eine Strecke
AC
der Länge x, die in einem Punkt B so geteilt wird, dass
das Verhältnis der kürzeren zur längeren Strecke das gleiche sei wie das Verhältnis der
längeren zur ganzen Strecke (siehe
Abb. 1
), also das gelte:
AC
BC
BC
AB
:
:
=
.
Abbildung 1
Bezeichnen wir (wie in
Abb. 1
) die Strecke
BC
als x, die Strecke
AB
wird als eine
Länge von 1 definiert sowie die komplette Strecke
AC
als x+1, so können wir eine
Gleichung aufstellen:
0
1
)
1
(
0
1
1
1
1
2
2
2
2
=
-
-
-
=
+
+
-
-
=
+
=
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Diese Gleichung ergibt in seiner positiven Lösung
(die negative Lösung ist zu
vernachlässigen auf Grund der Nichtexistenz einer ,,negativen Strecke").
Die Teilung einer Strecke im Verhältnis
: 1 (wie oben gezeigt) wird als ,,Goldener
Schnitt" bezeichnet, die allgemeine Proportion
: 1 als ,,Göttliche Proportion" und
analog dazu manchmal auch als ,,Goldene Zahl" oder auch ,,Göttliche Zahl".
Dieser ,,Goldene Schnitt" taucht vielfältig in Architektur, Kunst, Natur, sogar in der
Literatur und Musik auf und gilt als äußerst ästhetisches Verhältnis, wie empirische
Studien beweisen. Die sehr enge Verwandtschaft zwischen
und dem Goldenen
Schnitt, bewegte sogar manche Mathematiker, nach dem griechischen
tome
(schneiden) die Zahl mit
abzukürzen, diese Variante hat sich jedoch nicht
durchgesetzt.
2.3 Approximationen von
ist eine irrationale Zahl, wie man an der Wurzel leicht sehen kann und was sich auch
trivial beweisen lässt. Nichtsdestotrotz kann man
mittels natürlicher Zahlen
approximieren:
x
x
x
x
+
=
+
=
1
1
2
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5
Setzen wir nun für das x in der Wurzel wieder
x
+
1
, setzen dort wieder ein etc., so
konvergiert für eine unendliche Zahl Wurzeln diese Darstellung gegen
, d. h.:
...
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
Analog zu einer anderen gültigen Definition für
gibt es ein zweites einfaches
Approximationsverfahren:
x
x
x
x
1
1
1
1
1
+
=
+
=
-
Setzen wir nun (analog zur Wurzelapproximation) für das x im Nenner des Bruches
wieder
x
x
1
1
+
=
ein, konvergiert auch diese Darstellung für unendlich viele Brüche
gegen
:
...
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
=
Diese Darstellung einer Zahl durch einen unendlichen Bruch nennt man einen
Kettenbruch, in Kapitel 4 wird darauf näher eingegangen.
Kapitel 3 Mathematische Anwendungen von
In diesem Abschnitt werde ich die verschiedenen Bereiche der Mathematik vorstellen,
in denen
Verwendung findet und jene Anwendung erläutern.
3.1
in der Trigonometrie und die Goldenen Dreiecke
Die drei trigonometrischen Funktionen sin(x), cos(x) sowie tan(x) schneiden sich, wie
wir wissen, in folgenden Punkten (Periodizität wurde berücksichtigt):
Z
n
für
n
S
x
x
Z
n
für
n
S
x
x
n
-
+
=
=
2
)
1
(
4
)
1
4
(
cos
sin
)
0
/
(
tan
sin
2
1
Eine genauere Darstellung sehen wir in Abb. 2 (Seite 6). Der dritte Schnittpunkt
jedoch, zwischen Cosinus und Tangens, ist bisher unbekannt.
