Anwendung von Methoden der Digitalen Speckle-Photographie bei der räumlich phasenschiebenden Elektronischen Specklemuster-Interferometrie

Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  1

2  Theoretische Grundlagen  3

2.1  Der Speckle-Effekt  3

2.2  Digitale Speckle-Photographie (DSP)  4

2.2.1  Prinzip  4

2.2.2  Digitale Kreuzkorrelation  6

2.3  Räumlich phasenschiebende Elektronische Specklemuster  

Interferometrie  (SPS ESPI)  9

2.3.1  Interferometrische Detektion von Verschiebungen  9

2.3.2  Räumliches Phasenschiebeverfahren  12

2.3.3  Phasenrekonstruktion im Ortsraum  13

2.3.4  Modulationsbestimmung im Ortsraum  14

2.3.5  Auswertung im Frequenzraum  15

3  Experimentelle Methoden  20

3.1  Experimenteller Aufbau  20

3.2  Digitale Speckle-Photographie (DSP)  22

3.2.1  Detektion von lateralen Verschiebungen mit Subpixel-Auflösung  22

3.2.2  Verschiebung von Bilddaten im Subpixelbereich  24

3.2.3  Quantifizierung des Rauschens bei der Detektion lateraler Ver  

  schiebungen  25

3.3  ESPI  26

3.3.1  Einstellung des Phasengradienten β  26

3.3.2  Bestimmung der Specklegröße d Sp  27

3.3.3  Differenzphasenbestimmung im Ortsraum  27

3.3.4  Modulationsmethode (MOD)  29

3.3.5  Fouriertransformationsmethode (FTM)  29

3.3.6  Quantifizierung des Rauschens der Differenzphase  30

3.4  Kompensation lateraler Dekorrelationseffekte  32

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Inhaltsverzeichnis

4  Experimentelle Ergebnisse und Diskussion  33

4.1  Charakterisierung und Optimierung der Methoden zur Detektion late  

  raler Specklefeldverschiebungen  33

4.1.1  Messablauf der Detektion lateraler Verschiebungen  33

4.1.2  Charakterisierung und Optimierung der DSP-Methoden  36

4.1.2.1  Unterbildgröße  36

4.1.2.2  Für die Subpixel-Interpolation genutzter Bereich der  

  Kreuzkorrelationsmatrix  36

4.1.2.3  Anzahl der berücksichtigten Zeilen und Spalten der  

  Kreuzkorrelationsmatrix  37

4.1.2.4  Digitalisierungseffekte  38

4.1.3  Diskussion der experimentellen Ergebnisse zur Detektion latera  

  ler Verschiebungen  40

4.2  Einsatz von DSP-Methoden an räumlich phasengeschobenen Interfero  

  grammen  43

4.2.1  Verschiebungsmessung an räumlich phasengeschobenen Interfe  

  rogrammen  43

4.2.2  Charakterisierung und Optimierung des Experimentalaufbaus  45

4.2.2.1  Specklegröße d Sp  45

4.2.2.2  Mittlere Intensität I  46

4.2.2.3  Intensitätsverhältnis zwischen Referenz- und Objektwelle  47

4.2.2.4  Defokussierung  49

4.2.2.5  Einfluss axialer Verschiebungen  51

4.2.2.6  Detektion nicht einheitlicher Verschiebungen  51

4.2.3  Diskussion der experimentellen Ergebnisse zur Charakterisie  

  rung und Optimierung des Experimentalaufbaus  53

4.3  Kompensation lateraler Dekorrelationseffekte  59

4.4  Anwendung  64

4.4.1  Untersuchungen an Gewebephantomen  64

4.4.2  Untersuchungen an biologischen Proben durch mikroskopische  

  SPS ESPI/DSP  66

4.4.2.1  Untersuchungen bei Auflichtbeleuchtung  66

4.4.2.2  Tumoröse humane Leberzellen in Durchlichtbeleuchtung  68

5  Ausblick  71

6  Zusammenfassung  72

  Literaturverzeichnis  75

ii

1 Einleitung

Schwerpunkt dieser Arbeit ist die Anwendung von Methoden der Digitalen Speckle-Photographie (DSP) bei der räumlich phasenschiebenden Elektronischen Specklemuster-Interferometrie (SPS ESPI). Dabei wird insbesondere untersucht, ob die Kombination der beiden Verfahren die quantitative Detektion dreidimensionaler Verschiebungen ermöglicht.

