Die hyperbolische Geometrie - axiomatische Entwicklung und das Poincaré-Modell

Die hyperbolische Geometrie -

axiomatische Entwicklung und das

Abb.1: Max Ernst:

„Junger Mann, beunruhigt durch den Flug einer nicht-euklidischen Fliege”

(aus [2], S. 1)

Inhaltsverzeichnis

  S 5 B Die hyperbolische Geometrie  

  a) Problematik des 5 Axioms S  6

  b) Alternative 5 Axiome S  6

2.  Der Thibautsche Scheinbeweis S  8

3.  Entstehung der hyperbolischen Geometrie S  9

  S 10 II Eigenschaften der hyperbolischen Geometrie  

2.  Flächeninhalt und Winkelsumme des Dreiecks S  13

  a) Entartete Dreiecke S  13

  b) Die direkten Abhängigkeit Fläche Winkelsumme S  15

3.  Absolute Längeneinheit S  16

4.  Hyperbolische Geometrie in der Realität S  17

2.  Definition des Poincaré-Modells S  19

3.  Die Axiome im Modell S  20

4.  Untersuchung des Dreiends S  22

5.  Die Metrik des Modells S  25

  S 26 C Schlussbemerkung über den Wert dieser Arbeit  

  Anhang:  

  S 28 A2 Beweis: Die Winkelsumme im Dreieck ist nicht größer als  180

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A.Umbruch des Verständnisses der Geometrie

Verfolgt man die Mathematik bis zu ihren Ursprüngen zurück, so lässt sich die Geometrie als die erste mathematische Disziplin erkennen. Die Realität lieferte durch Anschauung Erkenntnisse, welche die Wirklichkeit beschrieben, wie sie die Menschen ursprünglich empfanden. Die Mathematik sollte die Schönheit und Symmetrie der Natur wiederspiegeln. Erst ungelöste Problemstellungen der Geometrie resultierten in der Entwicklung weiterer mathematischer Disziplinen. Die Ergebnisse der antiken bzw. euklidischen Geometrie wurden jahrtausendelang als absolut anerkannt. Doch mit der Entwicklung der hyperbolischen beziehungsweise nicht-euklidischen Geometrie änderte sich dies. Gauß entdeckte zuerst, dass auch eine andere Art von Geometrie denkbar ist, die nicht auf Anschauung basiert, aber dennoch in sich schlüssig ist. Aus Angst um seinen Ruf entschied er sich gegen die Veröffentlichung seine Erkenntnisse. Erst Bolyai und Lobatschevski, die unabhängig voneinander fast zeitgleich die neue Geometrie entwickelten, machten ihre Arbeiten publik und lösten heftige Reaktionen aus. Selbst berühmte Lyriker beschäftigten sich mit diesem weltbildveränderten Thema. Folgender Dramenauszug ist aus Kurt Lasswitz Faustparodie(vgl. [7]):

Mephisto: alle Kreise fein säuberlich,

Zwar ward dem Menschen zu seiner Erbauung die dreidimensionale Raumanschauung, dass er sieht was um ihn passiert, und die Figuren sich construiertder Analytiker tritt herein und beweist, das konnte auch anders sein.

Gleichungen, die auf dem Papiere stehn, die müßt' man auch können im Raume sehn;

(...)Drum in den unendlich fernen beiden imaginären Punkten müssen sich schneiden

Tatsächlich ist die hyperbolische Geometrie unanschaulich, schwer zu verstehen und für den Philosophen mit einer Vielzahl unser Weltbild betreffenden Fragen verbunden. Das erste Kapitel dieser Arbeit soll deshalb dem Leser die Grundlagen und die Entwicklung dieser neuartigen Geometrie vermitteln, das Zweite auf dessen Eigenschaften eingehen und die philosophische Frage nach Realitätsbezug mathematisch klären und das Letzte soll anhand des Poincaré-Modells die zuvor erarbeiteten Erkenntnisse veranschaulichen und vertiefen.

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B.Die hyperbolische Geometrie

I. Die Entwicklung der hyperbolischen Geometrie

Für das Verständnis der hyperbolischen Geometrie sind Kenntnisse über den Aufbau der - auch in der Schule gelehrten - euklidischen Geometrie unabdingbar. 300 v. Chr. verfasste Euklid sein berühmtes Werk „Elemente”. Soweit bekannt, war Euklid der Erste, der die Geometrie deduktiv aufbaute. Ausgehend von wenigen elementaren Aussagen entwickelte der Grieche immer komplexere Sätze, die aufeinander aufbauen. Die so entstehende Geometrie nennt man heute euklidische Geometrie.

1. Euklids fünf Axiome

Die gesamte Geometrie Euklids lässt sich also auf wenige elementare Aussagen zurückführen, die Axiome genannt werden. Diese kann man nicht mit anderen grundlegenden Tatsachen beweisen und sie müssen deshalb ihre Richtigkeit von selbst erkennen lassen. Die fünf Axiome von Euklid sollen wegen ihrer Wichtigkeit im Folgenden genannt werden (vgl. [4]):

1. Axiom:

Für jeden Punkt P und jeden Punkt Q gibt es genau eine Strecke, die P und Q verbindet.

2. Axiom: Eine begrenzte gerade Linie kann zusammenhängend gerade verlängert

werden.

3. Axiom: Für jeden Punkt B und jeden Punkt A … B gibt es einen Kreis mit

Mittelpunkt B und Radius r = AB.

4. Axiom: Alle rechten Winkel sind kongruent.

5. Axiom: Die Geraden g, h und k verlaufen in

einer Ebene, wobei g und h von k geschnitten werden. Ist die Summe der zwei inneren Schnittwinkel kleiner als zwei rechte Winkel, so haben g und h einen Schnittpunkt auf dieser Seite von k.