Karl Friedrich Hofmann
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6
(
)
( )
1
1
2
1
1
2
/
1
2
2
2
2
2
2
2
2
arcsin
sin
2
5
1
1
5
,
0
2
5
2
5
1
0
1
sin
0
1
sin
sin
)
1
(
;
sin
sin
1
sin
sin
1
cos
;
1
cos
sin
sin
cos
cos
cos
sin
cos
0
cos
cos
sin
tan
tan
cos
-
-
-
=
=
-
=
+
-
=
=
-
=
-
=
±
-
=
=
-
+
=
=
-
+
-
-
=
+
-
-
=
=
+
=
=
=
=
x
x
z
z
z
z
z
z
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
für
x
x
x
x
x
Die Lösung
-
=
2
z
liegt nicht im Definitionsbereich für den Arcus Sinus und ist daher
irrelevant. Die Lösung beschränkt sich auf das Intervall
-
2
;
, da es ebenfalls einen
negativen Schnittpunkt gibt. Die zweite Koordinate bestimmen wir wie folgt
(ausgehend von Arbeiten am Einheitskreis mit r=1):
( )
Intervall
s
angegebene
oben
für
S
Wurzel
negative
nicht
R
a
für
existiert
a
a
z
z
z
z
a
a
a
c
b
a
b
a
b
a
a
b
a
a
b
x
a
a
c
a
x
c
Hypotenuse
b
te
Gegenkathe
a
Ankathete
=
-
=
=
±
-
=
=
=
-
+
-
=
=
+
=
=
=
=
=
=
=
=
-
-
-
-
1
1
3
2
1
2
1
1
2
/
1
2
2
4
2
2
2
2
arcsin
)
(
2
5
1
0
1
1
1
tan
1
cos
1
:
,
:
,
:
Doch es gibt noch mehr Vorkommen von
in der
Trigonometrie:
wir betrachten zwei gleichschenklige Dreiecke, deren
Schenkel
und deren Basis 1 betragen und vice versa
(siehe li. Abb. 3):
Die Basiswinkel des roten Dreiecks betragen beide
5
2
(=72°), die des grünen Dreiecks
5
(36°).
Diese beiden Dreiecke nennt man, analog zum Goldenen
Schnitt, die beiden Goldenen Dreiecke und auf Grund ihrer
Abbildung 2
Abbildung 3
Karl Friedrich Hofmann
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Facharbeit: Die Zahl
7
signifikanten Seitenlängen bzw. Winkel können neue konstante Werte der
trigonometrischen Funktionen erfasst werden:
Rotes Dreieck:
=18°, =72°, a=0,5; Hypotenuse c=
10
cos
18
cos
cos
75
,
0
5
2
sin
72
sin
sin
10
sin
18
sin
sin
2
1
5
,
0
5
2
cos
72
cos
cos
75
,
0
25
,
0
1
25
,
0
5
,
0
2
2
2
2
2
2
2
=
°
=
=
+
=
=
=
°
=
=
°
=
=
=
=
=
=
°
=
+
=
-
+
=
-
=
=
-
+
=
c
b
c
a
b
b
b
a
c
Grünes Dreieck:
=54°, =36°, a=
2
, Hypotenuse c=1
5
sin
36
sin
sin
2
3
10
3
cos
54
cos
cos
10
3
sin
54
sin
sin
2
5
cos
36
cos
cos
2
3
4
3
4
1
1
4
1
4
1
2
2
2
2
2
2
=
°
=
=
-
=
=
=
°
=
=
°
=
=
=
=
=
°
=
-
=
-
=
+
-
=
-
=
=
-
+
=
c
b
c
a
b
b
b
a
c
Mit diesen neu erlangten konstanten für einige Sinus- bzw. Cosinus-Werte lassen sich
über die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen weitere Werte, auch mit
schon bekannten Werten berechnen, wie beispielsweise so:
30
14
cos
84
cos
4
3
3
4
4
3
3
2
2
1
2
3
2
3
36
cos
30
sin
30
cos
36
sin
)
30
36
sin(
30
sin
6
sin
cos
sin
cos
sin
)
sin(
=
°
=
-
-
=
-
-
=
-
-
=
°
°
-
°
°
=
°
-
°
=
=
°
±
=
±
a
b
b
a
b
a
Diese Werte zeigen die besondere Signifikanz von
in der Trigonometrie, weitere
ergeben sich aus den weiteren Additionstheoremen.
3.2
und die Fibonacci-Zahlen
Die Fibonacci-Zahlen gehen auf den Mathematiker Leonardo von Pisa (der Name
,,Fibonacci", unter dem er bekannt wurde, ist auf
,,Filius Bonacci
"
(also Sohn des
Bonacci) zurückzuführen) zurück, der im 12. u. 13. Jahrhundert lebte. Dieser wohl
größte Mathematiker des Mittelalters, der sich die Mathematik auf Handelsreisen in den
verschiedensten Ländern aneignete, schaffte es mit seinem mathematischen Werk
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Facharbeit: Die Zahl
8
,,Liber Abaci"
, die indische Mathematik den Europäern näher zu bringen sowie das
arabische Ziffernsystem entgültig zu etablieren.