Die Elektronische Specklemuster-Interferometrie (ESPI) ist ein etabliertes Verfahren zur zerstörungsfreien Analyse von Oberflächenverformungen mit interferometrischer Genauigkeit. Die Anwendung der ESPI erfolgt bereits in vielfältigen Einsatzgebieten bei der Material- und Werkstoffprüfung [CGA98,GHH ⁺ 90]. Auch bei der Bearbeitung von Fragestellungen im Bereich der Mikroskopie und der Biologie wurde die ESPI bereits erfolgreich eingesetzt [LSV97, SPT00].

Der Einsatz räumlich phasenschiebender Verfahren bei der ESPI ermöglicht eine quantitative, vorzeichenrichtige und dabei gegenüber äußeren Störungen weitgehend unempfindliche Bestimmung der Objektverformung. Hierbei wird im Gegensatz zu zeitlichen Phasenschiebeverfahren zur Auswertung nur jeweils ein Interferogramm pro Verformungszustand benötigt. Zur Ausweitung des Messverfahrens auf dreidimensionale Verformungserfassung sind pro Verformungszustandzustand jedoch drei Interferogramme erforderlich. Bei Untersuchung dynamischer Prozesse, insbesondere bei in-vivo-Messungen an biologischen Objekten, ist diese Möglichkeit zur dreidimensionalen Verformungserfassung aus Gründen der Stabilität nicht gegeben.

In dieser Arbeit wird daher die räumlich phasenschiebende ESPI (SPS ESPI) nur zur Bestimmung der axialen Deformationskomponente der untersuchten Objektoberfläche verwendet. Die quantitative Bestimmung der lateralen Verschiebungskomponenten aus den aufgenommenen Speckle-Interferogrammen erfolgt durch Anwendung von Methoden der Digitalen Speckle-Photographie (DSP).

Bei der DSP werden zwei von der untersuchten Objektoberfläche (rück-)gestreute Specklefelder vor und nach einer lateralen Verschiebung in einem digitalen Bildverarbeitungssystem gespeichert und nachfolgend ausgewertet. Dabei wird das laterale Verschiebungsfeld unter Anwendung von digitalen Kreuzkorrelationsalgorithmen numerisch bestimmt [CCTD93].

Voraussetzung für den Einsatz dieser Methoden der Digitalen Speckle-Photographie

1

bei der SPS ESPI ist die Rekonstruktion der Objektwellenintensität aus den aufgezeichneten Speckleinterferogrammen. Dieses ist in anderen Arbeiten durch Auswertung des Frequenzspektrums der Interferogramme (Fouriertransformationsmethode) [FBB01] oder durch Modulationsbestimmung zeitlich phasengeschobener Speckle-Interferogramme [SS97] realisiert worden. Zeitliche Phaseschiebeverfahren sind jedoch zum Einsatz bei dynamischen Prozessen nicht geeignet. Fouriertransformationsmethoden stellen einen hohen Rechenaufwand dar, weshalb die Einsatzfähigkeit zur online-Rekonstruktion der Objektwellenintensität bei aktuell zu Verfügung stehenden Rechenkapazitäten nicht gegeben ist.

