Dank

Mein herzlicher Dank gebührt meinem Betreuer, Professor Alexander Mehlmann, für sein Interesse an dem von mir gewählten Thema und seine Unterstützung während der Umsetzung.

Besonderer Dank gilt meinen Eltern, Renate und Dr. Horst Fröhler, die mir ein sorgenfreies Studium ermöglicht haben.

Für wichtige Inputs während der Modellbildung möchte ich Professor Franz Hof und meiner Freundin Claudia Bernhard danken.

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Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  6

1.1  Die Volkswirtschaftslehre  6

1.1.1  Die Mikroökonomie  6

1.1.2  Die Makroökonomie  6

1.2  Die Spieltheorie  6

1.3  Motivation  7

1.4  Überblick  7

2  Wichtige Modelle der Wachstumstheorie  9

2.1  Das Solow-Modell  9

2.1.1  Definition und Grundannahmen  9

2.1.2  Die Produktionsfunktion  9

2.1.3  Die Herleitung der Wachstumsraten  10

2.1.4  Das Wachstumsgleichgewicht - Der "Steady-State"  12

2.2  Das Lucas-Uzawa-Modell  14

2.2.1  Kritik am Solow Modell  14

2.2.2  Die Nutzenfunktion  14

2.2.3  Einleitung und Modellannahmen  15

2.2.4  Die Produktionsfunktion  16

2.2.5  Das Optimierungsproblem  16

2.2.6  Die Wachstumsraten der Modellgrößen  18

2.2.7  Der Steady-State.  20

2.2.8  Interpretation der Ergebnisse  21

3  Die Simulation  23

3.1  Das Lucas-Uzawa-Modell in der Simulation  23

3.1.1  Die Modellannahmen  23

3.1.2  Initialisierung der Parameter  24

3.1.3  Gesetzmäßigkeiten in der Simulation  25

3.1.4  Die Berechnung von cons  28

3.1.5  Die Berechnung von invh.  29

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3.1.6  Die Berechnung von invk  29

3.1.7  Die optimale Entscheidung  30

3.2  Die Bedienung der Simulation  31

3.2.1  Das Simulationsinterface  31

3.2.2  Die Steuerung  31

3.2.3  Die Grafik "BSP"  32

3.2.4  Die Grafik "Inputfaktoren"  32

3.2.5  Die Grafik "Beschäftigung"  32

3.2.6  Der Aktionsraum  32

4  Ergebnisse  34

4.1  Deterministische Parameterdefinitionen  34

4.1.1  Das Parameterset T 1  34

4.1.2  Die Bedeutung der Parameter  34

4.1.3  Die Simulation unter T 1  36

4.2  Sensitivitätsanalysen  37

4.2.1  Parameter A  37

4.2.2  Parameter B  38

4.2.3  Parameter Ù  39

4.2.4  Parameter à  40

4.2.5  Parameter ê und Ü  40

4.2.6  Parameter é  41

4.3  Stochastische Simulation  42

4.3.1  Das Parameterset T 11  42

4.3.2  Die Simulation unter T 11  42

4.4  Schocks  43

4.5  Zusammenfassung der Ergebnisse  44

5  Ein modifiziertes Lucas-Uzawa-Modell  45

5.1  Modifikation der Gleichungen  45

5.2  Anpassung der Simulation  45

5.2.1  Die Berechnung von EJRD  45

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5.3  Ergebnisse der deterministischen Simulation  46

5.4  Sensitivitätsanalyse  47

5.5  Auswirkungen der Modifikation  48

6  Erkenntnisse  49

6.1  Konklusion  49

6.2  Ausblick  50

7  Anhang  51

7.1  Quellcode der Simulation  51

7.2  Literaturverzeichnis  59

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1 Einleitung

1.1 Die Volkswirtschaftslehre

Die Volkswirtschaftslehre beschäftigt sich mit der Analyse von gesamtwirtschaftlichen Zusammenhängen wie den wechselnden Verhältnissen von Arbeit, Gütern und Geld. Es ist der Versuch, Gesetzmäßigkeiten zu finden und daraus Handlungsempfehlungen für die Wirtschaftspolitik abzuleiten. Sie teilt sich in zwei Teilgebiete: Die Mikroökonomie und die Makroökonomie.