Heute findet der Name Fibonacci zumeist noch in einer rekursiv definierten Zahlenfolge
Verwendung:
2
1
1
0
1
;
0
+
+
=
+
=
=
n
n
n
a
a
a
a
a
Die Zahlen dieser Folge werden heute allgemein als Fibonacci-Zahlen bezeichnet (die
n-te Fibonacci-Zahl werde ich hier der besonderen Kennzeichnung halber so schreiben:
n
Fib
) und entwickelt sich wie folgt:
21
;
13
;
8
;
5
;
3
;
2
;
1
;
1
;
0
8
7
6
5
4
3
2
1
0
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
etc.
Die Fibonacci-Zahlen entsprangen ursprünglich einer Aufgabe aus seinem Buch
,,Liber
Abaci"
, in dem sie die Population einer Kaninchenzucht darstellten, sind jedoch größten
Teils ein mathematisches Phänomen und haben auch eine sichtliche Verbindung zu
,
wenn wir die verschiedenen Potenzen von
betrachten:
5
8
2
3
3
5
3
5
1
2
2
3
2
3
1
1
2
1
2
1
1
4
5
6
3
4
5
2
3
4
2
3
2
+
=
+
+
+
=
+
=
+
=
+
+
+
=
+
=
+
=
+
+
+
=
+
=
+
=
+
+
=
+
=
+
=
etc.
Die Koeffizienten von
sowie die zusätzlichen Summanden folgen offensichtlich den
Fibonacci-Zahlen, sodass man die Vermutung machen kann:
1
-
+
=
n
n
n
Fib
Fib
Beweis (durch Induktion):
Induktionsanfang: n=1
=
+
=
+
=
0
1
0
1
1
Fib
Fib
Induktionsannahme: n=k
1
-
+
=
k
k
k
Fib
Fib
Induktionsschluss: n=k+1
(
)
.
.
.
1
1
1
:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
d
e
q
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
+
-
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
+
+
=
+
=
-
=
-
=
+
-
=
-
+
-
+
=
+
+
=
+
+
=
+
=
Karl Friedrich Hofmann
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Facharbeit: Die Zahl
9
Die letzte Aussage der Induktion ist die Definition der Fibonacci-Zahlen und somit ist
die Aussage bewiesen. Interessanterweise muss die gleiche Definition auch auf die
Potenzen von
' zutreffen, da diese Zahl ja an die gleichen Bedingungen geknüpft ist
wie
, wir werden in Kapitel 3.3 näher darauf eingehen. Die Sätze über die Potenzen
von
sowie ' lauten also:
1
;
1
1
+
=
+
=
-
-
n
N
n
für
Fib
Fib
Fib
Fib
n
n
n
n
n
n
Interessant ist auch die Betrachtung des Quotienten einer Fibonacci-Zahl und der
vorangegangenen Fibonacci-Zahl:
1
1
<
-
i
für
Fib
Fib
i
i
, dieser scheint gegen einen
bestimmten Wert zu konvergieren (wie in Abb.
4 zu sehen ist). Die grün eingezeichnete Linie
zeigt die offensichtliche Nähe zu
an.
Vermutung:
1
;
lim
1
>
=
-
i
Fib
Fib
i
i
i
Beweis:
Der Abstand zweier sukzessiver dieser
Quotienten müsste gemäß der Konvergenz für i
gegen unendlich gegen Null streben und die konvergierende Folge sich bei einem Wert
x konsolidieren. Also:
.
.
.
1
1
1
0
lim
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
d
e
q
x
x
x
also
x
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
x
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
=
+
=
=
+
=
+
=
+
=
=
=
=
=
-
-
-
-
-
-
-
+
+
-
+
-
-
+
Die letzte Aussage ist eine klare Definition von
, damit ist die Aussage bewiesen.
Bisher kennen wir die Fibonacci-Zahlen nur rekursiv definiert:
2
1
+
+
=
+
n
n
n
Fib
Fib
Fib
.