-6-Diese Axiome entsprechen nur sinngemäß denen Euklids, sind also des einfacheren Verständnisses wegen so umformuliert, dass die mathematische Aussage die gleiche bleibt. Ausgehend von den fünf Axiomen Euklids entsteht die euklidische Geometrie, die dem Leser wohlbekannt sein sollte, da sie in der Schule gelehrt wird und dem mathematisch weniger bewanderten Menschen nicht bewusst ist, dass es auch alternative Geometrien gibt.

a) Problematik des fünften Axioms

Das fünfte Axiom, welches auch Parallelenaxiom genannt wird, unterscheidet sich sowohl in Länge als auch in seiner unmittelbaren Einsichtigkeit deutlich von den anderen vier Axiomen und wurde deshalb immer gesondert betrachtet. So stützt bereits Euklid seine ersten 28 Sätze ausschließlich auf die ersten vier Axiome und beginnt erst dann das letzte Axiom in seine Beweise zu integrieren.(vgl. [6]) Dies lässt schließen, dass er, wie auch viele Mathematiker nach ihm, unzufrieden mit diesem Postulat war. Bis zur Entwicklung der hyperbolischen Geometrie scheiterten die größten Geister jahrhundertelang an der Aufgabe dieses Axiom zu ersetzen. Man ging davon aus, dass das fünfte Axiom aus den anderen vier hervorgehen würde, also selbst kein Axiom sondern ein Satz wäre. Doch alle Versuche, dies zu beweisen, mussten, wie wir heute wissen, scheitern.

b) Alternative 5. Axiome

Wie auch bei den anderen Axiomen ist zwar die mathematische Aussage des Parallelenaxioms eindeutig. Allerdings gibt es zahlreiche Alternativen, die gleichwertig sind. Einige dieser mathematisch äquivalenten Aussagen sollen nun dargestellt werden:

1. Alternative: Zu einer Geraden g und einen Punkt P

gibt es nur genau eine Gerade h, die zu g parallel ist und P enthält.

Abb. 3 Beweis: Gegeben seien der Punkt P und die Gerade g. Das Geradenbüschel durch P besteht aus unendlich vielen Geraden. Jede dieser Geraden lässt sich einem eindeutigen Schnittwinkel mit dem Lot durch P auf g zuordnen.

-7-Ist dieser Schnittwinkel auf der zu g hingewandten Seite kleiner (größer) als 90°, so schneidet die Gerade des Geradenbüschels g auf dieser (der anderen) Seite des Lotes(5. Axiom). Ist der Schnittwinkel mit dem Lot ungleich 90°, so hat die Gerade einen Schnittpunkt mit g, ist also nicht parallel zu g. Daraus folgt, es gibt nur genau eine Gerade des Geradenbüschels, die parallel zu g ist, nämlich die, welche senkrecht auf dem Lot zu g steht.

Abb. 4

Ähnlich kann man zeigen, dass die Forderung nach nur einer Parallelen das 5. Axiom Euklids zur Folge hat.

2. Alternative: Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt 180°.

Beweis: Gegeben sei ein beliebiges Dreieck ABC.

Man bestimme die Parallele zu c durch C. Davon gibt es, wie oben bewiesen, genau eine. Die Winkel α, β und γ finden sich nun alle bei C wieder und ergeben zusammen 180°. Wechselwinkel ergeben sich unmittelbar aus dem 5. Axiom.

Abb. 6: Winkelsumme im Dreieck

Ebenso folgt aus der Forderung einer Winkelsumme von 180°, dass das Parallelenaxiom gilt. Die zwei hier vorgestellten Sätze der Innenwinkelsumme und der eindeutigen Parallelen sind also äquivalente Aussagen zu dem 5. Axiom Euklids.

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2.Der Thibautsche Scheinbeweis

In der Geschichte der Geometrie gab es viele Versuche das sogenannte Parallelenproblem zu lösen. Zahlreiche Ansätze das Parallelenaxiom durch die ersten vier Axiome zu beweisen und es so zu einem Satz zu machen, wurden lange als richtig angesehen. Doch waren es immer versteckte Fehler, welche zunächst übersehen wurden. Einer dieser gescheiterten Versuche, der Thibautsche Scheinbeweis, wird nun dargestellt, um das axiomatische System weiter zu erläutern und die Wichtigkeit ordentlichen Arbeitens für dieses zu illustrieren (vgl. [1], S. 7,8): Gegeben sei ein beliebiges Dreieck ABC. Man

nehme die Gerade AB und drehe sie um A bis sie auf AC fällt, also um den Winkel α. Nun drehe man die Gerade um C bis sie auf BC fällt, also um den Winkel γ. Anschließend dreht man noch um den Punkt B, mit Drehwinkel β, bis die Gerade wieder mit sich selbst in ihrer ursprünglichen Position AB zusammenfällt. Dann scheint offensichtlich, dass α + β + γ = 180° gilt , denn die drei Drehungen um die Punkte A, B und C entsprechen einer Drehung

Scheinbeweis um 180° am Punkt A. So wäre bewiesen, dass die Innenwinkelsumme im Dreieck 180° ist. Indirekt wäre also auch das Parallelenaxiom bewiesen und somit kein Axiom mehr, sondern ein Satz, da es sich aus den anderen Axiomen beweisen lässt. Doch bei genauerem Hinsehen stellen sich dem Mathematiker einige Probleme dieses Beweises dar. Dass er falsch sein muss, erkennt man zunächst an der Tatsache, dass man in dieser Weise auch in

der Geometrie der Kugeloberfläche eine Winkelsumme von 180° voraussagen kann, obwohl dies offensichtlich nicht der Fall ist, da die Winkelsumme dort größer als 180° ist.

(Abb. 8 zeigt ein Gegenbeispiel auf der Kugeloberfläche: Der Äquator wird von zwei Großkreisen geschnitten, welche im Nordpol senkrecht aufeinander stehen. Dieses Dreieck hat die Winkelsumme 3 x 90° …180°.)

-9-Betrachtet man den Sachverhalt auf der Kugeloberfläche genauer, so ist der Fehler leicht zu erkennen: Die Drehung zweier paralleler Geraden um verschiedene Drehzentren ist nicht gleichzusetzen. Deutlich wird dies aber nicht nur auf dem Modell der Kugeloberfläche, sondern auch bei genauerem Betrachten des abstrakten Beweises. Wie oben gesehen ist das Parallelenaxiom mit der Aussage äquivalent, dass es zu einer Geraden durch einen Punkt, welcher nicht auf der Geraden liegt, nur eine Parallele gibt (vgl. Kapitel I, b). Will man nun dieses Axiom beweisen, so darf man selbstverständlich nicht annehmen, dass eine Aussage, hier die Eindeutigkeit der Parallelität, welche sich erst aus dem Axiom ergibt, wahr ist.