In der vorliegenden Arbeit wird daher ein alternativer Ansatz zur Rekonstruktion der Objektwellenintensitätsverteilung vorgestellt. Hierzu wird zunächst untersucht, ob die Modulationsverteilung räumlich phasengeschobener Interferogramme als Intensitätsverteilung zur Detektion lateraler Verschiebungen mit Methoden der Digitalen Speckle-Photographie einsetzbar ist. Die hierbei erzielten Ergebnisse werden den Resultaten bei Anwendung von Fouriertransformationsmethoden vergleichend gegenübergestellt. Des Weiteren wird untersucht, ob die auf diese Weise ermittelten Verschiebungsfelder in der Speckle-Interferometrie zur Kompensation lateraler Dekorrelationseffekte genutzt werden können.

Die in dieser Arbeit entwickelten und charakterisierten Methoden zur Detektion lateraler Verschiebungen und zur Kompensation lateraler Dekorrelationseffekte werden anschließend auf speckleinterferometrische Untersuchungen an technischen Oberflächen angewandt. Abschließend erfolgt der Einsatz des Verfahrens bei mikroskopischen SPS ESPI-Untersuchungen an biologischen Proben bei Auflicht- und bei Durchlichtbeleuchtung.

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2 Theoretische Grundlagen

Dieses Kapitel befasst sich mit den theoretischen Grundlagen der Digitalen Speckle Photographie (DSP) und der räumlich phasenschiebenden Elektronischen Speckle-Pattern Interferometry (SPS ESPI). Hierzu werden zunächst der Speckle-Effekt und die Methoden der Digitale Speckle-Photographie zur lateralen Verschiebungsmessung dargestellt. Danach findet eine Beschreibung der in der SPS ESPI eingesetzten Auswerteverfahren zur Bestimmung der Differenzphase statt. Weiterhin werden in diesem Abschnitt Verfahren zur Modulationsbestimmung im Ortsraum bzw. zur Rekonstruktion der Objektwellenintensität mit Fouriertransformationsmethoden vorgestellt, über die in dieser Arbeit die Verbindung zwischen der SPS ESPI und der DSP geschaffen wird.

2.1 Der Speckle-Effekt

Im Folgenden wird der Speckleeffekt beschrieben, der die Grundlage für die in dieser Arbeit angewendete Elektronische Specklemuster-Interferometrie (ESPI) und Digitale Speckle-Photographie (DSP) bildet und somit die physikalischen Grenzen dieser Messverfahren bestimmt.

Bei Beleuchtung einer optisch rauen Oberfläche mit kohärentem Licht (Rauigkeit > Lichtwellenlänge λ) wird die einfallende Lichtwelle durch jedes Oberflächenelement rückgestreut, wodurch die reflektierten Teilwellen interferieren. Da die optischen Weglängen des rückgestreuten Lichts aufgrund der Rauigkeit der Streuoberfläche statistisch verteilt sind, entsteht im Fernfeld eine räumlich modulierte Intensitätsverteilung. Diese Intensitätsverteilung wird als Specklemuster oder Granulation bezeichnet [Ras94]. Sind die Oberflächenunebenenheiten deutlich größer als die Wellenlänge des verwendeten Laserlichts, so ist das Specklefeld weitgehend unabhängig von der Oberflächenbeschaffenheit.

Für die Wahrscheinlichkeitsdichte p(I) der Intensität I eines Specklefeldes gilt mit I ≥ 0:

1 I

(2.1) p(I) = 2 I 2 exp − .

2 I 2

Hierbei beschreibt I die mittlere Intensität des Specklefeldes.

Die Phase φ eines Specklefeldes ist gleichverteilt. Es gilt für die Wahrscheinlichkeitsdichte p(φ) der Phase φ mit −π ≤ φ < π:

Für eine ausführliche Beschreibung der Statistik von Specklefeldern sei auf [Goo75] verwiesen.