Jahrhunderte lang war es ein großes Problem, die Fibonacci-Zahlen non-rekursiv zu
definieren, d. h. ohne sich auf ein Vorgängerglied der Folge zu beziehen. Der
französische Mathematiker Binet entwickelte dann um 1843 eine Möglichkeit, die
Fibonacci-Zahlen auch non-rekursiv zu berechnen, ausgängig von den Sätzen über die
Abbildung 4
Karl Friedrich Hofmann
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Facharbeit: Die Zahl
10
Potenzen von
und ', in dem er wie folgend ein Fibonacci-Glied aus den beiden
Gleichungen entfernte:
( )
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Addition
Fib
Fib
Fib
Fib
=
-
=
+
=
-
-
=
-
=
-
-
-
-
=
-
-
=
-
-
+
=
+
=
-
-
-
-
5
5
:
1
1
1
1
1
Auch diese Gleichung können wir weiter vereinfachen und lediglich eine Konstante
(vorzugsweise
) gebrauchen:
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
gilt
da
1
1
1
1
1
1
1
1
-
=
-
=
-
-
=
-
=
-
=
-
=
-
-
-
-
-
Dementsprechend ist die vereinfachte Formel für die Fibonacci-Zahlen:
( )
5
n
n
n
Fib
-
-
-
=
Diese Formel nennt man auch (nach ihrem Begründer, dem französischen
Mathematiker Jacques Binet, der sie vermutlich 1843 entwickelt hatte) die ,,Formel von
Binet".
3.3 Die Lucas-Zahlen und die allgemeinen Formeln in
hyperbolischer Schreibweise
Der Mathematiker, der den Fibonacci-Zahlen ihren Namen gab, war der Franzose
Edouard Lucas. Selbst von dieser Zahlenfolge und der Zahl
fasziniert, ging auch er
nähere Betrachtungen bezüglich
und ' ein, insbesondere beschäftigte er sich mit
der Addition ihrer Potenzen:
(
)
(
)
(
)
.
4
1
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
3
1
1
1
1
1
1
2
1
1
3
3
2
2
1
1
1
0
0
etc
=
+
+
-
+
=
+
-
-
+
+
=
+
+
+
=
+
=
+
-
-
+
=
+
+
+
=
+
=
-
=
+
=
+
=
+
-
Daraus lässt sich folgende Vermutung schließen:
Die Summe der Potenzen von
und ' sind immer Element der natürlichen Zahlen;
N
x
für
x
n
n
=
+
Den Beweis können wir über die Sätze der Potenzen für
bzw. ' tätigen:
Karl Friedrich Hofmann
LK Mathematik
Facharbeit: Die Zahl
11
Beweis:
(
)
.
.
.
2
2
1
1
1
1
1
1
d
e
q
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
Fib
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
-
-
-
-
-
-
+
=
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
=
+
=
Die Fibonacci-Zahlen sind allesamt natürliche Zahlen, da die natürlichen Zahlen
bezüglich der Addition bzw. Multiplikation abgeschlossen sind, ist die Aussage
bewiesen.
( )
n
n
n
n
n
L
-
-
+
=
+
Die Summen der Potenzen von
bzw. ' nennt man nach ihrem Entdecker Lucas-
Zahlen und sie folgen in ihren Gesetzmäßigkeiten ebenso wie die Fibonacci-Zahlen, sie
besitzen lediglich andere Startglieder:
2
1
1
0
1
;
2
+
+
=
+
=
=
n
n
n
L
L
L
L
L
Die Fibonacci- und Lucas-Zahlen lassen sich alle durch eine Formel zuverlässig
ausrechnen, diese Formel jedoch lässt sich wie folgt jedoch in eine andere Form
umwandeln.
Wir definieren
1
:
2
cosh
2
sinh
x
x
x
x
e
e
x
e
e
x
-
-
+
-
Die Ähnlichkeit dieser Funktionen zu der Formel von Binet bzw. der Formel für die
Lucas-Zahlen ist signifikant, dementsprechend lassen sich diese wie folgt umdefinieren:
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
=
-
=
-
=
+
=
+
=
-
+
=
+
=
-
-
=
-
-
=
-
-
-
-
-
-
-
-
-
ln
sinh
5
2
5
5
ln
cosh
5
2
5
5
,
2
5
1
2
5
5
1
5
ln
ln
ln
ln
n
e
e
n
e
e
N
k
n
für
k
n
für
k
n
für
Fib
Fib
Fib
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Setzen wir nun in die bekannte rekursive Darstellung der Fibonacci-Zahlen ein, erhalten
wir folgende Gleichung:
1
Eine Definition wird folgend geschrieben:
y
x
, x wird definiert als y.
Karl Friedrich Hofmann
LK Mathematik
Facharbeit: Die Zahl
12
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
+
+
=
+
ln
1
sinh
ln
cosh
5
2
2
n
n
Fib
n
Jedoch ist diese Darstellung noch nicht korrekt, da ja nur Fibonacci-Zahlen, deren Glied
ungerade ist, über den Cosinus hyperbolicus definiert werden (s.o.) und vice versa nur
gerade Fibonacci-Glieder über den Sinus hyperbolicus definiert werden.