Wie wichtig ordentliches und fehlerfreies Arbeiten im axiomatischen Aufbau einer Geometrie ist, kann leider nicht durch absolut lückenlose Herleitungen gezeigt werden. Allerdings wurde hier deutlich, dass man die Zusammenhänge stets bis aufs Kleinste ausleuchten muss und niemals Tatsachen als gegeben oder offensichtlich annehmen darf, welche nicht ein Axiom sind oder aus diesen hervorgehen.

3. Entstehung der hyperbolischen Geometrie

Ein anderer Ansatz für das Parallelenproblem war der Versuch Geometrien, in denen das fünfte Axiom durch ein anderes ersetzt wird zu einem Widerspruch zu führen und so indirekt das Parallelenaxiom zu beweisen. So entstanden neben der euklidischen Geometrie zwei weitere Geometrien, die man nicht-euklidisch nennt. Sie haben die ersten vier Axiome mit denen der euklidischen gemein, wobei bei einer auf das 2. Axiom verzichtet werden muss. Sie besitzen allerdings beide ein anderes 5. Axiom. Hier sind zwei Alternativen, die Parallelität betreffend, denkbar:

1. Zu einer Geraden g gibt es keine parallele Gerade, welche durch einen Punkt P geht.

( P ó g)

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2. Zu einer Geraden g gibt es mehr als eine parallele Gerade, welche durch P geht.

( P ó g) Das sogenannte hyperbolische Parallelenaxiom statt des euklidischen Parallelenaxioms anzusetzen mutet zunächst, ebenso wie oben, seltsam an. Unsere Erfahrung und Anschauung widerspricht dem Axiom geradezu. Deshalb liegt es nahe, diese Geometrie zum Widerspruch zu führen. Diesbezüglich wurden aber keine Erfolge erzielt. Dennoch war der Versuch historisch äußerst fruchtbar für die Mathematik. Denn erst aufgrund des Ansatzes, eine Geometrie als in sich widersprüchlich darzustellen, beschäftigten sich viele Mathematiker mit der hyperbolischen Geometrie. Wie bereits erwähnt folgt aus den Axiomen Euklids, dass die Winkelsumme eines Dreiecks 180° beträgt. Führt man nun oben erwähntes Axiom ein, so ist der Satz der Innenwinkelsumme selbstverständlich hinfällig. Ebenso alle anderen Sätze und Beweise, die mit dem euklidischen Paralallelenaxiom bewiesen wurden (vgl. Kapitel II, b). Ausgehend von diesem Axiomensystem wurde eine neue Geometrie aufgebaut, die man der Fehlerhaftigkeit überführen wollte. Zwar sollte dies nicht gelingen, allerdings stieß man auf eine Reihe von höchst bemerkenswerter Eigenschaften der hyperbolischen Geometrie: ÿ „Die Winkelsumme im Dreieck ist von dessen Flächeninhalt abhängig.” ÿ „Es gibt eine absolute Maßzahl.” ÿ „Es gibt keine Quadrate mit vier rechten Winkeln.”

Der Weg zu solch unüblichen Sätzen, von der Änderung nur eines Axiomes aus, wird im nächsten Kapitel nachvollziehbar dargestellt.

II. Eigenschaften der hyperbolischen Geometrie

Als Ausgangspunkt und zum Zwecke der Erklärung des axiomatischen Aufbaus wurde die euklidische Geometrie beschrieben. Im Folgenden werden die wichtigsten Etappen von den wenigen Axiomen bis hin zu einigen komplexeren Sätzen der hyperbolischen Geometrie dargestellt. Hierbei kann aufgrund der Kürze dieser Arbeit nicht auf alle, manchmal als offensichtlich erkennbaren Beweise eingegangen werden. Es sei aber erwähnt, dass diese für den ordentlichen Aufbau einer Geometrie unabdingbar sind, wenn auch nicht für ihr umfassenden Verständnis. Am Ende des Kapitels wird noch auf die einzigartigen Eigenschaften und die Anmut der hyperbolischen Geometrie eingegangen und zudem der Realitätsbezug aufgezeigt.

-11-Da die hyperbolische Geometrie die ersten vier Axiome mit denen der euklidischen gemein hat, werden vor allem die Gebiete der Geometrie im Fokus der Betrachtungen stehen, welche sich auf das Parallelenaxiom stützen.

1. Parallele Geraden

Zu Beginn werden die Eigenschaften paralleler Geraden untersucht, da dies auch der Ansatzpunkt des hyperbolischen Axioms ist. Hierbei muss bewiesen werden, dass die Winkelsumme im Dreieck nicht größer als 180° sein kann. Dies ist im Anhang unter A3 nachzulesen.

Da die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt, wenn das euklidische Parallelenaxiom gilt, ist bei dessen Verneinung die Winkelsumme also nicht 180°. Größer als 180° kann sie nicht sein, da dies unter der Annahme unendlich langer Geraden unmöglich ist. Somit ist die Winkelsumme im Dreieck kleiner als 180°.

Man betrachte nun ein rechtwinkliges Dreieck ABC und trage den Winkel α bei B an. So ist unter der Annahme einer Winkelsumme unter 180° der Winkel α + β kleiner als 90° und die zwei Geraden würden sich in der euklidischen Geometrie schneiden. In der hyperbolischen Geometrie bedarf die Situation allerdings erneuter Betrachtung.

Ein möglicher Schnittpunkt S würde zu einem Dreieck

ABS führen, für welches gilt: Winkelsumme des Dreiecks

ABS = α + (180° - α) + Ë ASB = 180° + x

(vgl. [1], S. 9)

Ein Dreieck mit einer Winkelsumme über 180° ist allerdings unmöglich. Deshalb schneiden sich die Geraden nicht. Dies erscheint zunächst falsch, denn bereits ein einfaches Experiment mit zwei Stiften illustriert, dass sich solche Geraden schneiden. Allerdings verliert dieses Argument seine Schlagkraft, wenn man sich an die unendliche Länge von Geraden erinnert und davon ausgeht, dass die hyperbolische Geometrie erst entscheidend auffällt, wenn man in astronomischen Maßstäben rechnet. Will man diesen Sachverhalt auch in Skizzen illustrieren, so muss man mit gekrümmten Geraden arbeiten. Das widerspricht jedoch unserem Verständnis einer Geraden. Aber

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für die Objekte der Geometrie dürfen wir nur Eigenschaften annehmen, die auch aus den Axiomen hervorgehen. Eine gekrümmte Gerade beziehungsweiße ein gekrümmter Raum sind deshalb durchaus mathematisch möglich, wenn sie auch schwer vorstellbar sind.

