Primzahltests und CAS

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1. Einleitung

1. 1. Warum Primzahltests?

Im Jahr 1603 behauptete der Franziskanermönch Marin Mersenne ² , dass für alle Primzahlen p bis 257 nur die Zahlen 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 und 257 in der Formel 21 p − Primzahlen liefern. Ungeachtet dessen,

21 − und ²⁵⁷ 21 − zusammengesetzt sind und Mersenne die Zahlen 61, 89 und 107 übersehen hatte, was ⁶⁷ dass

veranlasste den Mönch und andere Gelehrte, wie z.B. Fermat ³ , Descartes ⁴ , Euler ⁵ und Gauß ⁶ , sich mit Primzahlen zu beschäftigen? Sicher war es in erster Linie die Mystik dieser Zahlen: „Das vielleicht größte Rätsel der Primzahlen besteht darin, dass sie sich - ungeachtet ihrer einfachen Definitionziemlich irregulär verhalten.“ ⁷ .

Das anscheinend regelwidrige Auftreten der unzerlegbaren Zahlen ist heute, im Zeitalter der modernen Rechentechnik, dafür verantwortlich, dass immer mehr Menschen nach großen Primzahlen ‹‹jagen››. Die rasant fortschreitenden Entwicklungen in der Sicherheit der Übermittlung von Informationen belegen, dass Hardy ⁸ sich irrte, als er äußerte: „Die ‚echte’ Mathematik der ‚echten’ Mathematiker, die Mathematik von Fermat, Gauß, Abel und Riemann ist fast völlig nutzlos.“ ⁹ .

Im Unterschied zum 17. Jahrhundert, als Mersenne die 78-stellige Zahl 2 ²⁵⁷ - 1 als Primzahl einstufte, geht es gegenwärtig um Zahlen mit mehr als einer Million Stellen. Das Testen solcher riesigen Zahlen auf die Primzahleigenschaft dauert selbst mit Hochleistungsrechnern sehr lange. Effiziente Primzahltests sind aktueller denn je, und daher sollte man Jugendlichen einen Einblick in dieses Themengebiet nicht verwehren.

² Marin Mersenne (1588 - 1648).

³ Pierre de Fermat (1601 - 1665).

⁴ René Descartes (1596 - 1650).

⁵ Leonhard Euler (1707 - 1783).

⁶ Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855).

⁷ Conway 1997, 143.

⁸ Godefrey Harold Hardy (1877 - 1947).

⁹ http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/zitate.html.

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1. 2. Ziele des Unterrichtsversuches

Mit dem gewählten Thema wird ein mathematischer Gegenstand in den Vordergrund des Unterrichts gerückt, den die Schulmathematik recht vernachlässigt. Der Unterrichtsversuch soll daher untersuchen:

• Sind Primzahltests als Teilgebiet der Zahlentheorie für den Unterricht der gymnasialen Oberstufe, insbesondere in einer 11. Klasse geeignet?

Der Computer soll in den Mathematikstunden als multimediales Instrument Aufgaben tradierter Medien übernehmen. Außerdem wird ein Computeralgebra-System als didaktisches Hilfsmittel und kognitives Werkzeug eingesetzt. „An geeigneten Stellen sind den Schülern algorithmische Vorgehensweisen bewusst zu machen (...) Die Nutzung aktueller Software für einzelne Bereiche der Mathematik muss zur selbstverständlichen Arbeitsweise im Mathematikunterricht gehören.“ 10

Computer, insbesondere Computeralgebra-Systeme, finden erst seit kurzem im Unterricht Verwendung. Es gibt daher noch zu wenige Praxiserfahrungen. Deshalb soll der Unterrichtsversuch helfen, folgende Fragen zu klären:

• Ist das Thema ‹‹Primzahltests›› für den sinnvollen Einsatz eines Computeralgebra-Systems geeignet, und inwieweit hilft das CAS ¹¹ den Schülern ¹² bei der Erarbeitung neuer Sachverhalte?

• Welche Probleme können bei der Arbeit mit einem Computeralgebra-System auftreten?

• Können die Lernenden durch den Einsatz des Computers als interaktives Medium und durch die Verwendung eines Computeralgebra-Systems zur Auseinandersetzung mit mathematischen Sachverhalten angespornt werden?

¹⁰ Rahmenplan: Sekundarstufe II. 1999.

¹¹ Computeralgebra-System.

¹² Mit dem Ausdruck ‹‹Schüler›› sind im Folgenden Schülerinnen und Schüler gemeint, um den Lesefluss nicht unnötig zu erschweren.

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2. Planung und Analyse des Unterrichtsversuches

2. 1. Rahmenbedingungen

...

Die Unterrichtseinheit ‹‹Primzahltests›› wird gegen Ende des Schuljahres unterrichtet. Der Mathematikunterricht findet jeweils an zwei Wochentagen statt. Die Doppelstunde wird auf Grund der räumlichen Gegebenheiten in einer Nachbarschule erteilt. Der Einsatz des Computers ist nur in der Einzelstunde möglich, wobei immer zwei Lernende an einem Rechner arbeiten.

Alle Lernenden haben zu Hause Zugang zu einem PC ¹³ . Nach Absprache mit der Klasse waren die Schüler einstimmig dafür, das Computeralgebra-System MuPAD ¹⁴ auf ihren Rechnern zu installieren. Keinem der Lernenden ist das CAS bekannt gewesen, jedoch wurde in dieser Klasse schon andere Mathematiksoftware (z.B. DERIVE) eingesetzt. Bereitwillig bearbeiteten die Schüler zusätzlich zum Schulstoff Arbeitsblätter ¹⁵ , um die Anwendung des Computeralgebra-Systems zu erlernen. ¹⁶ Auftretende Probleme wurden in Pausen besprochen und weitestgehend gelöst. In der letzten Stunde vor dem Unterrichtsversuch hatten die Schüler die Möglichkeit, Fragen zur Arbeit mit MuPAD zu stellen. Außerdem konnten sie selbstgewählte Aufgaben mit dem CAS lösen. Das letzte MuPAD-Arbeitsblatt ¹⁷ beinhaltete Elemente der Zahlentheorie, so dass die Schüler sich mit einigen, im Unterrichtsversuch benötigten, fachlichen Grundlagen auseinandersetzen mussten.

¹³ Personalcomputer.

¹⁴ Multi Processing Algebra Data Tool.

¹⁵ Vgl. MuPAD-Arbeitsblätter 1 bis 8. ANHANG, 36ff.

¹⁶ Diese Tatsache stützt das schon beschriebene Interesse der Lernenden für Mathematik.

¹⁷ Vgl. MuPAD-Arbeitsblatt 8. ANHANG, 46.

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2. 2. Sachanalyse

2. 2. 1. Primzahlen

„Untersuchungen verschiedener Eigenschaften natürlicher Zahlen gehörten historisch zu den ältesten Beschäftigungen mit mathematischen Problemen überhaupt.“ ¹⁸ Die Teilbarkeitsrelation 19 ist dabei die Grundlage der zahlentheoretischen Forschung: „Das unvergängliche Problem der Zahlentheorie ist das der Teilbarkeit: Ist eine Zahl durch eine andere teilbar oder nicht?“ ²⁰ . Man erkennt sofort, dass sich einige Zahlen aus der Menge der natürlichen Zahlen herausheben: Es gibt Zahlen, die nur zwei Teiler besitzen. Bereits um 300 v. Chr. formulierte und bewies Euklid ²¹ : „Die Primzahlen sind mehr als jede vorgegebene Menge von Primzahlen.“ ²² . Mittlerweile gibt es mehr als 20 Beweise des Satzes von Euklid über die Unendlichkeit der Primzahlmenge. ²³ Viele Mathematiker versuchten, eine Primzahlformel, die alle Primzahlen und nur diese beschreibt, oder doch wenigstens eine, die sehr viele Primzahlen und dabei wenige zusammengesetzte Zahlen liefert, zu finden. n 2 ² + = 2 − = n 1 1 F M Genannt seien hier die Fermatschen Zahlen und die Mersenneschen Zahlen , wobei

n n

die letzteren heutzutage beim Finden großer Primzahlen eine zentrale Stellung einnehmen.

2. 2. 2. Primzahltests

Würde man eine einfache Gleichung kennen, die genau alle Primzahlen erzeugt, könnte man auf komplizierte Primzahltests verzichten. Schon lange beschäftigen sich Mathematiker mit der Frage, wie man möglichst schnell und sicher feststellen kann, ob eine vorliegende natürliche Zahl die Primzahleigenschaft erfüllt. Sichere Tests dauern bei großen Zahlen sehr lange und sind deshalb unpraktikabel. Effizienter sind stochastische Testverfahren ²⁴ , die z.B. auf dem Kleinen Satz von Fermat oder dem Satz von Wilson ²⁵ basieren. Der hier zu entwickelnde Primzahltest bezieht sich auf den Kleinen Satz von Fermat, der als Spezialfall im Eulerschen Satz enthalten ist. Zur Formulierung des Eulerschen Satzes benötigt man die Eulersche ϕ-Funktion: Definition 1: Sei m∈N. Die Funktion ϕ: N → N mit ϕ(m) = Anzahl der zu m teilerfremden Zahlen aus {1; 2; ...; m} heißt Eulersche ϕ ϕ-Funktion. ϕ ϕ

ϕ(m) beschreibt demnach auch die Anzahl der primen Restklassen modulo m ²⁶ und die Anzahl der Zahlen a∈N mit 1 ≤ a ≤ m und ggT(a, m) = 1.

Satz 1:

Die primen

Gruppenelement ^{Gruppenordnung} = Einselement. ²⁸ Also gilt

Für Primzahlen p ergibt sich ϕ(p) = p - 1. ³⁰ Der Eulersche Satz geht in den Kleinen Satz von Fermat über:

Satz 2:

Aus dem Kleinen Satz von Fermat kann man sofort ableiten:

¹⁸ Bundschuh 1998, V.