Sowohl C. hyperbolicus als auch S. hyperbolicus müssen in der Gleichung vorkommen,
da jeweils eines der zu addierenden Glieder gerade bzw. ungerade sein muss.
Dementsprechend muss auch das zu berechnende n-te Glied darauf überprüft werden,
ob es gerade oder ungerade ist und dementsprechend dann ggf. 1 hinzuaddiert
werden oder nicht. Zu Hilfe nehmen wir uns hier die Heaviside-Funktion:
>
=
0
;
1
0
;
0
)
(
)
(
x
x
x
f
x
H
( )
( )
n
H
1
-
prüft dementsprechend einen Wert, ob er gerade oder ungerade ist und ist
bei einer geraden Zahl 1, bei einer ungeraden Zahl dementsprechend 0, der Ausdruck
( )
(
)
1
1
+
-
n
H
ist bei einer ungeraden Zahl 1 und bei einer geraden Zahl 0.
Die komplette hyperbolische Darstellung der Fibonacci-Zahlen lautet demnach:
( )
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
-
+
+
-
+
=
+
+
ln
1
sinh
ln
1
cosh
5
2
1
2
n
n
n
H
n
H
n
Fib
Auch für die Lucas-Zahlen existiert eine ähnliche hyperbolische Formel:
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
( )
( )
(
)
(
)
(
)
-
+
+
-
+
=
=
-
=
-
=
+
=
+
+
=
-
=
+
=
+
+
-
-
-
-
-
-
ln
1
sinh
ln
1
cosh
2
ln
sinh
2
ln
cosh
2
,
1
2
2
1
2
ln
ln
ln
ln
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
H
n
H
n
L
n
e
e
n
e
e
N
k
n
für
k
n
für
k
n
für
L
Die mathematische Anwendung der hyperbolischen Formeln ist von eher begrenztem
Nutzen, im Vergleich zur Formel von Binet bzw. ihrem Pendant für die Lucas-Zahlen
sind sie wesentlich länger und umständlicher, jedoch zeigen eine weitere interessante
Eigenschaft bezüglich der Fibonacci- u. Lucas-Zahlen, nämlich ihre direkte Abhängigkeit
zu der Summe der Funktionswerten der hyperbolischen Funktionen von zwei
aufeinander folgenden Vielfachen von ln
(geometrischer Zusammenhang befindet
sich in Quelle 10).
Kapitel 4 Kettenbrüche
In diesem Kapitel werde ich eine kurze Einführung in Kettenbrüche darstellen und
-ähnliche Konstanten über die Eigenschaften der Kettenbrüche entwickeln.
Karl Friedrich Hofmann
LK Mathematik
Facharbeit: Die Zahl
13
4.1 Definition und Einführung in Kettenbrüche
Ein Kettenbruch ist eine alternative Schreibweise zur konventionellen Bruch-, Wurzel-
oder Dezimaldarstellung einer Zahl. Ein generalisierter Kettenbruch sieht so aus:
...
3
2
2
1
1
0
b
a
b
a
b
a
x
+
+
+
=
Dieser generalisierte Kettenbruch findet man jedoch nur recht selten, da es auch eine
einfachere Form der Darstellung gibt. Einen Kettenbruch, für den gilt:
1
=
i
b
, nennt
sich einfacher Kettenbruch. Ein einfacher Kettenbruch kann wie folgt abgekürzt
geschrieben werden:
[
]
...
,
,
;
3
2
1
0
a
a
a
a
x
=
Eine jede rationale Zahl kann durch den folgenden Algorithmus in einen einfachen
Kettenbruch umgewandelt werden.
R
x
x
x
f
=
;
)
(
mit
Z
W
f
=
und
x
r
x
=
+
mit
+
R
r
ist definiert als die nächste
niedrigere Ganzzahl zu x.
Dementsprechend gilt für
Q
x
:
[
]
0
,
,
,...,
,
;
.
1
0
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
3
1
2
1
2
2
1
1
1
1
1
=
=
=
=
+
=
+
=
+
=
+
=
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
k
N
k
a
r
a
x
r
r
r
r
x
x
r
r
r
r
r
etc
r
r
r
r
r
r
r
x
x
k
k
n
n
n
n
n
n
n
Jede rationale Zahl kann in einen endenden einfachen Kettenbruch (d. h. umgewandelt
werden, da die rationalen Zahlen bezüglich der Addition abgeschlossen sind, d. h.
gehört x zu den rationalen Zahlen, so ist auch r
1
rational usw.