Es ist also offensichtlich, dass in der hyperbolischen

Geometrie mehrere Parallelen zu einer Geraden durch einen Punkt vorhanden sind. Welche dies sind und wie sie liegen, wird nun untersucht. Zudem ist richtig, dass zwei Geraden, welche beide auf einer Dritten senkrecht stehen, sich nicht schneiden. Der Beweis ist schnell erbracht: Aus Symmetriegründen bildet eine Drehung um 180° um den Mittelpunkt M des Lotes die Geraden wieder auf

sich selbst ab. Der Beweis erfolgt durch Widerspruch:

Würden sich die Geraden auf der einen Seite schneiden, so gäbe es also auch ein Schnittpunkt auf der anderen Seite des Lotes. Zwei Geraden können allerdings nur maximal einen Schnittpunkt haben. (vgl. [1], S. 14) Ebenfalls leicht zu finden sind Geraden, welche nicht parallel zu einer anderen sind. Man muss nur einen Punkt der Gerade g mit P verbinden, um eine schneidende Gerade zu konstruieren. Es gibt also eine Klasse von schneidenden Geraden und eine Klasse nicht schneidender. Sie werden durch eine Gerade getrennt, welche die letzte Gerade ohne Schnittpunkt ist. Diese wird von nun an parallele Gerade genannt. Parallele Geraden schneiden sich im Unendlichen Alle anderen, ohne Schnittpunkt, heißen ultraparallel. Ausgehend von einem Punkt P gibt es nun also genau zwei parallele Geraden zu einer Geraden g. Ultraparallele Geraden gibt es unendlich viele.

Abb. 12: Schneidende, parallele und ultraparallele Geraden durch P zu g

-13-Bei der Untersuchung der Eigenschaften zweier paralleler Geraden lässt sich feststellen, dass der Abstand eines Punktes auf einer der Geraden zur anderen sich offensichtlich mit dem zu untersuchenden Punkt ändert. Zu der Richtung hin, in welcher die Geraden parallel sind und sich annähern, geht der Abstand gegen Null. In die andere Richtung wird er immer größer. Wählt man nun einen Punkt P und konstruiert die hyperbolische Parallele durch P zu g, so kann man

diesem Punkt einen Abstand zu g zu-ordnen. Dieser wird Paralleldistanz genannt. Den spitzen Winkel zwischen der Parallelen durch P und dem Lot zu g durch P nennt man Parallelwinkel.

Abb. 13: Paralleldistanzen Dieser ist in seiner Größe von der Paralleldistanz abhängig:

„Zur kleineren Strecke gehört der größere Parallelwinkel und umgekehrt.” ( [1], S. 16)

2. Flächeninhalt und Winkelsumme des Dreiecks

Mit dem nun gesammelten Wissen ist es möglich, genauer auf die Winkelsumme des Dreiecks einzugehen. Dies ist bereits eine der komplexeren Eigenheiten der hyperbolischen Geometrie, deren Folgen ihr eine einzigartige Geschlossenheit verleihen.

a) Entartete Dreiecke

Die Gebilde Einend, Zweiend und Dreiend sind eine Besonderheit der hyperbolischen Geometrie. Man nennt sie entartete Dreiecke.

den Punkt verlaufen.

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Das Dreiend besteht aus drei asymptotischen Geraden. Zunächst widmen wir uns dem Dreiend. Dieses hat eine endliche Fläche und ist das größtmögliche Dreieck. Somit ist jedes Dreiend kongruent zu jedem anderen Dreiend.

Der Beweis wird in Kapitel III, 4 geführt.

Abb. 15: Das Dreiend

Nun untersuchen wir das Zweiend, wessen Fläche ausschließlich von dem einen vorhandenem Winkel abhängig ist. Gegeben seien zwei beliebige parallele Geraden. Nun nehme man einen Punkt A auf der einen Geraden und zeichne die Parallele zu der gegenüberliegenden Seite. Es sei darauf hingewiesen, dass man zwar nur eine parallele Gerade, aber unendlich viele ultraparallele Geraden hat. Die Größe des Dreiecks ist folglich nur von der Lage des Punktes P abhängig, die eindeutig einem Winkel zugeordnet werden kann. Die Fläche F des

Abb. 16: Winkel des Zweiends

Diese noch unbekannte Funktion gilt es nun zu untersuchen. Zunächst sei die Fläche des Dreiends C, welches das größtmögliche

Dreieck darstellt. Ein solches Dreiend soll von einer Geraden, welche eine Seite schneidet und asymptotisch zu den zwei anderen Seiten des Dreiends verläuft, in zwei Zweienden geteilt werden: (vgl. [1], S. 23)

C = f ( n n )+ f ( π - n n ) mit n n = α + β folgt, n n n n n n I: C = f ( α + β ) + f ( π - (α + β ) )

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Abb. 18: Dreiteilung des Dreiends

II: C = f ( α ) + f ( β ) + f ( π - α - β )

–> I in II: f ( α + β ) + f ( π - α - β) = f ( α ) + f ( β ) + f ( π - α - β ) f ( α + β ) = f ( α ) + f ( β ) –> f ( n + 1 ) = f ( n ) + f ( 1 )

× × ×

–> f ( k ) = f ( k - 1 ) + f ( 1 ) = ... = f( k - k ) + k f ( 1 ) = k f ( 1 ) = k c Dies gilt für Gültigkeit für alle reellen Zahlen fordern.