¹⁹ Um die für diese Arbeit wichtigsten mathematischen Fachausdrücke hervorzuheben, werden sie kursiv gekennzeichnet.

²⁰ Remmert 1995, 5.

²¹ Euklid von Alexandria (um 300 v. Chr.).

²² Remmert 1995, 25.

²³ Vgl. Ribenboim 1996, 3ff.; http://www.theory-of-numbers.de/.

²⁴ In der englischsprachigen Literatur findet man "probabilistic or Monte Carlo tests" als Fachtermini. (Vgl. Ribenboim 1996, 139).

²⁵ John Wilson (1741 - 1793).

²⁶ Seien a, b∈Z und m∈N. a heißt kongruent b modulo m, genau dann, wenn gilt: m | (a - b). Diese Relation ist reflexiv, transitiv und symmetrisch (Vgl. Bundschuh 1998, 79) und damit eine Äquivalenzrelation auf Z, die eine Klasseneinteilung der ganzen Zahlen bewirkt. Die Menge a ={b | b∈Z und b ≡ a (mod m)} heißt Restklasse modulo m. a heißt prime Restklasse modulo m, wenn a und m teilerfremd sind.

²⁷ Speziell auf den Eulerschen Satz bezogene Beweise findet man u.a. in Padberg 1999a, 69 und in Ribenboim 1996, 22. Letzterer wird mittels der vollständigen Induktion geführt.

²⁸ Vgl. Remmert 1995, 219.

²⁹ Die prime Restklassengruppe modulo m besitzt genau ϕ(m) Elemente (Vgl. Remmert 1995, 216).

³⁰ Alle natürlichen Zahlen kleiner p sind zu p teilerfremd.

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2. 3. Didaktische Analyse

2. 3. 1. Bildungsgehalt des Themas

In den unteren Jahrgangsstufen des Gymnasiums sind u.a. Grundbegriffe und Beziehungen der Teilbarkeit als verbindliche Inhalte des Unterrichts aufgeführt. ⁴⁵ Im Zusammenhang mit der Bruchrechnung müssen die Schüler die Berechnung des größten gemeinsamen Teilers in allen Klassenstufen anwenden. Ansonsten findet die elementare Zahlentheorie, insbesondere die Primzahlthematik, kaum Berücksichtigung im Mathematikunterricht.

Wie ist dies zu erklären, wenn doch schon Gauß die Zahlentheorie als „Königin der Mathematik“ ⁴⁶ bezeichnete? In Fachdidaktikzeitschriften findet man immer wieder Artikel, in denen sich Autoren für die Behandlung zahlentheoretischer Themen im Unterricht aussprechen, z.B.:

„Im Mathematikunterricht finden Primzahlen wenig Berücksichtigung - und doch gibt es zahlreiche Möglichkeiten für eine Anbindung an den Lehrstoff und für selbständige Unterrichtseinheiten.“ ⁴⁷ „Das Thema ‚Teilbarkeit’ bietet interessante Problemstellungen, die zur Beschäftigung mit Mathematik anregen“ ⁴⁸ .

Die stoffliche Fülle der in der Jahrgangsstufe 11 zwingend zu behandelnden Themengebiete reicht in der zu unterrichtenden Klasse nicht aus. ⁴⁹ Als Lehrer ist man gefordert, interessante Thematiken zu wählen, um diesen Schülern die breite Anwendbarkeit der Mathematik zu verdeutlichen. ⁵⁰ Weshalb sollte man diesen leistungsstarken Lernenden nicht ein gegenwarts- und zukunftsbezogenes Thema ⁵¹ bieten, dass heutzutage im Mathematikunterricht ungerechterweise verkümmert?

Ein großer Vorteil der elementaren Zahlentheorie ist, dass viele Fragestellungen sehr allgemeinverständlich formuliert werden können. ⁵² Die Aufgabenstellung kann in diesen Fällen somit durch jeden Schüler sofort erfasst werden. Die Lösung wird dagegen von den Lernenden eine aktive Auseinandersetzung mit den mathematischen Inhalten, Kritikfähigkeit, Kreativität, Selbständigkeit und Gewissenhaftigkeit erfordern. ⁵³ In der Zahlentheorie findet man viele Teilgebiete, die sich zu einer selbständigen Unterrichtseinheit ausbauen lassen. Beispielsweise könnte man den Schwerpunkt auf die Kryptographie legen, die Faktorisierung großer Zahlen untersuchen, das Erzeugen großer Primzahlen in den Vordergrund rücken oder aber Primzahltests thematisieren. Stellt man die aufgeführten Themen gegenüber, lassen sich jeweils Vorteile und Nachteile finden, die hier nicht erörtert werden sollen, jedoch muss der Unterricht in einer ersten Phase die gleichen wesentlichen fachlichen Grundlagen vermitteln.

Die Unterrichtseinheit ‹‹Primzahltests›› ist geeignet, problemorientiert Erkenntnisprozesse zu initiieren, bietet Ansätze für historische und philosophische Betrachtungen und offenbart Möglichkeiten und Grenzen der Mathematik. ⁵⁴ Die gewählte Thematik kann durch die Einbeziehung des Internets und den gezielten Einsatz eines CAS dazu beitragen, dass die Schüler „mit modernen Arbeitsmitteln und dazugehörigen Arbeitstechniken vertraut gemacht werden.“ ⁵⁵ Außerdem können durch die Verwendung eines Computeralgebra-Systems Beispiele herangezogen werden, die der Technikgläubigkeit ⁵⁶ entgegenwirken.

⁴⁵ Vgl. Rahmenplan: Sekundarstufe I. 1997.

⁴⁶ Vgl. Remmert 1995, 5.

⁴⁷ Glatfeld 1993a, 4.

⁴⁸ Winning 1993, 18.

⁴⁹ So erfolgte beispielsweise innerhalb der Stochastik zusätzlich zu den vorgeschriebenen Inhalten die Erarbeitung von zweiseitigen Signifikanztests und ein Exkurs über Schätzer.

⁵⁰ Vgl. Forderungen des Rahmenplans (Rahmenplan: Sekundarstufe II. 1999).

⁵¹ Große Primzahlen werden z.B. zur Erzeugung von Schlüsseln in der Kryptographie genutzt. Sichere Verschlüsselungsverfahren sind heute unverzichtbar und werden in der Zukunft noch wichtiger sein.

⁵² Zum Beispiel ist die Problemstellung ‹‹Wie viele Primzahlen gibt es?›› schnell formuliert und sofort durchschaubar.

⁵³ Die Aufzählung ist nicht erschöpfend und lässt sich fortsetzen.

⁵⁴ Vgl. Forderungen des Rahmenplans (Rahmenplan: Sekundarstufe II. 1999).

⁵⁵ Vgl. Rahmenplan: Sekundarstufe II. 1999.

⁵⁶ Immer schnellere Prozessoren werden entwickelt und in der Werbung angepriesen. Nicht wenige Jugendliche sind der Meinung, dass nur die Zahl vor dem ‹‹MHz›› dafür verantwortlich ist, wie schnell ein Computer die Antwort auf eine gestellte Aufgabe findet; was den Rechner dazu befähigt, wird meist nicht erahnt. Bei der Behandlung von Primzahltests bieten sich Gelegenheiten, die Notwendigkeit der Entwicklung effizienter Algorithmen (und damit die Notwendigkeit mathematischer Grundlagenforschung) zu verdeutlichen und die Mathematik als herausragendes wissenschaftliches Instrument hervorzuheben.

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2. 3. 2. Didaktische Reduktion

Die fachwissenschaftlichen Grundlagen, die den hier zu behandelnden Pseudoprimzahltests zu Grunde liegen, sind für die Schüler zum großen Teil neu. Sie werden für die meisten eine hohe intellektuelle Herausforderung und für manche auch eine Überforderung darstellen.

Eine zu enge Führung der Thematik ohne Berücksichtigung von interessanten Nebeninformationen erscheint für den Unterricht eher ungeeignet, weil die in Abschnitt 2.4. dargestellten Ziele so nicht erreicht werden können. Je mehr Sachverhalte man jedoch in den Unterricht aufnimmt, desto öfter muss man auf ein tieferes Hinterfragen dieser verzichten ⁵⁷ . Eine kritische Auswahl der Inhalte und ein Kompromiss bei der Ausführlichkeit ihrer Behandlung erscheinen notwendig. Daher sollen die wesentlichen Kernpunkte sehr ausführlich diskutiert, einzelne Nebeninformationen aber vereinfacht bzw. verkürzt dargestellt werden.

Die den Schülern bekannten Grundlagen der Zahlentheorie ⁵⁸ sollen zu Beginn der Unterrichtseinheit an Beispielen erörtert werden. Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie wird als bekannt vorausgesetzt, ohne ihn weiter zu hinterfragen.

Martin Wagenschein äußerte 1980: „Der ebenso einfache wie geniale antike Beweis dafür, daß die Reihe der Primzahlen niemals abbrechen kann, gehört zu den wenigen wirklich unentbehrlichen Stücken des mathematischen Lehrgutes.“ ⁵⁹ . Deshalb soll Euklids Beweis über die Unendlichkeit der Primzahlmenge in dieser Unterrichtseinheit nicht fehlen. ⁶⁰ Eine tiefergehende Diskussion, wie sie etwa Glatfeld ⁶¹ , Scheu ⁶² oder Winter ⁶³ vorschlagen, kann aus Zeitgründen nicht erfolgen.