Die laterale Specklegröße ist durch den Abstand zwischen dem Maximum und dem Minimum 1. Ordnung der Autokorrelationsfunktion der Intensitätsverteilung eines Specklemusters definiert [Goo75]. Bei Verwendung einer Abbildungsoptik mit einer kreisförmigen Aperturblende mit dem Durchmesser D A ergibt sich für die laterale Specklegröße d Sp [Enn75]:

Hierbei bezeichnet L den Abbildungsabstand und λ die Laserwellenlänge. Für die mittlere longitudinale Ausdehnung der Speckle d long ergibt sich [LC92]:

Besteht das abbildende System aus mehreren optischen Komponenten, kann die zusammengesetzte Abbildungsoptik theoretisch durch ein einziges optisches System beschrieben werden, in das die Parameter aller Einzelkomponenten eingehen [Hec01]. Die Aperturblende des optischen Systems ist hierbei der für die Specklegröße entscheidende Parameter.

2.2 Digitale Speckle-Photographie (DSP)

Die Speckle-Photographie [Enn75] ist eine Methode zur Detektion lateraler Verschiebungen („in-plane“-Bewegungen). Hierzu werden Specklefelder vor und nach einer Änderung der untersuchten Objektoberfläche senkrecht zur optischen Achse des eingesetzten Bildaufnahmesystems verglichen.

2.2.1 Prinzip

Abb. 2.1 zeigt schematisch den Aufbau eines Systems zur Speckle-Photographie. Eine kohärente Lichtquelle (z. B. ein Laser) beleuchtet das zu untersuchende Objekt. Das rückgestreute Licht wird mit Hilfe eines Abbildungssystems (z. B. einer Linse) scharf auf eine photographische Platte abgebildet.

Bei der Verwendung klassischer Methoden der Speckle-Photographie erfolgt die Belichtung der Photoplatte mit jeweils einer Specklefeldintensitätsverteilung vor und nach einer Veränderung der Objektoberfläche. Durch anschließende punktweise Abrasterung mit einem unaufgeweiteten Laserstrahl wird aus dem resultierenden Doppelbelichtungsbild mithilfe einer Linse in Fourieranordnung das räumliche Frequenzspektrum

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Abbildung 2.1: Schematischer Aufbau zur (Digitalen-) Speckle-Photographie; AP:

für jeden Objektpunkt auf einen Schirm projeziert. Diese Projektion enthält Youngsche Interferenzstreifen, die senkrecht zur Verschiebungsrichtung orientiert sind und deren Abstand umgekehrt proportional zur Größe der Verschiebung ist [Lex03]. Mit klassischen Speckle-Interferometrie-Verfahren kann aufgrund der Youngschen Interferenzstreifen die Richtung einer Verschiebung nicht vorzeicheneindeutig bestimmt werden. Des Weiteren können mit dieser Methode nur Verschiebungen detektiert werden, die größer als der laterale Speckle-Durchmesser sind, da die überlagerten Specklemuster zur Erzeugung Youngscher Interferenzstreifen nicht überlappen dürfen [Sjö94]. Der Einsatz von Rasterbildsensoren (z. B. CCD- und CMOS-Kameras) und digitaler Bildverarbeitung ermöglicht in Verbindung mit digitalen Korrelationsverfahren neben einer richtungseindeutigen Detektion lateraler Verschiebungen auch eine Detektion von Verschiebungen, die kleiner als die Speckelgröße sind. Des Weiteren erhöht der Einsatz digitaler Bildverarbeitungsmethoden auch die Flexibilität des Messverfahrens, da z. B. Sequenzen von Einzelbildern digital gespeichert und anschließend im zeitlichen Verlauf und mit verschiedenen Methoden ausgewertet werden können [Sjö94].

Bei der Digitalen Speckle-Photographie (DSP) wird zunächst eine Referenzaufnahme der rückgestreuten Intensitätsverteilung einer zu untersuchenden Objektoberfläche aufgenommen und digital gespeichert. Nach erfolgter Oberflächenveränderung findet die Aufnahme eines zweiten Bildes statt. Je nach Anforderung und zeitlicher Abfolge der zu untersuchenden Oberflächenveränderung werden die Aufnahmen der untersuch-

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ten Objektoberfläche in zeitlichen Intervallen wiederholt. Die Veränderung der Objektoberfläche zwischen den einzelnen Zuständen kann nun aus den digital gespeicherten Daten jeweils paarweise durch den Einsatz von Kreuzkorrelationsalgorithmen (siehe Kap. 2.2.2) analysiert werden.