1.1.1 Die Mikroökonomie

Die Mikroökonomie erforscht das wirtschaftliche Verhalten einzelner Konsumenten (Theorie des Haushalts), das Verhalten von Unternehmen (Produktionstheorie) sowie die Verteilung von endlichen Ressourcen wie Rohstoffen, Gütern und Geld zwischen den Haushalten und Unternehmen. Die Konsumenten werden als Quelle der Arbeitskraft, des Kapitals und als Verbraucher produzierter Güter angesehen. Güter werden mit dem Ziel verbraucht, den eigenen Nutzen zu maximieren. Betriebe setzen Ressourcen wie Arbeit, Rohstoffe, Boden, Kapital und Wissen mit dem Ziel der Gewinnmaximierung ein. Um diese Fragestellungen der Interdependenzen lösbar zu machen, werden von der Wirklichkeit abstrahierte mathematische Modelle untersucht. In der Regel wird angenommen, dass die Wirtschaftsakteure Nutzenmaximierung betreiben und rational handeln: Unter gegebenen Handlungsalternativen wird stets die beste ausgewählt. Ein derart handelnder Ideal-Akteur wird Homo Oeconomicus genannt.

1.1.2 Die Makroökonomie

Die Makroökonomie untersucht das Zusammenspiel aggregierter Wirtschaftsgrößen. Das Verhalten der Wirtschaft insgesamt wird untersucht, wie zum Beispiel Änderungen des Gesamteinkommens, der Beschäftigungsrate, der Inflationsrate und der Konjunktur. Anhand von mathematischen Modellen wird versucht, diese Schwankungen zu erklären und Empfehlungen für die Entscheidungsträger in Wirtschaft und Politik abzuleiten. Im Mittelpunkt vieler makroökonomischer Betrachtungen steht daher die Rolle des Staates im gesamtwirtschaftlichen Kontext. So werden durch Änderungen bei Steuern, Zinsen oder Staatsausgaben politisch definierte Ziele, wie beispielsweise Preisniveaustabilität, Vollbeschäftigung und Wirtschaftswachstum angestrebt.

1.2 Die Spieltheorie

Die Spieltheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das Systeme mit mehreren Akteuren analysiert. Der Focus liegt dabei auf rationalem Entscheidungsverhalten in sozialen Konfliktsituationen. Historischer Ausgangspunkt der Spieltheorie ist der Versuch einer Analyse des Homo Oeconomicus. Seit 1970 setzt sich die Spieltheorie mehr und mehr als die beherrschende Methodik in dentraditionell normativ ausgerichteten - Wirtschaftswissenschaften sowie auch in deren sozialwissenschaftlichen Nachbardisziplinen durch.

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1.3 Motivation

Diese Arbeit soll ein Baustein sein, der dazu beiträgt, die Lücke zwischen den beiden Gebieten der Mikroökonomie und der Makroökonomie zu schließen.

Aufbauend auf den Prinzipien und Methoden der Spieltheorie wird mithilfe einer spieltheoretischen Simulationsumgebung eine virtuelle, heterogene Population rational agierender Agenten erschaffen, die sich in wiederholtem Spiel ökonomisch betätigen. Die Agenten haben in jeder Periode die Wahl zwischen 3 reinen Strategien und optimieren ihren Nutzen über einen endlichen und im Laufe des Spiels veränderlichen Zeitraum. Durch die Simulation wird gezeigt, wie bekannte Modelle der Makroökonomie mit den Methoden der Spieltheorie mikroökonomisch fundiert werden können, ohne auf mathematisch exakte Gleichgewichtsresultate zurückzugreifen. Dieser Ansatz erscheint insbesondere deshalb praktikabel, da die theoretisch hergeleiteten Werte und Wachstumsraten im Wirtschaftsgleichgewicht oftmals hohe Instabilitäten gegenüber der Varianz ihrer erklärenden Parameter aufweisen.

Diese Arbeit versteht sich als Grundlage, auf der weiterführende spieltheoretische Volkswirtschaftsanalysen aufbauen können.

1.4 Überblick

In Kapitel (2.1) wird zunächst ein fundamentales Wachstumsmodell von Robert Merton Solow vorgestellt und hergeleitet. Dieses Modell ist heute noch immer von großer Bedeutung, da viele wesentliche Beiträge zur neoklassischen Wachstumstheorie - so auch das in der Simulation behandelte Lucas-Uzawa-Modell darauf aufbauen.

In (2.2) wird die Theorie des Lucas-Uzawa-Modells behandelt. Im Lucas-Uzawa-Modell wird dauerhaftes Wirtschaftswachstum über Einführung von Humankapital in die Produktionsfunktion und dem nutzenmaximierenden Verhalten der Wirtschaftssubjekte erklärt. Es werden die Gleichungen für die Wachstumsraten der Input- und Output- und Entscheidungsgrößen im Steady-State betrachtet - dem langfristigen, gleichgewichtigen Wachstumspfad.