Nach der Diskussion einfacher Primzahltests ⁶⁴ und Primzahlsieben ⁶⁵ wird der Kongruenzbegriff wegen der übersichtlicheren und einfacheren Formulierung mathematischer Aussagen eingeführt. Die Kongruenzrechnung soll im wesentlichen in Bezug zur Resteberechnung von Potenzen bei Division durch ganze Zahlen betrachtet werden, weil nur diese bei den Primzahltests eine Rolle spielt.

Die Eulersche ϕ-Funktion und der Satz von Euler werden nicht berührt. Der Kleine Satz von Fermat soll bewiesen werden, weil die hier zu behandelnden Primzahltests auf ihn gründen. Es wird ein Beweis des Eulerschen Satzes vereinfacht und auf den Kleinen Satz von Fermat angewendet. ⁶⁶ Die Umkehrung des Kleinen Satzes von Fermat und die daraus resultierenden Primzahltests werden ausführlich behandelt. Dabei werden die Carmichaelzahlen und Pseudoprimzahlen definiert und detailliert mit Hilfe des Computeralgebra-Systems MuPAD untersucht. Bei einem Vergleich der Häufigkeiten von Primzahlen, Carmichaelzahlen und Pseudoprimzahlen, der für eine sehr grobe Abschätzung der Güte der Tests benötigt wird, soll vor allem mit Beispielen gearbeitet werden. Die Primzahlverteilungsfunktion wird in diesem Zusammenhang nicht definiert und der Primzahlsatz ⁶⁷ nicht behandelt, weil die notwendigen Erkenntnisse über die Anzahl der Primzahlen bis zu einer gewissen Grenze mit der Angabe von einigen Primzahlanteilen ausreichend erscheint. Wegen dem Anspruch der zu behandelnden Primzahltests und der knapp bemessenen Unterrichtszeit sind hier Vereinfachungen notwendig. Die Erarbeitung des Pseudoprimzahltests soll durch das CAS MuPAD unterstützt werden. Je nachdem, wie gut der Einzelne die mathematischen Inhalte versteht und wie interessiert er sich zeigt, kann er Abwandlungen des Tests vornehmen, Primzahllisten generieren und Vergleiche zwischen den einzelnen Tests durchführen.

⁵⁷ Dies wird natürlich dazu führen, dass die Tragweite der Bedeutung einzelner Sachverhalte nicht klar genug hervortritt und dass nicht alle Schüler diese Nebeninformationen vollständig erfassen.

⁵⁸ Vgl. Folie ‹‹Zahlentheorie: Grundlagen››. ANHANG, 47.

⁵⁹ Winter 1991, 24.

⁶⁰ Wagenschein bemerkte außerdem: „Für die überhaupt dafür Empfänglichen ist das aktive Begreifen dieses souveränen Verfahrens ein unvergeßliches Erlebnis.“ (Winter 1991, S. 24) Dem wird der Unterricht nicht gerecht werden können, weil Primzahltests im Mittelpunkt des Unterrichtsversuches stehen. (Wagenschein selbst führte zu der Unendlichkeitsthematik der Primzahlen eine fünfstündige Unterrichtsreihe durch (Vgl. Winter 1991, 24f.).).

⁶¹ Vgl. Glatfeld 1993b, 5ff.

⁶² Vgl. Scheu 1992, 119f.

⁶³ Vgl. Winter 1991, 22ff.

⁶⁴ Vgl. Arbeitsblatt ‹‹Erste Primzahltests››. ANHANG, 55.

⁶⁵ Sieb des Eratosthenes und Sieb des Ulam.

⁶⁶ Vgl. Beweis des Kleinen Satzes von Fermat. ANHANG, 61. In Padberg 1999a, 69 findet man den Beweis des Eulerschen Satzes. Es wurde kein Beweis mittels der vollständigen Induktion gewählt, weil nicht alle Schüler diese Beweistechnik kennen.

⁶⁷ Primzahlsatz: Vgl. Remmert 1995, 72ff.

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2. 4. Angestrebte Unterrichtsergebnisse

An dieser Stelle seien die grundlegenden Lernziele ⁶⁸ der Unterrichtseinheit und nicht die angestrebten Unterrichtsergebnisse der einzelnen Stunden dargestellt.

• Die Schüler erfahren die Nützlichkeit und Reichweite mathematischer Grundlagenforschung. Die Anwendbarkeit der Mathematik für Aufgaben in Wissenschaft, Wirtschaft und Gesellschaft und ihre Bedeutung für die Zukunft ⁶⁹ wird den Schülern an Beispielen bewusst.

• Die Schüler erhalten einen Einblick in einen Teil der Mathematikgeschichte, können die herausragenden Leistungen damaliger Mathematiker einschätzen und erkennen, dass die Mathematik eine sich stetig weiterentwickelnde Wissenschaft ist.

• Die Schüler wissen, dass in Computeralgebra-Systemen effiziente Algorithmen genutzt werden, die der mathematischen Forschung zu verdanken sind. Sie erkennen einerseits Grenzen der modernen Rechentechnik und auch der Mathematik, andererseits erfahren sie, wie die Mathematik ihre eigenen Limits für Anwendungen in der Wirtschaft intelligent auszunutzen versteht ⁷⁰ .

• Die Schüler setzen sich mit vielfältigen Problemstellungen der Zahlentheorie auseinander. Sie kennen wichtige Begriffe und Regeln der Teilbarkeit sowie der Kongruenzrechnung und sind fähig, einzelne dieser Regeln anzuwenden. Sie erkennen die Bedeutung des Kleinen Satzes von Fermat für die Effizienz von Primzahltests und wissen um den Einfluss der Carmichaelzahlen und Pseudoprimzahlen bei diesen Tests. Sie können den Ablauf einzelner Primzahltests beschreiben.

• Die Schüler können den Computer sinnvoll und bedacht zur Lösung mathematischer Probleme einsetzen. Sie wissen, wie man in einem üblichen CAS programmiert und können einzelne Prozeduren in MuPAD implementieren und analysieren.

Bei der Erarbeitung der fachlichen Inhalte sollen fundamentale Denktätigkeiten und Denkhaltungen sowie geistige Grundtechniken, wie sie beispielsweise Zech aufführt ⁷¹ , gefördert werden.

Das fundamentale Ziel des Unterrichts ist es, die positive Grundeinstellung der Lernenden zur Mathematik zu fördern und Spaß im Umgang mit mathematischen Themen zu vermitteln.

⁶⁸ Der Begriff ‹‹Lernziele›› soll die angestrebten Unterrichtsergebnisse umfassen. Die Ziele sollen trotz der eher strengen Formulierung, also ohne die Verwendung des Konjunktivs, so verstanden werden, dass der Unterricht einen Beitrag zum Erreichen dieser Absichten leisten soll. Die meisten Lernziele sind nicht so stark am fachlichen Inhalt ausgerichtet, weil dieser im Unterricht der folgenden Klassen wenig Bedeutung findet. Es soll vor allem die emotionale Seite der Lernenden angesprochen werden.

⁶⁹ Wittmann meint: „Die Mathematik ist weit über den technologischen Aspekt hinaus grundlegend für das Verständnis und die Erschließung der modernen Welt“ (Christmann 1980, 82f.).

⁷⁰ Beispielsweise nutzt das RSA-Verfahren (Verschlüsselungsverfahren von Rivest, Shamir und Adleman) die Unkenntnis um einen effizienten Algorithmus zur Faktorisierung von großen Zahlen und damit auch das Unwissen über das Verhalten der Primzahlen aus (Würde man ein einfache Gleichung kennen, die genau alle Primzahlen liefert, könnte man die Primfaktoren einer gegebenen Zahl relativ leicht finden, z.B. durch Multiplikationsversuche.).

⁷¹ Vgl. Zech 1998, 54ff.

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2. 5. Methodische Analyse

Die Beachtung der gegebenen Rahmenbedingungen führte zu einer Einteilung in eher lehrerzentrierte und handlungsorientierte Stunden. Die lehrerzentrierten Stunden tragen viele Elemente in sich, die über die Vermittlung der fachlichen Grundlagen hinausgehen und dem Erreichen der in Abschnitt 2.4. aufgeführten Ziele dienen. Es wird trotz des engen Zeitplans versucht, die Schüler aktiv werden zu lassen. Die vorherrschenden Methoden sind jedoch Lehrervortrag und Unterrichtsgespräch. Die handlungsorientierten Stunden, vor allem die am Computer, dienen nicht in erster Linie der Anwendung von Gelerntem, sondern sind unumgänglich für das Verständnis der fachlichen Inhalte; es handelt sich also um Erarbeitungsphasen. Die Planung soll einer allgemeinbildenden Unterrichtskultur im Sinne von Heymann ⁷² möglichst gerecht werden. ⁷³ Dieses Ziel wird in den theoretisch ausgelegten Stunden, nicht zuletzt wegen der stofflichen Fülle, leider nicht durchgängig erreichbar sein, in den handlungsorientierten Stunden jedoch einen größeren Stellenwert einnehmen können.

2. 5. 1. Motivation

Die Konzeption einer Unterrichtseinheit muss berücksichtigen, dass die Schüler regelmäßig motiviert werden. Deshalb wird die Frage ‹‹Warum beschäftigte und beschäftigt man sich mit Primzahlen?›› in der ersten Doppelstunde nicht erschöpfend beantwortet, sondern taucht u.a. in der siebenten Stunde wieder auf. ⁷⁴ Neben den Anreizen einzelner Aufgaben und Problemstellungen sind größere Motivationsschübe in der ersten, dritten, sechsten und siebenten Stunde geplant. 75

Beachtet werden muss der zumeist positive Einfluss, den der Rechner auf viele Lernende bisher ausgeübt hat. Vier der geplanten Unterrichtsstunden sind für die Arbeit mit MuPAD reserviert. ⁷⁶ In der dritten Stunde wird der CAS - Einsatz u.a. eingeschoben, um die Theorie etwas aufzulockern. Innerhalb einiger Einzelstunden soll der Computer zu Präsentationszwecken genutzt werden. Die Aktualität der gewählten Inhalte des Internets und die Einsicht, dass jeder der Schüler auf diese Informationen Zugriff hat, sollen zur Auseinandersetzung mit der Thematik anspornen.