Wenn
Q
x
, dann ist
Z
a
0
sowie
0
,
;
k
N
k
N
a
k
. Ein Beispiel für diesen
Algorithmus findet sich im Anhang.
Ist x dagegen eine irrationale Zahl, so kann sie nicht in einen endenden einfachen
Kettenbruch umgewandelt werden, sondern in einen unendlichen Kettenbruch. Jedoch
nähert sich ein einfachen Kettenbruch mit einer wachsenden Zahl an Gliedern immer
näher an x an, dementsprechend wird der Kettenbruch mit n Gliedern auch als n-ter
Konvergent zu x bezeichnet (wobei man hier beim ersten und nicht beim ,,nullten"
Glied zu zählen beginnt), man kann auf diese Weise auch sehr bequem rationale
Karl Friedrich Hofmann
LK Mathematik
Facharbeit: Die Zahl
14
Approximationen zu irrationalen Zahlen bestimmen. Je höher der Betrag eines Gliedes
eines simplen Kettenbruches ist, desto größer ist die Annäherung an die darzustellende
Zahl.
[
]
Q
x
wenn
x
c
a
a
a
c
n
n
n
n
=
=
lim
,...,
;
1
0
Ist eine irrationale Zahl jedoch die Lösung einer quadratischen Gleichung, so
wiederholen sich irgendwann die Glieder des Kettenbruchs
2
. Durch unseren
Algorithmus erhalten wir z. B.:
[
]
[ ]
2
;
1
,...
2
,
2
,
2
,
2
,
2
;
1
2
=
Einen derartigen Kettenbruch nennt man einen periodischen einfachen Kettenbruch.
Mit Kettenbrüchen lässt sich nicht sonderlich komfortabel rechnen, sie sind eher in der
reinen Zahlentheorie interessant, lediglich die Addition u. Subtraktion ganzer Zahlen ist
kein Problem:
[
]
[
]
Z
a
n
für
a
a
n
a
n
a
a
a
±
=
±
0
2
1
0
2
1
0
,
,...
,
;
,...
,
;
4.2
als Kettenbruch
Den Kettenbruch von
kennen wir schon aus Kapitel 2.3, es ist
[ ]
1
;
1
=
. Dieser
Kettenbruch ist extrem signifikant, es ist der einfachste vorstellbare unendliche
Kettenbruch zusammen mit seinem Verwandten
[ ]
1
;
0
1
1
=
-
=
-
. Da der
Kettenbruch zu
ab dem ersten Glied ausschließlich aus Einsen besteht, konvergiert
der jeweils n-te Konvergent zu
langsamer als der entsprechende Konvergent zu
jeder anderen Zahl, d. h. die Differenz zwischen
und seinem n-ten Konvergenten ist
größer als die Differenz zwischen jeder anderen Zahl und ihrem n-ten Konvergenten.
Auf Grund der langsamen Approximation durch Kettenbrüche wird
auch als die
irrationalste Zahl bezeichnet.
Rechnet man die n-ten Konvergenten zu
zu einem konventionellen Bruch hoch, so
erhalten wir folgende Ergebnisse:
1
2
4
3
2
1
...
5
8
,
3
5
,
2
3
,
2
+
+
=
=
=
=
=
n
n
n
Fib
Fib
c
c
c
c
c
Wie man klar sehen kann, folgen die n-ten Konvergenten zu
dem Quotienten zweier
sukzessiver Fibonacci-Zahlen (siehe Kapitel 3.2).
2
laut Quelle 5
Karl Friedrich Hofmann
LK Mathematik
Facharbeit: Die Zahl
15
4.3
-verwandte Zahlenfolgen und ihre Kettenbrüche
Analog zu
gibt es jedoch auch ähnliche Zahlen, die ähnlich signifikante Kettenbrüche
besitzen:
[ ] [ ] [ ]
[ ]
n
n
etc
;
.,
,
4
;
4
,
3
;
3
,
2
;
2
Erinnern wir uns an die Definition von
und die Ableitung ihres Kettenbruchs daraus,
so können wir einen Rückschluss auf die konventionelle Darstellung auch dieser
Kettenbrüche ziehen:
[ ]
[ ]
2
4
0
1
1
1
1
0
,
;
1
1
;
1
1
1
2
2
/
1
2
2
+
±
=
=
-
-
-
-
+
=
+
=
=
+
=
=
+
=
n
n
x
nx
x
nx
nx
x
x
x
n
x
n
N
n
n
n
x
x
n
x
x
x
x
Auch hier macht (ähnlich wie bei
) lediglich die positive Lösung bezüglich des
Kettenbruchs Sinn.