2.2.2 Digitale Kreuzkorrelation

Die im vorangehenden Abschnitt erläuterte Bestimmung lateraler Verschiebungen unter Anwendung der klassischen Speckle-Photographie erfolgte durch Abbildung des Fourier-Spektrums einer doppelbelichteten Photoplatte. Wird bei der Specklefeldaufnahme ein digitaler Rasterbildsensor verwendet, so erfolgt die Bestimmung der lateralen Verschiebung durch den Einsatz der digitalen Kreuzkorrelation. Das Prinzip der Detektion lateraler Verschiebungen mit Hilfe eines Kreuzkorrelations-algorithmus ist in Abb. 2.2 anhand computergenerierter Testbilder veranschaulicht. Auf zwei lateral (hier in x-Richtung) gegeneinander verschobene digitalisierte Bilder (Abb. 2.2 oben) wird ein Kreuzkorrelationsalgorithmus angewendet. Die in Abb. 2.2 (unten) gezeigete resultierende zweidimensionale Kreuzkorrelationsmatrix, welche zur

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Darstellung in Grauwerte transformiert wurde, ist ein Ähnlichkeitsmaß der beiden Bilder für verschiedene Verschiebungen. Hierbei entsprechen die Bildkoordinaten der Matrix der x- und y-Komponente der Verschiebung und der zugehörige Grauwert dem Grad der Ähnlichkeit der Bilder. Aus der Kreuzkorrelationsmatrix lässt sich durch Bestimmung der Koordinaten des Wertes mit maximaler Ähnlichkeit die zwischen den beiden Bildern erfolgte laterale Verschiebung ermitteln. Aus diesen Koordinaten und unter Berücksichtigung des Abbildungsmaßstabs bei der Bildaufnahme kann die mittlere Verschiebung der untersuchten Objektoberfläche errechnet werden. Teilt man die Bilder in Unterbereiche auf, auf die jeweils Kreuzkorrelationsalgorithmen angewendet werden, können auch nicht einheitliche laterale Verschiebungen der Objektoberfläche als Verschiebungsfeld erfasst werden (siehe Kap. 4.2.2.6). Die Teilbereiche der Bilder werden im Folgenden als Unterbilder bezeichnet. Bei der Unterteilung der zu analysierenden Bilder in Unterbilder muss ein Kompromiss zwischen lateraler Auflösung (kleine Unterbilder) und hoher Präzision bei der Verschiebungsdetektion (große Unterbilder) gefunden werden (siehe Kap. 4.1.2.1). Des Weiteren ist das Nyquist-Theorem zu beachten, welches besagt, dass mit einer Unterbildgröße N die maximale messbare Verschiebung N/2 beträgt [FB02].

Die mathematischen Beschreibung der zweidimensionalen Kreuzkorrelation zweier Signale f (x,y) = f (r) und h(x,y) = h(r) ist gegeben durch [SB93]:

Hierbei bezeichnet ⋆ die komplexe Konjugation und ∆r die zweidimensionale laterale Verschiebung in der Bildebene.

Für die Anwendung auf zwei quadratische Bilder f und h der Größe (N × M ) wird Gl. 2.5 diskretisieren. Mit

lässt sich Gl. 2.5 umschreiben zu:

Da der Rechenaufwand der in Gl. 2.5 und Gl. 2.6 beschriebenen Algorithmen mit der Bildgröße N ×M ansteigt, wird die Kreuzkorrelation nicht im Ortsraum, sondern unter

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Nutzung des Kreuzkorrelationstheorems im Fourierraum berechnet [FB02]. Für die Fourier-Transformation F einer gegebenen Funktion f (r) gilt [BSMM01]:

Hierbei enthält der Vektor κ die Raumfrequenzanteile ν und µ in x- und y-Richtung. Mit F (κ) = F(f (r)) und H(κ) = F(h(r)) ergibt sich für die Kreuzkorrelation in Gl. 2.5:

∞

f ^⋆ (r)h(r + ∆r) dr c f h (∆r) = −∞ ∞ ∞ ∞ F ^⋆ (κ) exp(2πiκr) dr H(κ ^′ ) exp (−2πiκ ^′ (r + ∆r)) dκ ^′ = dr −∞ −∞ −∞ ∞ ∞ ∞

F ^⋆ (κ)H(κ ^′ ) exp (−2πir(κ ^′ − κ)) exp (−2πκ ^′ r)dr dκ dκ ^′ = −∞ −∞ −∞ ∞ ∞ ∞

F ^⋆ (κ)H(κ ^′ ) exp (−2πiκ ^′ r) exp (−2πir(κ ^′ − κ)) dr dκ dκ ^′ = −∞ −∞ −∞ ∞ ∞

F ^⋆ (κ)H(κ ^′ ) exp (−2πiκ ^′ r)δ(κ ^′ − κ) dκ ^′ dκ = −∞ −∞ ∞ F ^⋆ (κ)H(κ) exp (−2πiκr) dκ = −∞

c f h (∆r) = F ⁻¹ (F ^⋆ (κ)H(κ)) . (2.9)

Gl. 2.9 wird als Kreuzkorrelationstheorem bezeichnet, welches besagt, dass die Kreuz-korrelation der inversen Fourier-Transformation des Produkts eines Signalspektrums mit dem komplex-konjugierten Spektrum eines zweiten Signals entspricht. Das Kreuzkorrelationstheorem gilt auch für den Fall einer diskret ausgeführten Fou-riertransformation [SB93]. In diesem Fall gilt für die in Gl. 2.9 eingesetzten Fourier-transformierten F und H:

F (r,s) = F(f (k,l)) =

H(r,s) = F(h(k,l)) =

Durch Bestimmung der Position des Maximums der durch Gl. 2.9 beschriebenen diskretisierten Kreuzkorrelationsfunktion und unter Berücksichtigung des Abbildungsmaßstabs wird in der Digitalen Speckle-Photographie (DSP) die mittlere Verschiebung der zu untersuchenden Objektoberfläche bestimmt.

2.3 Räumlich phasenschiebende Elektronische

Specklemuster-Interferometrie (SPS ESPI)

In diesem Abschnitt werden die theoretischen Grundlagen der räumlich phasenschiebenen Elektronischen Specklemuster-Interferometrie (SPS ESPI) vorgestellt.

2.3.1 Interferometrische Detektion von Verschiebungen

Die Detektion von Verschiebungen d(x,y) einer Oberfläche im Punkt (x,y) erfolgt bei

der Elektronischen Specklemuster-Interferometrie (ESPI) durch Bestimmung der Phasenänderung ∆φ(x,y) des reflektierten Lichts einer mit kohärentem Licht beleuchteten d(x,y) und der

Phasenänderung ∆φ(x,y) gilt die Relation [Sol69]:

e B die Einheitsvektoren in Beleuchtungs- und Beobach- e Q und tungsrichtung (siehe Abb. 2.3). S(x,y)

erhält man hieraus die Bestimmungsgleichung für den Zusammenhang zwischen De- d(x,y) undPhasenänderung der reflektierten Lichtwelle ∆φ(x,y): (2.14) S(x,y).

Die Phasenänderung ∆φ(x,y), die im Folgenden als Differenzphase zweier Zustände bezeichnet wird, kann durch Verfahren der räumlich phasenschiebenden ESPI bestimmt werden.

Eine Messanordung hierzu ist in Abb. 2.3 schematisch dargestellt.