2. 5. 2. Vollständigkeit und Ausführlichkeit

Die Zeitplanung gestattet sowohl bei den in der ersten Stunde zu behandelnden Teilbarkeitseigenschaften, die hier aufbauend auf das letzte MuPAD-Arbeitsblatt ⁷⁷ in Verbindung mit der Sicherung des Ausgangsniveaus ⁷⁸ erarbeitet werden, als auch bei den Rechenregeln für Kongruenzen keine Vollständigkeit und Ausführlichkeit. Die Schüler sollen lediglich ein Gefühl für den Umgang mit den einzelnen Regeln gewinnen. Wie in Abschnitt 2.1. beschrieben, sind die Jugendlichen in der Lage, ihr eigenes Wissen kritisch einzuschätzen und selbständig Lücken zu schließen. Zur Unterstützung wird den Lernenden jeweils eine ausführliche Zusammenfassung in Form eines Arbeitsblattes zur Verfügung gestellt.

2. 5. 3. Logische Abfolge der Inhalte - Einführung des Kongruenzbegriffs

Der Unterricht ist so organisiert, dass einzelne Teile möglichst fließend ineinander übergehen. Schwierigkeiten bereitet hier vor allem der Kongruenzbegriff. Der Sinn der Einführung kann den Lernenden nahe gebracht werden, indem man auf den Nutzen bei effizienteren Primzahltests verweist. ⁷⁹ Doch erscheint der Übergang vom Primzahl- zum Kongruenzbegriff mit dem Hinweis ‹‹Wir müssen hier noch schnell etwas kennen lernen, was uns später nutzt.›› etwas holprig. Es besteht die Möglichkeit, direkt von der Teilbarkeit zum Kongruenzbegriff überzugehen. Dann würde man aber zu viel Zeit benötigen, bis man zu den Primzahltests kommt und die Lernenden am Anfang mit zu viel Theorie die Freude auf die weiteren Stunden verderben. Einen Ausweg zeigt

⁷² Hans Werner Heymann.

⁷³ Vgl. Heymann 1996, 262ff.

⁷⁴ In der ersten Stunde soll vor allem die innermathematische Bedeutung der Primzahlen von den Lernenden aus dem Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie abgeleitet werden. Die Anwendungen innerhalb der Kryptographie werden in der siebenten Stunde thematisiert.

⁷⁵ In der dritten Stunde wird die ‹‹Primzahljagd›› vorgestellt. Die sechste Stunde offenbart Vorteile der Kongruenzrechnung.

⁷⁶ Inwieweit die relativ lange Arbeit am Rechner noch motiviert, wird der Unterrichtsversuch ergeben.

⁷⁷ Vgl. MuPAD-Arbeitsblatt 8. ANHANG, 46.

⁷⁸ Es werden neben den Teilbarkeitseigenschaften grundlegende Definitionen und Sätze im Unterrichtsgespräch wiederholt (Vgl. Arbeitsblatt ‹‹Zahlentheorie: Grundlagen››. ANHANG, 47).

⁷⁹ Es sei an dieser Stelle angemerkt, dass man die Primzahltests, auch den Kleinen Satz von Fermat, durchaus formulieren kann, ohne den Kongruenzbegriff zu verwenden. Die Übersicht der mathematischen Formulierungen würde jedoch sehr leiden. Außerdem sind die zu nutzenden MuPAD-Befehle sehr eng mit dem Kongruenzbegriff verbunden, so dass eine Erklärung spätestens hier notwendig sein würde.

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das gewählte Vorgehen. Das Sieb des Ulam bietet die Chance, Erkenntnisse über Primzahlen zu sammeln. ⁸⁰ Untersucht man das Sieb genauer, stellt man fest, dass die Zahlen in einer Spalte jeweils eins gemeinsam haben: Sie lassen bei Division durch 6 denselben Rest. Der Übergang zum Kongruenzbegriff ist geschaffen.

2. 5. 4. Lehrervortrag und Unterrichtsgespräch

Bei der Erarbeitung einiger interessanter Sachverhalte muss manchmal trotz kritischer Auswahl der Inhalte auf weitestgehend selbständige Schülerhandlungen verzichtet werden. Vor allem die erste und dritte Doppelstunde werden vom Lehrervortrag und Unterrichtsgespräch geprägt sein. ⁸¹ Beide Methoden stellen hohe Anforderungen an die Jugendlichen. Obwohl die meisten Schüler dieser Klasse in der Lage sind, sich über einen längeren Zeitraum zu konzentrieren und die Mathematikstunden am Anfang des Tages erteilt werden, wird die dritte Doppelstunde einige überfordern. In den ersten beiden Stunden der Unterrichtseinheit ist die Stofffülle zwar groß, aber bis auf Euklids Beweis verlangen die fachlichen Inhalte nicht durchgängig kognitive Höchstleistungen. Für die Inhalte der dritten Doppelstunde wäre es wünschenswert, zwei Stunden getrennt voneinander unterrichten zu können. Dies erscheint jedoch aufgrund der gegebenen Bedingungen nicht möglich. Die Lehrervorträge und Unterrichtsgespräche werden durch viele Beispiele und Medien ⁸² unterstützt. Den Lernenden sollen außerdem Gelegenheiten zum ‹‹Durchatmen›› geschaffen werden, indem die logischen Ableitungen durch philosophische und historische Betrachtungen ⁸³ und witzige Bemerkungen ⁸⁴ aufgelockert werden.

2. 5. 5. Beweise

Beweise spielen in der Mathematik eine besondere Rolle, sie verdeutlichen die Exaktheit dieser Wissenschaft. ⁸⁵ Im Unterrichtsverlauf sind zwei größere Beweise eingeplant, die beide im Lehrervortrag dargeboten werden: Euklids Beweis über die Unendlichkeit der Primzahlmenge und der Beweis des Kleinen Satzes von Fermat. ⁸⁶ Der Beweis von Euklid wird einerseits wegen der Verbindung zur Geschichte gewählt, andererseits weil er verdeutlicht, wie raffiniert große Mathematiker mit ihrer Unwissenheit umzugehen wissen ⁸⁷ . Der hier geführte Beweis des Kleinen Satzes von Fermat ⁸⁸ , der nach der Betrachtung von repräsentativen Beispielen erfolgen soll ⁸⁹ , erscheint für die Lernenden sicher etwas konstruiert und viele werden Schwierigkeiten haben, den logischen Gedankengängen zu folgen. Man kann mit einem derart schwierigen, für den Schulalltag nicht alltäglichen Beweis, den Schülern dieser Klasse jedoch näher bringen, dass Mathematiker nicht wie selbstverständlich neue Erkenntnisse ermitteln. Die Mathematik ist eine Wissenschaft, in der erst die gründliche Auseinandersetzung mit mathematischen Grundlagen neue Erfahrungen ermöglicht.

Um Zeiteinbußen zu vermeiden, sollen weitere kleinere Nachweise von Schülern in freiwilliger zusätzlicher Arbeit oder vom Lehrenden geführt werden.

2. 5. 6. Das Computeralgebra-System MuPAD

Für den Unterrichtsversuch wurde das CAS MuPAD ausgewählt. MuPAD ist nicht speziell für die Schuleinsatz entwickelt und es gibt z.B. im Vergleich zu DERIVE kaum Einsatzerfahrungen innerhalb des Unterrichts. Die Arbeit erfolgt befehlsorientiert, deshalb muss eine Einarbeitungsphase berücksichtig werden. ⁹⁰ MuPAD stellt ein mächtiges Werkzeug dar: „Man kann davon ausgehen, dass kein Bereich aus der Mathematik nicht in vielfältiger

⁸⁰ Thematisiert werden u.a. Primzahlzwillinge und Primzahldrillinge.

⁸¹ Euklids Beweis zur Unendlichkeit der Primzahlmenge, der Test 2 und der Kleine Satz von Fermat werden vom Unterrichtenden bewiesen. Das Unterrichtsgespräch zur Umkehrung des Kleinen Satzes von Fermat wird vom Lehrenden stark gesteuert.

⁸² Hier sind vor allem Folien bzw. Kopien zu nennen, die möglichst aktuelles Datenmaterial enthalten. Eine Präsentation mit dem Computer ist auf Grund der räumlichen und materiellen Bedingungen in den Doppelstunden nicht möglich.

⁸³ Es wird u.a. diskutiert, wie, warum und mit welchem Erfolg sich Mathematiker mit Primzahlen beschäftigten.

⁸⁴ Vgl. Folie ‹‹Alle ungeraden Zahlen größer Eins sind Primzahlen››. ANHANG, 50.

⁸⁵ K. Urbanik: „In der Mathematik gibt es keine Autoritäten. Das einzige Argument für die Wahrheit ist der Beweis.“ (http://www.pirabel.de/zitate.htm).

⁸⁶ Der Beweis von Euklid wird auf Grund des eng bemessenen zeitlichen Rahmens, der Beweis des Kleinen Satzes von Fermat wegen des hohen fachlichen Anspruchs vom Lehrenden geführt.

⁸⁷ Euklid tut nur das Nötigste: Er gibt eine Gleichung zur Konstruktion einer neuen Primzahl an, die weder alle Primzahlen erzeugt, noch die neue Primzahl direkt erkennen lässt. Die Unwissenheit um eine Primzahlformel, die alle Primzahlen und nur diese beschreibt, umgeht er damit sehr geschickt.

⁸⁸ Vgl. Beweis des Kleinen Satzes von Fermat. ANHANG, 61.