(Der umfangreiche Beweis ist in Quelle [3], S. 80/81 nachzulesen.) Die lineare Funktion f ( δ ) = cδ entspricht offensichtlich diesen Voraussetzungen. Um auch Gleichung I und II zu erfüllen, muss die Konstante c näher bestimmt werden. Das Dreiend kann in zwei Zweienden zerlegt werden:

C = f ( δ ) + f ( π - δ ) = cδ + c (π - δ) = cπ

C = cπ

Folglich ist die Fläche des Zweiends: F = (C / π ) δ

b) Die direkte Abhängigkeit Fläche - Winkelsumme

Mit Hilfe der Funktion für die Fläche des

Zweiends lässt sich nun die Fläche A eines beliebigen Dreiecks erschließen. Man nehme ein beliebiges Dreieck und verlängere alle drei Seiten - je an einem Punkt - zu Halbgeraden. Zu je zwei dieser Halbgeraden gibt es immer genau eine Parallele. So entsteht ein Dreiend. Man kann also jedes Dreieck in ein Dreiend einbetten. Die Fläche des Dreiecks ist nun die Differenz aus der Fläche des Dreiends und der drei Zweienden:

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A= C - f ( α ) - f( β ) - f ( γ ) = C - Cα / π - Cβ / π - Cγ / π = cπ - cα - cβ - cγ

A = c ( π - α - β - γ ) = c ( π - ( α + β + γ) )

Die Fläche A eines Dreiecks in der hyperbolischen Geometrie ist also ausschließlich von der Winkelsumme abhängig. Genauer gesagt ist die Fläche direkt proportional zu der Abweichung der Winkelsumme von 180°. Diese Abweichung nennt man Defekt. Die Konstante c bleibt noch zu bestimmen. Sie wird durch die Fläche des größtmöglichen Dreiecks festgelegt: Das Dreiend, bei welchem alle Winkel gleich Null sind

= × π

und für dessen Fläche gilt: C c

Mit Hilfe der Dreiecksflächengleichung ist auch zu erkennen, dass bei sehr kleinen Längen die hyperbolische und die euklidische Geometrie keinen Unterschied erkennen lassen. Denn je größer das Dreieck ist, desto mehr weicht die Winkelsumme von 180° ab. Ein Dreieck, dessen Fläche gegen Null geht, hätte die euklidische Winkelsumme von 180°.

Außerdem ist ein weiterer Unterschied zur euklidischen Geometrie erkennbar: Die Ähnlichkeitslehre entfällt in der hyperbolischen Geometrie komplett. Es gibt keine Gebilde unterschiedlicher Größe mit den gleichen Winkeln, da Winkel und Größe von-einander abhängig sind.

3. Absolute Längeneinheit

Die wohl wichtigste Folgerung aus der Dreiecksgleichung ist die absolute Längeneinheit, welche in der hyperbolischen Geometrie vorhanden ist. In der euklidischen Geometrie ist nur das Winkelmaß genau bestimmt, da sich die ganze Drehung, also 360°, eindeutig zuordnen lässt. Die Länge hingegen ist eine Frage des Maßstabs und lässt sich in jede Größenordnung beliebig übertragen. Längen, Flächen und Volumina spielen also nur in Abhängigkeit voneinander eine Rolle, sind aber nicht absolut definiert. In der hyperbolischen Geometrie besteht allerdings eine Abhängigkeit zwischen Winkel und Fläche. Folglich kann man über die ausgezeichneten Winkel auch eine ausgezeichnete Länge finden. Hier sind sehr viele Alternativen in Betracht zu ziehen: Man könnte zum Beispiel die Seite eines gleichseitigen Dreiecks mit Winkelsumme 90° oder die Wurzel des Quadrats mit Winkelsumme 200° nehmen. Doch entscheidend ist nicht die Wahl, sondern die Möglichkeit, eine absolute Längeneinheit zu definieren, die so eindeutig wie der vierte Teil einer ganzen Drehung, der rechte Winkel, ist. Abhängig ist

-17diese Längeneinheit dann nur noch von der Konstanten c. Deshalb gibt es unendlich viele hyperbolische Geometrien, die sich nur hinsichtlich dieser Konstanten unterscheiden. Allerdings wäre diese Definition unnötig kompliziert, da alle so unterschiedenen Geometrien die gleichen Eigenschaften hätten. Demgemäß spricht man von nur einer hyperbolischen Geometrie.

4. Hyperbolische Geometrie in der Realität

Auf den ersten Blick ist die nicht-euklidische Geometrie nur ein Ideengebäude der Mathematik und der Versuch, sie auf die Realität anzuwenden, erscheint widersinnig, da wir zu wissen glauben, dass die Winkelsumme im Dreieck 180° ist und es nur eine Parallele durch einen Punkt gibt. Wie bereits erwähnt, ähnelt die hyperbolische der euklidischen Geometrie, wenn wir uns in relativ kleinem Maßstab bewegen. Außerdem ist bekannt, dass die hyperbolische Geometrie, was ihre Größe angeht, noch von einer Konstanten c abhängig ist. Wir nehmen nun an, die Realität wäre hyperbolisch und nicht euklidisch. Solch eine Annahme ist ebenso wahr oder falsch wie die, dass die Wirklichkeit gemäß der euklidischen Geometrie funktioniert. Offensichtlich wäre dann c eine sehr große Zahl, da die wahrnehmbaren Größen des Menschen relativ klein im Vergleich zu der Konstanten sein müssten. In diesem Fall wäre es unmöglich, den Defekt eines Dreiecks zu messen, da dieser zu klein wäre. Erst immer größere Dreiecke würden einen immer größeren Defekt nach sich ziehen, welcher in Abhängigkeit der Messgenauigkeit ab einer bestimmten Dreiecksfläche bemerkbar wäre. Da es keine Messungen gibt, die eine hyperbolische Geometrie ratifizieren, lässt sich zumindest eine untere Grenze für die Konstante c abschätzen:

Zunächst wählen wir als ersten Dreieckspunkt die Erdoberfläche, da man hier den Winkel am einfachsten Messen kann. Wir messen also nur einen der drei Winkel. Deshalb entscheiden wir uns für ein gleichseitiges Dreieck, da wir noch keinen Aufschluss über die Verteilung des Winkeldefekts haben. Im gleichseitigen Dreieck ist davon auszugehen, dass alle Winkel gleich sind. Somit ist dieses Problem umgangen. Als zweiten Punkt wählen wir den Mond und als dritten einen Satelliten. Dieser erhält von der Erde, wenn er die passende Position inne hat, einen Lichtblitz, der zum Mond und von dort zurück zur Erde reflektiert werden soll. An der Erdoberfläche misst man nun den Winkel. Es gilt:

c = A / ( π - α - β - γ )

-18-Der Winkeldefekt ist nicht messbar. Man gehe von einer möglichen Messgenauigkeit von 0,01 Bogensekunden aus.

(Messgenauigkeit des Winkelmessers der TU Chemnitz, vgl. [5])

π π

, ° ×

–> ( π - α - β - γ ) 3 < 0,01 Bogensekunden =

Zusätzlich kann man näherungsweise bestimmen, dass die Fläche A des hyperbolischen Dreiecks euklidisch zu berechnen ist.