Kapitel (3.1) leitet die Theorie des Lucas-Uzawa-Modells für die spieltheoretische Simulation her. Es werden die Agenten, der Aktionsraum und die Entscheidungsalgorithmen der Agenten erklärt. Die zeitstetige Nutzenfunktion des Lucas-Uzawa-Modells wird diskretisiert, und die Annahme der Perfect Foresight (das heißt Optimierung über unendlichen Zeitraum bei perfekter Kenntnis aller Modellgrößen) für die Agenten wird zugunsten der Optimierung über einen endlichen Zeitraum fallen gelassen.

Kapitel (3.2) geht auf die technischen Details und die Steuerung der Simulation ein.

Kapitel (4.1) beschäftigt sich mit den Ergebnissen der Simulation unter verschiedenen deterministischen Parametersets.

Kapitel (4.2) analysiert die Sensitivität des Modells bezüglich der Veränderung von einzelnen Parameterwerten.

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Kapitel (4.3) untersucht die Simulation mit stochastischen Parametersets.

Kapitel (4.4) geht auf Schocks innerhalb der Simulation ein.

In Abschnitt (4.5) werden die gewonnenen Erkenntnisse zusammengefasst und Kritikpunkte am Lucas-Uzawa-Modell angeführt.

In Kapitel (5.1) werden die Gleichungen des Lucas-Uzawa-Modells modifiziert.

In (5.2) wird die Simulation modifiziert.

Abschnitt (5.3) behandelt die Ergebnisse unter deterministischer Simulation.

In Abschnitt (5.4) wird die Sensitivität des modifizierten Modells analysiert.

Abschnitt (5.5) beschäftigt sich mit den Auswirkungen der Modifikation.

Kapitel (6.1) interpretiert die gewonnenen Erkenntnisse aus der Simulation.

Kapitel (6.2) bietet einen Ausblick, welche Fragestellungen auf Basis dieser Arbeit erforscht werden könnten.

(7.1) Enthält den Quellcode der Simulation.

(7.2) Enthält das Literatur- und Quellenverzeichnis.

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2 Wichtige Modelle der Wachstumstheorie

2.1 Das Solow-Modell

Der US-amerikanische Ökonom Robert Menton Solow veröffentlichte 1956 im Quarterly Journal of Economics den Artikel [16] "A Contribution to the Theory of Economic Growth", der bis heute viele makroökonomische Wachstumsmodelle entscheidend beeinflusst. 1972 erhielt er den Nobelpreis der Wirtschaftswissenschaften für seine Arbeiten über ökonomische Wachstumstheorien.

Das von ihm entwickelte und nach ihm benannte Solow-Modell erklärt das langfristige Wachstum in einer Volkswirtschaft nur durch exogenen technischen Fortschritt. Es reiht sich damit in die Kategorie der neoklassischen Wachstumsmodelle ein, die die Entwicklung des Produktionspotentials als entscheidende Determinante für den Wohlstand einer Volkswirtschaft betrachtet. Diese Auffassung steht im Gegensatz zum Postkeynesianismus - benannt nach dem bedeutenden britischen Ökonomen John Maynard Keynes - der die Nachfrage-Entwicklung als entscheidenden Faktor für Wachstum ansieht.

Solow konnte die Gültigkeit seines Modells empirisch am Beispiel der USA nachweisen: Er fand heraus, dass ein Großteil des US-amerikanischen Wirtschaftswachstums in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts durch technischen Fortschritt vorangetrieben wurde (totale Faktorproduktivität) und nur ein geringer Teil des Wachstums auf den wachsenden Einsatz von Arbeit und Kapital zurückzuführen war.

2.1.1 Definition der Grundannahmen

Solow unterstellt in seinem Modell folgende Annahmen:

N Die betrachtete Volkswirtschaft ist geschlossen - es existiert kein Handel mit anderen Volkswirtschaften und keine Beeinflussung durch externe Effekte N Es wird nur ein homogenes Gut produziert N Es herrscht Vollbeschäftigung

N Die Produktionsfunktion hat konstante Skalenerträge (d.h. eine Steigerung um ã 0 der Inputfaktoren erhöht das Output um ã) N Das Grenzprodukt der Produktionsfunktion ist fallend

N Die Technologie und ihr Wachstum sind exogen gegeben (durch einen Parameter A) N Die Rate des Bevölkerungswachstums n ist exogen gegeben

N Die Abschreibungsrate (d.h. Entwertung der vorhandenen Inputfaktoren pro Periode) ist exogen gegeben (0 @ / @ 1)

N Die Sparquote (Anteil des gesparten Outputs am Gesamtoutput) ist exogen gegeben (0 @ s @ 1)

2.1.2 Die Produktionsfunktion

Die zentrale Funktion des Solow-Modells ist die Güterangebotsfunktion, die zu jedem Zeitpunkt die Höhe der volkswirtschaftlichen Produktion Y bestimmt. Die Inputfaktoren der Produktionsfunktion sind substitutional und durch Kapital K und Arbeit L gegeben; t bezeichnet dabei den Zeitindex.