⁸⁹ Vgl. Arbeitsblatt ‹‹Kleiner Satz von Fermat››. ANHANG, 60.

⁹⁰ Die Lernenden besitzen bereits Vorkenntnisse (Vgl. Abschnitt 2.1.). Es wird sich im Laufe des Unterrichts zeigen, wie intensiv sich die freiwillige häusliche Arbeit mit MuPAD gestaltete.

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Form innerhalb des Systems verfügbar ist.“ ⁹¹ . Das prozedurale Programmierkonzept ist für die Arbeit innerhalb der geplanten Unterrichtseinheit von Vorteil. Außerdem ist eine Light-Version mit eingeschränktem Bedienkomfort kostenfrei erhältlich. Für die Dauer eines Projekts wird die Vollversion MuPAD-Pro ebenfalls kostenlos angeboten. So kann MuPAD während des Unterrichtsversuches ständig, auch zu Hause, von den Lernenden genutzt werden. Die freie Verfügbarkeit und die Leistungsfähigkeit sprechen für die Verwendung dieses CAS innerhalb des Unterrichtsversuches.

2. 5. 7. Konzeption der vom CAS - Einsatz geprägten Stunden

Die Planung der Stunden, in denen die Lernenden MuPAD nutzen, muss u.a. das unterschiedliche Arbeitstempo der Schüler berücksichtigen. Sie erhalten deshalb die Aufträge auf einem Arbeitsblatt. Am Anfang der Stunde wird besprochen, welche Aufgaben bewältigt werden müssen und welche zusätzlich bearbeitet werden können. Die Arbeitsblätter sind so angelegt, dass neben den Aufgaben auch fachliche Grundlagen und Hinweise zur Umsetzung aufgeführt sind. Die Ratschläge werden in den ersten Stunden detaillierter Natur sein, in den letzten Stunden werden weniger Hinweise gegeben. Der Anspruch an die Lernenden wird schrittweise erhöht. Der Ergebnissicherung sollte innerhalb dieser Stunden besondere Beachtung zukommen. Die geschriebenen Prozeduren können die Schüler auf Diskette speichern und zu Hause weiter bearbeiten, geforderte Antworten müssen schriftlich auf dem Arbeitsblatt dargelegt werden ⁹² . Außerdem erfolgen am Ende einer jeden Stunde mündliche Zusammenfassungen und eine umfassende Diskussion der Ergebnisse. Nach abschließender Besprechung werden den Lernenden die Prozeduren in schriftlicher Form zur Verfügung gestellt. Der Lehrende nimmt eine beratende Funktion ein, gibt individuelle Hilfen und fördert unterschiedliche Lösungswege sowie deren Besprechung.

Leider stehen nicht genügend Rechner zur Verfügung, so dass jeweils zwei Schüler an einem Computer arbeiten müssen. Der Unterrichtende muss darauf achten, dass die Partner sich bei der Arbeit abwechseln. Es ist möglich, dass große Unterschiede im Leistungsvermögen der Schüler auftreten. Differenzierte Hilfen müssen das Grundniveau sichern. Weil jeder das CAS zu Hause nutzen kann, ist es möglich, einzelne Aufgaben ⁹³ in die Hausaufgabe zu verlagern.

2. 5. 8. Primzahltests und ihre Erarbeitung mit einem CAS

Primzahltests bilden den Schwerpunkt der Unterrichtsthematik. Erste Tests ⁹⁴ lassen sich direkt aus der Primzahldefinition ableiten. Diese und auch die Pseudoprimzahltests sollen in einer ersten Phase im Unterrichtsgespräch erarbeitet werden, damit die Umsetzung im CAS nicht in ein Vorgehen nach Versuch und Irrtum ‹‹ausartet››. Ein tieferes Verständnis für die Primzahltests sollen die Lernenden erhalten, wenn sie sich bei der Programmierung der Tests mit den Voraussetzungen für einzelne Entscheidungen eingehend auseinander setzen. Die dritte Stunde soll u.a. noch einer Einarbeitung in das prozedurale Konzept dienen. In den Stunden neun, zehn und elf soll das CAS die Erarbeitung der einzelnen Prüfbedingungen unterstützen und den Schülern die Eigenheiten der Primzahltests näher bringen. Die Lernenden sollen das Wesen der Carmichaelzahlen und Pseudoprimzahlen verstehen, indem sie ihre Besonderheiten und ansatzweise die Häufigkeit ihres Auftretens untersuchen. Die Lernenden sollen selbst Primzahltests erstellen und Beispielrechnungen durchführen, die neue Erkenntnisse hervorbringen. Außerdem sollen sie ein Gefühl für die Größe der heutzutage in der Forschung interessanten Primzahlen bekommen. Der Einsatz eines Computeralgebra-Systems innerhalb dieser Thematik ist wichtig. Ohne einen solchen sind kaum repräsentative Rechnungen möglich. ⁹⁵ Ein Vergleich der einzelnen Primzahltests und somit eine Legitimation des Themas kann erst innerhalb dieser Stunden erfolgen. Hier können und müssen die Lernenden erfahren, dass die eingehende Beschäftigung mit einer Thematik fulminante Ergebnisse hervorbringen kann, dass sich die Auseinandersetzung mit mathematischen Sachverhalten lohnt.

⁹¹ Sodis-Datenbank: MuPAD - The Open Computer Algebra System: LSW M 850. 1999. In: http://www.sodis.de/.

⁹² Zu den meisten Aufgaben sind Fragen formuliert, deren Beantwortung eine Überprüfung der Prozeduren ermöglicht und für die Lernenden neue Erkenntnisse sichtbar werden lässt.

⁹³ Dies können leichte Aufgaben oder freiwillig zu lösende Zusatzaufgaben sein. Außerdem besteht die Möglichkeit, Prozeduren nachzuarbeiten.

⁹⁴ Vgl. Arbeitsblatt ‹‹Erste Primzahltests››. ANHANG, 55.

⁹⁵ Beispielsweise dauert die Überprüfung der zweiten Carmichaelzahl auf die Carmichaeleigenschaft mit einem aktuellen PC in MuPAD (ohne die Verwendung von powermod) rund 5 Sekunden.

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2. 5. 9. Kontrolle der Lernergebnisse

Am Ende der Unterrichtseinheit erfolgt eine Lernerfolgskontrolle. ⁹⁶ Die Bewertung soll in Form einer Note erfolgen, um eine Gesamtbeurteilung zum Abschluss des Schuljahres zu ermöglichen. Sie muss außerdem eine von der Schulleitung geforderte schärfere Ahndung von Formverstößen berücksichtigen. Neben der Überprüfung von Gelerntem und dem Anwendung von Algorithmen werden einige Fragen auf das Verständnis der behandelten Primzahltests abzielen. Eine praktische Tätigkeit am Rechner ist auf Grund der begrenzten Rechneranzahl nicht geplant. ⁹⁷ Das Anforderungsniveau der Kontrolle soll nicht zu hoch angesiedelt sein, weil das zu behandelnde Thema zusätzlich zum Lehrplan unterrichtet wird und wenige Erfahrungen in der Behandlung von Primzahltests im Unterricht einer 11. Klasse die Abschätzung möglicher Probleme erschwert.

⁹⁶ Vgl. Aufgabenblatt ‹‹Kontrolle: Primzahlen und Primzahltests››. ANHANG, 72.

⁹⁷ Die Unruhe beim Wechseln der Plätze würde die Arbeitsatmosphäre stark beeinträchtigen.

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2. 6. Verlaufsplanung

Neben den dargelegten Analysen berücksichtigt die Planung die räumlichen Gegebenheiten und die zur Verfügung stehende Unterrichtszeit von 12 Stunden. Der Computerraum kann jeweils nur in der Einzelstunde genutzt werden. In der vierten Doppelstunde war es möglich, in den Informatikraum zu wechseln.

Tabelle 1: Übersicht über die Stundeneinteilung

⁹⁸ Vgl. Arbeitsblatt ‹‹Zahlentheorie: Grundlagen››. ANHANG, 47.

⁹⁹ Vgl. Folie ‹‹Primzahlen - damals und heute››. ANHANG, 48.

¹⁰⁰ Vgl. Folie ‹‹Wie viele Primzahlen gibt es?››. ANHANG, 49.

¹⁰¹ Test 1: n Primzahl ⇔ Für alle a∈N mit 1 < a < n gilt: ggT(a, n) = 1. ¹⁰² Test 2: n Primzahl ⇔ Für alle a∈N mit 1 < a ≤ [ ] n gilt: ggT(a, n) = 1.

¹⁰³ Vgl. Folie ‹‹Alle ungeraden Zahlen größer Eins sind Primzahlen››. ANHANG, 50.

¹⁰⁴ Vgl. Arbeitsblatt ‹‹Fermatsche und Mersennesche Zahlen››. ANHANG, 51.

¹⁰⁵ Vgl. Folie ‹‹Fermatsche Zahlen››. ANHANG, 52; Folie ‹‹Mersennesche Zahlen››. ANHANG, 53f.

¹⁰⁶ Vgl. Arbeitsblatt ‹‹Erste Primzahltests››. ANHANG, 55.

¹⁰⁷ Vgl. Arbeitsblatt ‹‹Sieb des Eratosthenes und Sieb des Ulam››. ANHANG, 57.

¹⁰⁸ Vgl. Arbeitsblatt ‹‹Rechenregeln für Kongruenzen››. ANHANG, 58.

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3. 3. Bewertung der Planung und Ansätze zur Verbesserung

In Abschnitt 3.1. wurden bereits die während des Unterrichts aufgetretenen Probleme dargelegt. Hier sollen nun wesentliche Aspekte der Planung beurteilt und Verbesserungsansätze für eine erneute Durchführung gegeben werden.