×

≈

–> A

4

( )

≈

–> A

4

Folglich ergibt sich für c:

c > A / ( π - α - β - γ ) ≈ ×

4 4 10 17 2

Somit wurde eine untere Grenze für die Konstante c abgeschätzt. Deutet man die

v ≈ ×

errechnete Fläche als Quadrat, so würde Licht ( um dieses zu umrunden. Die Angaben, vor allem die Größe des messbaren Dreiecks betreffend, sind allerdings auf Spekulationen aufgebaut. Deshalb kann man lediglich folgern, dass die Größenordnung von c deutlich über den hier errechneten Wert liegt. Für die physikalischen Berechnungen im Raum ist nun offensichtlich die euklidische Geometrie ausreichend, da die hyperbolische, sofern sie die Wirklichkeit überhaupt treffend beschreibt, erst bei interstellaren Entfernungen zum Tragen kommt.

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III.Das Poincaré-Modell

Die gewonnenen Erkenntnisse über die hyperbolische Geometrie lassen zwar noch keine logischen Fehler erkennen, damit ist aber nicht bewiesen, dass die Axiome ein widerspruchfreies System aufbauen. Dies konnte erst durch Modelle in der euklidischen Geometrie erreicht werden. Hierbei stellt man die hyperbolische Geometrie in der euklidischen dar und kann schließlich aus der Geschlossenheit der euklidischen die der hyperbolischen Axiome folgern.

1. Modelle in der Mathematik

Die hyperbolische Geometrie ist ein autonomes System. d.h. man stellt zunächst willkürlich ein Axiomensystem auf, entwickelt anschließend daraus eine abstrakte Geometrie und versucht, diese zu veranschaulichen (vgl. [2], S.91). Letzteres wird mit der Hilfe eines Modells bewerkstelligt. Man kann aber nicht sagen, ein Modell sehe aus wie die hyperbolische Geometrie. Es kann uns lediglich Teilaspekte vergegenwärtigen. Da wir in der euklidischen Geometrie bereits viele Kenntnisse gesammelt haben und diese für uns einfach zu behandeln ist, wird das Modell in der Geometrie Euklids eingebettet sein. Allerdings nicht, weil diese Geometrie der hyperbolischen in irgendeiner Weise übergeordnet wäre, sondern weil wir sie gewohnt sind.

2. Definitionen

Euklids Elemente überdauerten Jahrtausende, erst 1899 war es David Hilbert vergönnt, einen weiteren großen Schritt im Aufbau der Geometrie zu machen. Während Euklids Definitionen noch auf Anschauung basierten, war Hilbert der Meinung, es wäre unnötig, das Wesen der Elemente der Geometrie näher zu bestimmen. Wichtig ist in Hilberts Aufbau der Geometrie einzig und allein die Beziehung zwischen den Elementen. So ist der Punkt also nicht mehr der kleinste Teil eines Ganzen, sondern nur noch das Element, welches mit einem weiteren seiner Art genau eine Gerade bestimmt. Auf diesem neuen Blickwinkel baut das Poincaré-Modell auf. Die Elemente der hyperbolischen Geometrie werden durch Elemente der euklidischen dargestellt. Im Folgenden werden diese Zusammenhänge gemäß des Poincaré-Modells dargestellt (vgl. [2], S.23): Die Elemente der hyperbolischen Geometrie werden mit „H-“ ergänzt, die der euklidischen mit „E-“.

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Punkte: DieMenge aller E-Punkte der oberen offenen Halbeben bilden die Menge der H-Ebene. Die Menge aller E-Punkte der x-Achse bilden die unendlich fernen Punkte der H-Ebene.

Geraden: Die Menge aller E-Halbkreise mit dem Mittelpunkt auf der x-Achse und die Menge aller Halbgeraden, die senkrecht auf der x-Achse stehen, bilden die Menge aller H-Geraden.

Winkel: Der H-Winkel zwischen zwei H-Geraden entspricht dem E-Winkel zwischen den E-Asymptoten zu den E-Halbkreisen am Scheitelpunkt. Man sagt deshalb auch, dass das Poincaré-Modell winkeltreu ist, da die H-Winkel mit den E-Winkeln übereinstimmen.

Spiegelung: Die H-Spiegelung wird durch die Inversion am E-Halbkreis dargestellt oder gegebenenfalls durch eine Achsenspiegelung an der E-Halbgeraden. (Inversion am Kreis, siehe Anhang A2)

3. Die Axiome im Modell

Diese Definitionen sind keineswegs willkürlich, sondern so gewählt, dass die Elemente sich gemäß den Axiomen der hyperbolischen Geometrie zueinander verhalten:

1. Axiom: Es gibt genau eine H-Gerade, die zwei gegebene H-Punkte verbindet.

Die Punkte P und Q sind gegeben. Die H-Gerade k die beide verbindet ist der E-Kreis, dessen Mittelpunkt sich auf der x-Achse und auf der E-Mittelsenkrechten m der E-Strecke [PQ] befindet. Ist die E-Mittel-senkrechte m parallel zur x-Achse, so ist der Schnittpunkt unend-

lich weit entfernt und der E-Kreisbogen k somit nicht gekrümmt.

Die H-Gerade k ist also die E-Halbgerade, Abb. 21: H-Gerade durch zwei Punkte, aus [2], S. 28, verändert

-21welche senkrecht auf der x-Achse steht. Die Mittelsenkrechte m und die x-Achse haben nur genau einen Schnittpunkt. So ist bewiesen, dass es auch nur genau einen E-Kreis, der P und Q enthält und dessen Mittelpunkt auf der x-Achse ist. Es gibt also auch nur genau ein H-Gerade, die P und Q verbindet.

2. Axiom: Eine H-Strecke kann unbegrenzt gerade verlängert werden.

Jeder E-Kreis kann offensichtlich verlängert werden. Ebenso jede Halbgerade in ihre offene Richtung. Auch die Grenze der Ebene, die x-Achse, stellt hier keinen Widerspruch dar, denn sie bildet die Menge der unendlich fernen H-Punkte. Somit sind die E-Halbgeraden und die E-Halbkreise, die hier enden unendlich lang.

3. Axiom: Für jeden Mittelpunkt M eines Kreises gibt es einen Kreisradius r =

jeden Punkt P.