Die Zahlen der Folge
[ ]
n
n
n
n
S
n
;
2
4
2
=
+
+
=
nennt man die ,,Silbernen Zahlen"
(analog zur ,,Goldenen Zahl"
). Die Silbernen Zahlen sind demnach die Zahlen, die um
n größer sind als ihr Kehrwert.
Doch die Silbernen Zahlen haben weitere mathematische Verwandte:
ist definiert als
die Zahl, deren Quadrat um 1 größer ist als sie selbst. Analog dazu gibt es Zahlen,
deren Quadrat jeweils um n größer sind als sie selbst. Ein simples Beispiel wäre n=2.
2
4
1
1
0
2
/
1
2
2
n
x
n
x
x
n
x
x
+
±
=
=
-
-
+
=
Beschränken wir uns auch hier wieder lediglich auf die positive Lösung, so können wir
auch hier einen Kettenbruch bilden:
Karl Friedrich Hofmann
LK Mathematik
Facharbeit: Die Zahl
16
...
1
1
1
1
1
1
:
2
n
n
n
n
n
x
x
n
x
x
n
x
x
+
+
+
+
+
=
+
=
+
=
Hier können wir keinen simplen Kettenbruch benutzen, da hier explizit der Zähler der
verschiedenen Teilbrüche angegeben werden muss (außer beim Sonderfall
=
=
x
n
1
).
Aus diesen beiden Kettenbrüchen jedoch zeigt sich eine erhebliche Signifikanz und es
lassen sich weitere generelle Aussagen über die Kettenbruchentwicklung von
quadratischen Gleichungen machen. Betrachten wir zunächst die allgemeine
quadratische Gleichung:
0
;
0
0
,
,
:
0
2
2
2
=
+
+
=
=
=
+
+
=
+
+
q
px
x
q
a
c
p
a
b
x
a
c
x
a
b
x
c
b
a
a
c
bx
ax
Für die quadratische Gleichung, deren positive Lösung
ist, gilt:
1
,
-
=
q
p
. Die
quadratische Gleichung, deren Lösung die Silbernen Zahlen sind, hat folgende
Bedingung:
-
-
=
Z
p
q
,
1
. Und die letzte Folge derer Zahlen, deren Quadrat um den
Wert einer natürlichen Zahl größer ist als der Ausgangswert, hatte die Bedingung:
-
-
=
Z
q
p
,
1
.
Durch die Eigenschaften der diesen Folgen zugeordneten Kettenbrüche lässt sich
aussagen:
...
0
,
;
,
0
2
+
+
+
+
+
+
+
=
=
-
-
p
q
p
q
p
q
p
q
p
q
p
q
p
x
q
p
N
q
p
q
px
x
Dieser Kettenbruch ist sehr signifikant und seine Lösung auch immer korrekt,
Definitionslücken entstehen nicht, solang wir innerhalb der Menge der natürlichen
Zahlen bleiben:
N
q
p
q
p
p
x
+
±
-
=
,
2
4
2
2
/
1
Zur Lösung einer derartigen quadratischen Gleichung ist der Kettenbruch ein recht
passables Iterationsverfahren, dass sich auch leicht mit Computern umsetzen lässt.
Karl Friedrich Hofmann
LK Mathematik
Facharbeit: Die Zahl
17
Kapitel 5 Schlussbemerkung
Die Kenntnis von
ist anscheinend trotz ihres häufigen Vorkommens in
verschiedensten Bereichen der Mathematik recht gering, die Quellenbeschaffung
gestaltete sich leider nicht besonders einfach, da selbst die Universitätsbibliothek
Bremen über kein Buch verfügt, was die Eigenschaften von
und die verschiedenen
Bereiche der Mathematik ausreichend abdeckt. Während meiner Arbeit war ich
ausschließlich auf Quellen aus dem Internet angewiesen, die fast allesamt in Englisch
verfasst sind, dementsprechend ist es möglich, dass manche Übersetzungen eventuell
missglückt sind. Außerdem machte es erhebliche Mühe, seriöse Seiten mit wahren
Informationen von Privat-Homepages mit Fehlinformationen zu trennen (so war die
falsche Information, dass jede reelle Lösung einer algebraischen Gleichung als
einfacher periodischer Kettenbruch darstellbar sei, durchaus in meinen Planungen
eingebaut worden).