Die Konzeption einer Unterrichtseinheit hängt grundsätzlich von den zu unterrichtenden Schülern, u.a. von ihren Neigungen, Fähigkeiten und Vorkenntnissen sowie von der räumlich-zeitlichen Konstellation ab. Der Unterrichtsgang ist unter anderen als den hier gegebenen Bedingungen nicht ohne weiteres übertragbar, deshalb sollen sich die angebotenen Verbesserungsvorschläge auf diese beziehen.

Der sachlogische Aufbau des Themas ist trotz der vorgenommenen Kürzungen und Vereinfachungen zufriedenstellend. Schwierigkeiten bereitete der enge Zeitplan in den eher theoretisch ausgerichteten Doppelstunden. So konnten der Satz über die Unendlichkeit der Primzahlmenge und sein Beweis nicht genügend diskutiert werden. Man ist geneigt, zumindest den Beweis gänzlich aus der Unterrichtseinheit zu streichen. Dazu muss man die Frage beantworten, wie wichtig seine Behandlung für die Thematik ist. Der Beweis lässt neben der genialen Beweisführung u.a. erahnen, wie unregelmäßig sich die Primzahlen verhalten. Eine ausführlichere Betrachtung der Primzahlfolge, mit Berücksichtigung weiterer Formeln, die viele Primzahlen generieren, könnte diese Erkenntnisse jedoch auch hervorbringen. Ein solches Vorgehen bietet außerdem den Vorteil, dass die Lernenden mehr aktiv werden können.

An der Konzeption der zweiten Doppelstunde und der sechsten Stunde sollte man trotz der angesprochenen Motivationsprobleme einiger Schüler festhalten, weil nicht die Planung für diese Schwierigkeiten verantwortlich zu sein scheint. Natürlich wäre es wünschenswert, die Übung zur Kongruenzrechnung, z.B. mit Herleitungen von Teilbarkeitsregeln, auszuweiten. Die relativ kurze Behandlung reicht aber aus, um diesen Lernenden die für die Primzahltests notwendigen Grundfertigkeiten nahe zu bringen. Beachtung sollte eine Wiederholung der Potenzgesetze finden.

Die größten Probleme beinhaltete die dritte Doppelstunde, weil der dauerhaft hohe fachliche Anspruch und die gewählten Methoden über die Zeit von zwei Unterrichtsstunden die Lernenden überforderten. Die Inhalte sollten jedoch nicht verändert werden. Der Beweis des Kleinen Satzes von Fermat wurde der Grenze des Leistungsvermögen einiger mathematisch begabter Schüler dieser Klasse gerecht, denn auch diese Lernende müssen im Mathematikunterricht stark gefordert werden und Gelegenheit bekommen, ihre Limits auszuloten. Eine dauernde Überlastung kann man vermeiden, indem man die sechste und siebente Stunde tauscht. Die Einführung der Rechenregeln für Kongruenzen reicht aus, um den Kleinen Satz von Fermat formulieren und beweisen zu können. Der Beweis wird an einigen Stellen etwas schwieriger zu verstehen sein, doch können einzelne Beweisschritte nun mit Hilfe des CAS - Einsatzes durch Beispielrechnungen unterstützt werden. Der Stundentausch wird in erster Linie dem Verständnis des Satzes zu Gute kommen, weil sich die Resteberechnungen im Nachhinein nun direkt auf den Kleinen Satz von Fermat beziehen können und die Vorteile des Satzes so stärker in den Vordergrund treten. Die Übungsstunde kann dementsprechend besser motiviert werden und die von Lehrervortrag und Unterrichtsgespräch geprägten Stunden werden voneinander getrennt.

In Anbetracht der selbständigen Einarbeitung in MuPAD traten relativ wenige Problem bei der Arbeit mit dem CAS auf. Man sollte trotzdem am Anfang möglichst sehr sensibel in die CAS - Programmierung einführen, einzelne Prozeduren oft besprechen und differenzierte Aufgabenstellungen geben. Die Planung der vom CAS geprägten Stunden, insbesondere auch die Arbeitsblätter, stellten sich als brauchbar heraus, jedoch sollte das Aufgabenblatt zu den Tests 1 und 2 eine gründliche Analyse einer Prozedur verlangen. Die Eigenheit, dass ein Primzahltest zuerst versucht, eine zusammengesetzte Zahl nachzuweisen und erst am Ende ‹‹Primzahl›› ausgibt, müsste im theoretischen Teil des Unterrichts mehr thematisiert werden.

Die ursprüngliche Konzeption vermochte die Schüler für die Thematik aufzuschließen der nicht erwarteten Veränderung der Klassensituation konnte sie jedoch nicht gerecht werden. Die neue Planung sollte trotzdem nicht von Notendruck, ständigen Kontrollen u.Ä. geprägt sein, weil ein solches Vorgehen dem Erreichen der meisten Unterrichtsziele entgegenwirkt und der Unterricht in dieser Klasse viel von seiner ‹‹Spritzigkeit›› verlieren würde. Deshalb wird sich auch die verbesserte Planung einer solchen unvorhersehbaren Entwicklung nicht stellen können. 120

Die beschriebenen Ansätze zur Verbesserung der Unterrichtseinheit führen zu einer neuen Verlaufsplanung. 121

¹²⁰ Wahrscheinlich wurden die Lernenden durch die Häufung von Klausuren zum Ende des Schuljahres überlastet. Es ist damit zu rechnen, dass sich die Arbeitsmoral der Klasse wieder bessern wird.

¹²¹ Vgl. Neue Verlaufsplanung. ANHANG, 82.

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3. 4. Zahlentheorie in der gymnasialen Oberstufe

Die Zahlentheorie bietet vielfältige Möglichkeiten für eine Behandlung innerhalb des Unterrichts der höheren Klassen, das gewählte Thema ist dabei eines von vielen. Einige Inhalte der elementaren Zahlentheorie tragen einen niedrigeren fachlichen Anspruch als die betrachteten Primzahltests, die jedoch den Vorteil haben, dass sie in der heutigen Zeit eine wichtige Rolle im Zusammenhang zur Kryptographie spielen. Der Unterricht bleibt nicht nur bei einer historischen Betrachtung von großen mathematischen Entdeckungen stehen, sondern schafft Verbindungen zur aktuellen Forschung.

Es ist jedoch kaum möglich, alle notwendigen mathematischen Voraussetzungen mit der gewünschten Akkuratesse zu behandeln, das Versäumnis des Mathematikunterrichts, sich nicht stetig zahlentheoretischen Problemen zu widmen, nachzuholen. Die notwendigen Voraussetzungen der behandelten Primzahltests, vor allem der Kleine Satz von Fermat, stellen sehr hohe Anforderungen an die Schüler einer 11. Klasse. Die schnelle Aufeinanderfolge und Abarbeitung der Fülle von Grundlagen haben Verständnisschwierigkeiten zur Folge, Handlungen werden nicht genügend verinnerlicht. Innerhalb einer Klasse mit ‹‹normalem›› Leistungsniveau müsste die systematische Erarbeitung solcher Grundlagen mehr Raum einnehmen, so dass der hier gegebene Zeitrahmen nicht ausreichend erscheint. Die äußeren Rahmenbedingungen, vor allem die Lernenden dieser Klasse, die den Willen und die Fähigkeit besitzen ¹²² , sich höheren mathematischen Herausforderungen zu stellen, machen die Behandlung dieses Teilgebiets der elementaren Zahlentheorie im vorgegebenem Zeitrahmen möglich. Das gewählte Thema ist demnach nur bedingt für den Unterricht in einer 11. Klasse geeignet. In einem Leistungskurs der Jahrgangsstufe 12 oder 13 würde der Unterricht aufgrund der gesteigerten Denk- und Argumentationsfähigkeit sicherlich besser durchgeführt werden können. Außerdem ist eine Bearbeitung des Themas innerhalb einer Projektwoche bzw. eines Förderunterrichtes für mathematisch begabte Schüler denkbar.

¹²² Es sei angemerkt, dass trotz der erwähnten Verringerung der Lernbereitschaft einige Schüler während der gesamten Unterrichtseinheit engagiert und konzentriert am Unterrichtsgeschehen beteiligt waren.

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3. 5. Der CAS - Einsatz im Unterricht

Die Behandlung der Primzahltests ist ohne die Verwendung eines CAS, ohne die Möglichkeit, die Tests in der Praxis zu erproben und zu untersuchen, kaum denkbar. Die von der Theorie etwas überforderten Schüler konnten erst in der praktischen Arbeit das Wesen der Carmichaelzahlen und der Pseudoprimzahlen erfassen, die Zahlenarten unterscheiden, die Laufzeiten verschiedener Primzahltests vergleichen und damit Einblicke in die Notwendig effizienter Algorithmen gewinnen, die Sicherheit der Pseudoprimzahltests abschätzen u.s.w.

Fruchtbar für die Schüler, sicher auch anstrengend für den Unterrichtenden, erwiesen sich die spezifischen Hilfestellungen, die der Lehrende geben konnte. Einzelne Gespräche ermöglichen neben der effizienten Beseitigung individueller fachlicher Probleme, die Schüler für die Mathematik aufzuschließen. So konnten während der Unterrichtseinheit einige Lernende zur tieferen Auseinandersetzung mit der Thematik außerhalb des Unterrichts angespornt werden. 123

Der Einsatz eines Computeralgebra-Systems bringt einige Probleme mit sich.

Es gibt Lernende, für die der Rechner eine große Hemmschwelle darstellt. Ständiger Computereinsatz kann bei diesen zur Frustration führen. Das behutsame Heranführen dieser Schüler an die Arbeit mit dem PC sollte auch Aufgabe des Mathematikunterrichts sein.

