Trivialität gilt: Jeder Punkt aus X hat eine Umgebung U . Für diese Umgebung existiert ein Homöomorphismus f : ¹ (U ) ! U R ⁿ wobei für jedes x 2 U gilt, dass f x := f j Ex : E x ! fxg R ⁿ ein Vektorraum-Isomorphismus ist.

Zum besseren Verständnis der oben angeführten De…nition 1 betrachten wir die Abbildung 2.

Hier ist wohl auch noch ein kurzer Hinweis zur Spech- und Schreibweise angebracht. Wir bezeichnen (E; ; X) als Vektorraumbündel „über X”. ¹ E selbst ist der Totalraum, X die Basis und wie gewohnt die Projektion. Man bezeichnet E x als Faser über x 2 U X. 2

Bemerkung 2: Da f j Ex die Einschränkung von f auf die Faser ist, stellt f ^x eine Abbildung der Faser dar.

De…nition 3 (Bündelkarte): Sei (f; U ) wie im Axiom der lokalen Trivialität. Dann nennen wir (f; U ) Bündelkarte. Wir bezeichnen ein Bündel (E; ; X) als trivial, sofern es eine Bündelkarte (f; X) hat.

¹ Oft schreibt man anstelle des Tripels (E; ; X) auch nur E.

² Ex ist ein Vektorraum

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3 Bündelhomomorphismus und Teilbündel

Nach der De…nition eines Vektorraumbündels möchten wir nun die zugeöhrigen Morphismen de…nieren. Hierbei ist zu erwähnen, dass die Vektorraumbündel über X die Objekte eine Kategorie darstellen. ³ Sie werden als Bündelhomo-morphismen bezeichnet. Betrachten wir hierzu zunächst das nachfolgende Diagramm zum einfacheren Verständnis:

Im Diagramm stellen E und E ⁰ Vektorraumbündel über X dar. Kommen wir nun zur De…nition.

De…nition 3 (Bündelhomomorphismus): Sei f : E ! E ⁰ eine stetige Abbildung. Wir bezeichnen f als Bündelhomomorphismus, wenn das oben angeführte Diagramm kommutativ und jedes f x : E x ! E ⁰ x linear ist.

De…nition 4 (Teilbündel): Sei E ⁰ E eine Teilmenge von einem n-dimen- sionalenVektorraumbündel (E; ; X) über X. Wir sagen, dass (E ⁰ ; j E ⁰ ; X) in

³ Dies soll hier nicht weiter Ausgeführt werden. Eine Erklärung …ndet sich zum Beispiel auf

Wikipedia.

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kanonischer Weise ein Vektorraumbündel über X darstellt das als Teilbündel oder auch Unterbündel von (E; ; X) bezeichnet wird, falls es für alle Punkte aus X eine Bündelkarte (f; U ) mit f ( ¹ (U ) \ E ⁰ ) = U R ^k U R ⁿ gibt. Abbildung 3 veranschaulicht die gegebene De…nition. Das nun folgende Lemma benützt die oben angeführten De…nitionen und stellt einen Zusammenhang zwischen dem Kern (respektive Bild) eines Bündelhomo-morphismus f : E ! F sowie dem Begri¤ des Teilbündels her. Lemma 5: Seien E und F Vektorraumbündel über X und f : E ! F ein Bündelhomomorphismus von E nach F . Falls rg(f x ) = c wobei c eine Konstante, dann gilt

[

ist ein Teilbündel von E und

[

ist ein Teilbündel von F .

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