Die inhaltliche Arbeit an dem Thema hat mir sehr viel Freude bereitet, es war sehr
interessant, Einblicke in bisher mir unbekannte Bereiche der Mathematik wie den
Fibonacci-Zahlen oder den Kettenbrüchen zu bekommen und den Bezug zu
herzuleiten. Leider konnte ich einige Themen, die ich ebenfalls in meiner Facharbeit
erwähnen wollte (z. B. Pisot-Vijayaraghavan-Konstanten oder die Lehmer-Konstante),
auf Grund ihres zu hohen Anspruchs nicht verwenden, was jedoch beweist, dass
durchaus ernste mathematische Forschung auch unter der Verwendung von
betrieben wird.
Der fehlende Praxisbezug von
(bis auf die kurze Erwähnung bezüglich des Goldenen
Schnittes ist der Praxisbezug auf den ersten Blick nicht zu erkennen) hat mich
persönlich nicht gestört, kann jedoch eventuell die behandelnden Themen eventuell
etwas trocken erscheinen lassen.
Insgesamt brachte das Arbeiten an der Facharbeit durchaus Spaß und es war
interessant, sich ein Thema über mehrere Wochen selbst anzueignen und es didaktisch
zu präsentieren. Diese Art des Erarbeitens eines Themas ist meines Erachtens
wesentlich anspruchsvoller als konventionelle Klausuren, bildet jedoch einen recht
guten Kontrast dazu, ist abwechslungsreich und bietet einen kleinen Einblick in
wissenschaftliches Arbeiten.
Karl Friedrich Hofmann
LK Mathematik
Facharbeit: Die Zahl
18
Anhang
A. Quellenangaben
[1]
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/lucasNbs.html
[2]
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/index.html
[3]
http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html
[4]
http://archives.math.utk.edu/articles/atuyl/confrac/intro.html
[5]
http://mathworld.wolfram.com/ContinuedFraction.html
[6]
http://goldennumber.net/
[7]
http://pauillac.inria.fr/algo/bsolve/constant/cntfrc/cntfrc.html
[8]
http://pauillac.inria.fr/algo/bsolve/constant/gold/gold.html
[9]
http://www.fh-
kaernten.ac.at/~pester/Stoecker/daten/part_3a/node62.htm#SECTION0032100000000
0000000
[10]
http://www.fh-
kaernten.ac.at/~pester/Stoecker/daten/part_3a/node59.htm#SECTION0031100000000
0000000
[11]
http://www.flash.net/~mherk/contfrac.htm
[12]
http://jwilson.coe.uga.edu/emt669/Student.Folders/Frietag.Mark/Homepage/Goldenrati
o/goldenratio.html
[13]
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/propsOfPhi.html
[14]
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/cfINTRO.html
[15]
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibmaths.html
[16]
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibFormula.html
[17]
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi2DGeomTrig.html
Karl Friedrich Hofmann
LK Mathematik
Facharbeit: Die Zahl
19
B. Beispiel für die Entwicklung eines Kettenbruchs
[
]
3
,
3
,
2
,
2
,
1
;
2
3
1
3
1
2
1
2
1
1
1
2
3
10
1
2
1
2
1
1
1
2
10
3
2
1
2
1
1
1
2
10
23
1
2
1
1
1
2
23
10
2
1
1
1
2
23
56
1
1
1
2
56
23
1
1
2
56
79
1
2
79
56
2
79
214
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
=
+
=
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Karl Friedrich Hofmann
LK Mathematik
Facharbeit: Die Zahl
20
C. Einverständniserklärung
Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig
angefertigt, keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel benutzt und
die Stellen der Facharbeit, die im Wortlaut oder im wesentlichen Inhalt
aus anderen Werken entnommen wurden, mit genauer Quellenangabe
kenntlich gemacht habe.
Verwendete Informationen aus dem Internet sind der Lehrkraft
vollständig auf beiliegender CD-ROM zur Verfügung gestellt worden.
Ort, Datum
:
Name in Druckschrift :
Unterschrift
:
Hiermit erkläre ich, dass ich damit einverstanden bin, wenn die von mir
verfasste Facharbeit der schulinternen Öffentlichkeit zugänglich gemacht
wird.
Ort, Datum
:
Name in Druckschrift :
Unterschrift
:
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