Die Sprache des verwendeten CAS stellt an Schüler, die das Programmieren nicht gewohnt sind, zusätzliche Anforderungen. Viele benötigen einige Zeit, sich an die gegebene Programmiersprache und an das Programmieren selbst zu gewöhnen. Innerhalb dieser Klasse waren die Voraussetzungen, nicht zuletzt wegen der freiwilligen selbständigen Einarbeitung in MuPAD, günstig, so dass hier kaum Schwierigkeiten zu verzeichnen waren. Dies wird nicht ohne weiteres auf andere Schülergruppen übertragbar sein.

Selbst ein befehlsorientiertes CAS wie MuPAD spricht die Lernenden emotional an, verleitet demzufolge auch zum Spielen. ¹²⁴ Der glückliche Umstand, dass jeder MuPAD auch zu Hause verwenden konnte, begünstigte die Einhaltung der vom Lehrenden aufgestellten Regel ‹‹Tests über drei Minuten werden nicht in der Unterrichtszeit durchgeführt.››.

Die Schüler arbeiten meist zu zweit an einem Rechner. Deshalb sind die Kontrollmöglichkeiten des Unterrichtenden eingeschränkt. Man sollte darin nicht nur einen Nachteil sehen, weil sich die Chance bietet, die Eigenverantwortlichkeit der Jugendlichen zu fördern. Die Schüler dieser Klasse unterstützten sich gegenseitig, bearbeiteten die gestellten Aufgaben meist gemeinsam und wechselten sich oft an der Tastatur ab. Innerhalb einer anderen Klasse kann die hier sehr beliebte Partnerarbeit jedoch dazu führen, dass gut die Hälfte der Lernenden nicht aktiv am Unterrichtsgeschehen beteiligt ist.

Der Rechner kann Lernende zu einem Vorgehen nach Versuch und Irrtum verleiten. Einige Schüler der Klasse bekamen so die einzelnen Tests zum Laufen und erhielten richtige Ergebnisse, erfassten die mathematischen Hintergründe aber kaum. Individuelle Hilfen und Fragen brachten Schüler dazu, die Prozeduren hinterfragend zu erzeugen. Ein anderer Ausweg wäre das schriftliche Erstellen einer Prozedur. Dies wird zu einer eingehenden Beschäftigung mit den Voraussetzungen für einzelne Testentscheidungen führen. Die durch den Rechnereinsatz gewonnenen Ergebnisse müssen von den Lernenden festgehalten werden. Viele beschäftigten sich anfangs mit dem Abschreiben einzelner Prozeduren und verloren so wertvolle Unterrichtszeit. Die erstellten Programme sollten den Schülern auf Diskette und auch in schriftlicher Form zur Verfügung gestellt werden. Bewährt haben sich außerdem Arbeitsblätter mit Fragen, die Freiräume für Antworten enthalten. Eine häusliche Nacharbeit wird dadurch begünstigt. 125

Beachten sollte man, dass die Schüler die Notwendigkeit des CAS - Einsatzes erkennen und die Ergebnisse auf das zu erreichende Unterrichtsziel beziehen. Am Anfang hatte es den Anschein, als ob einige diese Stunden als völlig losgelöst vom normalen Unterricht betrachteten. Als hilfreich erwiesen sich Vororientierungen und die ausführliche Diskussion der Ergebnisse.

Der Computereinsatz im Unterricht ist kein Allheilmittel. Bei den meisten ¹²⁶ trug die Verwendung eines CAS zu einer guten Arbeitseinstellung innerhalb der vom Rechner geprägten Stunden bei, jedoch übertrug sich das Engagement nicht auf die eher klassischen Unterrichtsstunden und auf die häusliche Lernbereitschaft.

¹²³ Ein Schüler programmierte das Sieb des Eratosthenes in MuPAD, zwei andere beschäftigten sich mit dem Programm prime95 zur Überprüfung von Mersenneschen Primzahlen (Das Programm befindet sich auf der CD.) u.s.w.

¹²⁴ Viele Schüler testeten immer größere Zahlen. Die Rechenzeiten nahmen unakzeptable Ausmaße an.

¹²⁵ Dies war z.B. bei einigen leistungsschwächeren Schülern erkennbar, die sich fleißig auf die Kontrolle vorbereitet hatten.

¹²⁶ Es gab einen Schüler, dem der Rechnereinsatz überhaupt nicht gefiel.

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3. 6. Ausbau des Themas

Der Einblick in das spezielle Gebiet der Primzahltests erscheint im Rahmen der Schulmathematik ausreichend. Die wesentliche Eigenschaft aktueller Tests, Wahrscheinlichkeitsaussagen zu treffen, und die Legitimation solcher Tests können innerhalb dieser Unterrichtseinheit genügend erörtert werden. Ansatzpunkte für die Ausweitung der Primzahlthematik ergeben sich jedoch viele. So könnten z.B. verschiedene Aspekte der Primzahlen ¹²⁷ , das Generieren großer Primzahlen, die Faktorisierung großer Zahlen und Chiffrierverfahren ¹²⁸ Einzug in den Mathematikunterricht halten. Alle diese Teilgebiete bieten die Möglichkeit des Einsatzes moderner Rechentechnik, geben ausreichend Gelegenheiten, das selbständige Problemlösen zu fördern, sind eng mit der aktuellen Forschung verbunden und dienen dem exemplarischen Erfahren der Bedeutung der Mathematik.

¹²⁷ Themenkomplexe findet man z.B. bei Fegert 1993, 16.

¹²⁸ Vgl. Schulz 1993, 56ff.

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4. Zusammenfassung

Die Unterrichtseinheit ‹‹Primzahltests›› wurde in einer 11. Klasse (Förderklasse Mathematik) am Ende des Schuljahres erprobt. Die fachlichen Grundlagen wurden weitestgehend in klassischen Unterrichtsformen und die Primzahltests mit Unterstützung eines Computeralgebra-Systems erarbeitet.

Der Unterrichtsversuch ergab, dass der gewählte Inhalt nur bedingt für den Unterricht einer 11. Klasse des Gymnasiums geeignet ist. Neben dem Bestehen wichtiger Rahmenbedingungen (Möglichkeit der Nutzung eines Computerkabinetts, großzügiger Zeitrahmen u.s.w.) sollte die Klasse aus leistungsstarken Schülern zusammengesetzt sein. Unter diesen Voraussetzungen wird der vorgestellte Unterrichtsgang einen erheblichen Beitrag zur Vermittlung von grundlegenden Denk- und Arbeitsweisen der Mathematik einbringen und die Erfahrungswelt der Lernenden bereichern.

Die behandelten Primzahltests verlangen den sinnvollen Einsatz eines CAS. Einerseits sind Beispielrechnungen nur mit einem solchen System möglich, andererseits können die Testbedingungen und Eigenschaften der Primzahltests gut in der praktischen Tätigkeit, dem Umsetzen der Tests in einem CAS, erarbeitet werden. Die Verwendung eines Computeralgebra-Systems im Unterricht, vor allem der Ersteinsatz, bringt einige Probleme mit sich, die Beachtung finden müssen.

Ein Computeralgebra-System ist geeignet, viele Schüler für die Auseinandersetzung mit mathematischen Sachverhalten zu begeistern. Das Erwecken von Interesse am Fach muss eine essentielle Aufgabe des Mathematikunterrichts sein.

Die Zahlentheorie mit ihren vielen einfachen Fragestellungen, die das logische Denken energisch fordern, sollte einen größeren Raum innerhalb der Schulmathematik einnehmen.

Gauß formulierte:

„Die Höhere Arithmetik bietet einen unerschöpflichen Reichthum an interessanten Wahrheiten dar, und zwar an solchen, die nicht vereinzelt, sonderen in innigem Zusammenhange stehen, und immer neue, ja unerwartete Verknüpfungen erkennen lassen, je weiter die Wissenschaft sich ausbildet“ ¹²⁹ .

¹²⁹ Remmert 1995, 7.

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BEHANDLUNG VON PRIMZAHLTESTS... 5. Literaturverzeichnis

5. Literaturverzeichnis

5. 1. Bücher, Zeitschriften und Bildungspläne

Bachmair, Gerd: Unterrichtsanalyse: Verfahren und Fragestellungen zur Planung, Durchführung und Auswertung von Unterrichtsbeobachtungen. Weinheim: Beltz, 1974, 11-78.

Bartholomé, Andreas; Rung, Josef; Kern, Hans: Zahlentheorie für Einsteiger. Braunschweig: Vieweg, 1995.

Bundschuh, Peter: Einführung in die Zahlentheorie. 4. Auflage. Berlin: Springer, 1998.

Christmann, Norbert: Einführung in die Mathematik-Didaktik. Paderborn: Schöningh, 1980, 15-100.

Conway, John H.; Guy, Richard K.: Zahlenzauber: Von natürlichen, imaginären und anderen Zahlen. Basel: Birkhäuser, 1997, 143-168.

Dobermann, Heike: Hausarbeit im Rahmen der ersten Staatsprüfung für das Lehramt am Gymnasium: Primzahltests mittels Lucas-Folgen. 1999.

Fegert, Karl; Bernhard, Leeb; Brandt, Volker: Erfahrungen mit dem Kurs „Primzahlen“ der Schülerakademie. In: Mathematik lehren: Primzahlen I. Friedrich Verlag, Nr. 57, 1993, 14-16.

Fuchssteiner, Benno; Wiwianka, Waldemar: MuPAD: Benutzerhandbuch. Basel: Birkhäuser, 1993.

Glatfeld, Martin: Zur Einführung in das Heft „Primzahlen I“. In: Mathematik lehren: Primzahlen I. Friedrich Verlag, Nr. 57, 1993a, 4.