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Es werden positive und abnehmende Grenzprodukte beider Faktoren unterstellt. Es gilt daher:

Die Produktionsfunktion ist faktorenweise konkav. Weiters gelten die sogenannten Inada Bedingungen:

Diese Bedingungen besagen, dass die Grenzprodukte der Inputfaktoren bei unendlich kleinen Einsatzmengen über alle Grenzen wachsen, und dass die Grenzprodukte der Inputfaktoren gleich 0 sind, wenn ihre Einsatzmengen gegen unendlich gehen.

Die Annahme konstanter Skalenerträge lässt sich formal auf folgende Weise ausdrücken:

Bei konstanter Technologie kann also das doppelte Output erzeugt werden, wenn alle Inputfaktoren verdoppelt werden.

Allgemein definieren die Eigenschaften (2) - (4) eine neoklassische Produktionsfunktion (siehe [3] Barro, Sala-i-Martin, 2004). Folgerung aus den oben angeführten Eigenschaften ist, dass sich jede Outputmenge nur durch den Einsatz beider Faktoren erzeugen lässt. Ist einer der Inputfaktoren gleich 0, ist das Output ebenfalls gleich 0. Strebt ein Inputfaktor gegen B, so strebt auch das Output gegen B.

2.1.3 Die Herleitung der Wachstumsraten

Aufgrund von (4) lässt sich die Produktionsfunktion durch die Wahl von ã = schreiben:

= ( l , 1p = B l p

Durch Setzen von U = Gleichung

Das Pro-Kopf-Einkommen hängt somit nur von der Kapitalintensität ab. Die Eigenschaften (2) - (4) bleiben erhalten (Äquivalenzumformungen). Wegen der Gültigkeit der Beziehung ; = .B @ A folgt:

.

Die Produktion verteilt sich als Einkommen auf die beiden Inputfaktoren Arbeit und Kapital. Die Inputfaktoren werden mit ihren Grenzprodukten entlohnt. Das Grenzprodukt des Kapitals kann dabei als Realzinssatz r interpretiert werden, das Grenzprodukt der Arbeit als Reallohn w.

Für eine weiterführende Analyse des Solow-Modells wird nun die am häufigsten verwendete neoklassische Produktionsfunktion F vom Cobb-Douglas-Typ unterstellt:

Dabei bezeichnet A einen exogenen Effizienzparameter, der den gegenwärtigen Stand der Technologie abbildet. Die Grenzprodukte der Inputfaktoren lauten allgemein:

Gilt die Bedingung Ù + Ú = 1 liegen konstante Skalenerträge gemäß (4) vor, und Ú kann durch Ù F 1

1

substituiert werden. Mit ã = kann in Pro-Kopf-Größen transformiert werden. Die transformierte

.

Produktionsfunktion lautet:

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Im neoklassischen Wachstumsmodell wird die Sparquote durch den konstanten exogenen Parameter 0 @ s @ 1 beschrieben. In einer geschlossenen Volkswirtschaft entspricht die Ersparnis den Bruttoinvestitionen (I = S).

Daraus folgt die Kapitalakkumulationsgleichung:

- 6 = + F Ü- = O(:-, .; F Ü- = O#- ^Ù . ^1FÙ F Ü-

Siebesagt, dass die Veränderung des Kapitalstocks (in kontinuierlicher Zeit) der Differenz aus den Bruttoinvestitionen mit den Kapitalabschreibungen entspricht. 0 < Ü < 1 ist dabei ein konstanter exogener Faktor.

Die zeitkontinuierliche Arbeitsakkumulationsgleichung lautet:

. 6

n ist ein konstanter exogener Parameter. Aufgrund der unterstellten Vollbeschäftigung entspricht n dem Bevölkerungswachstum.

2.1.4 Das Wachstumsgleichgewicht - Der "Steady-State"

In jedem neoklassischen Wachstumsmodell ist insbesondere der Zustand des Steady-State von Interesse - jenem gleichgewichtigen Wachstumspfad, entlang dem alle Größen mit einer konstanten Rate wachsen. Zur allgemeinen Herleitung des Steady-State im Solow-Modell werden die Wachstumsgleichungen (12) und (13) wieder in Pro-Kopf-Größen gebracht. (12) dividiert durch L liefert:

- 6

Daraus folgt

Ü @ . A - 6 . 6 - 6 F -