9

Abbildung 2.3: Schematischer Aufbau zur räumlich phasenschiebenden Elektroni-

Eine kohärente (Laser-)Lichtquelle wird in Analogie zur klassischen Holographie über einem Strahlteiler (ST) in eine Objekt- und eine Referenzwelle aufgeteilt. Die Objektwelle beleuchtet über eine Aufweitungsoptik (L1) die Oberfläche des untersuchten Objekts. Das vom Objekt rückgestreute Licht wird mit Hilfe einer Abbildungsoptik (L3) auf einen digitalen Rasterbildsensor (CCD) abgebildet. Die Referenzwelle wird zur Ausleuchtung des Bildaufnahmesensors durch eine Optik (L2) aufgeweitet und anschließend durch einen Strahlteiler ST mit dem vom Objekt rückgestreuten Licht kohärent überlagert.

Der Rasterbildsensor detektiert das durch Überlagerung von Objekt- und Referenzwelle entstandene Interferogramm und übermittelt es an ein digitales Bildverarbeitungssystem.

Die elektrischen Feldstärken von Objekt- und Referenzwelle (E O und E R ) an einem Punkt mit Koordinaten (x,y) in der Ebene des Bildaufnahmesensors können durch

Objektwelle: E O (x,y) = E 0

Referenzwelle: E R (x,y) = E 0

beschrieben werden. Hierbei bezeichnen φ O (x,y) und φ R (x,y) die Phasenverteilungen von Objekt und Referenzwelle und E ⁰ O und E ⁰ R die jeweiligen Amplituden der elektrischen Feldstärke. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind die Zeitabhängigkeit und die vektorielle Schreibweise in Gl. 2.15 und 2.16 nicht aufgeführt. Die Intensität des Ausgangszustandes I A (x,y) des zu untersuchenden Objektes ergibt sich durch Überlagerung von Objekt- und Referenzwelle:

I A (x,y) = |E O (x,y) + E R (x,y)| ² (2.17)

= I O (x,y) + I R (x,y) + 2 I O (x,y)I R (x,y) cos (φ O (x,y) − φ R (x,y)).

Dabei sind I O (x,y) und I R (x,y) die Intensitätsverteilungen von Objekt- und Referenzwelle.

Mit der Objektwellenintensität I ^′ O ergeben sich analog hierzu die elektrische Feldstärke O der Objektwelle und das Intensitätsmuster I B im verformten Zustand der Objek- E ^′ toberfläche:

(2.18) E ^′ O (x,y) = E ^′0 O exp (i (φ O (x,y) + ∆φ(x,y))) I B (x,y) = I ^′ O (x,y) + I R (x,y)

+2

Der Wert ∆φ(x,y) in Gl. 2.19 bezeichnet die durch die Verformung der Objektoberfläche bewirkte Phasenänderung der Objektwelle (siehe Gl. 2.14).

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Abbildung 2.4: Anordnung der Optik zur Erzeugung eines nährungsweise paralle-

2.3.2Räumliches Phasenschiebeverfahren

Zur quantitativen richtungseindeutigen Bestimmung der durch Verschiebung der Objektoberfläche bewirkten Differenzphase wird bei der Erzeugung des Interferogramms eines Zustandes ein paralleles, äquidistantes Trägerstreifensystem durch einen räumlich konstanten Phasengradienten β zwischen Objekt- und Referenzwelle generiert. Ein nährungsweise konstanter Phasengradient β wird durch den Versatz des (virtuellen) Quellpunktes der divergenten Referenzwelle von der optischen Achse der Objektwelle realisiert (siehe Abb. 2.4).

Für den Fall eines konstanten Phasengradienten (β = (β x ,β y ) = konst.) lässt sich die Referenzwellenphase φ R in Gl. 2.17 und Gl. 2.19 in diskreter Schreibweise (x,y → x n ,y m ) formulieren als:

(2.20) φ R (x n ,y m ) = nβ x + mβ y + C.

Dabei sind n = 1,. . . ,N und m = 1,. . . ,M die Pixelkoordinaten des Rasterbildsensors der Größe (N, M). Der Parameter C bezeichnet einen konstanten Phasenoffset.