Dieses Axiom fordert eigentlich nur eine geeignete Längenmaßfunktion beziehungsweise Metrik. Diese wird weiter unten besprochen.

4. Axiom. Alle rechten Winkel sind kongruent.

Dies folg unmittelbar aus der Definition des H-Winkels, der genau dem E-Winkel entspricht.

5. Axiom: Zu einer H-Geraden und durch einen Punkt gibt es mehrere Parallelen.

Es gibt offensichtlich durch einen Punkt zahlreiche E-Halbkreise, die einen zweiten E-Halbkreis nicht schneiden. Genau

zwei Halbkreise gibt es die sowohl durch den Punkt gehen, als auch den unendlich fernen Punkt mit der ursprünglichen H-Geraden gemeinsam haben. Je eine dieser H-Geraden ist in eine Richtung zu der ur-

Abb. 22: Parallelen zu g durch P

sprünglichen parallel. Alle oben erwähnten E-Kreise sind ultraparallel.

Demgemäß gelten alle Axiome der hyperbolischen Geometrie im Poincaré-Modell und somit auch alle Folgerungen, die sich aus diesen ergeben. Nun ist auch bewiesen, dass die hyperbolische Geometrie in sich widerspruchsfrei ist, da es die euklidische ist. Mit Hilfe der euklidischen Geometrie im Modell kann man nun auch auf weitere Eigenschaften der hyperbolischen schließen.

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4.Untersuchung des Dreiends

In Kapitel II, 2, b wurde im Zuge des Beweises, für die Fläche des Dreiecks vorweggenommen, dass jedes Dreiend kongruent zu jedem anderen Dreiend ist. Somit ist die Fläche jedes Dreiends gleich. Die Kongruenz lässt sich nun im Poincaré-Modell beweisen.

Zwei Punktmengen gelten als kongruent, wenn sie durch Spiegelung zur Deckung gebracht werden können (vgl.[2], S. 26). Es muss demnach bewiesen werden, dass jedes Dreiend durch Spiegelung in eine bestimmte Position zu bekommen ist. In unserem Modell bedeutet dies: Jedes Dreieck mit drei unendlich entfernten Punkten muss durch Inversion an E-Halbkreisen in eine bestimmte Position gebracht werden können. Unendlich entfernte H-Punkte sind die E-Punkte auf der x-Achse und die unendlich entfernten E-Punkte in denen sich zwei E-Halbgeraden schneiden. Wir nehmen nun ein beliebiges Dreiend und zeigen, dass jedes solches Dreiend in eine bestimmte Position durch Inversion am E-Halbkreis gebracht werden kann. (vgl. [2], S. 76) Mittelpunkt des Inversions-

kreises ist C*. Dieser wird gemäß der Definition der Inversion ins Unendliche gespiegelt. Dem folgt, dass das Dreiend nun ausschließlich von dem E-Abstand der zwei verbliebenen Punkte auf der x-Achse abhängig ist. Wir

aus [2], S. 86, verändert nennen diesen l.

* * =

* * =

So ergibt sich mit der Inversion am E-Halbkreis:

= × ' r

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−

= − =

–> l a b

d.h. man kann jede beliebige Strecke l erzeugen, da diese vom Radius r des Inversionskreises abhängig ist. Der Fall b - a = 0 ist auszuschließen, da ein Dreieck drei unterschiedliche Punkte hat. Die so entstandenen Dreienden kann man mit Hilfe der E-Achsenspiegelung an der E-Halbgeraden problemlos ineinander überführen. Es ist also Bewiesen, dass alle Dreienden kongruent sind.

Wie in Kapitel I, 2, b bereits geschehen, kann man ein Dreiend in zwei Zweienden teilen. Diese wiederum kann man in zwei Einenden teilen. Will man also zeigen, dass das Dreiend eine endliche Fläche hat, so genügt es dies für das Einend zu beweisen. Für diesen Beweis sind eine Reihe von Erkenntnissen über das Poincaré-Modell nötig, die hier nur vorgestellt, allerdings nicht bewiesen werden(vgl. [2], S. 30-32, S.70-73): –> die zentrische Streckung mit Zentrum auf der x-Achse ist eine H-kongruente Abbildung –> die Konstruktion gleicher H-Strecken ist möglich

B i C i

–> alle Punkte , ,...der Skizze liegen auf einer Geraden Zwar sind die Sätze anschaulich, für einen korrekten Aufbau der Poincaré-Modells sind die dazugehörigen Beweise dennoch unabdingbar. Hier soll allerdings nur ein Eindruck der Möglichkeiten des Modells und seiner Methodik gegeben werden. Deshalb muss der Verweis auf die Gültigkeit des oben genannten dem Leser genügen.

Diese Punkte verbinde man mit Z. Jeder Schnittpunkt dieser Punkte mit einem der Kreise um Z wird nun benannt: Der erste mit B, der zweite mit C usw.

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B i

Wobei gilt, dass Kreis ist. Nun verbinde man alle Punkte

B i C i

, ,...der Skizze zu jeweils einer H-Geraden. Es ist offensichtlich, dass durch zentrische Streckung am Zentrum Z mit Streckungsfaktor

=

m

entsprechenden des zweiten Kreises gespiegelt werden. Wir erinnern uns, die zentrische Streckung mit Zentrum auf der x-Achse ist eine Kongruenzabbildung. Also folgt, dass die so abgebildeten Vierecke kongruent sind und dementsprechend gleichen Flächinhalt haben. Diese zentrische Streckung, kann man für jedes

Verhältnis

durchführen.

So ergeben sich die kongruenten Flächen, die in der Abbildung 25 mit gleicher Farbe

A B P 1 1 ∞ *

markiert sind. Demgemäß kann man die Fläche des Einends Fläche des Vierecks

Fläche des Einends endlich sein. Somit ist auch die Fläche des Zweiends und des Dreiends endlich. (vgl. [2], S. 77)

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5.Die Metrik

Die Metrik bestimmt die Art der Längenmessung in einer Geometrie. Die jedem bekannte Metrik der euklidischen Geometrie beruht auf dem Satz des Pythagoras. Für

( )

den n-dimensionalen Raum gilt hier:

Eine Metrik für das Poincaré-Modell zu finden gestaltet sich schwieriger. Denn wie aus den Achsenspiegelungen leicht ersichtlich wird, sind gleich lange H-Strecken im euklidischen Sinne von unterschiedlicher Länge. Für die Metrik eines Raumes gelten außerdem bestimmte Voraussetzungen, die immer erfüllt sein müssen.(vgl. [2], S. 53)

PQ ≥ 0 PP = 0

Definitheit: Eine Strecke darf nie negativ sein.