Glatfeld, Martin: Konzeptionelle Bemerkungen zur unterrichtlichen Behandlung von Euklids Beweis der Unendlichkeit der Primzahlmenge. In: Mathematik lehren: Primzahlen I. Friedrich Verlag, Nr. 57, 1993b, 5-7.

Heymann, Hans Werner: Allgemeinbildung und Mathematik. Weinheim: Beltz, 1996, 131-280.

Ministerium für Bildung, Wissenschaft und Kultur Mecklenburg-Vorpommern (Hrsg.): Rahmenplan für das Gymnasium: Sekundarstufe I. Mathematik. 1997.

Ministerium für Bildung, Wissenschaft und Kultur Mecklenburg-Vorpommern (Hrsg.): Rahmenplan für das Gymnasium: Sekundarstufe II. Mathematik. 1999.

Oevel, Walter; Postel, Frank; Rüscher, Gerald; Wehmeier, Stefan: Das MuPAD Tutorium. Berlin: Springer, 2000.

Padberg, Friedhelm: Elementare Zahlentheorie. 2. Auflage. Heidelberg: Spektrum, 1999a.

Padberg, Friedhelm: Zahlentheorie und Arithmetik. Heidelberg: Spektrum, 1999b.

Remmert, Reinhold; Ullrich, Peter: Elementare Zahlentheorie. 2. Auflage. Basel: Birkhäuser, 1995, 1-235.

Ribenboim, Paulo: The new book of prime number records. 3. Auflage. New York: Springer, 1996, 1-178.

Riesel, Hans: Prime numbers and computer methods for factorization. 2. Auflage. Boston: Birkhäuser, 1994, 1-140.

Scheu, Günter: Entdeckungen in der Menge der Primzahlen mit DERIVE. In: Praxis der Mathematik. Aulis Verlag, Heft 3/34, 1992, 119-122.

Schulz, Ralph-Hardo: Primzahlen in öffentlichen Chiffrierverfahren. In: Mathematik lehren: Primzahlen II. Friedrich Verlag, Nr. 61, 1993, 56-64.

Winning, Anita: Ein Weg zu den Primzahlen. In: Mathematik lehren: Primzahlen II. Friedrich Verlag, Nr. 61, 1993, 18-20.

Winter, Heinrich: Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht: Einblicke in die Ideengeschichte und ihre Bedeutung für die Pädagogik. 2. Auflage. Braunschweig: Vieweg, 1991, 22-32.

Zech, Friedrich: Grundkurs Mathematikdidaktik: Theoretische und praktische Anleitungen für das Lehren und Lernen von Mathematik. 9. Auflage. Winheim: Beltz, 1998.

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BEHANDLUNG VON PRIMZAHLTESTS... 5. Literaturverzeichnis

5. 2. Quellen aus dem Internet

Die angegebenen Quellen schließen weiterführende Links ein.

http://www.primzahlen.de/ (deutsche Primzahlseite).

http://www.learnetix.de/learnetix/mathe/primzahlen/primzahlen_einstieg.html (deutsche Primzahlseite).

http://www.utm.edu/research/primes/ (Primzahlen und Primzahltests).

http://www.mersenne.org/prime.htm (Mersenne-Homepage; Primzahlsuchmaschine).

http://www.isthe.com/chongo/tech/math/prime/ (Mersennesche Primzahlen).

http://www.mathematik.uni-marburg.de/~jentschk/prime.html (Mersennesche Primzahlen).

http://www.jeckle.de/mersenne.html (Mersennesche, Titanische und Gigantische Primzahlen).

http://www.gomeck.de/welt-der-zahlen.html (Wissenswertes über Zahlen).

http://www.kinds-of-numbers.de/ (Zahlenarten).

http://www.theory-of-numbers.de/ (Beweise zur Unendlichkeit der Primzahlmenge).

http://die.antimaterie.de/lochfrass/inhalt.html (Kongruenzrechnung; Primzahltests; Faktorisierungsverfahren).

http://www.devalco.de/ (Kleiner Satz von Fermat).

http://www.wiwi.uni-bielefeld.de/StatCompSci/lehre/material_spezifisch/statalg00/historisch/histnet.html (Euklidischer Algorithmus; Sieb des Eratosthenes; Primzahltests).

http://www.muenchenbach.de (Von Primzahlen zur Kryptographie).

http://www.scruznet.com/~luke/lit/lit_068s.htm (Lucas über Fermatsche und Mersennesche Primzahlen).

http://www.math.umn.edu/~garrett/js/list_pr.html (Java Applet: Primzahlgenerator).

http://www.faust.fr.bw.schule.de/mhb/eratosib.htm (Java Applet: Sieb des Eratosthenes).

http://www.cims.nyu.edu/~iserov/java/prime_test.html (Java Applet: Primfaktorzerlegung).

http://members.aol.com/m3021377/private/latimes.html (Student Finds Largest Prime Number Ever).

http://www.mathematik.ch/mathematiker.html (Kurzbiographien bedeutender Mathematiker).

http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/lebensdaten.html (Lebensdaten bedeutender Mathematiker).

http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/zitate.html (Zitate zur Mathematik).

http://www.pirabel.de/zitate.htm (Zitate zur Mathematik).

http://www.sodis.de/ (Software-Dokumentations- und Informations-System).

http://www.sciface.com/ (Vertrieb von MuPAD; Anleitungen zu MuPAD).

http://www.mupad.de/ (Vertrieb von MuPAD; Anleitungen zu MuPAD).

http://www.art1.it-netservice.de/privat/mupad/MuPAD-dt_Doku.html (Anleitung zu MuPAD).

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BEHANDLUNG VON PRIMZAHLTESTS... 5. Literaturverzeichnis

5. 3. Titelbild

Im Jahr 1963 wies Prof. Donald B. Gillies ¹³⁰ mit dem Supercomputer ILLIAC-II der Universität Illinois (U.S.A.) nach, dass die Zahlen 9689, 9941 und 11213 in der Mersenneschen Formel Primzahlen liefern. Das Postamt in Urbana Illinois ehrte die Entdeckung der 23. Mersenneschen Primzahl mit dem dargestellten Poststempel.

Bildquelle:

Remmert, Reinhold; Ullrich, Peter: Elementare Zahlentheorie. 2. Auflage. Basel: Birkhäuser, 1995, 40.

¹³⁰ Prof. Donald B. Gillies (1928 - 1975)

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6. Symbole und Bezeichnungen

CAS Computeralgebra-System

MuPAD Multi Processing Algebra Data Tool

PC Personalcomputer

RSA Verschlüsselungsverfahren von Rivest, Shamir und Adleman

Einzelarbeit ¹³¹ EA

UG Unterrichtsgespräch

LV Lehrervortrag

HA Hausaufgabe

PA Partnerarbeit

Z Menge der ganzen Zahlen

N Menge der natürlichen Zahlen

N 0 Menge der natürlichen Zahlen zuzüglich 0

ggT(a, b) größter gemeinsamer Teiler von a und b

ϕ Eulersche ϕ-Funktion

a | b a teilt b

a ≡ b (mod m) a kongruent b modulo m

a ≠ b (mod m) a inkongruent b modulo m

a Restklasse modulo m

[] x

größte ganze Zahl kleiner gleich x

¹³¹ Innerhalb des Unterrichts sind bei der Einzelarbeit Hilfen von Mitschülern meist gestattet. Strenge selbständige Schülerarbeit wird insbesondere dann gefordert, wenn die erbrachten Leistungen benotet werden sollen.

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7. Anhang

7. 1. Inhalt der beiliegenden CD-ROM

Die meisten Dokumente liegen im pdf-Format vor, so dass der Acrobat Reader benötigt wird. Einige Dateien sind mit WinZip gepackt und müssen vor Benutzung extrahiert werden. Beide Programme sind kostenlos im Internet erhältlich:

• Im Verzeichnis ‹‹Arbeitsblaetter›› befinden sich alle Arbeitsblätter und Folien, die während des Unterrichtsversuches zum Einsatz kamen. Einige sind sowohl in Folienform als auch in kompakter Form für die Hand des Schülers formatiert. Außerdem enthalten viele Dateien Lösungen zu den gestellten Aufgaben.

• Im Verzeichnis ‹‹Hausarbeit›› befindet sich diese Arbeit.

• Im Verzeichnis ‹‹MuPAD_Anleitungen›› befinden sich Kurzanleitungen und Beispieldateien zu MuPAD. Außerdem ist eine komplette Dokumentation zu MuPAD 2.0 enthalten.

• Im Verzeichnis ‹‹MuPAD_Installation›› befinden sich die Installationsdateien zu den Versionen MuPAD 1.4.2 und MuPAD 2.0. ^A1 Es sind jeweils die kostenfreie Light-Version und die kostenplichtige Pro-Version ^A2 vorhanden. Beide müssen bei SciFace registriert werden, wobei die letztere 30 Tage lang getestet werden kann.

• Im Verzeichnis ‹‹MuPAD_Notebooks›› befinden sich die Lösungen der Arbeitsblätter im mnb-Format ^A3 und im txt-Format.

• Im Verzeichnis ‹‹Primzahlen›› befinden sich eine Primzahlliste bis 600011 und eine Übersicht über die größten bekannten Primzahlen mit Angaben zur Entdeckung.

• Im Verzeichnis ‹‹Programme›› befinden sich der Primzahltester der Mersenne-Homepage, ein Programm zum Erstellen von Primzahllisten und ein Tool, dass Primzahlen zum Musizieren nutzt.

^A1 Die Schüler nutzten MuPAD Light 1.4.2 zu Hause. Im Computerraum der Schule war die deutsche Version von MuPAD Pro 1.4.2 installiert. MuPAD 2.0 ist erst seit kurzem erhältlich.

^A2 Die Pro-Version ist in deutscher und englischer Sprache verfügbar. ^A3 MuPAD-Notebook-Format