Mit der Gesamtintensität I ⁰ (x n ,y m ) = I R (x n ,y m ) + I O (x n ,y m ) am Ort (x n ,y m ) und der Modulation γ 0 :

kann Gl. 2.17 unter Berücksichtigung der Integration der Intensität über die einzelnen Pixel des Sensors umgeschrieben werden zu [Cre93]:

Φ

I(x n ,y m ) = I ⁰ (x n ,y m )

= I ⁰ (x n ,y m ) [1 + γ(x n ,y m ) cos (φ(x n ,y m ) + nβ x + mβ y + C)] (2.22)

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Dabei bezeichnet φ(x n ,y m ) die Objektwellephase. Der Sinc-Term beschreibt die Integration der Intensität über die einzelnen Pixel im Winkelbereich Φ. Der Wert γ entspricht der Modulation γ 0 unter Berücksichtigung der Intensitätsintegration über die einzelnen Pixel: Φ

Die Interferogrammgleichung (2.22) beinhaltet drei unbekannte Variablen (Gesamtintensitätsverteilung I ⁰ (x n ,y m ), Objektwellenphasenverteilung φ(x n ,y m ) und Modulation γ(x n ,y m )). Unter der Voraussetzung, dass der Phasengradient (β x ,β y ) bekannt ist und bei Vernachlässigung der additiven Konstanten C können drei linear unabhängige Bestimmungsgleichungen aufgestellt werden. Für den in dieser Arbeit verwendeten Al-gorithmus erfolgt die Lösung des so entstandenen Gleichungssystems durch Nutzung dreier benachbarter Werte der aufgenommenen Intensitätsverteilung in Richtung des Phasengradienten (siehe Kap. 2.3.3) [Kre96].

2.3.3 Phasenrekonstruktion im Ortsraum

Die Phasenrekonstruktion im Ortsraum erfolgt bei der räumlich phasenschiebenden ESPI mittels Auswerteverfahren der klassischen Interferometrie. Zur Bestimmung der Objektwellenphase φ(x,y) muss Gl. 2.22 eindeutig lösbar sein. Für die diskretisierte Objektwellenphase φ k am Ort k kann durch Verrechnung dreier benachbarter Werte I k−1 ,I k ,I k+1 einer Intensitätsverteilung ein lösbares Gleichungssystem aufgestellt werden, wobei k der Pixelindex in Richtung des Phasengradienten (β x ,β y ) ist. Eine Lösung bildet für einen beliebigen konstanten Phasengradienten (β x ,β y ) der variable 3-Schritt-Algorithmus (Gl. 2.24), der für alle in dieser Arbeit durchgeführten Differenzphasenbestimmungen eingesetzt wird [KKDvB03]:

1 − cos β I k−1 − I ^k+1 mod 2π. (2.24) φ k + nβ x + mβ y + C = arctan sin β 2I k − I k−1 − I k+1

Die Subtraktion der ermittelten Phasen φ und φ ^′ zweier Zustände ergibt die Differenzphase ∆φ k mod 2π:

∆φ k (x n ,y m ) = (φ ^′ k (x n ,y m ) + nβ x + mβ y + C) − (φ k (x n ,y m ) + nβ x + mβ y + C) (2.25) = φ ^′ k (x n ,y m ) − φ k (x n ,y m ).

Die mit Gl. 2.25 berechnete Differenzphase ∆φ kann aufgrund der Arkustangensfunktion nur modulo 2π bestimmt werden. Zur weiteren quantitativen Auswertung und zur anschaulichen Visualisierung ist daher die Beseitigung der 2π-Sprünge der räumlichen Differenzphasenverteilung mit Hilfe von Entfaltungsalgorithmen erforderlich. Abb. 2.5 illustriert das Grundprinzip der Differenzphasenentfaltung. Dargestellt ist der Schnitt durch eine Zeile einer simulierten sägezahnförmigen Differenzphasenverteilung. Im einfachsten Fall bildet der Entfaltungsalgorithmus die Differenz benachbarter Phasenwerte. Falls dieser Wert ≥ π ist, wird je nach Vorzeichen der gebildeten Differenz

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