Additivität: Teilt man eine Strecke

Invarianz: Kongruente Strecken haben gleiche Länge.

Auf eine geeignete Abstandsfunktion kommt man, indem man diejenige sucht, die alle drei Forderungen erfüllt. Anschließend kann man beweisen, dass die genannte Funktion die einzig mögliche ist. Diese Beweise würden den Rahmen der Facharbeit allerdings sprengen. Die Abstandsfunktion des Poincaré-Modells lautet wie folgt (vgl. [2], S. 54):

Man konstruiere die H-Strecke durch die Punkte

mit der x-Achse seien die Punkte A und B. Dann

gilt:

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C.Schlussbemerkung zum Wert dieser Arbeit

Die hyperbolische Geometrie ist, gleichgültig ob sie nun die Realität beschreibt oder nicht, in jedem Falle eine wichtige mathematische Disziplin. Die Beschäftigung mit ihr zeigt auch die große Diskrepanz, die zwischen der Schulmathematik und der Mathematik, wie sie an Hochschulen betrieben wird, vorherrscht. Der Schüler wird meist nur insofern gefordert, als er vorhandene Schemata in Aufgaben anwenden muss. Die Beweisfindung oder das selbstständige Erschließen eines Themas, nicht durch Quellen, sondern mit Hilfe der eigenen Geisteskraft, wird kaum gefragt. Doch gerade dies macht die Mathematik aus. Die hyperbolische Geometrie ist mit ihrer inneren Logik, die neueartige Denkweisen erfordert, eine gute Möglichkeit dem Schüler derartige Fertigkeiten abzuverlangen und diese bei ihm zu fördern. Jedoch ist es schwer an Quellen zu kommen, die es einem Oberstufenschüler erlauben, einen Einblick in die hyperbolische Geometrie zu erhalten. Man hat nur die Wahl zwischen kurzen Internetseiten, die den mathematischen Hintergrund fast vollständig ausblenden und deshalb keinerlei Einsicht gewähren, und wissenschaftlichen Büchern, die für Studenten im Hauptstudium geschrieben sind und dies meist auch noch in englischer Sprache. Das musste ich während meiner Stoffsammlung für diese Arbeit schmerzlich erfahren. Doch ich hoffe, mit dieser Facharbeit, die Lücke ein Stück weit geschlossen zu haben. Der Leser sollte in dieser kurzen Arbeit die hyperbolische Geometrie nicht nur kennen gelernt, sondern sie in ihren Ursprüngen und Eigenheiten auch verstanden haben. Inwiefern dies gelungen ist, mag jeder Leser für sich entscheiden.

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D.Literaturverzeichnis

a) Bücher:

[1] Zacharias, M., Das Parallelenproblem und seine Lösung, Leipzig: B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, 1937 [2] Zeitler, Herbert, Das spezielle Poincaré-Modell, gewonnen durch „Umetikettieren”, München: Bayerischer Schulbuch-Verlag, 1970 [3] Hammer, Anton, Physikalische Formeln und Tabellen, 8. Auflage, München: J. Lindauer Verlag, 2002

b) Internetseiten:

[4] „Grundlagen der Geometrie”, Uni Hannover http://www.unikik.uni-hannover.de/downloads/ZSF1.pdf , aufgerufen am 24. 1. 2007 [5] „Angebot der Professur Werkzeugmaschinenkonstruktion und Umformtechnik”, TU Chemnitz, http://www.tu-chemnitz.de/forschung/transfer/detail.php?fakult=3&professur=mb27&i ds=177, aufgerufen am 24. 1. 2007 [6]„Euclids Elements, Book1", D.E. Joyce Clark University http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html#guide von 1996, aufgerufen am 24. 1. 2007 [7] Kurt Lasswitz, Prost, http://www.buecherquelle.com/lasswitz/prost/prost.htm, aufgerufen am 25. 1. 2007

Außerdem gelesen:

#

Ramsay, A., „Introduction to hyperbolic geometry”, New York: Springer Verlag, 1995 #

Reichhardt, H., „Gauß und die Anfänge der nicht euklidischen Geometrie”, Leipzig: Teubner Verlag, 1985 #

Klein, F., „Vorlesungen über nicht euklidische Geometrie”, New York: Chelsea Publishing Company, 1927

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Anhang:

A1. Inversion am Kreis

Die Spiegelung im Poincaré-Modell entspricht einer Inversion am E-Halbkreis. Deshalb sollen die wichtigsten Eigenschaften der Inversion vorgestellt werden. Dies geschieht gemäß des Buches „Das spezielle Poincaré-Modell, gewonnen durch ‘Umetikettieren’”. Die Inversion am Kreis mit Mittelpunkt M ist eine Orthogonalspiegelung, so dass gilt.

und umgekehrt. Die Fixpunkte dieser

Spiegelung stellen den Kreisradius dar und der Mittelpunkt des Kreises wird ins Unendliche gespiegelt. Deshalb führt man hier, ebenso wie in der hyperbolischen Geometrie und im Poincaré-Modell, die unendlich fernen Punkte ein.

Abb. 25: Inversion am Kreis

A2. Beweis: Die Winkelsumme im Dreieck ist nicht größer als 180° Gegeben sei ein beliebiges Dreieck ABC. M sei der Mittelpunkt von BC. Nun erhält man D mit D 0 AM und D 0 K(M, MA). Die Dreiecke AMC und BDM sind kongruent und folglich auch die eingezeichneten

Winkel α. Dies wiederum lässt den Schluss zu, dass die Winkelsumme des Dreiecks ABD gleich der des Dreiecks

ABC ist. Diese Vorgangsweise lässt sich

immer wieder wiederholen, bis die Winkel bei A und D unendlich klein sind.

Hätte das ursprüngliche Dreieck nun eine Winkelsumme größer als 180°, so müsste der Winkel bei B auch größer als 180° werden, was aber unmöglich ist. Folglich ist auch eine Winkelsumme größer als 180° im Dreieck unmöglich, sofern man Geraden unendlich verlängern kann.(Deshalb fällt bei der elliptischen Geometrie auch das zweite Axiom weg.)